Mata kuliah Metode Numerik membahas metode-metode numerik untuk menyelesaikan masalah matematika seperti sistem persamaan linear dan non-linear, interpolasi, integrasi numerik, dan persamaan diferensial dengan menggunakan operasi hitungan berulang-ulang. Mata kuliah ini juga membahas konversi antar sistem bilangan desimal, biner, oktal, dan heksadesimal.

1. Metode Numerik
(2 SKS)
Kuliah pertama
Oleh :
Edi Supriadi
3/18/2013 1

2. Deskripsi Mata Kuliah
• Mata kuliah ini membahas tentang sistem
bilangan, jenis-jenis kesalahan, kesalahan
absolut dan relatif,akar-akar persamaan
tak linear, menentukan akar-akar SPL,
analisa interpolasi, integrasi numerik dan
persamaan diferensial biasa serta
persamaan diferensial parsial.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 2

3. Literatur :
1. Sahid dan fauzan. 2000. Metode Numerik.
Yogyakarta : FMIPA UNY.
2.Wahyudin. 1987. Metode Analisis Numerik. Bandung.
Tarsito.
3.I Nyoman Susila. 1993, Dasar-dasar Metode
Numerik. Jakarta : Erlangga.
3/18/2013 3
Metode Numerik_Edi Supriadi

4. KRITERIA PENILAIAN
1 Kehadiran dan keaktifan dikelas 10 %
２．Kuis dan Tugas 15 %
３．Ujian Tengah Semester
25 %
４．Ujian Akhir Semester 50 %
Jumlah 100 %
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 4

5. Metode Numerik (MN)
• MN Adalah suatu metode untuk menyelesaikan
masalah. Masalah yang diformulasikan secara
matematis dengan cara operasi hitungan (aritmetik)
• MN Sanggup menangani system persamaan yang
besar, tidak linier serta geometri rumit yang sering
kali tidak memungkinkan dipecahkan secara analitis
atau rumus pada kalkulus.
• Dalam metode numeric dilakukan operasi hitungan
dalam jumlah yang sangat banyak dan berulang-
ulang.
• Terkadang Untuk memudahkan, Di perlukan
bantuan computer untuk melaksanakan operasi
hitungan tersebut.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 5

6. Materi Kuliah
1. Sistem bilangan
2. Jenis-jenis kesalahan
3. Kesalahan absolut dan relatif
4. Sistem persamaan non linier
– Metode bagi dua
– Metode posisi palsu/salah
– Metode iterasi dan secant
– Metode Newton-Rapshon
5. Sistem Persamaan Linear
- Metode Eliminasi Gauss
- Iterasi Jacobi
- Iterasi Gauss-Seidel
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 6

7. Materi Kuliah
6. Interpolasi
- Interpolasi Linier
- Interpolasi kuadrat
- Interpolasi beda terbagi Newton
- Interpolasi Polinomial Lagrange
= Interpolasi Spline
7. Fungsi tak diketahui secara numerik
- Selisih maju dua titik
- Selisih mundur dua titik
- Selisih pusat
- Ekstrapolasi
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 7

8. Materi Kuliah
8. Integrasi Numerik
- Metode Trapesium
- Metode Simpson
- Integrasi Romberg
- Integrasi Quadrature-Gauss
9. Persamaan Diferensial secara Numerik
- Metode Euler
- Metode Runge Kutta orde 2 dan 4
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 8

9. Sistem Bilangan
Tujuan Belajar:
•Memahami jenis-jenis sistem bilangan yang
dikenal sistem komputer.
•Memahami cara melakukan konversi antar sistem
bilangan.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 9

10. Definisi
• Sistem Bilangan (number system) adalah suatu
cara untuk mewakili besaran dari suatu item
fisik.
• Sistem bilangan yang banyak digunakan
manusia adalah desimal, yaitu sistem bilangan
yang menggunakan 10 macam simbol untuk
mewakili suatu besaran.
• Logika komputer diwakili oleh 2 elemen 2
keadaan (twostate elements), yaitu : keadaan
off (tidak ada arus) dan keadaan on (ada
arus), yang disebut sistem bilangan binary
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 10

11. Jenis-jenis Sistem Bilangan
Sistem bilangan menggunakan suatu
bilangan dasar atau basis (base atau
disebut juga radix) yang tertentu.
Suatu sistem bilangan, senantiasa
mempunyai Base (radix), absolute digit dan
positional (place) value.
Basis yang dipergunakan dimasing-masing
sistem bilangan tergantung dari jumlah
nilai bilangan yang dipergunakan.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 11

