Este documento presenta un solucionario de problemas de análisis matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. Contiene la solución detallada de numerosos ejercicios correspondientes a temas como sistemas de números reales, ecuaciones, funciones, límites y derivadas. El autor, Eduardo Espinoza Ramos, busca que este volumen sirva de complemento práctico al texto teórico de análisis matemático para apoyar el aprendizaje de los estudiantes universitarios.
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IMPRESO EN EL PERÚ
01 -01 -2012
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Este libro no puede reproducirse total ó parcialmente por ningún método
gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo los sistemas de fotocopia,
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^ del autor y Editor._____________________________ ___ _____________________
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Ley del Libro N° 28086
Ley de Derechos del Autor N° 13714
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Escritura Publica N° 448 4
solucionadoanálisisMfffltf¡tf£olucionarios.net www.eduhperu.com
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PRÓLOGO
Habiéndose adaptado a nivel universitario, en el curso de análisis matemático, el
texto de Análisis Matemático para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería por su acertado
desarrollo teórico, siendo necesario como consecuencia de la concepción teórica, ahondar
en las aplicaciones y ejercicios a fin de desarrollar la habilidad mediante la práctica; por eso
el objetivo del presente volumen de problemas desarrollados del texto Análisis Matemático
para estudiantes de Ciencias e Ingeniería de Eduardo Espinoza Ramos orienta su intención de
ser complemento teórico-práctico para el estudiante universitario.
Su contenido sigue en esencia las pautas del texto, la solución de los problemas
están detalladas en forma clara y precisa, se ha puesto especial cuidado en los gráficos, pues
pensamos que un "buen dibujo" por señalar en forma natural, es el camino a seguir en el bus
que da la solución de un problema.
Agradezco por anticipado la acogida que ustedes brindan a cada una de mis
publicaciones, las que emanan el deseo de que encuentren en ellas una agenda para su
avance y desarrollo intelectual
EDUARDO ESPINOZA RAMOS
. . . t SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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INDICE
1. CAPITULO 1
1.1. SISTEMAS DE NÚMEROS REALES.............................................................. 1
1.2. INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCÓGNITA................43
1.3. INECUACIONES FRACCIONARIAS.........................................................Al,
1.4. INECUACIONES EXPONENCIALES........................................................ 113
1.5. INECUACIONES CON RADICALES..........................................................120
1.6. ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO..................... 141
1.7. RELACIONES V FUNCIONES..................................................................188
1.8. FUNCIONES......................................................................................... 221
1.9. ALGEBRA DE FUNCIONES.................................................................... 264
1.10. FUNCIONES INYECT1VAS, SURYECTIVAS, BIYECTIVAS...............319
2. CAPITULO 2
2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD.....................................................................337
3. CAPITULO 3
3.1. LIMITES................................................................................................387
3.2. LIMITES LATERALES.............................................................................454
3.3. LIMITES AL INFINITO.............................................................................481
3.4. LIMITES INFINITOS.............................................................................. 516
3.5. LIMITES TRIGONOMÉTRICOS................................................................520
3.6. LIMITES TIPO ex....................................................................................554
3.7. ASÍNTOTAS......................................................................................... 577
3.8. CONTINUIDAD.................................................................................... 597
4. CAPITULO 4
4.1. DEFINICIÓN DE DERIVADA.................................................................. 615
4.2. DIFERENCIABILIDAD............................................................................639
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4.3. DERIVACIÓN MEDIANTE TABLAS.........................................................647
4.4. DERIVACIÓN IMPLÍCITA....................................................................... 680
4.5. ECUACIONES DE TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA......................699
. CAPITULO 5
5.1. MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................................................717
5.2. GRÁFICOS........................................................................................... 732
5.3. PROBLEMAS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS..........................................757
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
SISTEMA DE NUMEROS REALES
Si a y b, son números reales positivos, demostrar que: +^ ] (a+b)>4
(a-b)‘ >0 => a"-2ab +b2>0
=> a2-2ab +b2+4ab>4ab => a2+2ab+b2>4ab
( a+b^i
(a +b)‘ >4ab => (a +b)>4 => |^-+^-j(a +b)>4
Si a, b y c son números reales positivos, Demostrar que:
gUSEMUMÍ
(a-b)‘ >0 => c(a-b)' >0
(a-c)? >0 => b(a-c)‘ >0
(b-c)‘ >0 => a(b-c)2>0
...0 )
... (2)
... (3), sumando
c(a-b)2+b(a-c)2+a(b-c)'í >0, efectuando los binomios
a2c - 2abc+b2c +a2b- 2abc+c2b +b2a- 2abc+c2a >0
a2c +abe +b2c +a2b+abe+c?b+b2a+abe+c2a >9abc
a2c +abe +a2b+b2c +abe+b2a+c2a+abe +c2b >9abc agrupando adecuadamente
(ac +be +ab) +b(bc +ac +ab) +c(ac +ab +be) >9abc, dividiendo entre abe
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
J b ™ a b ) (a +b+c)í9 ^ J i +l +l J +(a+b+c)í9
jjfl Si a, b, c y d, son números reales positivos, Demostrar que:
- +- +- +-1 +(a +b+c +d)> 16
a b c '
CAPITULO I
...O )
... (2)
... (3)
... (4)
... (5)
... (6), sumando
(a-b )> 0 => cd(a-b)2>0
(a-c)' >0 => b d (a-cf >0
(a-d)‘ >0 => bc(a-df> 0
(b - c )'>0 => ad(b-c) >0
(b-d) >0 => ac(b-d)2>0
(c-d)~>0 => ab(c-d)2>0
cd(a-b)' +bd(a-c)~ +bc(a-d)‘ +ad(b-c)‘ +ac(b-d)‘ +ab(d-c)‘ >0
cd(a2-2ab +b2) +bd(a2-2ac +c2)+bc(a2-2ad +d2) +ad(b? -2bc +c2) +
+ac(b2-2bd +d2) +ab(c2-2cd +d2)>0
-2abcd +a2cd +a2bd +a2bc +b2cd - 2abcd +ab2d +ab2c - 2abcd
+bc2d +ac2d - 2abcd +abc2+bed" - 2abcd+acd2+abd2- 2abcd >0
abed +a2cd +a2bd +a2be +b2cd +abed +ab2d +ab2c +
+bc2d+ac2d +abed +abc2+bed2+acd2+abd2+abed >16abcd
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CAPITULO I
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
a(bed +acd +abd +abc) +b( bed +acd +abd +abc) +c(bed +acd +abd +abc)+
+d(bed +acd +abd +abc) >16abcd , sacando factor comun
bed +acd +abd +abc
abed
(a +b +c +d)> 16
-l +- +l +- l +(a +b+c +d)>16
a b c d J
a , a 3b b2 .
Si a y b dos números reales positivos tal que a >b. Demostrar que: —+— > ^
(a-b)3^0 => a3- 3a2b +3ab2- b3>0 => a’ +3ab2>3a2b+b3
Diviendiendo entre a2b se tiene:
a 3b b2 .
