คณิตศาสตร์, เมทริกซ์ , ความหมายของเมทริกซ์, การดำเนินการเกี่ยวกับเมทริกซ์

1. Matrix

2. 1. นิยามของเมตริกซ์ นิยามที่ 1 เมตริกซ์คือ กลุ่มของจำนวนจริง หรือ จำนวนเชิงซ้อน มาจัดเรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเป็น แถวตามแนวนอน (Horizontal) และ แนวตั้ง (Vertical) ซึ่งมีแถวตามแนวนอนเรียกว่า แถว (Row)และตาม แนวตั้งเรียกว่า สดมภ์ (Column)

3. โดยทั่วไปนิยมใช้ในรูปต่อไปนี้แทน ใช้สัญลักษณ์ เป็น หรือ

4. เมตริกซ์ที่มี 1 แถวและ n สดมภ์ เรียก เมตริกซ์ เชิงแถว หรือ เวกเตอร์เชิงแถว เช่น เมตริกซ์ที่มี m แถวและ 1 สดมภ์ เรียก เมตริกซ์ เชิงสดมภ์ หรือ เวกเตอร์เชิงสดมภ์ เช่น

5. เมตริกซ์จัตุรัส(Square Matrix)คือ เมตริกซ์ที่มี จำนวนแถวเท่ากับจำนวนสดมภ์ (m=n) หรือเรียกว่า เมตริกซ์อันดับ nมีรูปทั่วไปคือ สมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง i=jเรียก เส้นเส้นทแยงมุมหลัก

6. เมตริกซ์ศูนย์ (Zero MatrixหรือNull Matrix) คือ เมตริกซ์ที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นศูนย์หมด เช่น 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 O = หรือ

7. เมตริกซ์เฉียง (Diagonal Matrix)คือเมตริกซ์ จัตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัวที่ไม่ได้อยู่บนเส้นทแยงมุมหลัก มีค่าเป็นศูนย์ทั้งหมด เช่น 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 2 0 0 0 3 0 0 0 4 หรือ

8. สเกล่าร์เมตริกซ์ (Scalar Matrix)คือเมตริกซ์ เฉียงที่มีสมาชิกทุกตัวบนเส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากัน ทั้งหมด เช่น 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 5 4 0 0 0 4 0 0 0 4 หรือ

9. เมตริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix หรือ Unit Matrix)คือ เมตริกซ์เฉียงที่มีสมาชิกทุกตัวบน เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ 1 ทั้งหมด ใช้สัญลักษณ์ Iหรือ Inแทนเอกลักษณ์เมตริกซ์อันดับ nเช่น 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I3 = หรือ I4 =

10. Ex. 3 2 0 1 7 1 6 4 A = เป็นเมตริกซ์ขนาด _________ แถว _________ คอลัมน์ เขียนด้วยสัญลักษณ์ _____________

11. Ex. จงบอกประเภทและมิติของเมตริกซ์ลักษณะ พิเศษต่อไปนี้ เมตริกซ์ศูนย์ มิติ 0 0 0 0 0 0 1. O = เมตริกซ์เชิงสดมภ์ มิติ 1 8 2. A =

12. Ex. จงบอกประเภทและอันดับของเมตริกซ์ลักษณะ พิเศษต่อไปนี้ 3. B = 2 4 6 8 0 เมตริกซ์เชิงแถว มิติ 2 0 0 0 3 0 0 0 4 เมตริกซ์เฉียง มิติ 4. C =

13. 2. พีชคณิตของเมตริกซ์ 2.1 การเท่ากันของเมตริกซ์ (Equal Matrix) ถ้า และ จะได้ A = Bก็ต่อเมื่อ m = p และ n = q และ aij = bij ทุกค่าของ iและ j

14. Ex. ดังนั้น Ex. ดังนั้น

15. Ex.ให้ เมื่อ และ ถ้า A = B จงหาค่า x และ y วิธีทำ นั่นคือ

16. 2.2 การบวกลบเมตริกซ์ (Matrix Addition or Subtraction) ให้ และ แล้ว A + B = C โดยที่

17. -1 2 4 3 -6 10 A = 4 2 -3 1 7 9 B = Ex. และ จงหา C = A + Bและ D = A - B วิธีทำ