12. Jenis sistem bilangan
• Sistem Bilangan Desimal (Decimal Numbering
System) dengan basis 10, menggunakan 10 macam
simbol bilangan.
• Sistem Bilangan Biner (Binary Numbering System)
dengan basis 2, menggunakan 2 macam simbol
bilangan
• Sistem Bilangan Octal (Octenary Numbering
System), dengan basis 8, menggunakan 8 macam
simbol bilangan
• Sistem Bilangan Hexadesimal (Hexadenary
Numbering System) dg basis 16, menggunakan 16
macam simbol bilangan
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 12

13. Konversi Bilangan
• Setiap angka pada suatu sistem bilangan dapat dikonversikan
(disamakan/diubah) ke dalam sistem bilangan yang lain. Di
bawah ini dibuat konversi (persamaan) dari 4 sistem bil. yang
akan dipelajari :
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 13

14. SISTEM BILANGAN DESIMAL
• Menggunakan 10 macam simbol bilangan berbentuk
10 digit angka, yaitu : 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9.
• Dapat berbentuk integer desimal (decimal integer
atau pecahan desimal (decimal fraction)
• Contoh : nilai 8598 adalah integer desimal
(bilangan bulat),yangdapat diartikan :
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 14

15. • Absolute value merupakan nilai mutlak dari
masing2 digit bilangan.
• Position value (nilai posisi) merupakan penimbang
atau bobot dari masing2 digit tergantung dari
letak posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan
dengan urutan Posisinya.
Sehingga nilai 8598 dapat juga diartikan
sebagai :
(8x1000) + (5 x 100) + (9 x 10)+ (8 x 1)
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 15

16. Sistem bilangan Binari
• Menggunakan 2 macam simbol bilangan berbentuk
2 digit angka, yaitu 0 dan 1.
• Binari menggunakan basis 2.
• Contoh :
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 16

17. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 17

18. Sistem Bilangan Oktal
• Menggunakan 8 macam simbo bilangan, yaitu : 0, 1,
2,3, 4, 5, 6, dan 7.
• Menggunakan basis 8.
• Position value sistem bilangan oktal merupakan
perpangkatan dari nilai 8.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 18

19. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 19

20. SISTEM BILANGAN HEXADISIMAL
• Menggunakan 16 macam simbol, yaitu : 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E dan F.
• Menggunakan basis 16.
• Digunakan terutama pada komputer2 mini,
misalnya :IBM System 360, Data General’s Nova,
PDP-11 DEC, Honeywell, dan beberapa komputer
mini lainnya.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 20

21. 3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 21

22. KONVERSI BILANGAN
dari DESIMAL ke BINARI, OKTAL dan
HEXA
• Metode yang paling banyak digunakan adalah metode sisa
(remainder method), dimana bilangan desimal yang akan
dikonversi di bagi dengan basis bilangan konversi kemudian
diambil sisanya sampai tidak dapat dibagi lagi.
Desimal ke Binary
Contoh :
Bilangan desimal 45 akan dikonversi ke Binary, maka
hasilnya :
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 22

23. Contoh 2
Konversi bilangan bulat desimal ke biner dilakukan
dengan membagi secara berulang-ulang suatu bilangan
desimal dengan 2. Sisa setiap pembagian merupakan
bit yang didapat
Contoh: Konversi 625des ke biner
625 / 2 = 312 sisa 1
312 / 2 = 156 0
156 / 2 = 78 0
78 / 2 = 39 0
39 / 2 = 19 1
19 / 2 = 9 1
9/2 =4 1
4/2 =2 0
2/2 =1 0
1/2 =0 1
Jadi 625des = 1001110001bin
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 23

24. Konversi Bilangan Pecahan Desimal Ke Biner
Caranya : Kalikan suatu bilangan desimal pecahan
dengan 2. Bagian pecahan dari hasil perkalian ini
dikalikan dengan 2. Langkah ini diulang hingga didapat
hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap hasil perkalian
merupakan bit yang didapat
Contoh: Konversi 0,75 des ke Biner
0,75 X 2 = 1,50 sisa 1
0,50 X 2 = 1,00 1
0X2 = 0,00 0
Jadi 0,75des = 0,110bin
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 24

25. Konversi bilangan desimal ke oktal
Contoh Bilangan Bulat :
625des = 1161okt
625 / 8 = 78 sisa 1
78 / 8 = 9 6
9/8 =1 1
1/8 =0 1
Contoh Bilangan Pecahan :
0,1des = 0,063….okt
0,1 X 8 = 0,8 sisa 0
0,8 X 8 = 6,4 6
0,4 X 8 = 3,2 3
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 25

