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行列とベクトル
〜数学の基礎/線形代数〜
Jun. 2019 created by ITO Akihiro
線形/非線形
● 「線形に回帰する」とか
● 関係を直線で表せる
つまり、一次関数
比例と同じ
線形 非線形
例
( )( )=(    )a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1b1+a2b3 a1b2+a2b4
a3b1+a4b3 a3b2+a4b4
( )( )=(    )1  2
3  4
5  6
7  8
1×5+2×7 1×...
例
( )( )=(    )a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1b1+a2b3 a1b2+a2b4
a3b1+a4b3 a3b2+a4b4
( )( )=(    )1  2
3  4
5  6
7  8
1×5+2×7 1×...
例
( )( )=(    )a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1b1+a2b3 a1b2+a2b4
a3b1+a4b3 a3b2+a4b4
( )( )=(    )1  2
3  4
5  6
7  8
1×5+2×7 1×...
例
( )( )=(    )a1 a2
a3 a4
b1 b2
b3 b4
a1b1+a2b3 a1b2+a2b4
a3b1+a4b3 a3b2+a4b4
( )( )=(    )1  2
3  4
5  6
7  8
1×5+2×7 1×...
a b
c d
x
y
ax + by
cx + dy
a b c d
e f g h
x
y
z
t
ax + by + cz + dt
ex + fy + gz + ht
● 計算できない場合もある
● 左右どちらからかけるかに
よって結果が異なる
● 「行列の積」と
「行列の内積」は別モノ
● 行列の内積
同じサイズの行列A,Bの、対
応する成分の積のすべての
和
a b
c d
a b c
d e f
x
y...
単位行列 E
● 積の結果が元と同じ
(x1と同じ)
● 左右どちらからかけても同じ
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
n = 2のとき n = 3のとき
En =
1 0 ‥ 0 0
0 1 ‥ 0 0
:: ::
0 0 ...
行列  に対して逆行列   は、
逆行列 Inverse
2 5
1 3
の逆行列は
3 -5
-1 2
2 5
1 3
3 -5
-1 2
1 0
0 1
例
● 積の結果が単位行列
● 左右どちらからかけても同じ
転置行列 Transpose
● 行と列を入れ替える
● 裏返すイメージA = x y z x
y
z
A =
T
a b
c dB =
a c
b dB =
T
1 2 3
4 5 6
1 4
2 5
3 6
A = A =
t
例
y
x
ベクトルは、大きさ+向き(スカラーは、大きさ)
分解
x成分
y成分
A
B
大きさ
向き
始点
終点
A
B
ベクトルの足し算
平行四辺形を作ればOK
y
x
0
(1, 2)
(3, 1)
(3+1, 1+2)
a
b
a+b
y
x
0
(3, 1)
(4, 3)
a
b
a+b
三次元の場合
y
x
z
P
(x, y)
(x, y, z)
“単語をベクトル空間にマッピングして……”
man
woman
king
queen
cat
lion
dog
cow
horse
car
truck
bike
bicycle
plane
ship
camra
mic
TV
projector
a.k.a. “word2vec”
man
    king
 woman
     queen
   Tokyo
Japan
     Paris
 France
        London
    GreatBritain   Capit...
word2vec での足し算/引き算
man
    king
 woman
     queen
   Tokyo
Japan
     Paris
 France
   Capital
         Greeting
Country
こ...
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2019_G検定対策_数学講座02_行列とベクトル

G検定対策社内数学講座 行列とベクトル

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2019_G検定対策_数学講座02_行列とベクトル

  1. 1. 行列とベクトル 〜数学の基礎/線形代数〜 Jun. 2019 created by ITO Akihiro
  2. 2. 線形/非線形 ● 「線形に回帰する」とか ● 関係を直線で表せる つまり、一次関数 比例と同じ 線形 非線形
  3. 3. 例 ( )( )=(    )a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 a1b1+a2b3 a1b2+a2b4 a3b1+a4b3 a3b2+a4b4 ( )( )=(    )1  2 3  4 5  6 7  8 1×5+2×7 1×6+2×8 3×5+4×7 3×6+4×8 =(  )19  22 43  50
  4. 4. 例 ( )( )=(    )a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 a1b1+a2b3 a1b2+a2b4 a3b1+a4b3 a3b2+a4b4 ( )( )=(    )1  2 3  4 5  6 7  8 1×5+2×7 1×6+2×8 3×5+4×7 3×6+4×8 =(  )19  22 43  50
  5. 5. 例 ( )( )=(    )a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 a1b1+a2b3 a1b2+a2b4 a3b1+a4b3 a3b2+a4b4 ( )( )=(    )1  2 3  4 5  6 7  8 1×5+2×7 1×6+2×8 3×5+4×7 3×6+4×8 =(  )19  22 43  50
  6. 6. 例 ( )( )=(    )a1 a2 a3 a4 b1 b2 b3 b4 a1b1+a2b3 a1b2+a2b4 a3b1+a4b3 a3b2+a4b4 ( )( )=(    )1  2 3  4 5  6 7  8 1×5+2×7 1×6+2×8 3×5+4×7 3×6+4×8 =(  )19  22 43  50
  7. 7. a b c d x y ax + by cx + dy a b c d e f g h x y z t ax + by + cz + dt ex + fy + gz + ht
  8. 8. ● 計算できない場合もある ● 左右どちらからかけるかに よって結果が異なる ● 「行列の積」と 「行列の内積」は別モノ ● 行列の内積 同じサイズの行列A,Bの、対 応する成分の積のすべての 和 a b c d a b c d e f x y z r s t u v w x y z ⭕ 計算できる ❌ 計算できない 2×3行列     3×1行列 2×2行列     3×3行列
  9. 9. 単位行列 E ● 積の結果が元と同じ (x1と同じ) ● 左右どちらからかけても同じ 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 n = 2のとき n = 3のとき En = 1 0 ‥ 0 0 0 1 ‥ 0 0 :: :: 0 0 ‥ 1 0 0 0 ‥ 0 1 1 2 3 4 1 0 0 1 1 2 3 4 例
  10. 10. 行列  に対して逆行列   は、 逆行列 Inverse 2 5 1 3 の逆行列は 3 -5 -1 2 2 5 1 3 3 -5 -1 2 1 0 0 1 例 ● 積の結果が単位行列 ● 左右どちらからかけても同じ
  11. 11. 転置行列 Transpose ● 行と列を入れ替える ● 裏返すイメージA = x y z x y z A = T a b c dB = a c b dB = T 1 2 3 4 5 6 1 4 2 5 3 6 A = A = t 例
  12. 12. y x ベクトルは、大きさ+向き(スカラーは、大きさ) 分解 x成分 y成分 A B 大きさ 向き 始点 終点 A B
  13. 13. ベクトルの足し算 平行四辺形を作ればOK y x 0 (1, 2) (3, 1) (3+1, 1+2) a b a+b y x 0 (3, 1) (4, 3) a b a+b
  14. 14. 三次元の場合 y x z P (x, y) (x, y, z)
  15. 15. “単語をベクトル空間にマッピングして……” man woman king queen cat lion dog cow horse car truck bike bicycle plane ship camra mic TV projector
  16. 16. a.k.a. “word2vec” man     king  woman      queen    Tokyo Japan      Paris  France         London     GreatBritain   Capital          Greeting Country こんにちは  Bonjour     Hello word2vec = word to vector
  17. 17. word2vec での足し算/引き算 man     king  woman      queen    Tokyo Japan      Paris  France    Capital          Greeting Country こんにちは  Bonjour “Japan” - “France” + “Greeting” = “Bonjour” θ a b ※コサイン類似度 cosθ が1に近ければ、 aとbは似ている a bb’ θ cosθ = b’/a

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