1. Chapitre I prof :ISRINE
Système de numération et représentation de l’information
1. Généralités
Presque tous les ordinateurs ne font pas le calcul en base 10. La base 10 est le plus souvent
utilisée par les hommes, il faut apprendre à convertir les nombres d’une base de données à
une autre.
2. Les systèmes de numération
Par définition est l’action ou la manière de représenter les chiffres. Il existe plusieurs
systèmes de numération :
 Système décimal
 Système binaire
 Système octal
 Système hexadécimal
Ces systèmes sont généralement utilisés dans la programmation, Dans la base donnée α un
nombre peut être exprimé sous la forme d’un polynôme. Supposons le nombre suivant X =
(an an-1 … a0)
Exemple :
Soit X = 2955 sa forme pronominale est : X = 2x103
+ 9x102
+ 5x101
+ 5x100
a. Le système décimal ou base 10
C’est le système le plus connu et le plus utilisé par les hommes. Il est constitué de 10
symboles ou chiffres appelés digits. Ces symboles sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
b. Le système binaire ou base 2
C’est un système composé de 2 symboles 0 et 1 encore appelé digits binaire (binary digit)
d’où le nom bit. Ce système est à la base du langage machine (c’est le seul langage
compréhensible par l’ordinateur).
Le système octal ou base 8
C’est un système intermédiaire constitué de 8 symboles qui sont : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ;7
Le système hexadécimal ou base 16
Le langage utilisé par l’ordinateur pour communiquer est le langage binaire. Or écrire une
suite d’instruction dans le langage binaire devient parfois impossible car il faudra
systématiquement aligner une suite de 0 et de 1. Ce qui est laborieux et augmente les
possibilités d’erreur. C’est la raison pour laquelle le système hexadécimal intervient. Ce
système dispose de 16 symboles dont 10 chiffres de 0 à 9 et 6 lettres A ; A ; B ; C ; D ; E et
F.
A = 10 ; B = 11 ; C = 12 ; D = 13 ; E = 14 ; F = 15

2. Chapitre I prof :ISRINE
3. Représentation de données numériques
Un nombre réel comporte généralement une partie entière et une partie décimale. Dans une
base α un nombre X quelconque peut avoir la représentation suivante.
X = (anan-1 … a0, b1b2 … bn).
Il existe une correspondance entre les bases 10 ; 2 ; 8 et 16.
Base 10 Base 2 Base 8 Base 16
0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
Pour convertir un nombre d’une base donnée à une autre on convertit la partir entière dans la
base voulue et pour la partie décimale on convertit la partie fractionnelle dans la base voulue.
a. Conversion de la partie entière
Conversion de la base 10 à une base β
Il est possible de passer d’un nombre décimal à un nombre en base β en utilisant la division
successive par β.
On divise successivement le nombre décimal par β en gardant les restes, on s’arrête lorsque
le quotient devient nul. Le résultat est obtenu en prenant l’ordre inverse des restes.
Exemples :
Conversion d’un nombre en base 2.
(18)10 = (…)2
18 :2 = 9 et reste = 0
9 :2 = 4 et reste = 1
4 :2 = 2 et reste = 0
2 :2 = 1 et reste = 0
1 :2 = 0 et reste = 1

3. Chapitre I prof :ISRINE
(18)10 = (10010)2
Conversion d’un nombre en base 8
(207)10 = (…)8
207 :8 = 25 et reste = 7
25 :8 = 3 et reste = 1
3 :8 = 0 et reste = 3
(207)10 = (317)8
Exercice :
Effectuer les conversions suivantes :
(3479)10 = (…)16 ; (145)10 = (…)2 ; (3007)10 = (…)16 ; (452)10 = (…)8
Conversion de la base β à la base 10
De façon inverse il est facile de passer d’un nombre β d’un nombre en base 10 pour
multiplication successive de puissance de β : on multiplie chaque élément du nombre en base β
élevé à une puissance. Les puissances sont comptées à partir de 0 en partant de la droite
vers la gauche, puis on effectue la somme des résultats obtenus :
 Trouver la position de chaque chiffre constituant le nombre
 On multiplie chaque chiffre par β à la puissance de sa position
 Faire la somme des résultats obtenus.
Exemple :
1) (1100101)2 = (…)10
2.26
+ 1.25
+ 0.24
+ 0.23
+ 1.22
+ 0.21
+ 1.20
= 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = (101)10
2) (203)8 = (…)10
2.8² + 0.81
+ 3.80
= 128 + 3 = (131)10
3) (76)16 = (…)10
7.161
+ 6.160
= 112 + 6 = (118)10
Exercice :
Effectuer la conversion suivante :