=* r +— >— +3
b a a
9
Va e % a* 0, demostrar que a“ +— >6
(a2-3)~>0 => a4-6a2+9^0 => a' +9>6a2
a4+9 s 9
>6 => a +— >6
Si a,b,C€'JT, , demostrar que (b +c)(a +c)(a +b)>8abc
jQ¡a2»2SC2S3H¡íF
(a - c)2>0, (a - b)2>0, a(b - c)* >0
~ ~ SOLUCJONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I ■ ?■ [
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J CAPITUK
b(a - c)2>0, c (a - b)2>0, a(b - c)2>0 , sumando se tiene:
b(a-c)2+c(a-b)2+a(b-c)2>0 , desarrollando los binomios
b(a2-2ac +c2)+e(a'?-2ab +b2) +a(b2-2bc +c2)>0
a2b- 2abc +be2+a2c - 2abc +b2c +ab~ - 2abc +ac2>0
a2b +c2b+a2c +b2c +b2a +2abc +c2a >6abc +2abc
ab(a +b)+c2b+abe+a2c +b2c +abe +c2a >8abc
ab(a +b)+c2(a +b)+abe +a2c +b2c +abe £ 8abc
ab(a +b)+c2(a +b)+ac(a +b) +bc(b+a) >8abc , sacando factor común
(a +b).(ab +c2+ac +bc)>8abc => (a +b).[b+(a+c) +c(a +c)]>8abc
(a +bXa +cXb +c) >8abc
& Si a,b,ce ÜK4, demostrar que a’b +ab3<a4+b4
(a2-b2)2>0 => a4-2a2b2+b4>0 =* a4+b4>2a2b2 ...(1)
(a - b)2>0 => a2- 2ab +b2>0 => a2+b2>2ab
ab(a2+b2)£2 a2b2 ...(2)
a4+b4-ab(a2+b2)£ 2 a2b2-2a2b2 => a4+b4-ab(a2+b2) >0
a3b +ab3^ a4+b4 a4+b4<a3b+ab3
Si a,b,ce 'JT demostrar que a2+b2+c2+3>2(a +b+c)
«■«-"•■‘ M tí.S íto n s n b s . net www edukperu corr-
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CAPITULO I
EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a —l)2>0 => aJ -2a +l>0 ...(1)
(b-1)2>0 => b2-2b+1>0 ...(2)
(c —I)2>0 => c2-2a +1>0 ... (3) sumando(l), (2)y (3)
a" +b2+c2+3-2a-2b-2c>0 => a2+b2+c2+3¿:2a+2b+2c
transponiendo términos se tiene: a2+b2+c2+3 £ 2(a +b+c)
Si 0 <a < 1, demostrar que a2<a
0<a<1 => a >0 a a < 1, multiplico por a
a.a < 1.a => a2<a
r.. L d e f ^ . d d+e+f f
iTii Si a,b,c son números reales positivos y Demuestre que —<— ----<-
a b e a a+b +c c
d d + e + f f d e e f „ , ,
—<------<- => —<— a —<— => db <ea a de <af
a a+b+c c a b b c
sumando las desigualdades db +de <ea +af
sumando ad se tiene: ad +db +de <ad +ea +af, entonces
d(a +b +c) <a(d +e +0 => —<^+6—- •••(!)
a a+b+c
- < —< - = > - < - a — <- => ec<fb a dc<fa, sumando las desigualdades
a b e b e a e
ec +de <fb +fa, sumando cf se tiene: fe +ec +de <fe +fb +fa
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8. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
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CAPITUI O I
(a - b)~ >0 =í>a2+b2>2ab => a2c +b2c >2abc
(a-c)~ >0 => a2+c2 >2ac => a2b+c2b>2abc
(b-c)"> 0 => b2+c2>2bc => ab2+ac2>2abc, sumando
a2c +b2c +a2b +c2b +ab2+ac2>6abc sumando 3abc
abe +a2c +b2c +a2b +abe +c2b +abe +ab2+ac2>9abc
bc(a +b +c+)+ab(a +b+c) +ac(a +b+c)>9abc
(a +b+c)(bc +ab +ac)> 9abc dividiendo entre abe
(a +b+c)(bc +ab+ac) >9 (a+b+c)(a-' +b " +c > 9
Si a y b son números reales diferentes de cero. Demostrar que:
a2 16b2 n . . 8a 32b
7T +— r-+24> — +---
b a b a
(a - 2bf >0 => a2- 4ab +4b2£ 0 , elevando al cuadrado se tiene:
(a2+4b2-4ab)2>0
(a2+4b2)2-8ab(a2+4b2)+16a2b2>0 => (a2+4b2) +16a2b2>8ab(a2+4b2)
a4+8a2b2+16b4+16a2b2 ^ ab(8a2 +32b2) _ a<+i6b4+24a2b2 ^ 8a2+32b2
¡ V " a2b2 ^ a2b2 ~ ab
a2 16b2 8a 32b
— +- 1-+24>— +---
b a~ b a
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O Si a2+b2=1, Demostrar que:
-Í2 <a +b<¡2. Sug.(x-y)‘ >0 => 2(x2+y2)>(x +y)'
(a - b) >0 => a2+b2£ 2ab => 1+1 >2ab +a2+b2 => (a +b)‘ <2
-s¡2< a+b<¡2
• 2 2 2
Si a +b =c, a >0, b >0, Demostrar que: a3+b3>c3
m m m
Aplicando la propiedad: (a +b)n <an +bn
2 2 2 2
c =a +b => c3=(a +b)3<a3+b3
? i ?
de donde c3<a3+b3
a b ^ c
Si a +b >c >0, Demostrar —— +---- >
^ ■ r U a 1 4 -hl+a 1+b 1+c
a+b> c => a+b +2ab+abc> 0
a +2ab+b+ac +2abc +bc>abc +bc +ac+c
a+2ab +b+c(a +2ab+b)>bc(a+1) +c(a +1)
(a +2ab+b)(c +1) c(a +1)(b +l)
(a +l)(b +l)(c +l)~ (a +1)(b +1)(c +l)
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
a +2ab+b c a+ab+ab+b c
>--- => --- r->-
(a +1)(b +l) c +1 (a +1)(b +1) c +1
3x2-5x-2 >0 =>(3x+1)(x-2)>0
O Si a, b, c >0, Demostrar que: 3abc <a3+b3+c3
Aplicando el ejercicio (1); se tiene: (a +b +c)(a2+b2+c2) >9abc
a3+b3+c3+(ab2+a2b +ac2+be2+a2c +b2c) >9abc
ab2+a‘b+ac"1+be2+a2c +b2c =6abc
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
a! +b‘ +c3+6abc>9abc de donde: a3+b3+c3>3abc
Si c >0, d >0, 2d * 3c. Demostrar que: — >1- —
w 3c 4d
(2d - 3c)2>0 =>4d" - 12dc+9c2>0 => 4d2+9c2>12dc
4d2+9c2 12dc
Dividimos la expresión entre 12dc: ----------------- >
12dc 12c
d 3c d 3c
— +— >1 =>— >1---
3c 4d 3c 4d
r /h
Si a >0, b >0, a * b, demostrar que —ÍL +—¡= >2
Vb Va
j222¡q¡223I3¡F
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CAPITULO I
...O )
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(Va-Vbj >0 => a-¿Va>/b +b >0
u o r rz a+b oVaVa VbVb Va Vb ~
a+b>2Vavb => r r >2 => - + >2 => —= +—= >2
VaVb vavb Va Vb Vb Va
Si a, b, c € R, Demostrar que: b2c2+c2a2+a2b2>abc(a +b+c)
J2¿¡¡22u222í!l2f
(be - ac)2>0 => b2c2+a2c2>2abc2
(ca - ab)2£ 0 => a2c* +a2b2>2a2bc
(bc-ao)9>0 => b2c2+a2b2>2ab2c sumando
2(b2c2+a2c2+a2b2)^2abc(a +b+c)
b2c2+a2c2+a2b2£abc(a +b+c)
^ || a +b =2, donde a y b son números reales, Demostrar que a4+b4>2
J S ü »
(a-b)2£0 => a2+b2>2ab pero(a +b)‘ =4 => a2+b2=4-2ab
4-2ab>2ab => ab<1
a2+b2>2ab =s> (a2+b2)2£ 4a2b2 => a4+b4>4a2b2- 2a2b2
a4+b4>2a2b2 pero ab< 1 de donde a4+b4>2
Si a2+b2+c2=1 y x2+y2+z2=1, demostrar que: ax +by +cz < 1
CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
I. ^ ^ ^ S^LÜQIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITIMOI
$
. O
Multiplicando por Vab se tiene: Vab>----
a+b
c- n , s i a3+b3 f a+b
Si a >0, b >0, demostrar que ----- >
O
(a-b)2>0 => a'J -2ab +b2>0 multiplicando por 3 se tiene: 3a1’ - 6ab+3b* >0
Sumando a2+b* en ambos miembros: 4a2-6ab +4b2>a2+b2
Ahora sumando 2ab se tiene:
4aJ -4ab +4b2>a2+2ab+b2=> 4(a2-ab +b2)>(a +b)‘
4(a +b)(a‘ -ab +4b" )>(a +b )’ => 4(a3+bJ )>(a +b)3 dividiendo entre 4
a3+b3>
(a +b)'
de donde
a3+b ( a +b
demostrado.
