Resolução PETROBRÁS Matemática 2017

PETROBRÁS
PROVA RESOLVIDA - MATEMÁTICA
Prof. Arthur Lima
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Olá pessoal, tudo bem? Deixo abaixo a resolução das questões de
Matemática da prova da PETROBRÁS:
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Os conjuntos P e Q têm p e q elementos,
respectivamente, com p + q = 13. Sabendo-se que a razão entre o número de
subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq?
(A) 16
(B) 32
(C) 36
(D) 42
(E) 46
RESOLUÇÃO:
O número de subconjuntos de um conjunto é igual a 2n, onde n é o número de
elementos.
Um conjunto com p elementos tem 2p subconjuntos, e um conjunto com q
elementos tem 2q subconjuntos. Como a razão entre os subconjuntos é 32:
2
2
= 32
2p-q = 25
Da equação acima, vemos que:
p – q = 5
Sabemos ainda que p + q = 13. Somando as duas equações, “cancelamos” a
variável q, ficando:
2p = 18
p = 9
p + q = 13
9 + q = 13
q = 4

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O produto p.q é 9.4 = 36.
Resposta: C
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Qual o maior valor de k na equação log(kx)
= 2log(x+3) para que ela tenha exatamente uma raiz?
(A) 0
(B) 3
(C) 6
(D) 9
(E) 12
RESOLUÇÃO:
log(kx) = 2log(x+3)
log(kx) = log(x+3)2
kx = (x+3)2
kx = x2 + 6x +9
x2 + (6-k)x + 9 = 0
Para ter apenas uma raiz, o delta deve ser zero:
(6 – k)2 – 4.1.9 = 0
(6 – k)2 – 36 = 0
36 – 12k + k2 – 36 = 0
– 12k + k2 = 0
k.(k – 12) = 0
k = 0
ou
k – 12 = 0  k = 12
O maior valor de k é 12.
Resposta: E
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Quantos valores reais de x fazem com que
a expressão (x2 - 5x + 5)x2+4x-60 assuma valor numérico igual a 1?
(A) 2

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(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
RESOLUÇÃO:
Para esta expressão assumir o valor 1, temos 3 possibilidades:
 a equação do expoente assumir valor ZERO;
 a equação da base assumir valor UM;
 a equação da base assumir o valor -1 e o expoente ser um valor par.
Começando pelo primeiro caso.
x2 + 4x – 60 = 0
delta = 42 – 4.1.(-60) = 16 + 240 = 256
raiz de delta = √256 = 16
Os valores possíveis para x são:
𝑥 =
−4 ± 16
2.1
= −2 ± 8
x = 6 ou x = -10
No segundo caso:
x2 - 5x + 5 = 1
x2 - 5x + 4 = 0
delta = (-5)2 – 4.1.4
delta = 25 – 16 = 9
raiz de delta = 3
Os valores possíveis para x são:
𝑥 =
−(−5) ± 3
2.1
=
5 ± 3
2

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Assim,
x = 4 ou x = 1
No terceiro caso:
x2 - 5x + 5 = -1
x2 - 5x + 6 = 0
delta = (-5)2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1
raiz de delta = 1
Os valores possíveis de x são:
𝑥 =
−(−5) ± 1
2.1
=
5 ± 1
2
Assim,
x = 3 ou x = 2
Vejamos se o expoente será um valor par em algum desses casos:
x = 3:
x2 + 4x – 60 = 32 + 4.3 – 60 = -27
x = 2:
x2 + 4x – 60 = 22 + 4.2 – 60 = -48
Neste caso teremos a expressão igual a 1, pois:
(−1) =
1
(−1)
=
1
1
= 1
Logo, existem 5 valores de x que tornam a expressão igual a 1.
Resposta: D

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CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Uma loja de departamento colocou 11 calças
distintas em uma prateleira de promoção, sendo 3 calças de R$ 50,00, 4 calças de
R$ 100,00 e 4 calças de R$ 200,00. Um freguês vai comprar exatamente três dessas
calças gastando, no máximo, R$ 400,00.
De quantos modos diferentes ele pode efetuar a compra?
(A) 46
(B) 96
(C) 110
(D) 119
(E) 165
RESOLUÇÃO:
Veja que é possível juntar 3 das 7 calças mais baratas (de 50 ou 100 reais) e
o valor final será inferior a 400 reais. Portanto, só aqui temos:
C(7,3) = = 7𝑥5 = 35 combinações
Além disso, podemos juntar 2 das 7 calças mais baratas e 1 das 4 calças mais
caras (de 200 reais):
C(7,2) x 4 = 21 x 4 = 84
O total de formas de realizar a compra é de 35 + 84 = 119.
Resposta: D
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) A soma dos n primeiros termos de uma
progressão geométrica é dada por



