Articulo 111114154000-phpapp02 (2)

Facultad de ciencias Físico Matemáticas
“Números reales”
Oscar Tepoz López
Año: 2011

En Matemáticas, los números reales son los que abarcan a los
números racionales (que pueden representarse como el
cociente de dos enteros con denominados diferente de
cero) y los números irracionales, que no se pueden expresar
de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales
no periódicas, tales como√2, π.
Pueden ser descritos de varias formas, algunas simples
aunque carentes del rigor necesario para los propósitos
formales de matemáticas y otras más complejas pero con el
rigor necesario para el trabajo matemático formal. El
concepto de números reales surgió a partir de la utilización
de fracciones comunes por parte de los egipcios, cerca del
año 1,000 a. C. El conjunto de los números reales es
representado con la letra:

 Los primeros números en aparecer en la historia
fueron los números que van del 1,2,3,... etc. y por esta
razón son conocidos como los números naturales. El
primer registro que se obtiene sobre la utilización del
cero fue en el año 36 a.C. por la civilización Maya.

 Los egipcios utilizaron por primera vez las fracciones
comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del
500 a. C. el grupo de matemáticos griegos liderados
por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los
números irracionales. Los números negativos fueron
ideados por matemáticos indios cerca del
600, posiblemente reinventados en China poco
después.

 La noción de numero y contar ha acompañado a la
humanidad desde la prehistoria. Como todo
conocimiento desarrollado por el hombre primitivo, la
causa para que el ser humano emprendiera sus pasos
en el contar y plasmar cantidades surgió
fundamentalmente de la necesidad de adaptarse al
medio ambiente, proteger sus bienes y distinguir los
ciclos de la naturaleza pues ya perciban y observaban
con cuidado los ritmos que esta posee y su fina
relación con las oportunidades de alimentación y, en
general, con la conservación de la vida, entre otros.

 La razón para que actualmente se utilice un sistema
decimal, se deriva principalmente de que ser humano
necesito hacer una representación simbólica del conteo con
su propio cuerpo, y para ello se valió básicamente de los 10
dedos de las manos y aunque este no fue el único sistema
utilizado por la humanidad s fue el mas difundido.
 A medida que el saber humano fue evolucionando, La
civilización egipcia fue una de las primeras en desarrollar el
trabajo con las matemáticas le fue urgente el comenzar a
representar las cantidades en forma de dibujos, para seguir
en forma precisa los ciclos de la naturaleza, dejar mensajes
a sus semejantes o para seguir con la contabilización de sus
posesiones que rebasaban la cantidad de 10.

En álgebra abstracta, un campo es una estructura algebraica en la cual las
operaciones de adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen con
ciertas propiedades conocidas como axiomas. Los cuerpos son objetos
importantes de estudio en álgebra puesto que proporcionan la
generalización apropiada de dominios de números tales como los
conjuntos de números racionales, de los números reales,
o de los números complejos.
También se distingue el campo del orden, ya que en este presenta un
concepto muy importante, que es la ley de tricotomía, la cual nos dice que
∀a, b ϵ solo cumplen una de las siguientes afirmaciones: a > b, a <
b, a = b.

Existe una relación que presenta los números reales que
son conocidas como relaciones de igualdad y estas son
de utilidad para la demostración de algunos
teoremas, estas relaciones dicen:
Sean a, b, c ϵ
a) Si a = b, entonces b = a
b) Si a = b, y b = c, entonces a = c
c) si a + c denota al numero real que resulta de
sumar a y c, y ac denota al numero real que resulta
de multiplicar a y c, entonces a = b implicará que
a + c = b + c y que ac = bc

En matemáticas, un axioma es una premisa que, por
considerarse evidente, se acepta sin demostración, como
punto de partida para demostrar otras fórmulas.
Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las
consideradas “verdades evidentes” porque permiten deducir
las demás formulas.
En lógica matemática, un postulado es un proposición, no
necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un
lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a
una conclusión.
En el campo de los números reales son seis los principales
axiomas que se toman, y a través de su uso y
postulación, permiten el desarrollo de los teoremas que
estructuran una parte de las matemáticas.