18. คุณสมบัติของการบวกเมตริกซ์ ถ้า และ และ และ แล้ว A + B = B + A กฎการสลับที่ (Commutative Law) A + (B + C) = (A + B) + C กฎการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative Law)

19. คุณสมบัติของการบวกเมตริกซ์ A + B = A + Cก็ต่อเมื่อ B = C A + (-A) = Oเมื่อ -A = A + O = A

20. จงหาเมทริกซ์ X เมื่อกำหนดให้ วิธีทำ

21. วิธีทำ

22. แบบฝึกหัด จงหาเมทริกซ์ X

23. 2.3 การคูณเมตริกซ์ การคูณเมตริกซ์ด้วยสเกล่าร์ (Scalar Multiplication) ให้ และ k เป็นสเกลล่าร์ ดังนั้น นั่นคือ เป็นการนำ k คูณกับสมาชิกทุกตัวในเมตริกซ์ เช่น a b c d ka kb kc kd k =

24. Ex. -5 3 4 1 0 A = จงคำนวณหา B = 4A , C = -3Aและ D = (1/2)A วิธีทำ

25. Ex. -5 3 4 1 0 A = จงคำนวณหา B = 4A , C = -3Aและ D = (1/2)A วิธีทำ

26. กำหนดให้ จงหา 1) 3A 2) -4B 3) -2A + 3B 4) 5B – 3A 5) (1/2)B

27. 4.2 การคูณเมตริกซ์ด้วยเมตริกซ์ (Matrix Multiplication) ถ้า และ แล้วผลคูณของเมตริกซ์ คือ ซึ่งมีอันดับ โดยที่ คือ cij = aikbkj

28. b11 b12 ……… b1p b21 b22 ……… b2p . . bn1 bn2 ……… bnp a11 a12 ……… a1n a21 a22 ……… a2n . . am1 am2 ……… amn c11 c12 ……… c1p c21 c22 ……… c2p . cm1 cm2 ……… cmp เช่น =

29. Ex.จงหาผลคูณของเมตริกซ์ AB เมื่อ วิธีทำ

30. กำหนดให้ จงหา AB BA AC BC BD 6. AA 7. BC+AC DD (AB)C (AB)(BB) 11. (A+B)C A(B+B) 3A2 – 2B2

31. คุณสมบัติของการคูณเมตริกซ์ ให้ และ และ และ α และ β เป็นสเกลล่าร์ (α+ β)A = αA + βA α(A + B)= αA + α B 3. α(β A) = (α β )A A(BC) = (AB)C กฎการเปลี่ยนกลุ่ม 5. A(B + C) = AB + AC กฎการแจกแจง

32. คุณสมบัติของการคูณเมตริกซ์ (A + B)C = AC + BC กฎการแจกแจง ถ้า AB = AC แล้ว ไม่จำเป็นว่า B = C ถ้า BA = CA แล้ว ไม่จำเป็นว่า B = C 9. ถ้า AB = O แล้ว ไม่จำเป็นว่า A = O หรือ B = O

33. Ex. กำหนดให้ และ จงแก้สมการหาเมตริกซ์ X เมื่อ

34. 3. ชนิดของเมตริกซ์ 3.1 เมตริกซ์สลับเปลี่ยน (Transposed Matrix) ถ้า แล้ว เมตริกซ์สลับเปลี่ยนของ A คือ และใช้สัญลักษณ์ ATหรือ A' แทนเมตริกซ์สลับเปลี่ยนของ A

35. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43 เช่น A = 4x3 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 A T= 3x4

36. คุณสมบัติของเมตริกซ์สลับเปลี่ยน 1. (AT)T = A (kA )T = kATเมื่อk เป็นสเกลล่าร์ 3. (A + B)T = AT + BT (AB)T = BTAT ATBT≠ BTAT 6. (ABC)T = CTBTAT

