Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

การอินทีเกรต

54,446 views

Published on

อินทิเกรต

  • If you are looking for customer-oriented academic and research paper writing service try ⇒⇒⇒ WRITE-MY-PAPER.net ⇐⇐⇐ liked them A LOTTT Really nice solutions for the last-day papers
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Follow the link, new dating source: ❤❤❤ http://bit.ly/2u6xbL5 ❤❤❤
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here
  • Dating direct: ❤❤❤ http://bit.ly/2u6xbL5 ❤❤❤
       Reply 
    Are you sure you want to  Yes  No
    Your message goes here

การอินทีเกรต

  1. 1. บทที่ 4 การอินทิเกรต (Integration) Antiderivative (Indefinite Integral) Differential Equation And Modeling
  2. 2. Antiderivative (IndefiniteIntegral)นิยามฟังก์ชัน F(x) เป็น antiderivative ของ f(x) ถ้าหาก F’(x) = f(x)สำาหรับทุก x ในโดเมนของ f เซ็ตของทุกๆ antiderivative ของ f เรียกว่าindefinite integral ของ f เทียบกับ x แสดงด้วย ∫ f ( x)dx Integral Variable of sign integrand integration
  3. 3. ตัวอย่างที่ 1 จงหา ∫ 2xdx antiderivative ค่าวิธีทำา ∫ 2xdx = x 2 + C The arbitrary constant
  4. 4. ตารางแสดงค่า antiderivative
  5. 5. ตัวอย่างที่ 2 (เลือกค่าantiderivative จากตาราง)
  6. 6. ตัวอย่างที่ 3 (ตรวจสอบผลการอินทิเกรตโดยการหาอนุพันธ์) ∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C ?d ( x sin x + cos x + C ) = x cos x + sin x − sin x + 0 = x cos xdx
  7. 7. ปัญหาค่าเริมต้น (Initial Value ่Problems)ปัญหาที่กำาหนดอนุพันธ์ y’(x) และกำาหนดค่าเริ่มต้น yo เมื่อ x=xo มาให้
  8. 8. ตัวอย่างที่ 4 จงหาเส้นโค้งที่มีความชันของเส้นสัมผัสที่จัด (x,y) ใดๆ เป็น 3x2 และผ่านจุด (1,-1) dyวิธีทำา ∫ dx dx = ∫ 3 x 2 dx dyThe differential equation: 3x = 2 y + C1 = x 3 + C2 dx GeneralThe initial condition: y(1) = −1 y = x +C 3 solution y = x3 + C Initial −1 = (1)3 + C Particular condition solution C = −2
  9. 9. การสร้างแบบจำาลองทางคณิตศาสตร์(Mathematical Modeling) -กำาหนดตัวแปร -หาสมการอนุพนธ์ั -กำาหนดค่าเงื่อนไขเริ่มต้น
  10. 10. ตัวอย่างที่ 5 บอลลูนกำาลังลอยขึ้นด้วยอัตรา12 ฟุต/วินาที ที่ความ สูง 80 ฟุต เหนือพื้น ก่อนที่จะโยนของลงมา ของจะตกถึงพื้นเมื่อเวลาใด?กำาหนดให้ v(t) = ความเร็ว t = เวลา s(t)= ระยะความสูงจากพื้น สมการ ความเร่งเนื่อง dv อนุพัน = g = −32 จากแรงดึงดูดของโลก dt ธ์
  11. 11. ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ) เงื่อนไขเริ่มต้น: v(0) = 12 แก้สมการ dv = −32 dt dv ∫ dt dt = ∫ −32dt v = −32t + Cหาค่า C จากเงื่อนไขเริ่มต้น 12 = −32(0) + C v = −32t + 12 C = 12
  12. 12. ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ) กำาหนดสมการ ds v= = −32t + 12 อนุพันธ์ dt s (0) = 80 แก้าหนดเงื่อนไขเริ่ม−32t + 12)dt กำ สมการ ds ต้น ∫ dt dt = ∫ ( s = −16t 2 + 12t + Cแทนค่าเงื่อนไขเริ่มต้น 80 = −16(0)2 + 12(0) + C s = −16t 2 + 12t + 80 C = 80
  13. 13. ตัวอย่างที่ 5 (ต่อ)หาเวลาที่ระยะทาง = 0 s = −16t 2 + 12t + 80 = 0 −4t 2 + 3t + 20 = 0 −3 ± 329 t= −8 = −1.89, 2.64
  14. 14. 4.2 Integrating Rules,Integration by substitution
  15. 15. ตัวอย่างที่ 1 ∫ 5sec x tan xdx ∫ 5sec x tan xdx = 5∫ sec x tan xdx = 5(sec x + C ) = 5sec x + 5C = 5sec x + C
  16. 16. ตัวอย่างที่ 2 อินทีเกรตทีละเทอม∫ ( x 2 − 2 x + 5)dx ∫ ( x 2 − 2 x + 5)dx = ∫ x 2 dx − 2 ∫ xdx + 5∫ dx 1 3 = x − x2 + 5x + C 3
  17. 17. ตัวอย่างที่ 3 อินทีเกรต sin2x และcos2x 1 − cos 2 x∫ sin 2 xdx = ∫ 2 dx 1 1 1= ∫ (1 − cos 2 x)dx = ∫ dx − ∫ cos 2 xdx 2 2 2 x 1 sin 2 x x sin 2 x= − +C = − +C 2 2 2 2 4 1 + cos 2 x∫ cos 2 xdx = ∫ 2 dx 1 1 1= ∫ (1 + cos 2 x)dx = ∫ dx + ∫ cos 2 xdx 2 2 2 x 1 sin 2 x x sin 2 x= + +C = + +C 2 2 2 2 4
  18. 18. ตัวอย่างที่ 4 ใช้ power rule ∫ 1 + y 2 2 ydy = ∫ u1/ 2 du 1 +1 u 2 = +C 1 2 +1 2 3/ 2 = u +C 3 2 = (1 + y 2 )3/ 2 + C 3
  19. 19. ตัวอย่างที่ 5 ปรับเปลี่ยนค่าคงที่ ∫ 4t − 1dt = ∫ u1/ 2 1 du 4 1 1/ 2 = ∫ u du 4 1 u 3/ 2 = +C 4 23 1 3/ 2 = u +C 6 1 = (4t − 1)3/ 2 + C 6
  20. 20. ตัวอย่างที่ 6 เปลี่ยนตัวแปร ∫ cos(7θ + 5)dθ = ∫ cos(u ). 1 du 7 1 = ∫ cos udu 7 1 = sin u + C 7 1 = sin(7θ + 5) + C 7
  21. 21. ตัวอย่างที่ 7 ∫ x 2 sin( x 3 )dx = ∫ sin( x 3 ).x 2 dx = ∫ sin u. 1 du 3 1 = ∫ sin udu 3 1 = (− cos u ) + C 3 1 = − cos( x 3 ) + C 3
  22. 22. ตัวอย่างที่ 8 เอกลักษณ์ตรีโกณฯ 1 ∫ cos2 2 x dx = ∫ sec 2 2 xdx = ∫ sec 2 u. 1 du 2 1 = ∫ sec 2 udu 2 1 = tan u + C 2 1 = tan(2 x) + C 2
  23. 23. 4.3 การประมาณพื้นที่ใต้กราฟโดยfinite Sumsการหาอัตราการสูบฉีดเลือดของหัวใจทำาได้โดยการ ฉีดสีย้อม (กำามันตรังสีที่ไม่เป็นอันตราย) เข้าไปห้องขวาของหัวใจ เลือดจะไหล ผ่านปอด แล้วกลับมาที่หัวใจห้องซ้ายก่อนจะไหลออกเส้นเลือดใหญ่ ซึ่งจะ เป็นจุดที่วัดความเข้มข้นของสีย้อม
  24. 24. พื้นทีใต้กราฟมีความหมายอะไร? ่
  25. 25. การประมาณปริมาตรของทรงกลม
  26. 26. การประมาณค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันโดยพื้นทีใต้การฟ ่
  27. 27. 4.4 Riemann Sums and DefiniteIntegral สัญลักษณ์ sigma
  28. 28. Riemann Sums
  29. 29. นิยามของ definite Integral ด้วยลิมิตของ Riemann Sumsให้ f เป็นฟักชันที่นิยามในช่วง [a,b] ถ้าหากแบ่งออก ์ เป็นช่วงย่อยๆด้วยตัวแบ่ง P และ ck อยู่ระหว่างแต่ละช่วงย่อย [xk-1,xk] nถ้าหากมีจำานวนจริง I fทีc )∆x = I lim ∑ ( ่ทำาให้ k k P →0 k =1ไม่ว่าจะเลือกแบ่ง P และเลือก ck อย่างไรก็ได้ดังนั้น f สามารถอินทิเกรตได้ในช่วง [a,b] และ I เป็น ค่า Definite Integral ของ f