Los seis axiomas son:
Axioma 1. Si a, b ϵ , entonces a + b, ab ϵ
(Ley de cerradura para la suma y el producto)
Axioma 2. Si a, b ϵ entonces a+b = b+a y ab = ba
(Ley de conmutatividad)
Axioma 3. Si a, b, c ϵR entonces a(b+c) = (a+b)+c y a(bc) = (ab)c
(Ley de asociatividad)
Axioma 4. Si a, b, c ϵ entonces a(b + c) = ab + ac
(Ley de distributividad)
Axioma 5. Existen 0, 1 ϵ , con 0 ̸= 1, tales que: si a ϵR, entonces
a+0 = a y a·1 = a
(0 se llamará Neutro aditivo y 1 se llamará Neutro multiplicativo)
Axioma 6. Si a ϵ , existe a1 ϵ tal que a + a1 = 0 y si a ϵ con
a ̸= 0, entonces existe a2 ϵ tal que a · a2 = 1
(Existencia de los inversos)

Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada
dentro de un sistema formal. Un teorema
generalmente posee un numero de premisas que
deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego
existe una conclusión, una afirmación matemática, la
cual es verdadera bajo las condiciones dadas.
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea
consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser
demostrada usando las propiedades del teorema
previamente demostrado.

i) Si a, b, c ϵ y a + c = b + c, entonces a=b
ii) Si a, b, c ϵ , c ≠ 0 y ac = bc, entonces a=b
Demostración:
i) Sea c1 ϵ tal que c + c1 = 0 (Esto por el axioma 6)
Entonces
a + c = b + c
⇒ (a + c) + c1 = (b + c) + c1 (Propiedad de la igualdad)
⇒ a + (c + c1) = b + (c + c1) (Por axioma 3)
⇒ a + 0 = b + 0 (Por axioma 6)
⇒ a = b (Por axioma 5)

ii) Si a, b, c ϵ , c≠0 ac = bc, entonces a=b si c≠0, el
axioma seis garantiza la existencia de un número real
c2 tal que cc2 = 1. Por lo tanto:
ac = bc
⇒ (ac)c2 = (bc)c2 (Propiedad de la igualdad)
⇒ a(cc2) = (bc)c2) (Por axioma 3)
⇒ a · 1 = b · 1 (Por axioma 6)
⇒ a = b (Por axioma 5)

Si a ϵ , entonces a · 0 = 0
Demostración.
⇒ a · 0 = a(0 + 0) (Por axioma 5)
⇒ a · 0 = a · 0 + a · 0 ^ a · 0+0 = a·0 (Por axioma 4 y 5)
⇒ a · 0 + 0 = a · 0 + a · 0 (Por transitividad)
⇒ a · 0 + 0 = 0 (Ley de cancelación: teorema I)

i) ∀a, b ϵ , ∃x ϵ único tal que a + x = b
ii) ∀a, b ϵ , a ̸= 0, ∃x ϵ único tal que a · x = b
Demostración:
i) Por el axioma seis ∃a1 ϵ : a+a1 = 0 entonces si x0 = b+a1
tenemos que:
⇒ a + x0 = a + b + a1 (Sustituyendo x = b + a1)
⇒ a + x0 = a + a1 + b (Por axioma 2)
⇒ a + x0 = 0 + b (Por axioma 6)
⇒ a + x0 = b (Por axioma 5)
Para este momento ya se demostró que existe, pero falta demostrar que es
único:
Supongamos que existe x1 ϵ tal que a + x0 = a + x1 por el Teorema I
tenemos que x0 = x1

ii) Por el axioma seis ∃a1 ϵ : a · a1 = 1 entonces si
x0 = b · a1 tenemos que:
⇒ a · x0 = a(b · a1) (Sustituyendo x0 = b · a1)
⇒ a · x0 = (a · a1)b (Por axioma 2)
⇒ a · x0 = 1b (Por axioma 6)
⇒ a + x0 = b (Por axioma 5)
En este momento ya se demostró que existe, pero falta
demostrar que es único:
Supongamos que existe x1 ϵR tal que a · x1 = b entonces
a · xo = a · x1 por el Teorema I tenemos que x0 = x1

i) Para cada a ϵ , existe un único a1 ϵ tal que a + a1 = 0
ii) Para cada a ϵ , existe un único a1 ϵ tal que a · a1 = 1
Demostración:
i) Como a1 ϵ cumple con la ecuación a + x = 0 y por el
Teorema I a1 es único.
ii) Como a ϵ y a≠0, entonces existe un a1 ϵ que cumple con
a · x = 1 entonces por el Teorema 2.3.1 a1 es único.
Como el inverso aditivo de a ϵ es único, lo denotamos como
−a y el inverso multiplicativo de a ϵ −{0} le llamamos a⁻¹
o 1/a . Así a−b = a+(−b) y a/b = a·b⁻¹ para cada b≠0

i) Para todo a ϵ , −(−a) = a
ii) Para todo a ϵ − {0}, (a⁻¹)⁻¹ = a
Demostración:
i) Como a + (−a) = 0 y (−a) − (−a) = (−a) + (−(−a)) = 0,
entonces al igualarlas se obtiene que
a + (−a) = (−a) + (−(−a)) por el Teorema I a = −(−a)
ii) Si a≠0, el número real (a⁻¹)⁻¹ satisface la relación
a⁻¹x = 1 y también el número real a satisface la misma
relación. Por lo tanto, por el Teorema IV, a = (a⁻¹)⁻¹.

Sean a, b, c ϵ entonces
i) −(a + b) = (−a) + (−b)
ii) −(ab) = (−a)b = a(−b)
iii) Si a≠0, b≠0 entonces ab≠0 y (ab)⁻¹ = a⁻¹b⁻¹
Demostración:
i)(a + b) + [(−a) + (−b)] = a + b + [(−a) + (−b)] (Por axioma 2)
⇒(a + b) + [(−a) + (−b)] = a +b + [(−b) + (−a)] (Por axioma 3)
⇒(a + b) + [(−a) + (−b)] = a + ([b + (−b)] + (−a)) (Por axioma 2)
Por lo tanto
(a + b) + [(−a) + (−b)] = a + (0 + (−a)) (Por axioma 5)
⇒(a + b) + [(−a) + (−b)] = a + (−a)
⇒(a + b) + [(−a) + (−b)] = 0
Entonces [(−a) + (−b)] es inverso aditivo de (a + b) y por unicidad resulta
que −(a + b) = (−a) + (−b).

ii) (ab) + (−a)b = [a + (−a)]b (Por axioma 4)
⇒(ab) + (−a)b = (0)b (Por axioma 5)
⇒(ab) + (−a)b = 0 (Por axioma 5)
Entonces (−a)b satisface ab + x = 0 y por unicidad, (−a)b = −(ab)
(ab) + a(−b) = [b + (−b)]a (Por axioma 4)
⇒(ab) + (−b)a = (0)a (Por axioma 5)
⇒(ab) + (−b)a = 0 (Por axioma 5)
Entonces (−b)a satisface ab + x = 0 y por unicidad, (−b)a = −(ab)
iii) Como (ab)(a⁻¹b⁻¹) = (a)(b)(a⁻¹)(b⁻¹) por el axioma seis
tenemos que(ab)(a⁻¹b⁻¹ )= (a)(a⁻¹)(b)(b⁻¹) y por el Teorema IV
tenemos (1)(1) = 1
y como (ab)(a⁻¹b⁻¹) = 1 entonces (a⁻¹b⁻¹) = (ab)⁻¹

Si a, b, c, d ϵ con b≠0 y d≠0, entonces
i) a/b + c/d = (ad+bc)/bd
ii) a/b· c/d = ac/bd
iii)( a/b)⁻¹= a⁻¹/b⁻¹= b/a , si también a≠0
Demostración:
i) a/b + cd= ab⁻¹ + cd⁻¹ (Por definición)
⇒ a/b + c/d = (ab⁻¹)1 + (cd⁻¹)1 (Por axioma 5)
⇒ a/b + c/d = (ab⁻¹)(dd⁻¹) + (cd⁻¹)(bb ⁻¹) (Por inv. multiplicativo)
⇒ a/b + c/d = a(b ⁻¹ dd ⁻¹) + c(d ⁻¹ bb ⁻¹) (Por axioma 2)
⇒ a/b + c/d = a(db ⁻¹ d ⁻¹) + c(bd ⁻¹ b ⁻¹) (Por axioma 3)
⇒ a/b + c/d = a(db ⁻¹ d ⁻¹) + c(bd ⁻¹ b ⁻¹) (Por axioma 3)

Por lo tanto
⇒ a/b + c/d = (ad)(b ⁻¹ d ⁻¹) + (cb)(d ⁻¹ b ⁻¹)
(Por axioma 2)
⇒ a/b + c/d = (ad + bc)(b ⁻¹ d ⁻¹) (Por axioma 4)
⇒ a/b + c/d = (ad + bc)(bd) ⁻¹ (Por Teorema VI)
⇒ a/b + c/d = (ad + bc)/bd (Por definición)

ii) (a/b) · (c/d) = (ab ⁻¹) + (cd ⁻¹) (Por definición)
⇒ (a/b) · (c/d) = (ab ⁻¹) · (cd ⁻¹) (Por definición)
⇒ (a/b) · (c/d) = a[b ⁻¹(cd ⁻¹)] (Por axioma 2)
⇒ (a/b) · (c/d) = a[(b ⁻¹ c)d ⁻¹] (Por axioma 4)
⇒ (a/b) · (c/d) = a[(cb ⁻¹)d ⁻¹] (Por axioma 3)
⇒ (a/b) · (c/d) = a[c(b ⁻¹ d ⁻¹)] (Por axioma 2)
⇒ (a/b) · (c/d) = (ac)(b ⁻¹ d ⁻¹) (Por Teorema VI)
⇒ (a/b) · (c/d) = ac/bd (Por definición)

iii) (a/b) ⁻¹ = (ab ⁻¹) ⁻¹ (Por definición)
⇒ (a/b) ⁻¹ = a ⁻¹(b ⁻¹) ⁻¹ (Por Teorema VI)
⇒ (a/b) ⁻¹ = a ⁻¹ b (Por Teorema V)
⇒ (a/b) ⁻¹ = ba ⁻¹ (Por axioma 3)
⇒ (a/b) ⁻¹ = b/a (Por definición)

Sean a, b ϵ tales que a > 0 y b > 0. Entonces: a² = b² si y sólo si a = b
Demostración.
⇒) Si a > 0, b > 0 y a² = b², entonces a = b Así que sea a > 0, b > 0 y a2 = b2. Entonces a > 0, b > 0 y a² − b²
= 0
⇒ a > 0, b > 0 y (a − b)(a + b) = 0 (Por diferencia de cuadrados)
⇒ a > 0, b > 0 y ((a − b) = 0 o (a + b) = 0 (a · b = 0 ⇔ a = 0 o b = 0)
⇒ a + b > b y b > 0 y ((a − b) = 0 o (a + b) = 0 (Por axioma 5)
⇒ (a + b > 0 y a + b > 0 y ) o ((a − b) > 0 y a − b = 0)
⇒ a + b > 0 y a − b = 0) (Contradice la tricotomía la primera parte de la disyución)
⇒ a − b = 0
⇒ a = b
⇐) Si a > 0, b > 0 y a = b, entonces a2 = b2. Sean a > 0, b > 0 y a = b.
Entonces a = b
⇒ aa = ab y ab = bb (Propiedad de la igualdad)
⇒ aa = bb (Propiedad de la igualdad)
⇒ a² = b² (Por definición)