37. Ex.จงหาเมตริกซ์สลับเปลี่ยนของเมตริกซ์ต่อไปนี้ 1 2 3 0 -4 7 AT = A = 4 4 -1 2 3 -4 -7 2 3 BT = B = 2 8 2 CT = C =

38. กำหนดให้ จงหา At Bt Ct Dt (At )t 6. 2At 7. -3Bt 8. D+Ct 9. AB-Bt 10. (At )2 11. (AB)t 12. BtAt 13. (B+C)t 14. (3B-2D)t 15. (D+Ct )2

39. 3.2 เมตริกซ์สมมาตร (Symmetric Matrix) และ เมตริกซ์เสมือนสมมาตร (Skew Symmetric Matrix) เมตริกซ์สมมาตร คือเมตริกซ์จัตุรัสที่มีคุณสมบัติว่า A =At เมตริกซ์เสมือนสมมาตร คือเมตริกซ์จัตุรัสที่มีคุณสมบัติว่า A = -At

40. Ex. ดังนั้น A เป็นเมตริกซ์สมมาตร ดังนั้น B ไม่เป็นเมตริกซ์สมมาตร

41. 3.3 เมตริกซ์เฮอร์มิเชียน (Hermitian Matrix) และ เมตริกซ์เสมือนเฮอร์มิเชียน (Skew Hermitian Matrix) เมตริกซ์เฮอร์มิเชียน คือเมตริกซ์จัตุรัสซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่มีคุณสมบัติว่า เมตริกซ์เสมือนเฮอร์มิเชียน คือเมตริกซ์จัตุรัสซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน ที่มีคุณสมบัติว่า คือเมตริกซ์สังยุค (Conjugate) ของเมตริกซ์ ซึ่งมีสมาชิกเป็นคู่สังยุคของสมาชิกเมตริกซ์ ที่สมนัยกัน

42. Ex. ดังนั้น Aเป็นเมตริกซ์เฮอร์มิเชียน ดังนั้น Bไม่เป็นเมตริกซ์เสมือนเฮอร์มิเชียน

43. 3.4 เมตริกซ์สามเหลี่ยม (Triangular Matrix) เมตริกซ์สามเหลี่ยมบน (Lower Triangular Matrix) คือ เมตริกซ์จัตุรัสใดๆ ที่มีสมาชิกทุกตัวที่อยู่เหนือเส้นทแยงมุมหลัก เป็นศูนย์หมด เมตริกซ์สามเหลี่ยมล่าง (Upper Triangular Matrix) คือ เมตริกซ์จัตุรัสใดๆ ที่มีสมาชิกทุกตัวที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลัก เป็นศูนย์หมด

44. เช่น เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยมบน เป็นเมตริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

45. 3.5 เมตริกซ์มีคาบ (Periodic Matrix) เมตริกซ์จัตุรัส A ใดๆ จะเรียกว่ามีคาบ k ถ้ามีจำนวนเต็มบวก kที่เล็กที่สุดที่ทำให้ Ak+1= A

46. 3.6ไอเดมโพเทนต์เมตริกซ์ (Idempotent Matrix) และ นิลโพเทนต์เมตริกซ์ (Niplotent Matrix) ไอเดมโพเทนต์เมตริกซ์ คือเมตริกซ์จัตุรัส A ใดๆที่มีคุณสมบัติว่า A2 = A หรือเป็นเมตริกซ์มีคาบเท่ากับหนึ่ง นิลโพเทนต์เมตริกซ์ คือเมตริกซ์จัตุรัส A ใดๆที่มีคุณสมบัติว่า AP = O ซึ่ง P เป็นจำนวนเต็มบวกที่เล็กที่สุด และ O เป็นเมตริกซ์ศูนย์

47. 3.7 เมตริกซ์ลดรูปเป็นศูนย์ (Echelon Matrix) และ เมตริกซ์ลดรูปเป็นขั้น (Reduced Echelon Matrix) เมตริกซ์ลดรูปเป็นศูนย์ คือเมตริกซ์ เมตริกซ์ ที่มีคุณสมบัติดังนี้ 1. แถวที่มีสมาชิกเป็น “0” ทั้งหมด (ถ้ามี) จะอยู่แถวล่างสุด 2. สมาชิกที่ไม่ใช่ “0” ตัวแรกในแต่ละแถวจะต้องเป็น “1” 3. “1”ตัวแรกในแต่ละแถวจะต้องปรากฏอยู่ในสดมภ์ที่อยู่ทาง ด้านขวาของ “1” ตัวแรกในแถวข้างบนที่ติดกัน