  30. 30. ทฤษฎีบทที่ 1ทุกฟังก์ชนที่ตอเนื่อง สามารถอินทิเกรตได้ ั ่
  31. 31. การแสดงสัญลักษณ์ของ DefiniteIntegration ∆y dy Differentiation lim = ∆x →0 ∆x dx n b Integration lim ∑ f (ck )∆x = ∫ f ( x)dx n →∞ k =1 a Upper limit b ∫ a f ( x)dx lower limit
  32. 32. ตัวอย่างที่ 2จงแสดง limit ในรูปของ Integration ในช่วงของ x = [-1,3] และ mk เป็นกึ่งกลาง n 3ของช่ว(3(mk่ )k− 2mk + 5)∆x lim ∑ งที 2 = ∫ (3 x 2 − 2 x + 5)dx n →∞ k =1 −1
  33. 33. นิยาม พื้นที่ใต้กราฟถ้า y=f(x) ไม่มีค่าเป็นลบ และอินทีเกรตได้ในช่วง [a,b] จะได้วาพื้นที่ใต้ ่ bกราฟเป็น A = ∫a f ( x)dx
  34. 34. ตัวอย่างพิจารณาพื้นที่ใต้กราฟ y=x ในช่วง [a,b]
  35. 35. นิยาม ค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันค่าเฉลี่ยของฟังก์ชน f ในช่วง [a,b] คือ ั 1 b f av = b−a ∫a f ( x)dx
  36. 36. ตัวอย่างหาค่าเฉลี่ยฟัง ( x) = f ก์ชัน 4 − x 2 ในช่วง [-2,2]
  37. 37. กฎที่ใช้กบ definite integration ั
  38. 38. ตัวอย่าง
  39. 39. 4.5 ทฤษฎีคาเฉลี่ยและทฤษฎีพื้นฐาน ่ทฤษฎีค่าเฉลี่ยสำาหรับการอินทีเกรตแบบมีขอบเขต (Mean Value Theorem for Definite Integrals)ถ้าหาก f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] ดังนั้นจะต้องมีจุด c อย่างน้อยหนึ่งจุดที่f (c) = 1 b f ( x)dx b − a ∫a
  40. 40. ตัวอย่างหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชัน f(x)= 4 – x ในช่วง [0,3] และหาว่า จุดไหนของฟังก์ชbันที่มีคาเท่ากับ ่ 1ค่าีทำา ย f av = b − a ∫a f ( x)dxวิธ เฉลี่ 1 3 = 3−0 ∫0 (4 − x)dx 1 ( 3 0 3 3 = 4 ∫ dx + ∫ xdx 0 ) 1  32 02   4−x = 5 =  4(3 − 0) −  −   2 3  2 2   3 x= 3 5 2 = 4− = 2 2
  41. 41. ทฤษฎีพื้นฐาน (fundamentaltheorem) ตอนที่ 1ถ้า f ต่อเนื่องในช่วง [a,b] แล้ว ฟังก์ชัน x F ( x) = ∫ f (t )dt aจะหาอนุพันธ์ได้ตลอดช่วง [a.b] และ dF d x = dx dx ∫a f (t )dt = f ( x)
  42. 42. ตัวอย่างที่ 3 d x d x 1 จงหาค่า dx ∫− p cos tdt dx ∫0 1 + t 2 dt และวิธีทำา d x d x 1 1 dx ∫0 1 + t 2 ∫− p cos tdt = cos( x) dt = dx 1+ t2
  43. 43. ตัวอย่างที่ 4 (chain rule) x2จงหา dy/dx เมื่อy = ∫1 cos tdt duวิธีทำา ให้ u=x ⇒ 2 = 2x dxและจาก dy dy du = . dx du dx dy d u = du du ∫1 cos tdt = cos u dy = cos u.2 x = 2 x cos( x 2 ) dx
  44. 44. ตัวอย่างที่ 5 d 5 d (b) 1จงหา (a) ∫ 3t sin tdt 4 dx x dx ∫1+3 x2 2 + t 2 dt d 5 d 4 1 dx ∫x 3t sin tdt dx ∫1+3 x2 2 + t 2 dt d x d 1+3 x2 1 = − ∫ 3t sin tdt = −3 x sin x =− ∫ dt dx 5 dx 1 2+t 2 1 =− .6 x 2 + (1 + 3 x ) 2 2 2x =− 1 + 2 x 2 + 3x 4
  45. 45. การอินทีเกรตเชิงเลขคณิตโดยวิธีtrapezoidal bประมาณค่าอินทีเ∫a f ( x)dx กรตด้วย h T= ( y0 + 2 y1 + 2 y2 ... + 2 yn −1 + yn ) 2เมื่อ yi เป็นค่าของฟังก์ชนที่จุดแบ่ง โดยที่ ัx0 = a, x1 = a + h,....xn −1 = b − h, xn = b b−ah= n
  46. 46. ตัวอย่าง

×