Teks tersebut menjelaskan berbagai konsep statistika dasar seperti rata-rata (mean), modus, median, dan kuartil untuk data tunggal maupun berkelompok beserta contoh perhitungannya.
2. PENGOLAHAN DATA
A. Mean (Rataan Hitung)
π΄πππ π =
π±πππππ πππππππ π πππ
πππππππππ π πππ
ο± Mean untuk data tunggal
Diketahui π₯1, π₯2, π₯3, β¦ , π₯ π adalah sekumpulan data, maka mean dapat
dirumuskan sebagai berikut
Contoh :
Nilai ulangan harian matematika 10 siswa kelas X diperoleh data 7, 6, 8, 9,
7, 5, 6, 7, 5, dan 8. tentukan mean dari data tersebut!
Jawab :
π₯ =
7 + 6 + 8 + 9 + 7 + 5 + 6 + 7 + 5 + 8
10
=
68
10
= 6,8
π =
π π + π π + π π + β― + π π
π
3. PENGOLAHAN DATA
ο± Mean untuk data berdistribusi frekuensi
Apabila data disajikan dalam tabel distribusi frekuensi maka mean dapat
dirumuskan sebagai berikut
Contoh :
Berdasarkan data hasil ulangan matematika di kelas X, empat siswa
mendapat nilai 9, sembilan siswa mendapat nilai 8, sembilan siswa
mendapat nilai 7, lima siswa mendapat nilai 6 dan tiga siswa mendapat nilai
5. tentukan rata-rata nilai ulangan matematika di kelas tersebut!
Jawab :
π₯ =
4 β 9 + 9 β 8 + 9 β 7 + 5 β 6 + 3 β 5
4 + 9 + 9 + 5 + 3
=
36 + 72 + 63 + 30 + 15
30
=
216
30
= 7,2
4. PENGOLAHAN DATA
Contoh :
Tentukan rataan dari data berikut ini!
Jawab :
Jadi, rata-rata berat badan adalah 51 kg.
Berat Badan (kg) 40 β 44 45 β 49 50 β 54 55 β 59 60 - 64
Frekuensi 1 6 10 2 1
Berat Badan (kg) Titik Tengah (ππ) ππ ππ β ππ
40 β 44 42 1 42
45 β 49 47 6 282
50 β 54 52 10 520
55 β 59 57 2 114
60 β 64 62 1 62
π=1
5
ππ = 20
π=1
5
ππ β π₯π = 1.020
π₯ =
π πβπ₯ π
π π
=
1.020
20
= 51.
5. PENGOLAHAN DATA
Cara lain untuk menghitung mean yaitu menentukan rataan sementara
terlebih dahulu dengan rumus berikut.
Keterangan :
π₯ π = rata-rata sementara
ππ = simpangan dari rata-rata sementara
ππ = frekuensi kelas ke-i
Contoh :
Tentukan mean dengan rataan sementara dari data pada tabel berikut!
Berat Badan (kg) 40 β 44 45 β 49 50 β 54 55 β 59 60 - 64
Frekuensi 1 6 10 2 1
6. PENGOLAHAN DATA
Jawab :
Nilai rata-rata sementara diambil dari nilai titik tengah kelas dengan frekuensi
paling besar, π₯ π = 52.
π₯ = π₯ π +
ππ β π π
ππ
= 52 +
β20
20
= 52 + β1 = 51
Nilai f Titik Tengah (ππ) π π = ππ β π₯ π ππ β π π
40 β 44 1 42 -10 -10
45 β 49 6 47 -5 -30
50 β 54 10 52 0 0
55 β 59 2 57 5 10
60 β 64 1 62 10 10
Jumlah 20 -20
7. PENGOLAHAN DATA
ο± Mean gabungan
Jika terdapat i kelompok data yang sejenis dan mempunyai ukuran rataan
yang berbeda-beda:
- Kumpulan data pertama mempunyai π1 dan rataan π₯1.
- Kumpulan data kedua mempunyai π2 dan rataan π₯2.
