introduction matrix. Determination. krammer введение в матричную алгебру, определители, метод крамера

1. Аксиоматический подход в математике. Элементы линейной алгебры Лекция 4.1 Никогда не существовало и не будет существовать никаких «прикладных наук», есть лишь приложения наук Луи Пастер

2. Вопросы лекции 2

3. Аксиоматический подход в математике Вопрос №1 3

4. Правила игры, условные обозначения…

5. способ построения научной теории, при котором в основу теории кладутся некоторые истинные утверждения (аксиомы), из которых затем логическим путем выводятся и доказываются остальные истинные утверждения (теоремы) этой теории. Аксиоматический метод

7. независимость;

9. Научная теория Теоремы Понятия+Аксиомы+Теоремы = Научная теория Понятия Аксиомы Аксиоматический метод

10. Понятие матрицы. Основные операции над матрицами Вопрос №2

11. Нарушения связи на участках за год

12. Матрица Матрицей A называется любая прямоугольная таблица, составленная из объектов aij, которые называют элементами матрицы и обозначается Аmxn= Варианты записи матрицы: 3) А= 1) А= 2) А= или сокращенная запись A=( aij); i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n

13. Матрица размера m*n Индексы Строки Номер строки Номер столбца Элементы матрицы aij Номер строки Номер столбца Столбцы

14. Количество строк и столбцов - MxN Укажите размер матриц 2х3 3х2 3х1 Размер

15. Укажите размер матриц А и В . В = Виды матриц Матрица-строка Нулевая матрица Матрица-столбец

16. Главная диагональ m=n Побочная диагональ Квадратнаяматрица n-го порядка – матрица размера nxn, n- порядок матрицы. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ Виды матриц

17. ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА – это матрица, у которой равны нулю все элементы, кроме элементов на главной диагонали. 0 0 0 56 0 0 0 98 ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА – это диагональная матрица, у которой все элементы на главной диагонали равны 1, а остальные равны 0. Е = (1) Укажите порядок трех единичных матриц Диагональная Единичная Виды матриц

18. Треугольная матрица квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю. – верхняя треугольная матрица, – нижняя треугольная матрица. Треугольные матрицы Виды матриц

19. Определите вид и размер матриц

20. Когда матрицы равны? Две матрицы называются равными если: Они имеют одинаковый размер. 2. Соответствующие элементы матриц равны.

21. Операции над матрицами

22. Алгебра матриц Линейные операции над матрицами Нелинейные операции над матрицами Сложение (вычитание) матриц Умножение на скаляр (число) Умножение матриц Транспонирование матрицы

23. Суммой (разностью) матриц одинакового размера является матрица того же размера, элементами которой являются соответственно сумма (разность) элементов исходных матриц. cij = aijbij(матрицы складываются поэлементно) С = А + В = В + А Сумма матриц Сумма и разность определены только для матриц одинакового размера

24. Умножение матрицы на число Произведением матрицы А на число  называется матрица В=А, элементы которой bij=aij, В=А В= Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы

25. Транспонирование матриц Транспонированная матрица. Если в матрице Am×nстроки заменить соответственно столбцами, то получим транспонированную матрицу ATn×m: Проверка!

26. Пример

27. Свойства линейных операций над матрицами

28. Произведение матриц Произведением матрицA m kB k nназывается такая матрица C m n, каждый элемент которой cijравен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В AmxnxBnxk=Cmxk В С А Операция умножения матриц определена только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.

29. для каких матриц определено произведение? число столбцов первой равночислу строк второй

30. = ? * 1*5 + 2*1 2х2 х2 2х2 2 = *

32. Определены ли произведения А ∙ В и В ∙ А? 1х3 3х1 А3х1 ∙ В1х3= C3х3 В1х3 ∙ А3х1= D1х1 Найдем АВ и ВА Равны ли АВ и ВА? D1х1=(2 ∙1+1 ∙2+1 ∙1) = (5) = Произведение матриц некоммутативно: A·B ≠ B·A

33. Свойства операции умножения матриц

34. Определители и их свойства Вопрос №3

35. Определители 2 порядка Числовая характеристика квадратной матрицы - ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ( detA, Δ , aij) Определитель 2-го порядка - это число, записанное в виде: Произведениеэлементовглавнойдиагоналиминус произведениеэлементовпобочнойдиагонали.

36. Определители 3 – ого порядка Определителем 3 – ого порядка называется число: Метод треугольника _ +

37. Отличие матрицы от определителя? а) нет различий; б) по форме представления; в) матрица – таблица, а определитель – число.

38. Свойства определителя Самостоятельно законспектировать: с. 18 – 20 УМП «Элементы линейной алгебры, теории множеств и математической логики» (библиотека) Подготовиться к летучке по решению примеров на применение свойств определителей

39. Системы линейных уравнений. Правило Крамера Вопрос №4

40. Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛУ) 1 aij - коэффициентами при неизвестных, bi - свободные члены уравнений – произвольные числа, (i= 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) 2 АХ = В 3

41. Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными Наиболее простым, является случай, когда число неизвестных n равно числу уравнений n. Пустьn=m= 2 aij -коэффициентыпринеизвестных. Номер неизвестного, Номер уравнения Свободные члены уравнения Решение данной системы - это пара чисел х1 и х2, которая при подстановке обращает оба этих уравнения в тождества.

42. Решение СЛУ РешениемСЛУ (1) называется такая совокупность nзначений х1 , х2 , …, хn, при подстановке которых вместо соответствующих неизвестных в исходную систему каждое уравнение системы обращается в тождество. Система уравнений называется: совместной, если она имеет хотя бы одно решение, при этом: определенной, если она имеет единственное решение, неопределенной, если она имеет более одного решения. несовместной, если она не имеет решений.

43. Правило Крамера (в общем виде) Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными 4 – главный определитель

44. Теорема. Если определитель системы (4) отличен от нуля, т.е.Δ0, то система имеет единственноерешение,определяемое по формулам Крамера: , , …, . Следствие. Если Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 , …, Δnне равен нулю, то система не имеет решений. Если Δ= Δ1 = Δ2 = … = Δn= 0, система имеет бесконечно много решений.

45. Главный определитель системы Вспомогательные определители системы D D = = x x ; 2 1 D D 2 1 Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными Если , то решение системы находится по формулам: Формулы Крамера

46. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными Решить систему методом Крамера: Вычислим главный и вспомогательные определители системы: Найдем решение системы по формулам Крамера:

47. Системы из 3 линейных уравнений с 3 неизвестными Решим систему из 3 линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера. Вспомогательные определители получаются из главного определителя, если заменить соответствующий столбец столбцом свободных членов:

49. Если то система имеет бесконечное множество решений.

50. Если , но или или то система не имеет решений.

52. Задание на самоподготовку: Конспектс. 18 – 20 УМП «Элементы линейной алгебры, теории множеств и математической логики» (библиотека). Подготовиться к летучке по свойствам определителя. Завеститетрадь (12 листов) для выполнения Расчетно-графической работы