ความน่าจะเป็น

1. กำเนิดของวิชำควำมน่ำจะเป็น
เมื่อ พ.ศ. 2197 ซึ่งตรงกับสมัยพระเจ้าปราสาททองแห่งกรุงศรีอยุธยา ทางประเทศฝรั่งเศส
ได้มีนักพนันที่มีชื่อเสียงผู้หนึ่งชื่อ เชอวาลิเยร์ เดอ เมเร (Chevalier de mere) ได้ประสบปัญหาใน
การพนันที่เกี่ยวกับการทอดลูกเต๋า เขาไปปรึกษากับนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่สมัยนั้น คือ ปาสกาล ซึ่ง
จากคาอธิบายของปาสกาลนี้เอง ที่ทาให้โลกได้จารึกจุดเริ่มต้นของวิชาความน่าจะเป็นไว้ ในที่นี้จึงจะ
ขอกล่าวถึงปัญหาเริ่มแรกทั้งสองนี้
ปัญหำที่ 1 กำรทอดลูกเต๋ำ 1 ลูกและ 2 ลูก
ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง เชอวาลิเยร์พนันว่า ลูกเต๋าจะต้องหงายหน้าหกอย่างน้อย 1
ครั้ง และเมื่อทอดลูกเต๋าได้ 4 ครั้ง ก็ปรากฏว่า เป็นจริงตามที่พนันไว้ เขาจึงพนันต่อไปว่า ถ้าทอด
ลูกเต๋า 2 ลูก 24 ครั้ง ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกทั้ง 2 ลูก อย่างน้อย 1 ครั้ง แต่เมื่อ ทอดครบ 24 ครั้ง
ปรากฏว่า ไม่จริง ปาสกาลได้อธิบายให้ทราบดังนี้
ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกคือ 1/6
ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าอื่นคือ 5/6
การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง นั้นคือ
การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจานวน 1 ครั้งใน 4 ครั้ง
หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจานวน 2 ครั้งใน 4 ครั้ง
หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจานวน 3 ครั้งใน 4 ครั้ง
หรือ การที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกจานวน 4 ครั้งใน 4 ครั้ง
การทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้งนั้น เหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นแน่ คือ การที่ลูกเต๋าไม่หงายหน้าหกเลย เพราะ
หงายหน้าอื่น หรือหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง

2. ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าไม่หงายหน้าหกเลย รวมกับความน่าจะเป็น ที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่าง
น้อย 1 ครั้ง จึงมีค่าเท่ากับ 1 ตามที่กล่าวแล้วในตอน แรก นั่นคือ
ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าหงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง = 1 - ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋า ไม่หงายหน้า
หกเลย
= 1-(5/6)4 = 0.516
จะสังเกตเห็นว่าค่า 0.516 นี้เกินครึ่ง จึงแสดงว่าโอกาสที่ลูกเต๋าหงายหน้าหก อย่างน้อย 1 ครั้งมีมาก
ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง เชอวาลิเยร์จึงมีโอกาส ชนะมากกว่าและเผอิญเขาโชคดีจึงชนะในครั้ง
นั้น ตามปกติเขาจะไม่ชนะทุกครั้งไป
เมื่อเชอวาลิเยร์พนันต่อไปว่า ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก 24 ครั้ง หน้าหก จะต้องหงายพร้อมกันอย่าง
น้อย 1 ครั้งนั้น ปาสกาลอธิบายว่า ในการทอดลูกเต๋า 2 ลูก ลูกเต๋าจะหงายได้ 36 วิธี คือ ลูกที่ 1
หงายหน้าหนึ่งและลูกที่ 2 หงายหน้า หนึ่งหรือลูกที่ 1 หงายหน้าใดๆ ก็ได้ ตั้งแต่หน้าหนึ่งถึงหกและ
ลูกที่ 2 หงายหน้า ใดๆ ก็ได้ ตั้งแต่หน้าหนึ่งถึงหน้าหกเช่นกัน
ทานองเดียวกันกับในตอนแรก ความน่าจะเป็นที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าหกทั้ง 2 ลูกอย่างน้อย 1 ครั้ง คือ
1-(35/36)24 = 0.491 ซึ่งไม่ถึงครึ่ง และน้อยกว่าค่าที่ได้ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก 4 ครั้ง ประกอบกับ
เขาโชคไม่ดีในการพนันครั้งนี้ ลูกเต๋าทั้ง 2 จึงไม่หงายหน้าหกพร้อมกันเลย ทั้งๆ ที่ถ้าเขาทอดลูกเต๋า 2
ลูกพร้อมกัน 24 ครั้ง เรื่อยๆ ไป เขาจะต้องได้ลูกเต๋า ทั้ง 2 หงายหน้าหกอย่างน้อย 1 ครั้ง