26. Konversi Bilangan Bulat Desimal ke
Heksadesimal
Konversi bilangan bulat desimal ke
heksadesimal dilakukan dengan membagi secara
berulang-ulang suatu bilangan desimal dengan
16. Sisa setiap pembagian merupakan digit
heksadesimal yang didapat.
Contoh: Konversi 625des ke Heksadesimal
625 / 16 = 39 sisa 1
39 / 16 = 2 7
2 / 16 =0 2
Jadi 625des = 271heks
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 26

27. Konversi Bilangan Pecahan Desimal
ke Heksadesimal
Konversi bilangan pecahan desimal ke heksadesimal dilakukan
dengan cara mengalikan suatu bilangan desimal pecahan dengan 16.
Bagian pecahan dari hasil perkalian ini dikalikan dengan 16. Langkah
ini diulang hingga didapat hasil akhir 0. Bagian bulat dari setiap
hasil perkalian merupakan digit yang didapat.
Contoh: 0,75des = 0,Cheks
0,75 X 16 = C
Contoh: 0,1des = 0,19 ...... heks
0,10 X 16 = 1,6 sisa 1
0,60 X 16 = 9,6 9
dst….
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 27

28. Konversi Bilangan Biner Ke Desimal
Contoh Bilangan Bulat:
1010011 =1 X 26 + 0 X 25 + 1 X 24 + 0 X 23 + 0 X 22 + 1 X
21 + 1 X 20
= 64 + 0 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1
= 83des
Contoh Bilangan Pecahan:
110,01 = 1 X 22 + 1 X 21 + 0 X 20 + 0 X 2-1 + 1 X 2-2
= 4 + 2 + 0 + 0 + 0,25
= 6,25des
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 28

29. Konversi Bilangan Oktal ke
Desimal
Contoh bilangan bulat:
1161okt = 625des
1161okt Berarti :
= 1 X 83 + 1 X 8 2 + 6 X 8 1 + 1 X 80
= 512+64+48+1
= 625des
Contoh bilangan pecahan:
13,6okt = 11,75des
13,6okt Berarti :
= 1 X 81 + 3 X 80 + 6 X 8-1
= 8 + 3 + 0,75
= 11,75des
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 29

30. Konversi Bilangan Heksadesimal ke
Desimal
271heks = 625des
271heks
= 2 X 162 + 7 X 161 + 1 X 160
= 512 + 112 + 1
= 625des
0,Cheks = 0,75des
0,C heks
= 0 X 160 + 12 X 16-1
= 0 + 0,75
= 0,75des
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 30

31. Assignment
1. Konversikan bilangan heksadesimal berikut ke desimal :
1. A7F
2. 38C,B9
2. Konversikan bilangan Biner berikut ke desimal :
1. 11010
2. 1010,1011
3. Konversikan bilangan oktal berikut ke desimal :
1. 465
2. 31,6
4. Konversikan bilangan desimal berikut ke biner, oktal dan
heksadesimal:
1. 8217 2. 0,24
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 31

32. Angka penting/ Nilai signifikan
Nilai signifikan suatu nilai dimana jumlah angka
ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima
atau tidak.
• Terdiri dari digit 1,2 3,4,5,6,7,8,9 dan 0
• Untuk 0 tidak termasuk angka signifikan jika
digunakan untuk menentukan titik desimal atau
untuk mengisi t empat2 dari digit yang tidak
diketahui/dibuang.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 32

33. Perhatikan nilai pada penggaris
Dengan nilai signifikan= 1, maka nilai adalah53
atau 54
Dengan nilai signifikan= 0,1, maka nilai adalah
53 atau53,5
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 33

34. • Konsep angka signifikan  keandalan sebuah nilai numerik
• Banyak angka signifikan  banyaknya digit tertentu yg dpt
dipakai dengan meyakinkan
• Selain angka signifikan, jg ada angka taksiran
• Angka 0 (nol) tdk sll pasti mjd angka signifikan,
• 0,000123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)
• 0,00123  mengandung 3 AS (nol bkn merupakan AS)
• 12.300  5 angka signifikan
•
• 1,23 x 104  mengandung 3 AS (memakai notasi ilmiah)
• 1,230 x 104  mengandung 4 AS (memakai notasi ilmiah)
• 1,2300 x 104  mengandung 5 AS (memakai notasi
ilmiah)
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 34

