2. Antiderivative (Indefinite
Integral)
นิยาม
ฟังก์ชัน F(x) เป็น antiderivative ของ f(x) ถ้าหาก
F’(x) = f(x)
สำาหรับทุก x ในโดเมนของ f เซ็ตของทุกๆ
antiderivative ของ f เรียกว่า
indefinite integral ของ f เทียบกับ x แสดงด้วย
∫ f ( x)dx
Integral Variable of
sign integrand integration
3. ตัวอย่างที่ 1
จงหา ∫ 2xdx antiderivative
ค่า
วิธีทำา
∫ 2xdx = x 2 + C The arbitrary
constant
8. ตัวอย่างที่ 4
จงหาเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสที่จัด (x,y)
ใดๆ เป็น 3x2 และผ่านจุด (1,-1)
dy
วิธีทำา
∫ dx dx = ∫ 3 x 2 dx
dy
The differential equation: 3x
= 2
y + C1 = x 3 + C2
dx General
The initial condition: y(1) = −1 y = x +C
3
solution
y = x3 + C
Initial −1 = (1)3 + C Particular
condition solution
C = −2
29. นิยามของ definite Integral ด้วยลิ
มิตของ Riemann Sums
ให้ f เป็นฟักชันที่นิยามในช่วง [a,b] ถ้าหากแบ่งออก
์
เป็นช่วงย่อยๆด้วยตัว
แบ่ง P และ ck อยู่ระหว่างแต่ละช่วงย่อย [xk-1,xk]
n
ถ้าหากมีจำานวนจริง I fทีc )∆x = I
lim ∑ ( ่ทำาให้
k k
P →0
k =1
ไม่ว่าจะเลือกแบ่ง P และเลือก ck อย่างไรก็ได้
ดังนั้น f สามารถอินทิเกรตได้ในช่วง [a,b] และ I เป็น
ค่า Definite Integral ของ f
31. การแสดงสัญลักษณ์ของ Definite
Integration
∆y dy
Differentiation lim =
∆x →0 ∆x dx
n b
Integration lim ∑ f (ck )∆x = ∫ f ( x)dx
n →∞
k =1 a
Upper limit
b
∫
a
f ( x)dx
lower limit
32. ตัวอย่างที่ 2
จงแสดง limit ในรูปของ Integration ในช่วงของ x
= [-1,3] และ mk เป็นกึ่งกลาง
n 3
ของช่ว(3(mk่ )k− 2mk + 5)∆x
lim ∑ งที 2
= ∫ (3 x 2 − 2 x + 5)dx
n →∞
k =1 −1
39. 4.5 ทฤษฎีคาเฉลี่ยและทฤษฎีพื้นฐาน
่
ทฤษฎีค่าเฉลี่ยสำาหรับการอินทีเกรตแบบมีขอบเขต
(Mean Value Theorem for Definite Integrals)
ถ้าหาก f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] ดังนั้นจะต้องมีจุด c
อย่างน้อย
หนึ่งจุดที่f (c) = 1 b f ( x)dx
b − a ∫a
41. ทฤษฎีพื้นฐาน (fundamental
theorem) ตอนที่ 1
ถ้า f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] แล้ว ฟังก์ชัน
x
F ( x) = ∫ f (t )dt
a
จะหาอนุพันธ์ได้ตลอดช่วง [a.b] และ
dF d x
=
dx dx ∫a f (t )dt = f ( x)
42. ตัวอย่างที่ 3
d x d x 1
จงหาค่า
dx ∫− p cos tdt dx ∫0 1 + t 2 dt
และ
วิธีทำา
d x d x 1 1
dx ∫0 1 + t 2
∫− p cos tdt = cos( x) dt =
dx 1+ t2
43. ตัวอย่างที่ 4 (chain rule)
x2
จงหา dy/dx เมื่อy = ∫1 cos tdt
du
วิธีทำา ให้ u=x ⇒ 2
= 2x
dx
และจาก
dy dy du
= .
dx du dx
dy d u
=
du du ∫1 cos tdt = cos u
dy
= cos u.2 x = 2 x cos( x 2 )
dx
44. ตัวอย่างที่ 5
d 5 d (b) 1
จงหา (a) ∫ 3t sin tdt 4
dx x dx ∫1+3 x2 2 + t 2 dt
d 5 d 4 1
dx ∫x 3t sin tdt dx ∫1+3 x2 2 + t 2 dt
d x d 1+3 x2 1
= − ∫ 3t sin tdt = −3 x sin x =− ∫ dt
dx 5 dx 1 2+t 2
1
=− .6 x
2 + (1 + 3 x ) 2 2
2x
=−
1 + 2 x 2 + 3x 4
45. การอินทีเกรตเชิงเลขคณิตโดยวิธี
trapezoidal
b
ประมาณค่าอินทีเ∫a f ( x)dx
กรต
ด้วย h
T= ( y0 + 2 y1 + 2 y2 ... + 2 yn −1 + yn )
2
เมื่อ yi เป็นค่าของฟังก์ชนที่จุดแบ่ง โดยที่
ั
x0 = a, x1 = a + h,....xn −1 = b − h, xn = b
b−a
h=
n