Si a >0, a * 1. Demostrar que: a3+4r >a2+4-
a a*
Como a * 1 => (a-1)‘ >0, como a4+a3+a2+a+l >0 para a>0
Multiplicando: (a - 1)2(a4+a3+a2+a+1) >0.(a4+a3+a2+a +1)
(a-l).[(a-l)(a4+a4+a2+a +l)]> 0 => (a-1)(a5- l) >0
a(a-1 )-(a-l)> 0 => a5(a-1)>a-1 => a6-a5>a-1
a6+1 >a' +a , dividiendo entre a1
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CAPSULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
a° +1 a: +a a° 1 a5 a
— ~ >— ~ =* T +~ >T +—
a a a a a a
3 1 o 1
a + T > a ^ + —
aJ a*
a Si a>0, b>0, demostrar que 4(aJ +b3) > (a +b)’
(a +b)2£ 0 => a2- 2ab+b2£ 0 multiplicando por 3se tiene:
3a*’ -6'tb +3b2>0 sumando a2+b2
4a2-6ab +4b2£a2+b2 ahora sumamos 2ab
4a2-4ab +4b2>a2+2ab +b2 => 4(a2-ab +4b2)>(a +b)J
4(a2-ab +4b2).(a +b)>(a +b )3 => 4(a3+b3)>(a +b )!
Si a y b son números reales, demostrar que:
x/(a+c)2+(b +d)2 <Va2+b'J +Vc2+d2
ac +bd <>/a2+b2Vc2+d2, multiplicando por 2
2ac +2bd <2>/a2+b2Vcs +d2 sumando a2+b2+c2+d2
a2+2ac +c? +b2+2bd +d2<(a2+b2) +2>/as+b£Ve2+d2+(c2+d2)
(a +c)2+(b +d)^ <|Va2+b2+Ve2+d2j
.V .-.aduKj:fc: -: rr SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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3» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPfTUi " l
^(a +c)‘ +(b +d)~ £ J(V a' +b2"+>/c2+d2j
yj(a +c f +(b +d)2 <Va2+b2+Ve2+d'2
Si a,b,c e R’ , demostrar que: (a +b+c )’ £27abc
(a +b+c)3=a3+b3+c3+3(a2c +b2c +bc2+ab2+ac2) +6abc ... (1)
(a-b)‘ >0
(a-c)2>0
(b-c)2>0
a +b‘ >2ab a c +b‘c >2abc
a2+c2>2ac a2b +bc? >2abc
b2+c2>2bc ab" +ac2£ 2abc
a2c +b2c +a2b+be2+ab2+ac >óabe
Luego 3(a2c +b2c +a2b +bc2+ab2+ac2)>18abc ..-(2)
(2) en (1) se tiene: (a +b+c)3>a*+ b3+c3+18abc +6abc ..-(3)
Pero a3+b^+c3>3abc ... (4)
Reemplazando (4) en (3) se tiene: (a +b+c )’ >3abc +24abc =27abc
(a +b +c)3>27abc
O Si a, b, c y d son números reales cualquiera.
Demostrar: (ab +cd)~ <(a2+c2)(b¿ d2)
(ad-bc) >0 => a2d2+b2ca>2abcd
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CAPITULO I
Sumando ambos miembros a V +c2d2
a2b2+c2d2+a2d2+b2c2£a2b2+2abcd +c2d2
a2(b2+cs) +c2(b” +d2)>(ab+cd)2
(a2+c2)(b2+d2) >(ab +cdf
Si a, b e R, Demostrar que: a4+b4>-(a +b)4g
f EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(ab +cd)‘ ^(a2+cs)(b2+d2)
(a2-br) >0 => a4+b4>2a2b2 .
Sumando a4+b4 a ambos miembros
2a4+2b4>a4+2a2b2+b4 => 2(a4+b4) >(a2+b2)‘
a4+b* >^(a! +b2)*
(a-b)¿ >0 => a2+b2>2ab, sumando a2+b2 se tiene:
2a2+2b2>a2+2ab+b2 => a2+b2>i( a +b)2
(a2+b2)2>-^(a +b)4
. (a+b)4
a4+b4>---- L
(1)
(2)
Colocando (2) en (1) se tiene;
Si a >0 y b >0. Demostrar que:
1
a+-
v ay
8 -Y (a +b)“ +4
a+b
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS CAPITI " o |
(a +a-')! +(b +b-')! =a2+b! +^ - + 4
(a-b)‘ £0 => a2+b2^2ab => 2(a2+b2)>a2+2ab+b‘
a2+b2>
>(a +b f
(2)
(a-b)2>0 => a2+b2>2ab => a2+2ab+b2>4ab => (a +b)‘ >4ab
(a +b)4>16a2b2 => ——— >a~V
v 1 16
Multiplicando miembro a miembro (2) y (3)
a2+b2 > 8
a!b2 (a +b)2
Sumando miembro a miembro (2) y (4)
...(3)
...(4)
a2+b2+-
+b* (a+b)s 8
2.2
a‘b (a +b)‘
de donde
2 , o a
a +b +
2+b2 , (a +b)2 8
+4 > --——+------+4
a b (a +b)‘
...(5)
Reemplazando (1) en el primer miembro de (5) y operando en el segundo miembro
de (5) tenemos.
r ir l p2b+-
b
>1
2
(a +b)2+4^
a +b
i
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Si a >0, b >0 tal que a +b - 1. Demostrar que:
25
Utilizando el ejercicio (33)
í 0a+- s+íb+iT ii '(a +b) +4 '
l a, l b j 2l a+b J
; Como a +b =1, lo reemplazamos
=2(5)!
f t2 f
a+- | +
k a
b+’i >?5
bj 2
Si a, b, c, d e R, demostrar que: ac +bd <^(a2+b2)(c2+d2)
(ad - be)" >0 => a2d2+b2c2>2abcd
2abcd <a2d2+b2c2
a2c2+2abcd +b2d2<a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
(ac+bd)2<(a2+b2)c2+(a2+b2)d2 (ac +bd)‘ <(aL>+b2)(c2+d2)
ac +bd<yj(a¿ +b2)(c2+d2)
Si a, b e R tal que a +b = 1. Demostrar que: a4+b4>-
M m rn 7 m ¡nw
•V SOLUCIONARIO ANALISIS MATEMÁTICO I
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De (1) y (2) se tiene: a'> -a2>a => a3>a
O Si -a> 0y (a-b)‘ >(a +b) entonces b>0
(a-b) >(a +b)~ =t< a2-2ab+b2>a2+2ab+b2
CAPITU1*>I
-2ab >2ab
4ab <0 => ab <0 ... (i)
Como -a >0 => --> 0, multiplicando a (1)
a
— (ab)<0 => - — <0 => -b<0 => b>0
a a
O Si a,b e R tal que 2a +4b = 1. Demostrar que: a2+b2>—
20
jCS22¡iS3IÍI¡jr
De acuerdo a la condición del problema
2 > ^ 2 i_° ^ a b
a >— a +b* >— +—
10 ^ 10 5
b2£ - a2+b2>
10
a2+b2^2a +4b =_L a2+b2>-I
20 20 20
S ia > 0 y b > 0 a3+b3£ a2b +ab2
(a-b)‘ >0 => a2-2ab +b‘ >0a2-ab +b2>ab, multiplicando por (a +b)
22 SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(a* - a b + b2)(a + b )^ a b (a + b)
a3+ b 3£ a 2b + ab2
Si x,,x2,...,xneR* y si /?=^/x,.x2...xn y « = X| + , demostrar que p<a
O
/ /— /— 2 x, +x„ > 2 J x , x 2//i---------
Jx, - Jx 2 ¡>0 => ‘ _____ => x,+x2+x3+x4£2(Vx,x2+Vx3x4)
v ' x3+x42:2yJx3xÁ
x, +x2+x3+x42:2^VX|X2+>/x3x<)^2.2^Vxix2>/x3x4 =4;¡/x,x2x3x4
Luego <, +•x2+x3+x42 4^/x,x2x3x4, generalizando
x, +x2+x3+x4+... +xn£ nVxix2x3x4...xn
De donde Vx,x2x3x4...xn <,
a b e
Si a, b, c, m, n, p e R / m > 0, n > 0, p > 0; , entonces
m n p
ab+a+c c
— <------ <—
m m+n+p p
Demostración similar al ejercicio (10) que esta desarrollado
_ . . a. +a2+...+an
Probar que si a,<a2<... <a„ entonces a, <—1-- ------- <an
Énrm*vKmt*vw
a, £a, <an
a, <a2<an
a, <a3<a„
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16. » EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
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CAPITII! O
a, +a, +...+a, <a, +a2+....+a„ <an+an+... +an ,
'--------V-------- ’ '-------- v-------- •
n-veces n-veces
na, <a,+a.,+... +an<nan, Dividiendo entre n se tiene:
a, +a¡, +...+a
a <—!------------ i--—<a.
® a3-b3
Demostrar que si 0< a< b< c entonces ------ <a+b +c
3c(b-a)
a >0, b >0, c >0 => á~ +b2 +3c2>0 ... (1)
a >0, b >0, c >0 => ab >0, ac >0, be >0
ab +3ac +3bc>0 ... (2)
sumando (1) y (2) se tiene: a2+b2+3c2+2ac +3bc+ab >0
Agrupando apropiadamente
(a* +ab+b2)+3c(a +b+c )>0 => -(a2+ab +b2)<3c(a +b+c)
(a2+ab +b2)
----------<a+b+c , como b - a >0
3c
(b-a)(a2+ab +b2) (a-b)(a2+ab +b2)
---- ——— --- <a+b+c => ----- —— — -----<a+b+c
3c(b-a) 3c(b-a)
aJ - b 3
<a+b+c
3c(b-a)
O Probar que: a4+b4+c4+d4>4 Iabed I para a, b, c, d e R
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, ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
Como a, b, c, d e R => a2,b2,c2,d2e R, además
ja2-b2e R i 3' _ b! )
(c2-d2e R ^ >0 l
sumando
a4+b4+c4+d4>2(a2b2+c2d2) ... (1)
(ab-cd)¿ >0 => a2b2+c2d2>2abcd
2(a2b2+c2d2)>4labcdl ...(2)
De (1) y (2) por transitividad se tiene: a4+b4+c4+d4>4 1abed I
O Si a, b, c>0, demostrar que: 2(a3+b3+c3)>bc(b +c) +ac(c +a) +ab(a +b)
(a +b +c f =a3+b3+c3+3(ab2+ac2+a2b +a2c +b2c +bc2) +6abc
Además se tiene: (a +b+c)3-(a1+b3+C1) >0
Operando y agrupando adecuadamente y estas operaciones dejamos como ejercicio
al lector para obtener el resultado.
2(a3+b3+c ’)>bc(b+c) +ac(a +c) +ab(a +b)
Demostrar que: a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c ), V a, b, c e R
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(bc-ac)2>0
(ca-ab)~ >0
(bc-ab)2>'
•b2c2+ aV >2abc2
c2a2+a2b2>2a2bc
b2c2+a2b2>2ab2c
sumando
2 (a V +b2c2+a*c2) >2(abc2+a2bc ++ab2c)
a2b2+b2c2+a2c2>abe(a +b +c)
O V x e R, y n par, demostrar que:
xn ^ 1
x M ‘ 2
x € R y n es par entonces xn-1 e R
(xn-1)S >0 => x2n-2xn+1 >0
x2n+1>2xn es decir: 2xn<xs" +1
2x” x
<1 => X
x2n+1
<1
x2n+l 2
Demostrar que s ir > 0 y a < b entonces a <-a-~ <b
1+r
Como r >0 y a <b entonces se tiene: ar <br a a <b, agregando
a +ar <a +br a a +br <b +br
a(1 +r) <a +br a a +br <b(l +r)
a+br a+br
a <
1+r 1+r
<b , porque 1+r >0
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CAPtTUI * I
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
$
a <a+tz>t <b por transitividr.d
1+r
Si a y b son números positivos y distintos, demostrar que: — +— >- +
a b 1 1
b2+a2 >a +b
a - b e R => (a-b)' >0, desarrollando a2-2ab +b2>0 sumando ab
a2-ab +b2>ab multiplicando por (a +b)
(a +b)(a2-ab +b2)>ab(a +b) dividiendo entre a2b2
(a +b)(a -ab +b‘ ) ab(a +b) a3+b’ a+b
----- --------- ->— => —r—— >----, separando
ab a b a2b2 ab ^
Consideremos x, y, z, w números reales, demostrar que:
2
x2+y2+z +w2>- (xy +xz +xw +yz +yw +zw)
¡ g ¡ y
(x - y f >0
(y-z)2^o
(x -w )2>0
(y-z)2>o
(y - w )2>0
(z-w )2>0
x2+y2>2xy
x2+z2>2xz
x2+w2>2xw
y2+z2>2yz
y2+w 2>2yw
z2+w 2>2zw
sumando
3(x2+y2+z2+w2)>2(xy +xz+xw +yz +yw +zw)
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J
CAPITUI O I
$
O
x‘ +y2+z‘ +w 2L - (xy +xz +xw +yz +yw +zvv)
3
j u2
Si a y b son números desiguales y positivos, demostrar que: a +b <— +—-
. b a
Por ser a y b positivos y desiguales se tiene:
(a-b)~>0 => a -2ab +b~>0
a2-ab +b2>ab
(a +b)(a~-ab +b )>ab(a +b) => ab(a +b)<(a +b)(a2-ab +b2)
(a +b)(a2-ab+b! ) a3+b3
D<--------;------- => a +b<-----a +
ab ab
a2 b2
a +b <— +—
b a
separando
Si a, b ye son números positivos y distintos. Demostrar que:
(a +b +c)2<3(a2+b2+c2)
(a-b )¿ >0
(a- c)2>0
(b - c)2>0
a2+b2>2ab
a2+c2>2ac sumando
b2+c2>2bc
2(a¿ +b‘ +c2) >2ab +2ac +2bc sumamos a2+b2+c2
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( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I ....................................................................................................................... ---------------------------------
3( a2+b2+c2) >a2+b2+c2+2ab +2ac+2bc
3(a2+b2+c2) >(a +b +c)~ (a +b+c) <3(a +b'+c2)
Si a y b son números positivos distintos, demostrar que: (a3+b* )(a +b) >(a* +b‘ )
a y b son positivos y distintos, entonces
(a - b f> 0 -=> a2-2ab +b2>0
a2+b2>2ab, multiplicando por ab
ab(a2+b2) >2a2b2 sumando a4+b4
a4+a3b +ab3+b4>a4+2a2b2+b4 a3(a +b) +b3(a +b)>(a2+b2)2
(a3+b1)(a +b)>(a2+b )
Si x, y son números distintos, demostrar que: (x4+y4)(x‘ +y )>(x3+y3)
Como x e y son números distintos, entonces
(x—y)2>0 => x2+y2>2xy (por x2y2)
x2y2(x2+y2)>2x3y3 sumando x6+y6
x6+x4y2+x2y4+y6>x6+2x3y3+y6 => x4(x2+y2) +y4(x2+y2)> (x3+y3)2
(x4+y4)(x2+y2) >(x3+y3)2
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
Si x, y, z son números positivos, distintos, demostrar que:
xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz
Aplicando el ejercicio (49): 2(a3+b3+c3) >bc(b+c) +ac(a +c)+
Y el ejercicio (17); a3+b3+c3£ 3abc
De la combinación de estos dos ejercicios que están desarrolladas.