4. Chapitre I prof :ISRINE
1. (145)8 = (…)10
2. (452)8 = (…)10 = (…)16
3. (546)16 = (…)10 = (…)8 = (…)2
4. (458)16 = (…)10 = (…)2
5. (DC48)16 = (…)10 = (…)8
6. (100011)2 = (…)10 = (…)8
7. (111001011)2 = (…)10 = (…)16
b. Conversion de la partie décimale
Une partie décimale y s’exprime sur la forme suivante
y=(0,b1b2...bn)
En multipliant y par β on obtient une partie entière et une partie décimale
La conversion de la partie décimale peut générer un nombre qui n’a pas une représentation
fixe.
Exemple : (0.175)10 = (…)2
d0 = 0.175
2d0 = 0.35
d1 = 0.35 et b1 = 0
2d1 = 0.7
d2 = 0.7 et b2 = 0
2d2 = 1.4
d3 = 0.4 et b3 = 1
2d3 = 0.8
d4 = 0.8 et b4
2d4 = 1.6
d5 = 0.6 et b5 = 1
2d5 = 1.2
d6 = 0.2 et b6 = 1
2d6 = 0.4
d7 = 0.4 et b7 = 0
réponse : (0.175)10 = (0.0010110…)2
Exercice :
Effectuer les conversions suivantes :

5. Chapitre I prof :ISRINE
1. (250.55)10 = (…)2 = (…)8 = (…)16
2. (1001001.011)2 = (…)10 = (…)13
3. (1032.2)8 = (…)10 = (…)2 = (…)16
4. (45EA.AB)16 = (…)10 = (…)8
c. Conversion de 2↔8 et 2↔16
Conversion de 2↔8
Etant donné un nombre en base 2 la conversion en base 8 se fait en subdivisant la
représentation binaire en groupe de 3 bits en remplaçant chaque groupe par son chiffre
correspondant en base 8. La subdivision procède du point décimal vers la gauche pour la
partie entière et vers la droite pour la partie décimale. Dans chaque cas on peut avoir à
compléter le dernier bit par zéro pour avoir 3 bits.
Exemple :
(11 001 011. 111 001 11)2 = (313.716)8
Pour passer de la base 8 à la base 2 on remplace chaque chiffre par sa représentation binaire.
Exemple :
(4375.4012)8 = (1000 011 111 101 . 100 000 001 010)2
Conversion de 2↔16
Chaque symbole de l’alphabet hexadécimal correspond à un nombre de 4 bits. Ainsi on peut
passer d’un nombre binaire à un nombre hexadécimal en subdivisant ces nombres binaires en
groupe de 4 bits. Pour la partie entière on procède de la droite vers la gauche à partir du
point décimal et pour la partie décimale on procède de la gauche vers la droite. Dans chaque
cas on peut avoir à compléter le dernier quartet de bit par les 0 pour avoir 4 bits.
Exemple :
(100 0111 . 1100 0011 0)2 = (47.C30)16
Pour passer de la base 16 à la base 2 il suffit de convertir tout simplement chaque chiffre qui
compose le nombre hexadécimal en binaire.
Exemple :
(13C)16 = (0001 0011 1100)2
4. Opération arithmétique
Les opérations sur les nombres binaires s’effectuent de la même façon que sur les nombres
décimaux. Toutefois il ne faut pas oublier que les seuls symboles utilisés sont le 1 et 0.