Si a > b, b > 0 y a2 = b, entonces a es el único real con esta
propiedad
Demostración:
Supongamos que existe c > 0 tal que c² = b entonces c² = a².
Luego por el Teorema VIII a = c
Con la solución de este Teorema se pueden dar las siguiente
definición:
Definición: Si a ≥ 0, b ≥ 0 y a² = b entonces a es la raíz
cuadrada de b y lo denotamos por a =√b. Si a² = b (a ≥ 0)
sabemos que −a también cumple con (−a) ² = b, le llamamos
la raíz cuadrada negativa de b. Observemos que no existe la
raíz de b si b < 0.

Si a, b ≥ 0 entonces √ab = √a · √b
Demostración: Como √ab cumple que (√ab) ² = ab (por la
raíz cuadrada de ab) entonces
(√a √b) ² = (√a √b)(√a √b) (Por definición)
⇒ (√a √b) ² = √a √a √b √b (Por axioma 2 y 3)
⇒ (√a √b) ² = (√a) ²(√b) ² (Por definición)

Los números reales no son sólo un campo, son un campo
ordenado, esto quiere decir, que todos los elementos
de este conjunto poseen una relación entre los demás
de mayor o menor que, y esto es lo que se conoce como
orden.
Axiomas
A diferencia de los axiomas de campo, los axiomas de
orden simplemente son cuatro, pero con ellos se
pueden demostrar todos los teoremas que
corresponden al orden que poseen los números reales

Axioma 1. Ley de Tricotomía Si a, b ϵR, entonces una y sólo
una de las siguientes proposiciones es verdadera:
i) a = b
ii) a b
Axioma 2. Si a, b, c ϵR y a < b, b < c, entonces a < c
(Ley transitiva)
Axioma 3. Si a, b, c ϵR y c > 0 y a < b, entonces ac < bc
(consistencia del producto respecto a la relación de orden)
Axioma 4. Si a, b, c ϵR y a < b, entonces a + c < b + c
(Consistencia de la suma respecto a la relación de orden)

Definición: + = {xϵ |x > 0} _= {xϵ | x < 0}
+ se llamará el Conjunto de los reales positivos.
_ se llamará el Conjunto de los reales negativos lo
anterior demuestra que + ≠∅ y _ ≠ ∅ y la tricotomía
demuestra que:
= + ∪ {0} ∪ _
Si x < y o x = y, escribiremos x ≤ y o y ≥ x
De acuerdo a esta notación:
Si x < y, entonces x ≤ y
Si x = y, entonces x ≤ y o x ≥ y
Pero si x ≤ y no necesariamente x < y y también si x ≤ y no
necesariamente

Si aϵ se cumple
i) a > 0 ⇔ −a < 0
ii) a > 0 ⇔ a ⁻¹ > 0
Demostración.
i} a > 0 ⇒ a + (−a) > 0 + (−a) (Por axioma 4)
⇒ 0 > −a (Por teorema IV)
⇒ −a < 0
ii) Supongamos que: a > 0 ∧ a⁻¹≤ 0
Si a > 0 ∧ a ⁻¹ < 0 ⇒ a · a ⁻¹ < 0 · a (Por axioma 3)
⇒ 1 < 0!
Si a > 0 ∧ a ⁻¹ = 0 ⇒ a · a ⁻¹ = 0 · a (Por axioma 3)
⇒ 1 = 0!
Entonces por 1 solo queda que a > 0 ∧ a ⁻¹ > 0

Sean x, y ϵ −{0}. Entonces x y y tienen signos iguales si
i) x, y ϵ + o
ii) x, y ϵ _
Pero en caso que:
i) x ϵ + y y ϵ _ o
ii) x ϵ _ y ϵ +
Se dirá que x y y tienen signos contrarios o distintos

Si a,b ϵ , se cumple:
i) a < b ⇔ −b < −a
ii) Si a y b tienen el mismo signo, entonces: a < b ⇔ b⁻¹ < a⁻¹
Demostración.:
i)⇒) a < b ⇒ (−a) + a < (−a) + b (Por axioma 5)
⇒ 0 < (−a) + b
⇒ −b + 0 < ((−a) + b) + (−b) (Por axioma 5)
⇒ −b < −a
⇐) − b < −a
⇒ −b + b < −a + b (Por axioma 5)
⇒ 0 < −a + b
⇒ a + 0 < a + ((−a) + b) (Por axioma 5)
⇒ a < b

 ii) ⇒) Si a, b tienen el mismo signo y a<b, entonces abϵ + y
a < b
 ⇒ (ab) ⁻¹ ϵ + y a < b (Por teorema 1)
 ⇒ a ⁻¹ b ⁻¹ ϵR+ y a < b (Por teorema VI)
 ⇒ (a ⁻¹ b ⁻¹)a < (a ⁻¹ b ⁻¹)b (Por consistencia del producto)
 ⇒ b ⁻¹ < a ⁻¹
 ⇐) Ahora si a, b tienen igual signo y b ⁻¹ < a ⁻¹, entonces
a ⁻¹, b ⁻¹ tienen el mismo signo y b ⁻¹ < a ⁻¹ (Por teorema 1)
 ⇒ (a ⁻¹) ⁻¹ < (b ⁻¹) ⁻¹
 ⇒ a < b

Si a, b, c, d ϵ , se cumple:
i) Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d
ii) Si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces ac < bd
Demostración:
i) Si a < b y c < d
⇒ a + c < b + c y b + c < d + b (Por axioma 4)
⇒ a + c < b + d
ii) 0 < a < b y 0 < c < d
⇒ ac < bc y bc < bd (Por axioma 3)
⇒ ac < bd (Por transitividad)

Si a,b ϵ +, entonces
a b ѵ a = b)
⇒ (a² < b² ^ a > b) ѵ (a² < b² ^ a = b)
⇒ (a² < b² ^ a² > b²) ѵ (a2 < b² ^ a² = b²)
Pero por el axioma 1 ninguna de las condiciones que se puede cumplir,
as que solo queda:
a² < b² ⇒ a < b

Si b ϵ +, entonces
i) a² < b ⇔ −√b < a <√b
ii) b < a ² ⇔ √b < a o √b < −a
Demostración:
i) Caso 1: Sea a = 0 entonces claramente la proposición se cumple ya que
0 0 > −√b ⇒ a > −√b Entonces a ² 0 y 0 > a se tiene que
a < 0 ⇒ −a > 0 ∧ (−a) ² −√b

ii) Caso 1: Si a = 0 la bicondicional es verdadera porque
a² > b es falsa y a >√b ∨ a < −√b también es falsa
Caso 2: Si a > 0 a ² > b ⇔ a ² > (√b) ² ⇔ a > √b
(Por el teorema 4)
Caso 3: Si a < 0 entonces a ² > b ⇔ (−a) ² > (√b) ²
⇔ −a > √b (Por el teorema 4)
⇔ a < −√b (Por el teorema 3)

 Dado x ϵ , el valor absoluto de x, el cual
denotaremos como |x|, se define de la forma siguiente:
 |x| = 1.- x, x ≥ 0 (1)
 2.- −x, x < 0 (2)
 De la definición de |x| obtenemos inmediatamente las
siguiente propiedades
 i) ∀xϵ , |x|ϵ
 ii) ∀xϵ , |x| ≥ 0