Se concluye que: xy(x +y) +yz(y +z) +xz(x +z) >6xyz
dfft Demostrar que: a <b < I => ^ <— ?
w a-1 b-1
a ^ b < 1 => a <b a b<1
a <b => a - 1£ b - 1 invirtiendo
— multiplicando por-1
a-1 b-1
— — sumando 1
a-1 b-1
1— L s i _ _ L =
a-1 b-1 a-1 b-1
a3+b3+c3>3abc => 2>6abc
Sean a, b, c, x, y, z son números positivos distintos, demostrar que:
(a’ +b2+c2)(x2+y2+z2)>(ax +by +cz)2
CAPITI" 0 I
ab(a +b)
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CAPITULO I
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(bx +ay) £0 b2x2+a?y2>2abxy
(cx-azf>0 => c2x2+a2z2>2acxz sumando
(bz-cy)* 20 b V +c V í2 b c y z
b V +a V +c V +aJz" +b 'V + c V >2abxy +2acxz +2bcyz
Sumando a2x2+b2y2+c2z2 a ambos miembros
a2x2+b2y2+c2z2+b2x2+a2y2+c2x2+a2z2+b2z2+c2y2>
a2x2+b2y2+c2z2+2abxy +2acxz+2bcyz
a2(x2+vs +z2) +b2(x2+y2+z2) +c2(x2+y2+z2) >(ax +by +cxf
(a2+b2+c2)(x 2+y2+z2)>(ax +by +czf
c3 d3
Demostrar que: 0<d<c => —— —> d'(c-d)
0<d<c => 0<d a d <c
0<d => 0<2d => 0 <2d +c
2d +c >0 => (c +d) +d >0
Multiplicando por c - d >0 se tiene:
(c +dXc - d) +d(c - d) >0 => c2-d2+cd-d? >0
c2+cd>2dL’ sumando d~
c2+cd +d2>3d2 (multiplicando por c - d)
(c-d )(c2+cd +d2)
(c-d)(c2+cd +d2)>3d2(c-d) => ------- -------- >d2(c-d)
i * i
www.solucionarlos,netg
W
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS j
Si a, b € R, demostrar que: (a +b)4<8(a4+b‘)
Es inmediato del ejercicio (32) que esta demostrado en detalle
a4+b4>-(a +b)4 de donde (a +b)4<8(a4+b4)
CAPITULO i
x2+1+a
Si a >0, probar que: —-¡==
Vx +
>a +l
Como ejercicio, probar que:
>/x2+a >a
i sumando
>1
Vx2+a '
x2+a+1
>a+1
^ Si a,b,c e R* y si a2+b2+c2=8, Demostrar que: a3+b3+c3£ 16^|
Aplicando la media potencial M, =
¡-i n
Como M3>M2 entonces evaluamos
a3+b3+ 7 ^ ^ a~ +b +c~ _ ^8 ^|a +b +cT ^ ^8 e¡evancj0 a| cub0
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CAPITULO I
c EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
a1+b'+c3
a3+b* +c3>3
=8 ¡8 16 Í2
3V3 " 3 V3
16 Í2 _ Í2
3 V3 y3
a3+b3+c3
Sia>0,b>0, demostrar que: ^ j(a* +b*) >4
Como a >0, b >0 => a2—b2eR de donde
(a2-b2) >0 =í> a4-2a2b2+b4>0 sumando 4a2b‘
a4+2a2b2+b4Í4 a 2b8 => (a2+b2)‘ >4a2b2
( 1
(a2+b2)(a2+b2)
— £ 4
a b U ! +b2
(a2+b2)>4
Demostrar que si a,b,c son números reales positivos, entonces +c >Vabc
3
Aplicando el ejercicio (30) se tiene: (a +b +c)3>27abc
Sacando la raíz cubica se tiene:
a+b+c >^27abc => a+b+c >3/abc
a +b+c
>yjabc
Si V x € R, tal que a >0 a b >0 y a2£ x <b => Va <x <Vb v -Vb <x <-Va
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ............................................................... CAPITUi O I
1 2 3 1 1+2+33 . 1
=> - < ----------- < - ••V v + V + Z zx y z x x+y +z z x x y-t-¿ ¿
Sean a, b, c, d números reales positivos distintos tal que ad > be, demuestre que:
abd +bed
be <------- <ad
a+d
c <d a be <ad
abe <abd a ab+be <a2+ad
abe +bed <bed +abd a abd +bed <a2d +ad‘
bc(a +d) <bed +abd a bed +abd <ad(a +b)
bc(a +d) <bed +abd <ad(a +b)
bed +abd ,
be <----- -— <ad
a +d
<¡> Sean a, b, c numerous reales positivos, demuestre que:
abe >(a +b +c)(a +c - bXb +c - a)
Aplicando el ejercicio (30) que es: (x +y +z) >27xyz y el ejercicio
(x +y +z)3>2 7(y+ z-x)(z +x-y)(x +y-z), se tiene:
(a +b +c)3£27abc >2 7(b +c-a)(c +a-b)(a +b-c)
abe >(b +c - aXc +a - b)(a +b - c)
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f EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
CAPITULO I ' ----------------------------------
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
I. Resolver las siguientes inecuaciones
O 5x-2 >10x +8 >2x +16 __
5x-2<10x+8 <2x +16 => 5x-2<10x +8 a 10x +8<2x +16
-8-2< 10x-5x a 10x-2x <16-8 => -10<5x a 8 x < 8
x > - 2 a x<1 => - 2 < x <1 x e <-2,1>
1 0 1 1
— < 3x — <—
5 ” 4 3
_ 1 < 3 x < — M C M (5 ,4 ,3 ) = 60 =x> - 1 2 < 1 8 0 x - 15 < 20
5 " 4 3
1 7
3 < 180x < 3 5 => — < x ^ — =* X €
60 >36
x 3x 5 ,
<--- , a >b
J _ L
60'36
r a2-b2 a-b a +b
-— MCM=a2-b2 => x íU f a^ ^ l< - ^ -
a2- b2 a-b a +b V a2-b2 ) a +b
5(a +b) / 5(a +b)
1 +3(a~^b) =* X e " ° ' l +3(a-b)/
% £ ^ + 4 > ^ i + 2x, a > b > 0
w 3a 6b ____________
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a
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
CAPITI)' o I
2x 5x
— +4>— +2x, MCM =6ab => 4bx+24ab> 5ax+12abx
3a 6b
24ab> x(5a +12ab-4b) => x--- — --- => xe(-«o,- 24ab
5a +12ab-4b 5a +12ab-4b
o 6-3x
2x+---- <4
4
6-3x
2x +—-— <4 => 8x +6-3x<16 => 5x<10 => x<2 => X€(-oo,2)
O x x i x
- +— >1+-, c>b>a >0
• a b c _____
X X X
—+—>1+—, MCM =abc bcx + xac >1+abx
a b c
x(bc +ac - ab) >abe => x >---— --- => x e /---— ---.oo
be +ac - ab be +ac - ab '
O 2x-6< 2í¿®
l-2x-3x2>0 => 3x2+2x-1 <0 => (3x-l)(x +1)<0
O 3(x-5)-4(4-3x) > 2(7-x)-3 (x-5 )
3(x-5)-4(4-3x)>2(7-x)-3(x-5) => 3x-15-16 +12x >14-2x-3x +15
15x-31 >29-5x => 20x>60 => x>3 => x g [3 ,oc)
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR CON UNA INCOGNITA
2x2- 6x +3 <0
2x2-6x +3<0 => x2-3x +-<0
3] 9 3 .
x— -- +-<0 =>
2 4 2
( 3 )* 3 J 3 3 &
x — <—= > ----- < x — < —
2 4 2 2 2
3-y¡3 3+73
-----<X <-----
2 2
3-y¡3 3+y¡3
X 6<
2 ’ 2
2x2+6x-9 <0
2x2+6x -9<0 => x2+3x --<0
í 3 )* 9 9 _ ( 3Y 27 _ f 3 3y¡3
XH— -----<0 => x+- ----<0 => X+------
2 4 2 [ 2 4 2 2
3 3>/3
x+- +---
2 2
<0
3 + 3 / 3 3 + 3 / 3
X €
2 2
-3-3V3-3+3V3
2 ' 2
9x2+54x >-76
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPIT1"? I
9x~+54x>-76 =3> x~+6x +— >0
9
(x +3)‘ -9 +-^ >0 => ( x +3)2--^>0 x+3-—
3
x+3+ >0
r ~ ~ v
-9-¡S 9-y?
x . , -
-4x2+4x +3>0
1 3 / 1 3
x =—-x-- => x e ( — ,-
2 2 2 2
4x2+9x +9<0
o 9x 9
4 x '+ 9 x +9 < 0 => x2+— +-< 0 , completando cuadrados
4 4
9Y 81 9 . (9V 63
x+- ———+—<0 =>x+- +—<0como
8] 64 4 l 8 64
f 9Y 63
x+— +— >0, Vx e R
8 J 64
La solución es <j>
4x2-4x +7 >0
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CAPITULO I
4x2-4x +7 >0 => x2- x +—>0, completando cuadrados
4
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
f 1 1 7 f 1V 3 2— +—>0 => x+— +—>0 como se conoce V x e R , x >0
4 4 l 2 ) 2
Entonces la solución es R.
