1. 1 Resuelve la siguiente ecuación con un radical:
5  2x  x  5
Solución:
Ecuación:
5  2x  x  5
Despejamos el radical:
5  2 x  x 5
Elevando al cuadrado:
5  2 x  x 2  10 x 25
Pasando los términos al segundo miembro:
x 2  12 x 20  0
Resolviendo: x=-2, x=-10
La segunda no es válida, por no verificar la ecuación inicial
Solución: x=-2
2 Resuelve la siguiente ecuación con un radical:
x4 7
Solución:
Ecuación:
x 4  7
Elevando al cuadrado:
x 4  49
Resolviendo: x = 45
3 Resuelve la siguiente ecuación con un radical:
x  5x  10  8
Solución:
Ecuación:
x 5 x 10  8
Despejamos el radical:
5 x 10  8  x
Elevando al cuadrado:
5 x 10  64  16 x x 2
Pasando los términos al segundo miembro:
x 2  21x 54  0
Resolviendo: x=3, x=18

2. La segunda no es válida, ya que no se verifica la ecuación inicial
Solución: x=3
4 Resuelve la siguiente ecuación con un radical:
x  169  x 2  17
Solución:
Ecuación:
x 169  x 2  17
Despejamos el radical:
x 17  169  x 2
Elevando al cuadrado:
x 2  34 x 289  169  x 2
Pasando los términos al primer miembro:
2 x 2  34 x 120  0  x 2  17 x 60  0
Resolviendo: x=12, x=5
Ninguna de las soluciones es válida, por no verificar la ecuación inicial
5 Resuelve la siguiente ecuación con un radical:
x  25  x 2  1
Solución:
Ecuación:
x 25  x 2  1
Despejamos el radical:
x 1  25  x 2
Elevando al cuadrado:
x 2  2 x 1  25  x 2
Pasando los términos al primer miembro:
2 x 2  2 x 24  0  x 2  x 12  0
Resolviendo: x=4, x=-3
La segunda no es válida, por no verificar la ecuación inicial
Solución: x=4
6 Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales:
36  x  2  x
Solución:
Ecuación:
36  x  2  x

3. Elevando al cuadrado:
36  x  4  x 4 x
Aislando el radical:
32  4 x
Elevando al cuadrado:
1024  16 x
Resolviendo: x=64
7 Encuentra las soluciones, si existen, de la ecuación:
5x  4 5x  4 13
 
5x  4 5x  4 6
Solución:
Ecuación:
5 x  4 5 x  4 13
 
5 x 4 5 x 4 6
Multiplicando por el MCM=6(5x-4)(5x+4) se tiene:
6(5 x 4)2  6(5 x 4)2  13(5 x 4)(5 x 4)
Operando:
150 x 2  240 x 96  150 x 2  240 x 96  325 x 2  208
Pasando términos al primer miembro y simplificando, se tiene:
400
 25 x 2  400  0  x 2   16  x  4
25
Las soluciones son x=-4; x=4.
8 Encuentra las soluciones, si existen, de la ecuación:
x 6x

2x  1 3x  4
Solución:
Ecuación:
x 6x

2 x 1 3 x 4
Igualando productos cruzados:
x(3 x 4)  (6  x)(2 x 1)  3 x 2  4 x  12 x 6  2 x 2  x
Pasando términos al primer miembro y operando:
5 x 2  7 x 6  0
Resolviendo:

4. 7  49  120 7  13
x 
10 10
Las soluciones son:
20 6 3
x  2; x   
10 10 5
9 Un padre tenía 25 años cuando nació su hijo. La media geométrica de las edades de ambos en la actualidad
supera en 10 al número de años del hijo. Halla sus edades.
Solución:
Si la edad actual del hijo es x años, la del padre es x+25 años.
Se puede plantear la ecuación:
x(x  25)  x 10
Elevando al cuadrado:
x 2  25 x  x 2  20 x 100
Operando:
5 x  100
Resolviendo: x = 20 años.
Las edades del hijo y del padre son respectivamente: x = 20 años, y = 45 años
10 Encuentra las soluciones, si existen, de la ecuación:
x  1 x  1 2x  1
 
x2 x2 x 1
Solución:
Ecuación:
x 1 x 1 2 x 1
 
x 2 x 2 x 1
Multiplicando por el MCM=(x+2)(x-2)(x+1) se tiene:
(x  1)2 (x  2)  (x  1)(x  1)(x  2)  (2 x 1)(x  2)(x  2)
Operando:
2 x 3  2 x 2  4 x 4  2 x 3  x 2  8 x 4
Pasando términos al primer miembro y simplificando se tiene:
x 2  4 x  0  x(x  4)  0
Las soluciones son x=-4; x=0.
11 La raíz cuadrada de la edad de un padre, da la edad de su hijo. Al cabo de 24 años la edad del padre será
doble que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno?
Solución:
x
Si x es la edad en años del padre, la del hijo, es

5. La ecuación es:

x 24  2 x  24 
Operando y aislando el radical:
2 x  x 24
Elevando al cuadrado:
4 x  x 2  48 x 576
Operando:
x 2  52 x 576  0
Resolviendo: x = 36 años o x = 16 años
Solución válida la primera
Las edades del padre y del hijo son respectivamente: 36 años y 6 años
12 Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtiene de resto 2. Si a dicho número se le suman 27 unidades,
la raíz cuadrada del número obtenido aumenta en una unidad y se obtiene 6 de resto. Halla dicho número.
Solución:
Sea x el número.
Resulta evidente que x-2 es un cuadrado perfecto.
Resulta evidente que (x+27)-6 es un cuadrado perfecto que supera en una unidad al anterior.
Podemos plantear la ecuación:
x 2  x 21  1
Elevando al cuadrado:
x 2  x 21  1  2 x 21
Aislando el radical:
2 x 21  24  x 21  12
Elevando al cuadrado:
x 21  144
Resolviendo: x = 123
13 Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales:
x  4  3x  1  1
Solución:
Ecuación:
x 4  3 x 1  1
Aislando un radical:
x 4  3 x 1  1
Elevando al cuadrado:
x 4  3 x 1  1  2 3 x 1
Aislando el radical:

6. 2 3 x 1  2 x 2  3 x 1  x 1
Elevando al cuadrado:
3 x 1  x 2  2 x 1
Operando:
x2  5 x  0
Resolviendo: x=0, x=5
Solución válida: x=5
14 Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales:
7  2x  3  x  1
Solución:
Ecuación:
7  2x  3  x  1
Aislando un radical:
7  2 x  1 3  x
Elevando al cuadrado:
7  2 x  1  3  x 2 3  x
Aislando el radical:
x 3  2 3  x
Elevando al cuadrado:
x 2  9  6 x  12  4 x
Operando:
x 2  2 x 3  0
Resolviendo: x=-3, x=1
Solución válida: las dos
15 Dos grifos vierten a la vez agua en un depósito y tardan dos horas en llenarlo. ¿Cuánto tiempo tardará cada
grifo en llenar el depósito si se sabe que el segundo tarda tres horas más que el primero? Razona la
respuesta.
Solución:
v1 y v 2
Si son los caudales de cada uno de los dos grifos (cantidad de agua por unidad de tiempo) y el depósito
tiene un
volumen V. Siendo x el tiempo (en horas) que tarda en llenar el depósito el primer grifo y x+3 el tiempo (en horas)
de llenado del segundo grifo, podemos plantear:
1. Para el primer grifo:
V
V  v 1 x  v 1 
x
2. Para el segundo grifo:

7. V
V  v 2  (x  3)  v 2 
x 3
3. Para los dos grifos juntos:
V V 
V  (v 1  v 2 )  2  V    2
 x x 3 
Dividiendo por V, se tiene:
2 2
1   x(x  3)  2(x 3)  2 x
x x 3
x 2  x 6  0
Operando: , cuya única solución posible es x = 3 h.
Los tiempos de cada grifo son 3 h y 6 h respectivamente
16 Halla dos números naturales, tales que la diferencia entre el doble del primero y el segundo sea la raíz
cuadrada de la suma de los cuadrados de dichos números; y la diferencia entre el segundo y la raíz
cuadrada del primero sea igual a la unidad.
Solución:
Sea x el primer número e y el segundo, del enunciado, se puede establecer el sistema:
2 x  y  x 2  y 2


y  x  1

Operando se tiene:
4 x 2  4 xy y 2  x 2  y 2
 x(3 x  4 y)  0

 2  2
y  2 y  1  x
 y  2 y  1  x

De la primera ecuación se tienen dos posibilidades:
1ª solución: x  0  y2  2 y 1  0  y  1
, no válida por no verificar el sistema inicial
y  3  x  4
4y 4y 
2ª solución: x   y 2  2 y 1   3 y 2  10 y  3  0   1
3 3 y  3  N

La única solución válida es x = 4 e y = 3
17 Las dos cifras de un número suman 8. Calcula dicho número, sabiendo que su raíz cuadrada da de resto 4
y que la raíz cuadrada del número que resulta de invertir el orden de las cifras es 2 unidades menor y da
como resto 10.
Solución:
Sea (ab) el número, tal que a+b=8.
La ecuación a plantear es:
(ab)  4  2  (ba)  10
Por el valor relativo de las cifras, dicha ecuación, se puede escribir según:

8. b 10 a 4  2  a 10 b 10
Teniendo en cuenta que a=8-b, tendremos:
76  9 b  2  9 b 2
Elevando al cuadrado:
76  9 b  4  9 b 2  4 9 b 2
Aislando el radical:
74  18 b  4 9 b 2  37  9 b  2 9 b 2
Elevando al cuadrado:
1369  666b 81b 2  36 b 8
Simplificando:
: 27
81b 2  702b 1377  0 3 b 2
 26 b 51  0
Resolviendo: b = 3, b =17/3
La segunda solución no es válida por no ser entera
El número buscado es 53
18 Halla un número de dos cifras, sabiendo que éstas suman 7 unidades y que si sumamos 3 unidades al
número que resulta de intercambiar el orden de las cifras, su raíz cuadrada es el doble de la raíz del número
inicial.
Solución:
Sea N = ab el número que queremos calcular, se puede plantear el siguiente sistema:
 a b  7


 ba 3  2 ab

Considerando el valor relativo de las cifras, el sistema anterior se puede expresar según:
 a b  7
 a b  7
 
 a 10 b 3  2 b 10 a
 a 10 b 3  4(b 10 a)
 a  7  b  7  b 10 b 3  4(b 70  10 b)
Operando la última ecuación, se tiene:
270
45b  270  b   6 a  76 1
45
El número es N = 16
19 Resuelve la ecuación siguiente:
2x  1  x  x  3
Solución:
Ecuación:

9. 2 x 1  x  x 3
Elevando al cuadrado:
2 x 1  x 2 x(2 x 1)  x 3
Aislando el radical:
2 x 4  2 x(2 x 1)
Simplificando por 2:
x 2  x(2 x 1)
Elevando al cuadrado:
x 2  4 x 4  2 x 2  x
Simplificando:
x 2  3 x 4  0
Resolviendo: x=-1, x=4
La primera solución no es válida
Solución x=4