3. ปัญหำที่ 2 กำรแบ่งรำงวัลในเกมที่ต้องหยุดเล่นก่อนกำหนด
ในเกมที่มีผู้เล่น 2 คน แต่ละคนมีโอกาสที่จะชนะเท่าๆ กัน ทั้งสองตกลงกันว่า ผู้ที่ชนะ 5 เกมเป็นคน
แรก จะเป็นผู้ชนะในที่สุด แต่ปรากฏว่า เมื่อคนแรก ชนะได้ 4 เกม และคนที่ 2 ชนะได้ 3 เกม ก็
จาต้องหยุดเล่น จึงเกิดปัญหาว่า จะแบ่งรางวัลอย่างไร จึงจะยุติธรรม ปาสกาลได้อธิบายวิธีแบ่งโดย
อาศัยหลักความน่าจะเป็นดังนี้
เพื่อให้โอกาสที่ทั้งสองจะชนะได้ จึงควรพิจารณาว่า ถ้าทั้งสองเล่นต่ออีก 2 เกม เพราะคนที่ 2 ชนะ
แล้ว 3 เกม ผลที่ได้มี 4 อย่าง คือ
1. คนที่ 1 ชนะทั้ง 2 เกม
2. คนที่ 2 ชนะทั้ง 2 เกม
3. คนที่ 1 ชนะเกมที่ 1 และคนที่ 2 ชนะเกมที่ 2
4. คนที่ 1 ชนะเกมที่ 2 และคนที่ 2 ชนะเกมที่ 1
จะเห็นว่าคนที่ 2 จะมีโอกาสเป็นผู้ชนะเลิศก็ต่อเมื่อ เขาต้องเป็นผู้ชนะอีกทั้ง 2 เกม ซึ่งจะมีโอกาส
เพียง 1 ใน 4 เท่านั้น แต่โอกาสที่คนที่ 1 จะเป็นผู้ชนะ มีถึง 3 ใน 4 ฉะนั้นเมื่อต้องหยุดเล่นก่อน
กาหนด คนที่ 1 จึงมีโอกาสได้รางวัล 3 ส่วน และคนที่ 2 ได้เพียง 1 ส่วน เพราะโอกาสที่คนที่ 1 จะ
ชนะมีเป็น 3 เท่า ของคนที่ 2

4. วิวัฒนำกำรของควำมน่ำจะเป็น
หลังจากปัญหาในการพนันที่เป็นต้นกาเนิดของวิชาความน่าจะเป็น เมื่อ พ.ศ. 2197 ก็ไม่
ปรากฏหลักฐานว่า ได้มีการค้นคิดในเรื่องนี้แต่อย่างใด จนกระทั่งอีก 200 ปีต่อมา เมื่อ พ.ศ. 2397
จอร์ช บูล (George Boole ค.ศ. 1815- 1864) นักปรัชญาชาวอังกฤษได้เขียนหนังสือชื่อ "กฎแห่ง
ควำมคิด" (The laws of Thought) ซึ่งถือว่า เป็นหนังสือเล่มแรก ที่เกี่ยวกับความน่าจะเป็น อีก 51
ปีต่อ มา เมื่อ พ.ศ. 2448 ไอน์สไตน์ได้เขียนเรื่อง "The Brownian Motion" ซึ่งได้ใช้รูปแบบของ
ความน่าจะเป็น ในการอธิบายการเคลื่อนไหวของอนุภาค
เรื่องความน่าจะเป็นเพิ่มปรากฏเป็นตาราเล่มแรก เมื่ออังเดร นิโคเลวิช โคลโมโกรอฟ
(Andrei Nikolaevich Kolmogorov ค.ศ. 1903 - ชาวสหภาพ โซเวียต) ได้เขียนเป็นภาษารุสเซีย ใน
พ.ศ. 2477 และต่อมามีผู้แปลเป็นภาษา อังกฤษ ให้ชื่อว่า "The Foundations of
Probability" จากนั้นไม่นาน ความน่าจะเป็นก็ได้เป็นที่รู้จักแพร่หลายขึ้นอย่างรวดเร็ว โดยเฉพาะใน
ประเทศสหภาพโซเวียต และยุโรปตอนเหนือ เมื่อเกิดสงครามโลกครั้งที่ 2 ทั้งนักการทหารและนัก
คณิตศาสตร์ ได้ร่วมมือกันค้นหาหนทางในการกาหนดยุทธวิธีที่ดีที่สุด ซึ่งเมื่อสิ้นสงครามแล้ว ก็ได้
อาศัยหลักการเหล่านั้น มาใช้ในการวางแผนผลิตสินค้าต่างๆ แทนอาวุธ และใช้ในการตัดสินใจปัญหา
ทั่วไปนอกเหนือจากการรบ ซึ่งต้องเผชิญกับการเสี่ยง และความไม่แน่นอนอยู่ตลอดเวลา
เมื่อ 40 กว่าปีที่ผ่านมาเรื่องของความน่าจะเป็นมีบทบาทสาคัญในการ พัฒนาวิทยาการ
ต่างๆ ให้เจริญก้าวหน้าไปอย่างรวดเร็ว แทบทุกสาขา โดยเฉพาะทางด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
เศรษฐศาสตร์ การทหาร การคมนาคม การ เกษตร การแพทย์ และแม้ในทางวรรณคดี ดังที่นัก
คณิตศาสตร์ผู้หนึ่งได้ศึกษา การใช้คาของนักประพันธ์ที่มีชื่อเสียง เพื่อนาไปใช้ในการสันนิษฐานว่า บท
ประพันธ์สาคัญที่ไม่ปรากฏชื่อผู้เขียน น่าจะเป็นของผู้ใด