48. เมตริกซ์ลดรูปเป็นขั้น คือเมตริกซ์ เมตริกซ์ ที่มีคุณสมบัติดังนี้ 1. อยู่ในรูปเมตริกซ์ลดรูปเป็นศูนย์ (Echelon Matrix) “1” ตัวแรกในแต่ละแถว เมื่อปรากฏอยู่ในสดมภ์ใดแล้ว สมาชิกตัวอื่นๆในหลักนั้นจะเป็น “0” ทั้งหมด

49. 4 2 3 0 1 1 2 0 0 1 5 A = 1 2 3 0 0 4 0 0 0 0 0 0 B = Ex.เมตริกซ์ต่อไปนี้อยู่ในรูป row echelon หรือไม่ อยู่ในรูป row echelon ไม่อยู่ในรูป row echelon

50. 0 1 0 -1 0 0 3 0 0 0 0 0 C = 0 0 1 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 D = Ex.เมตริกซ์ต่อไปนี้อยู่ในรูป row echelon หรือไม่ ไม่อยู่ในรูป row echelon ไม่อยู่ในรูป row echelon

51. 0 0 0 1 0 0 0 1 A = 1 2 0 0 1 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 B = Ex.เมตริกซ์ใดที่อยู่ในรูป row reduced echelon อยู่ในรูป row reduced echelon อยู่ในรูป row reduced echelon

52. 0 1 0 0 0 1 0 0 0 C = 0 1 0 0 0 0 D = Ex.เมตริกซ์ใดที่อยู่ในรูป row reduced echelon อยู่ในรูป row reduced echelon อยู่ในรูป row reduced echelon

53. 3.8 เมตริกซ์ย่อย (Submatrix) เมตริกซ์ย่อยของเมตริกซ์ A คือสมาชิกในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ยังคงอยู่ เมื่อตัดบางแถว หรือบางสดมภ์ของเมตริกซ์ Aออกแล้ว หรือตัดทั้งแถวและสดมภ์ของ A ออกแล้ว ในการแบ่งเมตริกซ์เป็นเมตริกซ์ย่อย จะใช้เส้นประเป็นเส้นแบ่งกั้น เช่น

54. 3.9 เมตริกซ์สัมประสิทธิ์ (Coefficient Matrix) ในรูปของสมการเชิงเส้น (Linear Equation) สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเมตริกซ์ได้ a11x1 + a12x2 + a13x3 + ……. + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + ……. + a2nxn = b2 . . am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……. + amnxn = bm

55. เขียนได้เป็น AX = B โดยที่ a11 a12 a13……. a1n a21 a22a23……. a2n . am1 am2 am3……. amn A = mxn x1 x2 . xn b1 b2 . bm X = และ B = nx1 mx1

56. เรียกเมตริกซ์ Aว่าเป็น เมตริกซ์สัมประสิทธิ์ และ [A : B] เรียกว่า เมตริกซ์แต่งเติม (Augmented Matrix) เรียกเมตริกซ์ Xว่าเป็น เมตริกซ์ตัวไม่ทราบค่า (Unknown) และเรียกเมตริกซ์ Bว่าเป็น เมตริกซ์ค่าคงที่ (Constant)

57. 1 -1 -2 2 A = 3.10 เมตริกซ์เอกฐาน (Singular Matrix) และ เมตริกซ์ที่ไม่ใช่เอกฐาน (Non-Singular Matrix) เมตริกซ์เอกฐาน คือเมตริกซ์จัตุรัสที่ไม่สามารถหาเมตริกซ์อื่นใดมาคูณ แล้วให้ผลคูณเป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ได้ เช่น

58. เมตริกซ์ที่ไม่ใช่เอกฐาน คือเมตริกซ์จัตุรัสที่สามารถหาเมตริกซ์อื่นใดมาคูณ แล้วให้ผลคูณเป็นเมตริกซ์เอกลักษณ์ได้ บางที่เรียกว่า Invertible Matrix เช่น 2 1 -2 2 A =