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T3 ecuaciones racionales, irracionales

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T3 ecuaciones racionales, irracionales

  1. 1. 1 Resuelve la siguiente ecuación con un radical: 5  2x  x  5 Solución: Ecuación: 5  2x  x  5 Despejamos el radical: 5  2 x  x 5 Elevando al cuadrado: 5  2 x  x 2  10 x 25 Pasando los términos al segundo miembro: x 2  12 x 20  0 Resolviendo: x=-2, x=-10 La segunda no es válida, por no verificar la ecuación inicial Solución: x=-22 Resuelve la siguiente ecuación con un radical: x4 7 Solución: Ecuación: x 4  7 Elevando al cuadrado: x 4  49 Resolviendo: x = 453 Resuelve la siguiente ecuación con un radical: x  5x  10  8 Solución: Ecuación: x 5 x 10  8 Despejamos el radical: 5 x 10  8  x Elevando al cuadrado: 5 x 10  64  16 x x 2 Pasando los términos al segundo miembro: x 2  21x 54  0 Resolviendo: x=3, x=18
  2. 2. La segunda no es válida, ya que no se verifica la ecuación inicial Solución: x=34 Resuelve la siguiente ecuación con un radical: x  169  x 2  17 Solución: Ecuación: x 169  x 2  17 Despejamos el radical: x 17  169  x 2 Elevando al cuadrado: x 2  34 x 289  169  x 2 Pasando los términos al primer miembro: 2 x 2  34 x 120  0  x 2  17 x 60  0 Resolviendo: x=12, x=5 Ninguna de las soluciones es válida, por no verificar la ecuación inicial5 Resuelve la siguiente ecuación con un radical: x  25  x 2  1 Solución: Ecuación: x 25  x 2  1 Despejamos el radical: x 1  25  x 2 Elevando al cuadrado: x 2  2 x 1  25  x 2 Pasando los términos al primer miembro: 2 x 2  2 x 24  0  x 2  x 12  0 Resolviendo: x=4, x=-3 La segunda no es válida, por no verificar la ecuación inicial Solución: x=46 Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales: 36  x  2  x Solución: Ecuación: 36  x  2  x
  3. 3. Elevando al cuadrado: 36  x  4  x 4 x Aislando el radical: 32  4 x Elevando al cuadrado: 1024  16 x Resolviendo: x=647 Encuentra las soluciones, si existen, de la ecuación: 5x  4 5x  4 13   5x  4 5x  4 6 Solución: Ecuación: 5 x  4 5 x  4 13   5 x 4 5 x 4 6 Multiplicando por el MCM=6(5x-4)(5x+4) se tiene: 6(5 x 4)2  6(5 x 4)2  13(5 x 4)(5 x 4) Operando: 150 x 2  240 x 96  150 x 2  240 x 96  325 x 2  208 Pasando términos al primer miembro y simplificando, se tiene: 400  25 x 2  400  0  x 2   16  x  4 25 Las soluciones son x=-4; x=4.8 Encuentra las soluciones, si existen, de la ecuación: x 6x  2x  1 3x  4 Solución: Ecuación: x 6x  2 x 1 3 x 4 Igualando productos cruzados: x(3 x 4)  (6  x)(2 x 1)  3 x 2  4 x  12 x 6  2 x 2  x Pasando términos al primer miembro y operando: 5 x 2  7 x 6  0 Resolviendo:
  4. 4. 7  49  120 7  13 x  10 10 Las soluciones son: 20 6 3 x  2; x    10 10 59 Un padre tenía 25 años cuando nació su hijo. La media geométrica de las edades de ambos en la actualidad supera en 10 al número de años del hijo. Halla sus edades. Solución: Si la edad actual del hijo es x años, la del padre es x+25 años. Se puede plantear la ecuación: x(x  25)  x 10 Elevando al cuadrado: x 2  25 x  x 2  20 x 100 Operando: 5 x  100 Resolviendo: x = 20 años. Las edades del hijo y del padre son respectivamente: x = 20 años, y = 45 años10 Encuentra las soluciones, si existen, de la ecuación: x  1 x  1 2x  1   x2 x2 x 1 Solución: Ecuación: x 1 x 1 2 x 1   x 2 x 2 x 1 Multiplicando por el MCM=(x+2)(x-2)(x+1) se tiene: (x  1)2 (x  2)  (x  1)(x  1)(x  2)  (2 x 1)(x  2)(x  2) Operando: 2 x 3  2 x 2  4 x 4  2 x 3  x 2  8 x 4 Pasando términos al primer miembro y simplificando se tiene: x 2  4 x  0  x(x  4)  0 Las soluciones son x=-4; x=0.11 La raíz cuadrada de la edad de un padre, da la edad de su hijo. Al cabo de 24 años la edad del padre será doble que la del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno? Solución: x Si x es la edad en años del padre, la del hijo, es
  5. 5. La ecuación es:  x 24  2 x  24  Operando y aislando el radical: 2 x  x 24 Elevando al cuadrado: 4 x  x 2  48 x 576 Operando: x 2  52 x 576  0 Resolviendo: x = 36 años o x = 16 años Solución válida la primera Las edades del padre y del hijo son respectivamente: 36 años y 6 años12 Al extraer la raíz cuadrada de un número se obtiene de resto 2. Si a dicho número se le suman 27 unidades, la raíz cuadrada del número obtenido aumenta en una unidad y se obtiene 6 de resto. Halla dicho número. Solución: Sea x el número. Resulta evidente que x-2 es un cuadrado perfecto. Resulta evidente que (x+27)-6 es un cuadrado perfecto que supera en una unidad al anterior. Podemos plantear la ecuación: x 2  x 21  1 Elevando al cuadrado: x 2  x 21  1  2 x 21 Aislando el radical: 2 x 21  24  x 21  12 Elevando al cuadrado: x 21  144 Resolviendo: x = 12313 Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales: x  4  3x  1  1 Solución: Ecuación: x 4  3 x 1  1 Aislando un radical: x 4  3 x 1  1 Elevando al cuadrado: x 4  3 x 1  1  2 3 x 1 Aislando el radical:
  6. 6. 2 3 x 1  2 x 2  3 x 1  x 1 Elevando al cuadrado: 3 x 1  x 2  2 x 1 Operando: x2  5 x  0 Resolviendo: x=0, x=5 Solución válida: x=514 Resuelve la siguiente ecuación con dos radicales: 7  2x  3  x  1 Solución: Ecuación: 7  2x  3  x  1 Aislando un radical: 7  2 x  1 3  x Elevando al cuadrado: 7  2 x  1  3  x 2 3  x Aislando el radical: x 3  2 3  x Elevando al cuadrado: x 2  9  6 x  12  4 x Operando: x 2  2 x 3  0 Resolviendo: x=-3, x=1 Solución válida: las dos15 Dos grifos vierten a la vez agua en un depósito y tardan dos horas en llenarlo. ¿Cuánto tiempo tardará cada grifo en llenar el depósito si se sabe que el segundo tarda tres horas más que el primero? Razona la respuesta. Solución: v1 y v 2 Si son los caudales de cada uno de los dos grifos (cantidad de agua por unidad de tiempo) y el depósito tiene un volumen V. Siendo x el tiempo (en horas) que tarda en llenar el depósito el primer grifo y x+3 el tiempo (en horas) de llenado del segundo grifo, podemos plantear: 1. Para el primer grifo: V V  v 1 x  v 1  x 2. Para el segundo grifo:
  7. 7. V V  v 2  (x  3)  v 2  x 3 3. Para los dos grifos juntos: V V  V  (v 1  v 2 )  2  V    2  x x 3  Dividiendo por V, se tiene: 2 2 1   x(x  3)  2(x 3)  2 x x x 3 x 2  x 6  0 Operando: , cuya única solución posible es x = 3 h. Los tiempos de cada grifo son 3 h y 6 h respectivamente16 Halla dos números naturales, tales que la diferencia entre el doble del primero y el segundo sea la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dichos números; y la diferencia entre el segundo y la raíz cuadrada del primero sea igual a la unidad. Solución: Sea x el primer número e y el segundo, del enunciado, se puede establecer el sistema: 2 x  y  x 2  y 2   y  x  1  Operando se tiene: 4 x 2  4 xy y 2  x 2  y 2  x(3 x  4 y)  0   2  2 y  2 y  1  x  y  2 y  1  x  De la primera ecuación se tienen dos posibilidades: 1ª solución: x  0  y2  2 y 1  0  y  1 , no válida por no verificar el sistema inicial y  3  x  4 4y 4y  2ª solución: x   y 2  2 y 1   3 y 2  10 y  3  0   1 3 3 y  3  N  La única solución válida es x = 4 e y = 317 Las dos cifras de un número suman 8. Calcula dicho número, sabiendo que su raíz cuadrada da de resto 4 y que la raíz cuadrada del número que resulta de invertir el orden de las cifras es 2 unidades menor y da como resto 10. Solución: Sea (ab) el número, tal que a+b=8. La ecuación a plantear es: (ab)  4  2  (ba)  10 Por el valor relativo de las cifras, dicha ecuación, se puede escribir según:
  8. 8. b 10 a 4  2  a 10 b 10 Teniendo en cuenta que a=8-b, tendremos: 76  9 b  2  9 b 2 Elevando al cuadrado: 76  9 b  4  9 b 2  4 9 b 2 Aislando el radical: 74  18 b  4 9 b 2  37  9 b  2 9 b 2 Elevando al cuadrado: 1369  666b 81b 2  36 b 8 Simplificando: : 27 81b 2  702b 1377  0 3 b 2  26 b 51  0 Resolviendo: b = 3, b =17/3 La segunda solución no es válida por no ser entera El número buscado es 5318 Halla un número de dos cifras, sabiendo que éstas suman 7 unidades y que si sumamos 3 unidades al número que resulta de intercambiar el orden de las cifras, su raíz cuadrada es el doble de la raíz del número inicial. Solución: Sea N = ab el número que queremos calcular, se puede plantear el siguiente sistema:  a b  7    ba 3  2 ab  Considerando el valor relativo de las cifras, el sistema anterior se puede expresar según:  a b  7  a b  7    a 10 b 3  2 b 10 a  a 10 b 3  4(b 10 a)  a  7  b  7  b 10 b 3  4(b 70  10 b) Operando la última ecuación, se tiene: 270 45b  270  b   6 a  76 1 45 El número es N = 1619 Resuelve la ecuación siguiente: 2x  1  x  x  3 Solución: Ecuación:
  9. 9. 2 x 1  x  x 3Elevando al cuadrado:2 x 1  x 2 x(2 x 1)  x 3Aislando el radical:2 x 4  2 x(2 x 1)Simplificando por 2:x 2  x(2 x 1)Elevando al cuadrado:x 2  4 x 4  2 x 2  xSimplificando:x 2  3 x 4  0Resolviendo: x=-1, x=4La primera solución no es válidaSolución x=4

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