- Kumpulan data ketiga mempunyai π3 dan rataan π₯3.
- Kumpulan data ke-i mempunyai ππ dan rataan π₯π.
Rataan gabungan i buah kelompok tersebut dapat ditentukan dengan
rumus berikut :
π πππ =
π π π π + π π π π + π π π π + β― + ππ ππ
π π + π π + π π + β― + ππ
8. PENGOLAHAN DATA
Contoh :
Nilai rata-rata ulangan Matematika dari 20 orang adalah 7,6. Jika nilai Anita
dimasukkan, nilai rata-ratanya menjadi 7,7. Tentukan nilai ulangan harian
Matematika Anita!
Jawab :
π₯1 = 7,6 ; π₯ πππ = 7,7
Misalkan nilai Anita π₯2 = π₯
π₯ πππ =
π1 π₯1 + π2 π₯2
π1 + π2
7,7 =
20 β 7,6 + 1 β π₯
20 + 1
7,7 β 21 = 152 + π₯
161,7 = 152 + π₯
π₯ = 9,7
9. PENGOLAHAN DATA
B. Modus
Modus adalah data yang paling sering muncul atau data yang paling besar
frekuensinya.
Contoh :
Tentukan modus dari data berikut !
a. 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9
b. 10, 9, 8, 9, 8, 7
c. 50, 49, 49, 50
Jawab :
a. Modus = 6
b. Modus = 8 dan 9
c. Tidak ada modus
10. PENGOLAHAN DATA
Modus untuk data berkelompok ditentukan dengan rumus :
Keterangan :
tb = tepi bawah kelas modus
p = panjang kelas
π1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
π2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
π΄π = ππ +
π π
π π + π π
π
11. PENGOLAHAN DATA
Contoh :
Tentukan modus dari data berikut !
Berat Badan (kg) 40 β 44 45 β 49 50 β 54 55 β 59 60 - 64
Frekuensi 1 6 10 2 1
Jawab :
Modus terletak di kelas ketiga, sehingga diperoleh
tb = 49,5; π1 = 10 β 6 = 4; π2 = 10 β 2 = 8; p = 5
ππ = π‘π +
π1
π1 + π2
π = 49,5 +
4
4 + 8
5 = 49,5 + 1,67 = 51,17
Jadi, modus dari data tersebut adalah 51,17.
12. PENGOLAHAN DATA
C. Median
Median adalah nilai yang membagi data menjadi dua kelompok yang sama
banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
ο± Median untuk data tunggal
οΆ Jika ukuran data n ganjil, mediannya adalah data yang di tengah.
οΆ Jika ukuran data n genap, mediannya adalah rataan dari dua nilai
datum yang di tengah.
π΄π =
π
π
π π
π
+ π π
π+π
π΄π = π π+π
π
13. PENGOLAHAN DATA
Contoh :
Tentukan median dari data berikut !
1) 10, 7, 9, 7, 9, 8, 9
2) 5, 2, 7, 6, 3, 4
Jawab :
1) 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10
Me
Jadi, mediannya adalah 9.
2) 2, 3, 4, 5, 6, 7
Me
Jadi, mediannya adalah 4,5.
14. PENGOLAHAN DATA
ο± Median untuk data berkelompok
Keterangan :
tb = tepi bawah kelas median
p = panjang kelas
N = banyak data
ππ = frekuensi kumulatif sebelum kelas median
π ππ = frekuensi kelas median
π΄π = ππ +
π
π
π΅ β π π
π π΄π
π
15. PENGOLAHAN DATA
Jawab :
Banyaknya data ada 20, sehingga letak median pada frekuensi
1
2
Γ 20 = 10, yaitu
pada interval 50 β 54.
Sehingga diperoleh tb = 49,5; p = 5; ππ = 7; dan π ππ = 10
ππ = π‘π +
1
2
π β ππ
π ππ
π = 49,5 +
10 β 7
10
. 5 = 49,5 + 1,5 = 51
Jadi, median data tersebut adalah 51.
Contoh :
Tentukan median dari data berikut !
Berat Badan (kg) 40 β 44 45 β 49 50 β 54 55 β 59 60 - 64
Frekuensi 1 6 10 2 1
16. PENGOLAHAN DATA
D. Kuartil
Kuartil adalah nilai yang membagi data menjadi empat kelompok yang sama
banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
Terdapat tiga buah kuartil, yaitu kuartil bawah (π1), kuartil tengah (π2) dan
kuartil atas (π3).
ο± Kuartil untuk data tunggal
Letak dari ππ dapat dirumuskan sebagai berikut
π³ππππ πΈπ =
π(π + π)
π
Dan besar ππ dirumuskan sebagai berikut
πΈπ = π π + π π π+π β π π
π2π1 π3 π₯ πππ₯π₯ πππ
17. PENGOLAHAN DATA
Contoh :
Tentukan kuartil bawah, tengah dan atas dari data berikut!
9, 7, 6, 8, 6, 3, 5, 8, 2, 5, 4, 6
Jawab :
Data yang telah diurutkan : 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9
π1 π2 π3
Kuartil bawah (π1) =
4+5
2
= 4,5
Kuartil tengah (π2) =
6+6
2
= 6
Kuartil atas (π3) =
7+8
2
= 7,5
18. PENGOLAHAN DATA
ο± Kuartil untuk data berkelompok
Kuartil untuk data berkelompok ditentukan dengan rumus
Keterangan :
tb = tepi bawah kelas ππ
p = panjang kelas
n = banyak data
ππ = frekuensi kumulatif sebelum kelas ππ
ππ π
= frekuensi kelas ππ
ππ = π‘π +
π. π
4
β ππ
ππ π
π
19. PENGOLAHAN DATA
Jawab :
β’ Letak π1 :
1
4
(20) = 5, yaitu pada interval kelas 45 β 49 sehingga diperoleh
tb = 44,5; p = 5; ππ = 1; dan ππ1
= 6
π1 = π‘π +
π
4
β ππ
ππ1
π = 44,5 +
5 β 1
6
5 = 44,5 + 3,67 = 48,17
Jadi, kuartil bawah adalah 48,17.
β’ Letak π2 :
2
4
(20) = 10, yaitu pada interval kelas 50 β 54 sehingga diperoleh tb
= 49,5; p = 5; ππ = 7; dan ππ2
= 10
π2 = π‘π +
2π
4 β ππ
ππ1
π = 49,5 +
10 β 7
10
5 = 49,5 + 1,5 = 51
Jadi, kuartil tengah adalah 51.
Contoh :
Tentukan kuartil bawah, tengah dan kuartil atas dari data berikut !
Berat Badan (kg) 40 β 44 45 β 49 50 β 54 55 β 59 60 - 64
Frekuensi 1 6 10 2 1
20. PENGOLAHAN DATA
Jawab :
β’ Letak π3 :
3
4
(20) = 15, yaitu pada interval kelas 50 β 54 sehingga diperoleh
tb = 49,5; p = 5; ππ = 7; dan ππ3
= 10
π3 = π‘π +
3π
4
β ππ
ππ1
π = 49,5 +
15 β 7
10
5 = 49,5 + 4 = 53,5
Jadi, kuartil atas adalah 53,5.
21. PENGOLAHAN DATA
E. Desil
Desil adalah nilai yang membagi data menjadi 10 kelompok yang sama
banyak, setelah data diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar.
ο± Desil untuk data tunggal
Letak dari π·π dapat dirumuskan sebagai berikut
π³ππππ π«π =
π(π + π)
ππ
dengan i = 1, 2, 3, ..., 9
Dan besar ππ dirumuskan sebagai berikut
π«π = π π + π π π+π β π π
22. PENGOLAHAN DATA
Contoh :
Tentukan desil ke-2 dan desil ke-7 dari data berikut :
14, 12, 8, 6, 15, 10, 2, 9, 4, 3
Jawab :
Data setelah diurutkan : 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15.
