2. Historia del Calculo Los principios de la integración fueron formulados por Newton y Leibniz a finales del siglo XVIII. A través del teorema fundamental del cálculo, que desarrollaron los dos de forma independiente, la integración se conecta con la derivación, y la integral definida de una función se puede calcular fácilmente una vez que se conoce una antiderivada. Las integrales y las derivadas pasaron a ser herramientas básicas del cálculo, con numerosas aplicaciones en ciencia e ingeniería.
5. Integral Definida La integral definida de una función representa el área limitada por la gráfica de la función y el eje x . Tiene signo positivo cuando la función toma valores positivos y negativo cuando toma valores negativos
6. Ejemplo Si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral de f entre 0 y 10 es el área del rectángulo limitado por las rectas x=0, x=10, y=0 e y=3. El área corresponde al producto del ancho del rectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es igual a 30.
11. Integración de Riemann Bernhard Riemann dio una definición rigurosa de la integral. Se basa en un límite que aproxima el área de una región curvilínea a base de partirla en pequeños trozos verticales. A comienzos del siglo XIX, empezaron a aparecer nociones más sofisticadas de la integral, donde se han generalizado los tipos de las funciones y los dominios sobre los cuales se hace la integración.
12.
13. Aproximaciones a la integral de f(x) entre 0 y 1, con ■ 5 muestras por la izquierda (arriba) y ■ 12 muestras por la derecha (abajo)
20. Función de Dirichlet La función f no es integrable según Riemann, se puede integrar con Lebesgue
21. Teorema Fundamental del Cálculo El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. Esta conexión, combinada con la facilidad, comparativamente hablando, del cálculo de derivadas, se puede usar para calcular integrales. Entonces F ′( x ) = f ( x ).
25. Ejemplo Calcular el siguiente integral en función del parámetro Solución :
26. Integral Indefinida Si F(x) es una primitiva (antiderivada) de f(x) (F’(x)=f(x)), se define (El Integral Indefinido de una función es una familia de funciones)