35. AKURASI DaN PRESISI
Nilai presisi mengacu pada jumlah angka signifikan yang
digunakan Dan sebaran bacaan berulang pada alat ukur
Pemakaian alat ukur penggaris dan jangka sorong akan
mempunyai Perbedaan nilai presisi. Pemakaian jangka
sorong mempunyai Presisi yang lebih tinggi.
Nilai akurat atau akurasi mengacu pada dekatnya nilai
pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nilai
eksak.
Misalkan nilai eksak diketahui ½,sedangkan
hasil pendekatan Adalah 0.500001 maka hasil
ini dikatakan akurat bila torelansinya=10E-4.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 35

36. AKURASI DAN PRESISI
(a) Menunjukkan hasil yang akurat dan presisi.
(b)Menunjukkan hasil yang presisi tetapi tidak akurat.
(c)Menunjukkan hasil yang sebenarnya akurat tetapi
tidak presisi.
(d)Menunjukkan hasil yang tidak akurat dan tidak
3/18/2013
presisi Metode Numerik_Edi Supriadi 36

37. ATURAN PEMBULATAN
1. Jika bilangan yang dibuang kurang dari ½satuan dari tempat
yang ke–n, maka angka yang ke-n tetap tidak dirubah
2. Jika bilangan yang dibuang lebih dari ½satuan dari tempat
yang ke–n, maka angka yang ke-n ditambah dengan 1
3. Jika bilangan yang dibuang tepat ½ satuan dalam tempat yang
ke-n, maka angka yang ke-n tidak dirubah, jika angka yang ke-n
adalah genap atau angka yang ke-n ditambah dengan 1 (satu) jika
angka yang ke-n gasal, dengan kata lain perkataan membulatkan
sedemikian hingga angka yang ke-n adalah genap.
Jika suatu bilangan sudah dibulatkan menurut
aturan diatas bilangan itu dikatakan betul
(correct) sampai n angka yang berarti
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 37

38. GALAT (KESALAHAN)
• Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan
matematis hanya memberikan nilai perkiraan yang
mendekati nilai eksak (yang benar) dari
penyelesaian analitis.
• Penyelesaian numerik akan memberikan kesalahan
terhadap nilai eksak
• Ada 3 macam kesalahan dasar;
1. Galat bawaan (inheren)
2.Galat pemotongan
3.Galat pembulatan
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 38

39. Galat bawaan (Inheren)
• Galat dalam nilai data
• Terjadi akibat kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca
skala atau kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai
hukum-hukum fisik dari data yang diukur.
• Berhub dg galat pd data yg dioperasikan oleh suatu komputer dg
beberapa prosedur numerik.
Contoh :
Pengukuran selang waktu 2,3 detik :
 Terdapat beberapa galat karena hanya dg suatu kebetulan
selang waktu akan diukur tepat 2,3 detik.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 39

40. Galat Pemotongan (Truncation Error)
• Berhubungan dg cara pelaksanaan prosedur numerik
• Contoh pada deret Taylor tak berhingga :
x3 x5 x7 x9
sin x x ........
3! 5! 7! 9!
• Dapat dipakai untuk menghitung sinus sebarang sudut x
dalam radian
• Jelas kita tdk dapat memakai semua suku dalam
deret, karena deretnya tak berhingga
• Kita berhenti pada suku tertentu misal x9
• Suku yg dihilangkan menghasilkan suatu galat
• Dalam perhitungan numerik galat ini sangat penting
# bisa juga timbul karena
pemotongan angka signifikan
3/18/2013 40
Metode Numerik_Edi Supriadi

41. Galat Pembulatan
• Akibat pembulatan angka
• Terjadi pada komputer yg disediakan beberapa
angka tertentu misal; 5 angka :
• Penjumlahan 9,2654 + 7,1625
hasilnya 16,4279
Ini terdiri 6 angka sehingga tidak dapat
disimpan dalam komputer kita dan akan dibulatkan
menjadi 16,428
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 41

42. Galat Relatif dan Absolut
• Galat absolut suatu bilangan adalah selisih antara
nilai sebenarnya (dengan anggapan telah diketahui)
dgn suatu pendekatan pada nilai sebenarnya.
• Hubungan antara nilai eksak (nilai
sebenarnya), nilai perkiraan dan kesalahan
diberikan dalam bentuk :
x x e
dimana :
x = nilai eksak
x = pendekatan pd nilai sebenarnya
e = kesalahan /error
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 42
42