x4-2x2-8 <0
x4-2x2-8<0 factorizando (x2-4) (x2+2) <0
x2-/< 0 factorizando (x-2 )(x +2)<0
V ~ ~ V
-2 2
/. x e <-2,2>
—4x2-8 <-12x
-4x2-8 <-12x => x2-3x +2>0 => (x - 2 )(x - l)> 0
/ - y
1 • 2
/. x e <-oo, 1> u <0,+oo>
x2-2yÍ3x-2 >0
jgg£¿MáÉMf
x2- 2y/3x-2>0, completando cuadrados
( x - V 3 ) 2- 3 - 2 > 0 ( x - V 3 )2 - 5 > 0 factorizando se tiene:
- •, - " SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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1
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
D CAPITI" T í
O x2+3x+2 >0 ________________
x2+3x+2 >0 factorizando (x + 1)(x +2) >0
-2 -1
xe (-oo,-2)^(-1,oo)
1-2x-3x2£0
J K ü ¡M S M f
1-2x-3x2>0 => 3x2+ 2x-l<0 factorizando (3x-1)(x +1)<0
-1
x e
3x2-5x-2 >0
i— ^ . n n - T i v r
3x2-5x-2>0 factorizando (3x +l)(x-2) >0
V ~ ~ V
xe/-<x>,-Mu(2,ao)
(x2+2x)(x2-l)-24 >0
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO) ANALISIS MATEMATICO I . ,
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
K>
+
roX
24 >0 => x4+2 X ’
1 2 -1 -2 -24
2 8 14 24 2
1 4 7 12 0
-2 -2 -12 -3
1 1 4 0
x4+2x3- x2- 2x- 24 =(x +2Xx +3Xx2+x+4)
(x-2)(x +3)(x2+x +4)>0 como x2+x +4>0, V x e R entonces
O
(x-2)(x +3)£
x +x+4
(x-2)(x +3)>0
-3 2
x e <-00,-3>vj <2,+oo>
x(x-3)(x-l)(x +2) >16
x(x-3)(x-1)(x +2)>16 =>x(x-1)(x-3)(x +2)>!6
(x2-x)(x2- x - 6 )>16 sea u =x2-x
u(u-6)> 16 => u2-6 u - 16>0 => (u -8)(u +2)>0
u =x2-x => (x2-x-8)(x2-x +2)>0, como x2-x +2>0, V x e R
0
Entonces (x - x - 8 )>
x2-x +2
=0 => x‘ —x—8 >0
WW'.V eduKperu.com SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
Ccompletando cuadrados se tiene: x2-x +->8 +-
4 4
, K 2 33 1 y/33 1 V§3
( X - - ) > -- => X --- > ----- V X — < -------
2 2
1+V33 1-733
x> ----- V x<-----
1-V33 /1 +V33
xe(-oo,----- ) u ( ------ ,+00
2 / 2
x4+2x3-x2+4x-6 <0
rn m s m m
x4+2x* - x2+4x-6<0, factorizando por Ruffini
1 2 -1 4 -6
1 3 2 6 1
1 3 2 6 0
-3 0 -6 -3
1 0 2 0
x4+2x3-x2+4x--6 =(x-lXx +3Xx2
(* -l)(x +3)(x2+2) <0 como x2+2
(x~1)(x +3) =0 => (x - l)(x +3) <0
V ~ ~ V
-3 1
x e (-3,1)
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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CAPITIM 0 I
wwvv ediikperu cóm
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(x2+x-6)(4x-4-x2)<0
(x2+x -6)(4x - 4 - x2)<0 => (x2+x-6)(x2-4x +4) >0
(x +3)(x-2)(x-2)2>0 => (x +3)(x-2)3>0
V
-3 2
x e <-oo,3]^[2,+00 >
2x3+3x -llx-6> 0
2x3+3x2 -11x -6>0, factorizando por Ruffini 2x3+3x2-llx -6
2 3 - 1 1 - 6
4 14 6
2 7 3 0
2x3+3x2- llx -6 =(x- 2X2x2+7x +3)
=(x - 2)(2x + 1)(x +3) entonces
(x-2)(2xe+7x +3)>0 => (x-2)(2x +1)(x +3)>0
1
2
x e
- 3' - i
[2,+oc >
O x3-3x2-I3x +15>0
www r?d'jKDei •■¡on SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
x* -3xJ -13x +l5 >0, factorizando por Ruffini x3-3x2-13x +15
CAPI7',,n i
O
1 -3 -3 15
1 -2 -15 1
1 -2 -15 0
x3- 3x2-13x+15 =(x -1Xx2- 2x -15)
=(x - IXx - 5Xx +3) entonces
(x -1)(x2-2x -15)>0 => (x-l)(x-5)(x +3) >0
Y .
-3 1 5
x e(-3,l)u(5,oo)
x4-4x3-x2+I6x-12 >0
É O L W m U l'M *
x4-4x3- x2+16x -12>0 factorizando por Ruffinni x4-4x3-x2+16x-12
1 -4 -1 16 -12
1 -3 -4 12 1
1 -3 -4 12 0
2 -2 -12 2 2
1 -1 -6 0
x4-4x3-x2+16x-12 =(x-lXx-2Xx2-x-6)
=(x-1Xx-2Xx-3Xx +2)
(x-l)(x-2)(x-3)(x +2)>0
- 2 1 2 3
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CAPITULO I .................................................... ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
x e(-oo,-2)u(l,2)u(3,ao)
x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0
Tnrrrgr.i^r
x5+3x4-5x3-15x2+4x- 12>0
Factorizando por Ruffinni x5+3x4- 5x3-15x2+4x- 12
1 3 -5 -15 4 12
-1 -2 7 8 -12 -1
1 2 -7 -8 12 0
1 3 -4 -12 1
1 3 -4 -12 0
2 10 12 2
1 5 6 0
x5+3x4-5x3-15x2+4x-12 =(x +l)(x - l)(x - 2 )(x 2+5x +ó)
=(x+ 1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)
~ ^ ^ A r ~ i r r - / ~ A A T -
-3 - 2 - 1 1 2
(x +1Xx-l)(x2+5x +6)>0
=> (x +1Xx-lXx-2Xx +3Xx +2)>0
xe<-3,-2> u< —1,1>u2,oo>
^ x5-6x4-x3+29x2+8x-15 <0
x5-6x4- x3+29x2+8x-15 <0
factorizando por Ruffinni x5- 6x4- x3+29x2+8x-15
. SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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S
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x e [2,3] ^ {1}
(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)< 0 si a<b<c<d
m m m m n w ai
(x-a)(x-b)(x-c) (x-d)<0
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) CAPITU' O l
O
a b c d
xe(a,b)u(c,d)
(x2+6x -1Xx3-2x2-2x +4Xx +5)5>0
(x2+6x - IXx1- 2x2- 2x +4Xx +5)5>0, factorizando
=> [(x +3)2- 9 - l][(x 2(x-2)-2(x-2)](x +5)5>0
=> [ ( x + 3 )2 - 1 0 ] ( x - 2 X x 2 - 2 X x + 5 )5 > 0
=>[x +3- VÍÓ](x +3+VÍÓXx - 2Xx - V2Xx +>/2Xx+5)5>0
~ v : v + v • v + v - a ~
-3- VIO -5 -¡2 -3 +/To ¡2 2
x e (-x,-3-VÍÓ)u(-5,-V2)u(-3+>/ÍÓ,V2)w<2,4oo>
^ (6x +3)2(x2-1)3(3x -5)7<0
(6x +3)2(x2-1)3(3x - 5)7<0 => (6x +3)2(x - l)3(x +1)3(3x-5)7<0
8
m SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO! . , wwwedukperu.comANÁLISIS MATEMÁTICO I .,
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CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
o
-1
••• xe(-oo,-l)u^1,|^
(3-x)3(x2- l)2(l- x )5x>0
M ü B W
(3-x)3(x2- l)2(1-x)5x >0 => x(x -3)3(x -1)2(x +1)2(x -1)5>0
x(x -3)3(x -1)7(x + 1)2> 0
-i
x4-2x2-3x-2 >0
0 1
/. x e ( 0 , l)u (3 ,o o )
x4-2x2-3x-2>0 factorizando por Ruffinni x4-2xa-3x-2
1 0 -2 -3 -2
-1 1 1 2 -1
1 -1 -1 -2 0
2 2 2 2
1 1 1 0
x4-2x2-3x-2 =(x +1Xx-2Xx2+x+1)
(x-lXx-2Xx2+x+l)^ 0 , como x2+x +l>0, Vxe R, entonces.
