Cálculo Vectorial

1. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
MATEMATICA IV
SECCIÓN 03
CICLO 02-2015
“INTEGRALES DE SUPERFICIE, TEOREMA DE GAUSS Y STOKES”
Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate
Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.
Instructores de Células: Silvania Aragón, David Alberto, Jorge Gómez, Sofía García,
Jorge Girón.
Área de una superficie.
1) Calcular las áreas de las siguientes superficies:
i) 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4. 𝑹𝒕𝒂:
𝝅
𝟔
(𝟏𝟕√𝟏𝟕 − 𝟏)
ii) 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑧2
− 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂:
𝝅
𝟔
(𝟏𝟕√𝟏𝟕 − 𝟓√𝟓)
iii) 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑎2
, 𝑧 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅𝒂 𝟐
2) Hallar las áreas de las superficies siguientes:
a) El tronco del cono con ecuación 𝑧 = 𝑎√𝑥2 + 𝑦2 correspondiente a bases de
radios 𝑏, 𝑐 con 𝑏 < 𝑐. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅√𝟏 + 𝒂 𝟐(𝒄 𝟐
− 𝒃 𝟐
)
b) La superficie esférica 𝑥2
+𝑦2
+ 𝑧2
= 9 limitada por el cilindro 𝑥2
+4𝑦2
=
9. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏𝟐𝝅
3) Hallar el área del toro circular obtenido al girar una circunferencia de radio 𝑅
alrededor de un eje situado en el plano en el que se encuentra la circunferencia a
una distancia 𝑎 > 𝑅 de su centro. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅 𝟐
𝒂𝑹
4) Calcule el área de la porción de superficie conica 𝑥2
+𝑦2
= 𝑧2
, situada por encima
del plano 𝑧 = 0 y limitada por la esfera 𝑥2
+𝑦2
+ 𝑧2
= 2𝑎𝑥. 𝑹𝒕𝒂: √𝟐𝝅
𝒂 𝟐
𝟒
5) Dado el recinto limitado por los planos 𝑧 = 𝑦 y 𝑧 = 0 y el cilindro 𝑥2
+𝑦2
= 𝑎2
.
Calcule el área de la porción de superficie cilindrica comprendida entre los dos
planos. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝒂 𝟐

2. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
Integral de superficie de campos escalares.
1) Evaluar ∬ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑠𝑆
, donde S es el triángulo de vértices (1,0,0), (0,2,0), (0,1,1).
𝑹𝒕𝒂:
√𝟔
𝟑𝟎
2) Evaluar ∬ 𝑧2
𝑑𝑠𝑆
, siendo S la frontera del cubo 𝑆 = [−1, 1] × [−1, 1] ×
[−1, 1]. 𝑹𝒕𝒂:
𝟒𝟎
𝟑
3) Calcular ∬ (𝑥2
+ 𝑦2)𝑑𝑠𝑆
, siendo S la superficie del cono 𝑧2
= 3(𝑥2
+ 𝑦2),
0 ≤ 𝑧 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗𝝅
4) Sea S la semiesfera 𝑥2
+𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑎2
, 𝑧 ≥ 0. Hallar ∬ (𝑥2
+𝑦2
)𝑆
𝑑𝑠. 𝑹𝒕𝒂:
𝟒𝝅𝒂 𝟒
𝟑
5) Calcular ∬ (𝑥4
− 𝑦4
+ 𝑦2
𝑧2
− 𝑧2
𝑥2
+ 1)𝑑𝑠𝑆
, donde S es el cilindro 𝑥2
+𝑦2
= 2𝑥
que recorta una porción del cono 𝑥2
+𝑦2
= 𝑧2
. 𝑹𝒕𝒂: √𝟐𝝅
Teorema de Gauss.
1) Hallar ∬ ∇ ∙ 𝐹 𝑑𝑠𝑆
, donde S es el elipsoide 𝑥2
+ 𝑦2
+ 2𝑧2
= 10 y 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑖 + 𝑒 𝑥
𝑗 − 𝑦𝑧𝑘. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
2) Sea V un sólido de volumen 13 unidades, limitado por la superficie cerrada S. Sea
𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. Hallar ∮ 𝑅 ∙ 𝑑𝑠𝑆
. 𝑹𝒕𝒂: 𝟑𝟗
3) Se considera el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 − 2𝑧𝑘 y la superficie S,
que es el contorno: 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3
: 𝑥2
+𝑦2
≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3}. Calcular el flujo.
𝑹𝒕𝒂: −
𝟑𝝅
𝟐
4) Se considera el casquete del paraboloide S: 𝑧 = 4 − 𝑥2
− 𝑦2
, 𝑧 ≥ 0 y el campo
vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑥
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
3
2
𝑖 +
𝑦
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
3
2
𝑗 +
𝑧
(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
3
2
𝑘, Hallar el flujo de
F a través de S hacia el exterior del paraboloide. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅
5) Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑖 + 𝑧𝑗 + 𝑥𝑧𝑘. Evaluar ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆
, para cada una de las
siguientes regiones S:
a) 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑧 ≤ 1. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
b) 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂:
𝟒
𝟏𝟓
c) 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≤ 0. 𝑹𝒕𝒂: −
𝟒
𝟏𝟓

3. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
6) Calcular ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆
, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥𝑦2
𝑖 + 3𝑥2
𝑦𝑗 + 𝑧3
𝑘 y S es la esfera
cuyo radio es la unidad. 𝑹𝒕𝒂:
𝟏𝟐𝝅
𝟓
7) Evaluar ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆
, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + 𝑗 + 𝑧(𝑥2
+ 𝑦2
)2
k y S es la superficie
del cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1. 𝑹𝒕𝒂:
𝝅
𝟑
8) Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦𝑧𝑖 + (−𝑥 + 3𝑦 + 2)𝑗 + (𝑥2
+ 𝑧)𝑘. Calcular ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆
,
donde S es el cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑎2
, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.
a) Incluyendo las bases. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
b) Excluyendo las bases. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅𝒂 𝟐
9) Halle el flujo del campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3
𝑖 + 𝑦3
𝑗+𝑧3
𝑘 a través de la superficie del
cono 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑧2
, 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻.
a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂:
𝟏
𝟏𝟎
𝝅𝑯 𝟓
b) Aplicando el Teorema de la Divergencia. 𝑹𝒕𝒂:
𝟏
𝟏𝟎
𝝅𝑯 𝟓
10) Calcule directamente y utilizando el teorema de la divergencia el flujo del campo
vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 − 𝑦2
𝑗 + 𝑥𝑧𝑘 a través de la superficie que limita el
cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 𝑅2
, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂:
𝟗
𝟐
𝝅𝑹 𝟐
Teorema de Stokes.
1) Calcular ∮ 2𝑦𝑑𝑥 + 3𝑥𝑑𝑦 − 𝑧2
𝑑𝑧𝑆
, siendo S la circunferencia de ecuaciones
paramétricas 𝑥 = 3 cos(𝛾) , 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝛾), 𝑧 = 0, para 0 ≤ 𝛾 ≤ 2𝜋. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗𝝅
2) Sea el triángulo de vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Comprobar el Teorema de
Stokes para 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑥𝑦𝑘. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆
3) Evaluar ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑑𝑆𝑆
, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2
+ 𝑦 − 4)𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 + (2𝑥𝑧 + 𝑧2)𝑘
y S es la superficie 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 16, 𝑧 ≥ 0.
a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟔𝝅
b) Mediante el Teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟔𝝅
4) Evaluar ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑑𝑆𝑆
, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘) × (𝑖 + 𝑗 + 𝑘)] y S es
la porción de la superficie esférica 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 1 tal que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 1.
𝑹𝒕𝒂: −
𝟒𝝅
√𝟑

4. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
5) Calcule, aplicando el teorema de Stokes, la integral: ∫ (𝑦 − 1)𝑑𝑥 + 𝑧2
𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧𝐶
,
donde 𝐶: {
𝑥2
+ 𝑦2
=
𝑧2
2
𝑧 = 𝑦 + 1
. 𝑹𝒕𝒂: − √𝟐𝝅
6) Calcule, utilizando el teorema de Stokes, la integral curvilínea: ∫ (2𝑥 + 𝑦 −𝐶
𝑧)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 𝑧)𝑑𝑦 + (2𝑥 − 𝑦 − 𝑧)𝑑𝑧, siendo C una parametrización de la curva
intersección de las superficies: 4𝑥2
+ 4𝑦2
+ 𝑧2
= 4 ˄ 2𝑥 − 𝑧 = 0. 𝑹𝒕𝒂:
𝟓𝝅
√𝟐
7) Calcule la integral ∫ 𝑦2
𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 + 𝑥𝑧𝑑𝑧𝐶
, siendo C la curva intersección del
cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 2𝑦 y el plano 𝑦 = 𝑧.
a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
b) Aplicando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎
8) Calcule el trabajo realizado por la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 − 𝑧)𝑖 + (𝑧 − 𝑥)𝑗 +
(𝑥 − 𝑦)𝑘, para trasladar un punto material sobre la curva cerrada C, siendo C una
parametrización de la curva dada por las ecuaciones: 𝐶: { 𝑥2
+ 𝑦2
= 4
𝑥 = 2 − 2𝑧
.Compruebe
el resultado utilizando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟐𝝅
9) Calcule la integral ∫ 2𝑦𝑧2
𝑑𝑥 + 𝑥𝑧2
𝑑𝑦 + 3𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧𝐶
, siendo C la curva intersección
de la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 4 y el paraboloide 𝑥2
+ 𝑦2
= 3𝑧.
a) Utilizando integral de línea.
b) Aplicando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆
10) Halle el flujo del rotacional del campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 − (𝑥2
+ 𝑦2
)𝑘, a
través de la porción de la superficie 𝑧 = arctan (
𝑦
𝑥
) que se halla dentro del cono
𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑧2
, entre los planos 𝑧 = 0 𝑦 𝑧 = 3.
a) Directamente.
b) Utilizando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆
Aplicaciones: flujo a través de una superficie.
1) Sea S la superficie cerrada formada por la semiesfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 1, 𝑧 ≥ 0 y su
base 𝑥2
+ 𝑦2
≤ 1, 𝑧 = 0. Sea también 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 2𝑧𝑘 un campo
eléctrico definido en ℝ3
. Hallar el flujo a través de S. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅
2) Supongamos que el campo de velocidad de un fluido viene dado por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧𝑘, medido en metros por segundo. Calcular cuántos metros cúbicos de
fluido por segundo cruzan la superficie descrita por 𝑥2
+ 𝑦2
+𝑧2
= 1, 𝑧 ≥ 0.
𝑹𝒕𝒂:
𝟐𝝅
𝟑
𝒎 𝟑
𝒔

5. Matemática IV. Ciclo 02/2015 Sección: 03 Guía-Problemas Jonathan λGreen.
3) Determine el flujo térmico que ocurre en el cilindro dado por la ecuación
𝑥2
+ 𝑦2
= 4, entre los planos 𝑧 = 1 ˄ 𝑧 = 4, si la temperatura del cuerpo en un
momento dado esta dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟒𝟖𝝅
4) Determine el flujo de fluido hacia afuera (alejándose del eje z) del campo de
velocidades dado por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 , si además se sabe que la
densidad de dicho fluido es 𝜌 = 𝑘, a través de la superficie del paraboloide
𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
que se encuentra por debajo del plano 𝑧 = 1. 𝑹𝒕𝒂: −
𝟒𝒌𝝅
𝟑
5) Considere una carga puntual 𝑞, cuyo campo eléctrico está definido por 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
𝑞
4𝜋𝜀𝑟2
(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘), cuando la carga se encuentra concéntrica con la superficie
esférica. Determine el flujo eléctrico, hacia afuera, a través de la esfera de radio a.
𝑹𝒕𝒂:
𝒒
𝜺
Aplicaciones: circulación a través de una superficie.
1) Un fluido de densidad constante gira alrededor del eje z con velocidad 𝑉(𝑥, 𝑦) =
𝜔(−𝑦𝑖 + 𝑥𝑗), donde ω es una constante positiva llamada rapidez angular, muestre
que la circulación del campo de velocidades es: ∮ 𝑽 ∙ 𝒅𝒓 = 𝟐𝝅𝝎𝒓 𝟐
𝑪
2) Calcular el trabajo producido por la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦3
𝑖 + 𝑥3
𝑗 − 𝑧3
𝑘, sobre la
trayectoria recorrida en el sentido positivo, dada por la intersección de las
superficies 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 ˄ 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑎2
. 𝑹𝒕𝒂:
𝟔𝝅𝒂 𝟒
𝟒
3) Calcular y comprobar la circulación del campo de velocidades de un fluido dado
por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = arctan(𝑥2) 𝑖 + 3𝑥𝑗 + 𝑒3𝑧
tan(𝑧) 𝑘, a lo largo de la intersección de
la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 4 ˄ 𝑥2
+ 𝑦2
= 1, 𝑧 > 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟑𝝅
4) Sea el campo de fuerzas 𝐹(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦2
+ 𝑦)𝑖 + (2𝑥2
𝑦 +
𝑥2
2
+ 𝑥) 𝑗. Demostrar
que en cualquier camino cerrado simétrico con respecto al eje y, la circulación es
cero.