4
3 81
2 3
n
n n
S
x
. Quanto vale o quarto termo dessa
progressão geométrica?
(A) 1
(B) 3
(C) 27
(D) 39
(E) 40
RESOLUÇÃO:
O quarto termo é exatamente a diferença entre a soma dos 4 primeiros e a
soma dos 3 primeiros. Isto é,

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4º termo = S4 – S3
Calculando as somas:
𝑆4 =
3 − 81
2𝑥3
=
3 . 3 − 3
2𝑥3
=
3 − 1
2
=
81 − 1
2
= 40
𝑆3 =
3 − 81
2𝑥3
=
3 . 3 − 3
2𝑥3
=
3 − 3
2
=
81 − 3
2
= 39
Assim,
4º termo = S4 – S3 = 40 – 39 = 1
Resposta: A
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Na matriz
2 2 2
1 1 1
A m n p
m n p
 
   
  
, m, n e p são
números inteiros ímpares consecutivos tais que m < n < p.
O valor de det A+ det A + 4
det A é
(A) 2
(B) 8
(C) 16
(D) 20
(E) 22
RESOLUÇÃO:
Calculando o determinante:
detA = 1.n.p2 + 1.m.n2 + 1.p.m2 – 1.n.m2 – 1.m.p2 – 1.p.n2
Como m, n e p são números inteiros ímpares consecutivos, nesta ordem,
podemos dizer que:
m = n – 2
p = n + 2
Logo,
m2 = n2 – 4n + 4

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p2 = n2 + 4n + 4
Substituindo na equação anterior,
detA = 1.n.( n2 + 4n + 4) + 1.(n-2).n2 + 1.(n+2).( n2 – 4n + 4) – 1.n.( n2 – 4n + 4) – 1.
(n-2).( n2 + 4n + 4) – 1.(n+2).n2
detA = n.( n2 + 4n + 4) + n3 - 2n2 + n.( n2 – 4n + 4) + 2(n2 – 4n + 4) – n.( n2 – 4n + 4)
– n.( n2 + 4n + 4) + 2.(n2 + 4n + 4) – n3 - 2n2
detA = - 2n2 + 2(n2 – 4n + 4) + 2.(n2 + 4n + 4) - 2n2
detA = - 2n2 + 2n2 – 8n + 8 + 2n2 + 8n + 8 - 2n2
detA = 8 + 8
detA = 16
Logo,
det A+ det A + 4
det A =
16 + √16 + √16 =
16 + 4 + 2 =
22
Resposta: E
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) A Figura a seguir mostra um cilindro reto, um
cone reto e uma esfera que tangencia a base do cilindro e as geratrizes do cilindro e
do cone. O cone e o cilindro têm como base um círculo de raio 7 cm e a mesma altura
que mede 24 cm.

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Qual o volume, em centímetros cúbicos, da região interior ao cilindro e exterior à
esfera e ao cone?
(A) 800 π
(B) 784 π
(C) 748 π
(D) 684 π
(E) 648 π
RESOLUÇÃO:
Veja a figura abaixo, na qual marquei alguns pontos:
Veja que:
- F é o centro da esfera.
- A é o ponto de contato da esfera com a geratriz do cone (BG). O ângulo formado é
de 90 graus, uma vez que a esfera tangencia o cone.
- E é o ponto de contato da esfera com a lateral do cilindro (DG). O ângulo formado é
também de 90 graus, uma vez que a esfera tangencia o cilindro.
- C é o ponto de contato da esfera com a base do cilindro, também formando ângulo
de 90 graus.
Sendo R o raio da esfera, podemos dizer que todos os segmentos abaixo
medem R:

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AF, CF, EF, DE, CD
Como o raio da base do cilindro é 7, o segmento BD mede 7. Veja que:
BD = BC + CD
7 = BC + R
BC = 7 – R
Como os segmentos BC e AB tangenciam a circunferência e partem do mesmo
ponto (B), eles tem o mesmo tamanho. Isto é, AB = 7 – R.
Veja que temos um triângulo retângulo BDG, no qual um cateto é BD = 7, e o
outro é DG = 24 (altura do cilindro). Podemos obter a hipotenusa BG pelo teorema de
Pitágoras:
BG2 = 72 + 242
BG2 = 49 + 576
BG2 = 625
BG = 25
Note ainda que:
BG = AB + AG
25 = 7 – R + AG
AG = 18 + R
Perceba que AG e EG são segmentos que tangenciam a circunferência e
partem do mesmo ponto (G). Eles tem o mesmo tamanho, ou seja, EG = 18 + R.
Para fechar, note que:
DG = DE + EG
24 = R + (18 + R)
6 = 2R
R = 3
Portanto, o raio da esfera é 3cm. Temos o seguinte:

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Volume da esfera = . 𝜋. 𝑅 = . 𝜋. 3 = 4. 𝜋. 3 = 36𝜋
Volume do cilindro = (𝜋. 7 ). 24 = 1176𝜋
Volume do cone = ( 𝜋. 7 ). = 392𝜋
Assim, o volume região interior ao cilindro e exterior à esfera e ao cone é:
Volume do cilindro – volume do cone – volume da esfera =
1176 π - 392 π - 36 π = 748 π
Resposta: C
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Um arame de extremidades C e D e 8 cm de
comprimento é dobrado de modo a formar um triângulo equilátero ABC mantendo os
pontos B, C e D alinhados, conforme a Figura a seguir.
Qual a distância, em centímetros, entre os pontos A e D?
(A) √3
(B) 2√3
(C) 4√3
(D) 2
(E) 4
RESOLUÇÃO:
Veja que o arame de 8cm foi dividido em 4 partes iguais, cada uma com 2cm.
Ou seja, AB = AC = BC = CD = 2cm.
Como o triângulo é equilátero, seus Ângulos internos são iguais a 60 graus.
Ou seja, o ângulo ACB mede 60 graus. Assim, o ângulo ACD, que é o seu suplemento,
mede 180 – 60 = 120 graus.
Imagine o triângulo ACD. Podemos usar a lei dos cossenos para escrever que:
AD2 = AC2 + CD2 – 2xACxCDxcos(120º)
AD2 = 22 + 22 – 2x2x2x(-1/2)

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AD2 = 4 + 4 + 4
AD2 = 3x4
AD = 2√3
Resposta: B
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Qual a equação reduzida da reta que contém
a altura relativa ao lado BC do triângulo ABC, onde A, B e C são os pontos (3, 4), (1,
1) e (6, 0), respectivamente?
(A) y = 5x – 11
(B) y = 6x – 11
(C) y = – 5x + 11
(D) y = – 6x – 11
(E) y = 5x + 11
RESOLUÇÃO:
A altura relativa ao lado BC é o segmento perpendicular à reta BC que passa
pelo ponto A.
A reta BC passa pelos pontos (1,1) e (6,0), ou seja:
y = ax + b
1 = a.1 + b
b = 1 – a
y = ax + b
0 = a.6 + b
b = -a.6
Logo,
1 – a = -a.6
5a = -1
a = -1/5
Este é o coeficiente angular da reta BC. O coeficiente angular de uma reta
perpendicular a ela é o oposto do seu inverso, isto é, 5. Logo, a reta da altura é do
tipo:
y = 5.x + b

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Lembrando que esta reta passa pelo ponto A, onde x = 3 e y = 4, temos:
4 = 5.3 + b
b = -11
Logo, a reta onde passa a altura é:
y = 5x – 11
Resposta: A
CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) Um feirante sabe que consegue vender seus
produtos a preços mais caros, conforme o horário da feira, mas, na última hora, ele
deve vender suas frutas pela metade do preço inicial. Inicialmente, ele vende o lote
de uma fruta a R$ 10,00. Passado algum tempo, aumenta em 25% o preço das frutas.
Passado mais algum tempo, o novo preço sofreu um aumento de 20%. Na última hora
da feira, o lote da fruta custa R$ 5,00. O desconto, em reais, que ele deve dar sobre
o preço mais alto para atingir o preço da última hora da feira deve ser de
(A) 12,50
(B) 10,00
(C) 7,50
(D) 5,00
(E) 2,50
RESOLUÇÃO:
Com o aumento de 25%, chegamos a:
P = 10 x (1 + 25%) = 10 x 1,25 = 12,50 reais
Com o aumento de 20%, temos:
P = 12,50 x (1+20%) = 12,50 x 1,20 = 15 reais
Como o preço final foi de 5 reais, o desconto dado é de 15 – 5 = 10 reais.
Resposta: B

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Fim de prova. Abraço!

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