43. e kesalahan absolut
e x x
Kesalahan absolut tidak menunjukkan besarnya tingkat
kesalahan.
Contoh :
Kesalahan 1 cm pd. pengukuran pensil akan sangat terasa dibanding
dengan kesalahan yg sama pd pengukuran panjang jembatan.
Kesalahan relatif
kesalahan absolut dibagi nilai pendekatan
galat absolut dibagi nilai sebenarnya
e
e x 100 %
x
•Nilai eksak bila diselesaikan secara analitis
•Metode numerik nilai eksak tidak diketahui
•Kesalahan diberikan (berdasar pd nilai terbaik dari nilai eksak)
3/18/2013 43
43
Metode Numerik_Edi Supriadi

44. a x 100 %
x
• x nilai perkiraan terbaik Dalam metode numerik
pendekatan iteratif
• Perkiraan sekarang dibuat berdasar perkiraan
sebelumnya, sehingga :
n 1 n
x x
a n 1
x 100 %
x
• dimana :
n
• x = nilai perkiraan pada iterasi ke n
n 1
• x = nilai perkiraan pada iterasi ke n+1
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 44
44

45. Contoh :
Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil
9999 cm dan 9 cm. Apabila panjang yg benar (eksak) adalah
10.000 cm dan 10 cm. Hitung kesalahan absolut dan relatif!
Solusi :
a. Kesalahan absolut
Jembatan : e x x = 10.000 – 9999 = 1 cm
Pensil : = 10 – 9 = 1 cm
b. Kesalahan relatif
e 1
Jembatan : e x 100 % X 100 % 0.01 %
x 10000
e 1
Pensil ; e x 100 % X 100 % 10 %
x 10
Kedua kesalahan sama yaitu 1 cm tetapi kesalahan
relatif pensil adalah jauh lebih besar
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 45
45

46. Deret Taylor
• Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah
dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan
diferensial.
• Jika fungsi f(x) diketahui di titik xi
• Semua turunan dari f terhadap x diketahui pada titik tersebut.
• Dengan deret Taylor dapat dinyatakan nilai f pada titik xi+1 yg
terletak pada jarak x dari titik xi.
x x2 x3 xn
f (x i 1 ) f (x i ) f ' (x i ) f " (x i ) f '" (x i ) ..... fn( x i ) Rn
1! 2! 3! n!
dimana :
f ( x i ) = fungsi di titik x
f ( x i 1 ) = fungsi di titik x
i+1
f ' , f " , .....f n = turunan pertama, kedua, …. ke n dari fungsi
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 46
46

47. • x = jarak antara xi dan xi + 1
• Rn = kesalahan pemotongan
• ! = operator faktorial, misal 2! = 1 x 2
Kesalahan pemotongan Rn :
n 1 xn 1 n 2 xn 2
Rn f (x i ) f (x i ) .....
(n 1)! (n 2)!
1. Order nol (Memperhitungkan satu suku pertama)
f (x i 1 ) f (x i )
Perkiraan akan benar bila fungsi yg diperkirakan adalah konstan
2. Order 1 (Memperhitungkan dua suku pertama)
x
f (x i 1 ) f (x i ) f ' (x i )
1!
Berupa garis lurus ( naik/turun )
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 47
47

48. 3. Order 2 (Memperhitungkan tiga suku pertama)
x x2
f (x i 1 ) f (x i ) f ' (x i ) f " (x i )
1! 2!
f(x)
Order 2
Order 1
y Order 0
i xi+1 x
Gb. Perkiraan suatu fungsi dgn deret Taylor.
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 48
48

49. Kesalahan Pemotongan pada Deret Taylor
Rn O( x n 1 )
Indek n deret yg diperhitungkan sampai suku ke n
Indek n +1 kesalahan pemotongan mempunyai order n+1
Kesalahan pemotongan akan kecil bila :
1. Interval x adalah kecil
2. Memperhitungkan lebih banyak suku deret Taylor
Pada perkiraan order 1 besar kesalahan pemotongan :
x2 x3
O( x 2 ) f " (x i ) f '" (x i ) .....
2! 3!
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 49
49

50. ASSIGNMENT
1. Diketahui b= 1.648721271,
Bila b dinyatakan dalam 4 desimal, berapakah
relatif errornya?
2. π=3,14159265358…, bila π dinyatakan dalam 6
desimal, hitunglah error relatif jika:
a. dilakukan pemotongan tanpa pembulatan?
b. dilakukan pemotongan dengan pembulatan?
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 50

51. TERIMA KASIH
3/18/2013 Metode Numerik_Edi Supriadi 51