β’ Letak desil ke-2 :
2(10+1)
10
= 2,2
Sehingga diperoleh k = 2 dan d = 0,2
π·2 = π₯2 + 0,2 π₯3 β π₯2 = 3 + 0,2 4 β 3 = 3,2
β’ Letak desil ke-7 :
7(10+1)
10
= 7,7
Sehingga diperoleh k = 7 dan d = 0,7
π·7 = π₯7 + 0,7 π₯8 β π₯7 = 10 + 0,7 12 β 10 = 11,4
23. PENGOLAHAN DATA
ο± Desil untuk data berkelompok
Desil untuk data berkelompok ditentukan dengan rumus
Keterangan :
tb = tepi bawah kelas π·π
p = panjang kelas
n = banyak data
ππ = frekuensi kumulatif sebelum kelas π·π
ππ· π
= frekuensi kelas π·π
π·π = π‘π +
π. π
10
β ππ
ππ· π
π
24. PENGOLAHAN DATA
Jawab :
β’ Letak π·3 :
3
10
(20) = 6, yaitu pada interval kelas 45 β 49 sehingga diperoleh
tb = 44,5; p = 5; ππ = 1; dan ππ·3
= 6
π·3 = π‘π +
3π
10
β ππ
ππ·3
π = 44,5 +
6 β 1
6
5 = 44,5 + 4,17 = 48,67
Jadi, nilai desil ketiga adalah 48,67.
Contoh :
Tentukan desil ke-3 atas dari data berikut !
Berat Badan (kg) 40 β 44 45 β 49 50 β 54 55 β 59 60 - 64
Frekuensi 1 6 10 2 1
25. PENGOLAHAN DATA
F. Jangkauan
Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dengan nilai terkecil,
dilambangkan dengan J.
π± = π πππ β π πππ
Jangkauan interkuartil (H) adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil
pertama.
π― = πΈ π β πΈ π
G. Jangkauan Interkuartil (H)
H. Jangkauan Semi Interkuartil (πΈ π ) atau Simpangan Kuartil
πΈ π =
π
π
πΈ π β πΈ π
I. Langkah (L)
π³ =
π
π
πΈ π β πΈ π
26. PENGOLAHAN DATA
J. Simpangan Rata-Rata (Deviasi Rata-Rata)
Simpangan Rata-Rata suatu data adalah nilai rata-rata dari selisih setiap
data dengan nilai rataan.
Simpangan Rata-Rata untuk data tunggal
πΊπΉ =
π
π
π=π
π
ππ β π
Keterangan :
SR = simpangan rata-rata
n = jumlah data
π₯π = data ke-i
π₯ = rataan
27. PENGOLAHAN DATA
K. Simpangan Baku (Deviasi Standar)
Simpangan Baku suatu data adalah akar dari jumlah kuadrat deviasi dibagi
banyaknya data.
Simpangan Baku untuk data tunggal
π =
π
π
π=π
π
ππ β π π
Keterangan :
s = simpangan baku
n = jumlah data
π₯π = data ke-i
π₯ = rataan
L. Ragam atau Variansi
Jika simpangan baku dilambangkan dengan s, maka ragam atau variansi
dilambangkan dengan π 2.
28. PENGOLAHAN DATA
Contoh :
Diketahui data : 7, 6, 8, 7, 6, 10, 5. Tentukan :
a. Jangkauan
b. Jangkauan interkuartil
c. Simpangan kuartil
d. Langkah
e. Simpangan rata-rata
f. Simpangan baku, dan
g. Variansi.
Jawab :
Data diurutkan : 5, 6, 6, 7, 7, 8, 10
π1 π2 π3
a. π½ = π₯ πππ₯ β π₯ πππ = 10 β 5 = 5
b. π» = π3 β π1 = 8 β 6 = 2
c. ππ =
1
2
π» =
1
2
2 = 1
d. πΏ =
3
2
π» =
3
2
2 = 3