 Si x ϵ , entonces
 i) x ≤ |x|
 ii) −x ≤ |x|
 Demostración:
 i) Sea x ϵ , entonces x ≥ 0 ó x < 0
 Si x ≥ 0, entonces |x| = x, entonces x ≤ |x|
 Si x < 0, entonces −x > 0 y |x| ≥ 0 ⇒ |x|−x ≥ 0 ⇒ |x| ≥ x, por lo tanto
 ∀xϵ , x ≤ |x|
 ii) Sea x ϵ , entonces x ≥ 0 o x < 0
 Si x ≥ 0, entonces −x ≤ 0 ∧ |x| > 0 ⇒ −x < |x|
 Si x < 0, entonces −x > 0 ∧ |x| = −x ⇒ −x ≤ |x|

Si x ϵ , entonces −|x| ≤ x ≤ |x|
Demostración:
Ahora, si |x| = 0, entonces − |x| ≤x ≤ |x| entonces
-0 ≤ x ≤ 0, entonces x = 0 y como por definición si
x = 0, entonces |x| = 0

Sean a, c ϵ , entonces:
|a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c
Demostración:
Caso 1: c < 0. Entonces como ∀aϵ |a| ≥ 0, se tiene que |a| ≤ c < 0 no se cumple, y
0 ≤ −c ≤ a ≤ c < 0, luego 0 < a < 0 lo cual es falso. Por lo tanto si c < 0 la bicondicional es
verdadera.
Caso 2: c ≥ 0
⇒) |a| ≤ 0 ∧ a ≥ 0 ∧ −c ≤ 0 ≤ a
⇒ −c ≤ a. Además |a| = a ≤ c
⇒ −c ≤ a ≤ c
Si |a| ≤ c ∧ a < 0 ⇒ −a = |a| ≤ c
⇒ −c ≤ a Ademas a < 0 ∧ 0 ≤ c entonces a < c
Luego −c ≤ a ≤ c
⇐) −c ≤ a ≤ c ∧ a ≥ 0 ⇒ |a| = a ≤ c ⇒ |a| ≤ c
−c ≤ a ≤ c ∧ a < 0 ⇒ |a| = −a ≤ c (Por teorema 2)

Sean a, c ϵ , entonces:
|a| ≥ c ⇔ a ≥ c o − a ≥ c
Demostración:
Una proposición equivalente a la que queremos
demostrar es :
￢(|a| ≥ c) ⇔ ￢(a ≥ c o − a ≥ c) es
decir, |a| < c ⇔ (a < c y − a < c) o sea
|a| < c ⇔ −c < a < c
pero esto ya se ha demostrado en el teorema anterior que
si se cumple as que con esto queda demostrado el
teorema.

∀x, yϵ |x + y| ≤ |x| + |y|
Demostración:
− |x| ≤ x ≤ |x| y − |y| ≤ y ≤ |y| (Por el teorema 7)
−(|x| + |y|) ≤ x + y ≤ |x| + |y| (Por el teorema 3)
⇔ |x + y| ≤ |x| + |y| (Por teorema 8)

 Como se ha visto las propiedades que poseen los números
reales son muy diversas, y es posible que algunas sean
complicadas, o demostrar que cumplen esa propiedades es
un poco más difícil, pero esas reglas han sido de gran
utilidad para que el hombre haya podido trabajar
cómodamente con ellos. También por cumplir con las
reglas de campo y las de orden, los números reales se les
denomina un campo ordenado. Otro punto que también se
pudo reconocer es que en las matemáticas existen reglas
que simplemente se cumplen sin la necesidad de
demostrarla, y que gracias a esas reglas pudo ser posible
que los grandes matemáticos desarrollaran las propiedades
que poseen y que nos sirven para entenderlos mejor.

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http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema.

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