(x-lXx-2) >
0
x2+x +6
=0 => (x- lXx - 2) >0
www.edukperu.com i . S O I 1C
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS
$
-i o
x e < - o o >- 1 ]u [2 ,+ o o >
x4-3x3+5x2- 27x-36 <0
x4-3x3+5x2- 27x-36 <0 factorizando por Ruffinni
1 -3 5 -27 -36
-1 4 -9 36 -1
1 -4 9 -36 0
4 0 36 4
1 0 9 0
x4-3x3+5x2- 27x-36 = (x +1Xx -4Xx2+9)
(X +lXx
l
X
Xx>
+9) <0, como x2+9>0, V x e R ,
(x +1Xx-4)<0
-1 4
X€<-1,4>
m
x4- x2<0 => x2(x2-1)<0 => x2(x-l)(x +l)<0
+ V ¿ /~ ~ *
- 1 0 1
x e <-1,0> <j <0,1 >
CAPITI" n i
36
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I .,
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CAPITULO I
( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O (2x2-4x-1X3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0
Jg ^ S S S S iS M f
(2x2-4x-lX3x2-6x +4Xx2+4x-2)>0, factorizando se tiene:
x2-2 x--1 f x2-2x +-1(x2+4x-2) >0
^(x-l)2- l-^ j^ (x -l)2- l +^j[(x +2)2- 4-2]>0
f(x - l)2- | ^(x —l)2+^j[(x +2)2-6]>0, como (x -l)s +^ >0, V x e R
[ o _
(x-1)2- - [(x +2)2-6J >0, factorizando
-1_^|)íx-1+^)(x+2+.'^)(x+8“'^)>0
, Í3 2+yfb , ¡3
Puntos críticos x =1+J- =---- , x = - =
V2 2 2
2 -y f b
, x =-2-Vó , x =-2+n/ó
~ v 1 - ~ V .+
-2-^6 2 -x/6~ -2 '/6 2 +/6
x5+8x4+12x3-x2-8x-12>0
Factorizando por Ruffinni x5+8x4+12x3-x2-8x-12
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SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS )
CAPITULO I
Factorización por aspa doble en el numerador
(2x2+5x+l)(x2+x +l)
>0
ÍX~2IX+1)X+1)(6X!+6X+7)
como x2+x+1>0, V x é R V 6x2+6x+7>0, V x « R, simplificando
2 5x 1
x +— +—
2 22x2+5x +1 ^ __________
x+sXx+Í)(x+1) (X+Ü(X+9(X+1)
>0
2 5x 25 1 25
X2+— +— +r.~77
____ 2— 16—2— 16_>o => tw —
KHH (x+iXx+3>+i)
X + - T - -
^ --- >0, factorizando
5 (17 Ì 5 17
X+4 'V Í 6 j r K 4 + Í 6 j
f 5 - V Ì7
x+
V 5 + >/Í7
x+— -—
(x4)H)x+1) H)K)(X+1)
5-Vv7 5+y¡V7 ____ 1_ v =- i x =-1. puntos críticos
X --------- , X ------- » X - 0 > o '
- / + V - V — ^
! 7 & ------ -i 4 1
Conjunto Solución: x e
<5
_2fl7+5 A<_I 1
3 4
1 /V i7-5
2 3
>vj
X—1 x2-1
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CAPÍTULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
X—1 X —1
<5
X —1 (x-l)(x +1)
<5 =>
x—1 (x-lXx +1)
-5 <0
7(x +1)-6-5(x-1)(x +1) 7x +7-6-5(x2+1)
(x +1)(x-1) (x +1)(x-1)
-5x2+7x +6 . 5x2-7x-6 . (5x +3)(x-2) „
<0 => T---- —---- -> 0 => — ,---- r r --- ^ > 0
(x +l)(x - l) (x +1)(x-1) (x +l)(x-1)
Puntos criticos x =-1; x =— ; x =1; x =2
5
-1
xe(-»f-l)u^-|,1^u(2,+co)
<0
12x5-35x4-53x3+53x2+35x - 12
x6+15x5+78x4+155x3+78x2+15x+1
12x5- 35x4- 53x3-f53x2+35x- 12 ^Q
x6+15xs +78x4+155x3+78x2+15x +1<
Agrupando término en forma adecuada para su factorización
12(x5- 1 )- 3 5 (x 4 - x )- 5 3 x 2(x - 1 )
x6 +1 + 15(xs + x) +78(x4 +x 2) +155x3
SOLUCIONARIO ANÁLISIS MATEMÁTICO I
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................... .....................................CAPITU!
12(x4+x3+x2+x +l)-35x(x" +x+l)-53x* j
x3+¿ +,5l( x2+? l
+
00
íX+x]+155
<0
3 |r n3u = X + —
1V XJ
í 1Yu = X + —
l XJ
1 3
- +— => u
X J X
( 23 12
( x - 1 ) ( 1 2 x 4 -23x3-76x2-23x +12) ^ (x l)|^12x 23x 76 ^ x%
u3-3u +15(u2-2) +78u-f 155 <^ u3+15u2+75u+125
(x —1) 12| x 2 + x12 l - 2 3 Í x + M - 7 6
<0
(u +5)
(x-l)[l2 (u 2-2)-23u-76]
( u + 5 )3
<0
(x—1)f12ug-23u-lOO] -A (x -1)(12u +25)(u, 4) ^ ^ u =x +i
(u +5)3 ( u +5) x
(x"1)líl2x +^+ 25j
(X+x _ 4 J
(x-l)(l2x2+25+12)(x2-4x +l) ^
I(X+H3
(x2+5x +l)
(x-l)(3x +4)(4x +3)[^(x-2)2-4 +lJ
5Y 25 ,
x+-¡ +1
2 J 4
<0
(x-l)(3x +4)(x +3) x-2x>/3j(x-2 +^ )
B*f)H-#)I
<0
H www.solucionarios.net
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CAPITULO I ............................................................. ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
4 3 r-
x =1; x = ; x = x =2+V3
X - 2 - J 3 ; X - 4 - &
2 2 2 2
~ A~^/ : y /~r
. 4 .3 7 2 1 - 5 2 -^3 1 2 +/3
4 3 4 2
, :r | ) v ( 4 í , á ) ^ . ( )
2x-l x+2 x—1
x+4 +3-x >x+3
2x-l _ x+2 x—1 2x-l x+2 x—1„ ,
! T ¡ T + 3 ^ > ^ 3 = > i r r 4 + í 3 5 ' Í Í 3 > 0 ' A c t u a n d o las o p e ra c io n e s
(2x-l)(x2-9)+(x +2)(x +4)(x +3)-(x-1)(x +4)(x-3)
(x +4)(x-3)(x +3) >0
2x3-x2-18x +9+x3+9x2+26x +24-x3+I3x-12
(x +4)(x-3)(x +3) >0
-10x2-31x-27 10x2+31x+27
> 0 => 7---- t ;-----TT----- < 0
(x +4)(x —3)(x +3) (x +4)(x-3)(x +3)
como 10x~ +31x+27 >0, V x e R entonces se simplifica, es decir:
(x +4)(x-3)(x +3) <0 dedonde x =*4- x =-3» x =3 puntos críticos
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_______________ _____________ . CAPITUl O )
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ...............................................................................
: / + /
.4 -3 3
xe(-co,-4)'-'{-3.3)
O S 1+X3 ^ * - x * + * “ -j L + 9
w (l- X ! )(1-x) (1-x) (1+x ) ___________
jg g a s s a a a B T
. » .. (1 +x )(l- x +x! ) x(1-x)+x4(1-x)^0
( í d ? f r ^ >l ^ x f n ^ +9 * M f d « )
_ b ü --+9; x*±l
(l—x)(1—x) (l-x)(l+x)
1 - X + X* : X ( U X ] _ ^Q; X*±1
(l-x)O-x) (1 -x)(Ux)
_ ¡ W X(H X)(1-X +X‘ ) ^0 xse±1
(1-x)(1-x) (1-x)(1 +x)
x - xg+x3 1 -x+x8 ^o^r,. x#±1
(1-x) (1—x)(1-x)
( x - x i + x 3) ( 1 - x ) - 1 +x-xi ^o ^ n XJ¡±1
(1-x)
-x4+2x3- 2xg+ x - U x - x ^ Q^ n, X5t±1
(1-x)!
-x4+2x3-3xa+2X-1 +g <Q. X,± 1
(x - lf
______________________;-------
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
9-
x4-2x3+3x2-2x + l
(x - l)!
<0; x * ±1 => 9-
r •> *2
x~- x+1
x—1
<0; X * ± l
í ..2
3-
X —1
f ..2
3+
)
X —X-f1
X —1
<0; x* ±1
' 3 x - 3 - x 2+ x - l Y 3 x - 3 +x2- x +1
x" ! A x—1
( -x2+4x - 4
x^7~
f ..2x +2x-2
X—1
<0; x*±l =>
<0; x*±1
(x-2)![(x+1)! -3]
(x-1)2
>0; x*±1
(x-2)J (x +1->/3)(x +1+>/3)
>0; x*±l
x =2; x*±l; x=-l±>/3. Existe multiplicidad par en x =2yx =1
-1 -n/3 v/3-1
-V3-l)u(V3-1,l)w{1,2)w{2,co}
4x4-20x2+8
x4-5x2+4
4x4-20x2+8
<8
<8
4x4-20x®*+8
x4-5x2+4 x4-5x2+4
4x4-20x2+8-8x4+40x2-32
-8<0, operando se tiene:
x4-5x2+4
<0, simplificando
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85
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) .................................................................... S 9 fE r”
O
o
-4x'l +20x1-8 n x4-5x*+6 - _ (x___» o . factorizando
x4- 5x* +4 ~ x4-5x2+4 ® (x2-l)(x! -4)
(x->/5)(x +-J2)(x-£ ) ( * +£ ) ' n
(x-1)(x +1)(x-2)(x +2)
Puntos críticos: x= ±¡2; x=±l; x=±3; x=±2
+ / : / r ~ y - A ~ r ~ y
_2 V3 s il -1 1 v/2 VB 2
Conjunto solución es: x e(-<r,-2) ^ - >/ í- >/2^u(-lfl)u(>/2,>/3)vj(2f-Hx)
( x -1)8( x 2- 1 )(x 4- 1 )_
(x4+])(x-2)
m i f M l i i ' T
(x-1)’ (x»-l)(x4- l ) _ (x-1 )T (x»-l)(x»-l)(x»^ )%n
(x4+l)(x-2) (x4+l)(x-2)
Simplificamos los términos (x4+l) y (x2+l), (x-1) por ser siempre positivos
íx2- lf i
^____L >o => --- £ 0 => x >2 de donde x e <2,+qo>
x-2 * x-2
(x2+5x +6)(x4-16)(x2—4x —12) ^
(1-3x)3(x-1)(x! +l)
( x * +5x+6)(x4-16)(x*-4x-12) ^
(1-3x)3 (x -1)(x! +1)
Factorización por diferencia de cuadrados y aspa simple:
SOLUCIONAR!
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CAPÍTULO I
JCEDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(x +3)(x +2)(xJ -4)(x‘ 4)(x-6)(x +2)
(l -3x)3(x -1)(x2+1)
(x2+4) y (x2-rl) son positivos V x € R, entonces simplificamos
(x +3)(x +2)(x-2)(x +2)(x-6)(x +2) (x +3)(x +2)’ (x-2)(x-6)
(3x —I)3(x —1) (3x —l)(x —1)
-3 -2 3. 1
‘ 3
xe(-oo,-3)u^-2,-^u(l,2)u(6,+oo)
O
4 x-2 4
<—
4-x 5 x
4 x—2 4 4 x—2 4
<— => ------- ----- <0, efectuando la operación
4-x 5 x 4-x 5 x
20x-x(x-2)(x-x)-20(4-x)
5x(4-x)
20x+x3-6x2+8x-80 +20x
5x(x-4)
Factorización por Ruffinni:
<0
_ x3-6x2+48x-80 . f
>0 => --- — :--- --- >0, factonzando
5x(x-4)
1 -6 48 -80
2 .8 80 2
1 -4 40 0
_
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■ CAPJT-w'l
» EDUARDO ESPINOZA RAMOS J ....................................
(x -2 )(x2- 4 x + 40) (x -2 )[(x - 2) 4 + 40J ^ fi
- ¿ (x - 4 )— >0 ~ S F * ) .
(x-2)[(x-2)*+36]>0 (x-2)*+36>0, V x e R, simplificamos
5x(x-4)
x~2__ >o de donde x =2; x =0; x =4 son los puntos críticos
5x(x-4)
v - t a z :
3xg+7x +5
x2+3x+2 “
0 2 4
xe(0,2)u(4,oo)
3x2+7x +5 <2 3x2+7x +5 _ 2<o , operando y simplicamos
x2 +3x +2 x‘ +3x +2
3x2+7x+5-2x2-6x-4 n _ _ í! ± í± L - <;0, como x2+X+1>0, V x e R
------------------- s0 =* (x+2)(x+l)
1
Entonces simplificamos ^X+2)(X+Í ) "
entonces x =-2, x =-1 son los puntos críticos
-2 -1
X 6 (-2,-1)
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CAPITULO I EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
O
(x'-' +x—o)(x? —x—6)
(x2-4)(x2-16)
(x2+x-6)(x2-x-6)
-— -----r—-<0 , factorizando se tiene:
(x2-4)(x2-16)
(x +3)(x-2)(x-3)(x +2) (x +3)(x-3)
7----77---77--- 7 --- (<0 simplificando 7 --- ( 7 ----£<0; x * ± 2
(x-2)(x +2)(x +4)(x-4) (x +4)(x-4)
x =-3, x =3, x =-4, x =4, son los puntos críticos
- 4 - 3 3 4
x e (—4,3] w[3,4)
(l +x+x2)(2-x-x8)(x4-2x2-3x-2)
(2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x-2)(x2-7)
(l +x+x2)(2-x-x2)(x‘l -2x2-3x-2)
(2x2-4x-l) (3x2-6x +4)(x2+4x -2)(x2-7)
factorizando cada expresión se tiene:
<0
1 0 -2 -3 -2
-1 1 1 2 -1
1 -1 -1 -2 0
2 2 2 2
1 1 1 0
(x +1)(x-2)(x2+x+l)
2Í x2—2x——j(3)í x2-2x +^-](x2+4x-2)(x2-7)
<0
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» EDUARDO ESPINOZA RAMOS ) ......................................................................... CAPITULO I
5x->3 I 2xTl
Q (0.216) < >yj(0.36) o
5x»3 I 2^7 3(5x+3) 15x+9 2x +1
(0.216) * >y¡(0.36)o =>(0.6) 4>(0.6)«s,
131 / 131
225x+135 >8x+4 => 117x>-131 =>x>-— => x e ^ , ^
(42)x*-1 >(64)*1'
, ,-5- J_ 10 3 10 3 „
( 4 ° y - < >(64).- => (4! y->4«-> ^ — ^ ^ - ^ > 0
10-(3x +l) A _ 7-3x __ 3x-7 <Q
(x —!)(x +l ) > ^ (x-l)(x +l) ^ (x-l)(x +l)
7Puntos críticos: x =-1, x = 1; x =-
-i i z
3
0 [(0.3)(‘",Xx !)] K"3 >[(0.09)*1 J ? *
[(0.3)<,-'x,-!>J ' 3>[(0.09),'-,>J ’''‘ => (0.3)l- '>t,-!Xx-3>>[(0.3),'-,>]"' ’
H
T 7 *
1 s o lu c io n a r io a n á lis is m atem á tico I w m m m p m m
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CAPITULO I ( EDUARDO ESPINOZA RAMOS «
(0.3)tx' 1Xx_2Xx_3>>(0.9)(xi' ' Xx''9) => (x-l)(x-2)(x-3)< 2(x2-4)(x2-9)
2(x-2)(x +2)(x-3)(x+3)-(x-!)(x-2)(x-3)>0
(x-2)(x-3)[2(x +2)(x +3)-x +l]> (x-2)(x-3)(2x2+I0x +12-x +l)>0
(x-2)(x-3)(2x2+9x +13)>0 => (x-2)(x-3)f x2+y +y l >0*
x-2)(x-3)>0. Puntos críticos: x =2, x =3
^ / = / ^
2 3
x g (-oo,2)u (3,oo)
$ ^ (0.00032)5x i < yj(0.2f?
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