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a. Addition fondamentale
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
b. Soustraction
0 – 0 = 0
0 – 1 = 1 et on retient 1
1 – 0 = 1
1 – 1 = 0
0 – 1 – 1 = 0 et on retient 1
c. Multiplication
Méthode 1
Dans cette méthode on utilise le même principe que dans la base 10. On multiplie le
multiplicande par chacun des bits du multiplicateur, on décale à chaque fois les résultats
intermédiaires et on effectue ensuite l’addition de ces résultats partiels.
Exemple :
1011 * 111
1011
*111
______
1011
1011
1011
______
1001101
Méthode 2
On multiplie le premier terme par la somme des puissances de 2 du second terme. Pour cela il
suffit de décomposer le second terme sous forme de somme de puissance de 2.
Ex : 101011 = 100 000 + 1 000 + 10 + 1
Exemple :
1100 * 1101 = 1100(1000 + 100 + 1) = 1100 000 + 1100 00 + 1100 = 10011100

7. Chapitre I prof :ISRINE
d. Division
Nous avons constaté que la multiplication était basée sur une succession d’addition.
Inversement la division va être basée sur une succession de soustraction.
Exemple :
1100 : 100 = 11
5. OPERATEURS LOGIQUES
Les 3 opérateurs de bases sont NON, OU, ET.
Les opérations logiques peuvent être réalisées avec des circuits électroniques intégrés.
Les entrées et les sorties sont des tensions électriques. Généralement une variable x = 0
correspond à une tension 0 Volt et une variable x = 1 correspond à une tension de 5 Volt.
a. La fonction « NON ».
Equation :
s = A
La table de vérité.
entrée sortie
A S
0 1
1 0
Symbole :
Norme US :
b. La fonction « ET ».
Equation :
S = A . B
Table de vérité
entrée entrée sortie
A B S
1
A S

8. Chapitre I prof :ISRINE
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Symbole :
Norme US :
c. La fonction « OU ».
Equation.
S = A + B
Table de vérité.
A B S
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Symbole.
Norme US :
d. Réalisation de circuits logiques
&
 1
A
A
B
B
S
S

9. Chapitre I prof :ISRINE
Par exemple l'expression algébrique
(A+B).(A+/C)
Sera schématisée comme suit :
5. Algèbre de Boole
L'algèbre de Boole est une algèbre se proposant de traduire des signaux en expressions
mathématiques.
Grâce à des règles appelées lois de composition
a. Loi de composition
Les lois de composition sont des règles logiques qui permettent de simplifier l'écriture des
expressions algébriques.
Associativité
(A.B).C est équivalent à A.(B.C)
(A+B)+C est équivalent à A+(B+C)
Absorption
A.(A+B) est équivalent à A
A+A.B est équivalent à A
Commutativité
A.B est équivalent à B.A
A+B est équivalent à B+A
Distributivité
A+(B.C) est équivalent à (A+B).(A+C)
A.(B+C) est équivalent à A.B+A.C

10. Chapitre I prof :ISRINE
Idempotence
A.A est équivalent à A
A + A est équivalent à A
Identité
1.A est équivalent à A
0+A est équivalent à A
Inversion
A./A est équivalent à 0
A+/A est équivalent à 1
Nullité
0.A est équivalent à 0
1+A est équivalent à 1
b. THEOREME DE DEMORGAN
1) Théorème N°1
Le complément d’une somme logique est égal aux produits des termes complémentés de cette
somme.
Exemple :
( A + B ) = A . B
( A + B + C ) = A . B . C
( A + B ) = A . B
2) Théorème N°2
Le complément d’un produit logique est égal à la somme des termes complémentés de ce
produit.
Exemple :
( A . B ) = A + B
( A . B . C ) = A + B + C

11. Chapitre I prof :ISRINE
( A . B ) = A + B
6. Un additionneur
Un additionneur est un circuit capable de faire la somme de plusieurs nombres. Une addition
met en œuvre deux sorties:
la somme
la retenue
Lorsque l'on fait une somme en décimal (base 10), on ajoute dans un premier temps les deux
unités, puis si le résultat obtenu est supérieur à 10, on garde la dizaine restante en retenue,
pour l'ajouter lors de la somme des dizaines des deux nombres. Ce procédé est le même en
binaire.
7. Additionneur de deux nombres de 1 bit
Pour une addition de deux nombres de 1 bit, 4 combinaisons sont possibles, et le résultat
occupe 2 bits (un bit pour la somme et un pour la retenue).
Voici la table de vérité de cette fonction:
Entrée Sortie
A B R S
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0
L'expression logique de cette fonction est donc:
Le circuit peut donc être représenté selon le schéma électrique suivant: