Didactica geometria tema 5

Didáctica de la geometría
Tema 5.
Teoría cognitiva de Duval
para la enseñanza de la geometría
Ignacio Carlos Maestro Cano

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 2
Índice
► Contextualización del tema en la asignatura
► Esquema de contenidos
► Guía de estudio
► Introducción
► Representación, visualización y razonamiento
► Tipos de aprehensión y de razonamiento. La importancia del cambio anclaje
► La coordinación entre formas de aprehensión
► Tipos de acceso a las actividades geométricas
► Visualización icónica frente a visualización no icónica
► Deconstrucción dimensional de figuras
► Propuesta de actividades
► Epílogo

Contextualización
Tema 1. Enseñanza y aprendizaje de la geometría
La geometría en la vida/en el mundo/en la realidad. Su importancia.
Consideraciones acerca de su enseñanza y aprendizaje (peculiaridades).
Tema 2. Desarrollo de la Geometría en el marco curricular
Currículo de infantil. Currículo de primaria. Estructura de los contenidos. Recomendaciones del NCTM.
Tema 3. Las aportaciones de Piaget al campo de la geometría
Aplicación del conocimiento de la psicología de la infancia a la didáctica de la geometría. Geometrías topológica, proyectiva y euclídea o
métrica.
Tema 4. Las aportaciones del matrimonio Van Hiele al campo de la geometría
Teoría de los niveles de razonamiento (visualización o reconocimiento, análisis, ordenación o clasificación, deducción formal y rigor).
Independientes de la edad, ¿cómo aplicar a infantil y primaria?
Tema 5. Teoría cognitiva de Duval para la enseñanza de la Geometría
Relación con la interpretación y utilización de dibujos, figuras y esquemas (visualización y razonamiento). Formas de aprehensión
(perceptiva, discursiva y operativa). Tipos de actividades geométricas (botanista, agrimensor geómetra, constructor e inventor).
Tema 6. Conocimientos espaciales y conocimientos geométricos
Consideraciones psicopedagógicas en la representación del espacio. Percepción del espacio. Tipos de espacio (micro, meso y macro).
Tema 7. Dificultades y obstáculos en enseñanza de la geometría
Importancia del uso de términos y expresiones precisas (vocabulario geométrico). Utilidad de la representación (para facilitar el acceso a
otro tipo de conocimientos no geométricos: simbolización, p. ej.).
Tema 8. Recursos y materiales
Recursos manipulativos y diseño de actividades. Uso de las TIC.

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Esquema de contenidos

Guía de estudio (1)

Guía de estudio (y 2)
Bibliografía
• Boubil-Ekimova, H. (2010). Lacunes géométriques des futurs enseignants. Annales de didactique et de sciences cognitives 15, 97-118.
• Castiblanco, A., Urquina, H., Camargo, L. y Acosta, M. (2004). Pensamiento Geométrico y Tecnologías Computacionales. Colombia: Ministerio de Educación
Nacional.
• D'Amore, B., Fandiño-Pinilla, M.; Iori, M. y Matteuzzi, M. (2015). Análisis de los antecedentes histórico-filosóficos de la “Paradoja cognitiva de Duval”. Revista
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 18(2): 177-212.
• Deliyianni, E., Iliada Elia, I. Gagatsis, A., Monoyiou, A. y Panaoura, A. (2009). A theoretical model of students’ geometrical figure understanding. Proceedings of the
Sixth Congress of the European Society for Research in Mathematics Education, pp. 696-706.
• Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Science Cognitives 5(1), 37-65.
• Duval, R. (1995a). Sémiosis et pensée humaine. Registres sémiotiques et apprentissages intellectuels. Berna: Peter Lang.
• Duval, R. (1995b). Geometrical Pictures: kinds of representation and specific processing. En: R. Suttherland y J. Mason (Ed.), Exploiting Mental Imagery with
Computers in Mathematics Education (pp.142-157). Berlin: Springer.
• Duval, R. (1998). Geometry from a cognitive point a view. En: C. Mammana y V. Villani (eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century, pp. 37-
52. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
• Duval, R. (2000). Basic Issues for Research in Mathematics Education. En: T. Nakahara y M. Koyama (Eds.), Proceedings of the 24th Conference of the International
Group for the Psychology of Mathematics Education I, (pp. 55–69), Hiroshima University.
• Duval, R. (2003). Como hacer que los alumnos entren en las representaciones geométricas. Cuatro entradas y...una quinta. Universidad del Litoral Costa de Opâle.
En: Chamorro, M.C. (ed.) Números, formas y volúmenes en el entorno del niño. Madrid: MECD, Subdirección General de Información y Publicaciones.
• Duval, R. (2005). Les conditions cognitives de l’apprentissage de la géométrie: développement de la visualisation, différenciation des raisonnements et coordination de
leur fonctionnements. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives 10.
• Duval, R. (2006a). Quelle sémiotique pour l’analyse de l’activité et des productions mathématiques. RELIME, Número Especial 1, 45-81.
• Duval, R. (2006b). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el registro de representación. La Gaceta de la RSME 9(1), pp. 143–168.
• Duval, R. (2006c). A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in a Learning of Mathematics. Educational Studies in Mathematics 61, 103-131.
• Duval, R. (2007). Cognitive functioning and the understanding of mathematical processes of proof. En: P. Boero (ed.) Theorems in School: From History, Epistemology
and Cognition to Classroom Practices (pp. 137-161). Rotterdam: Sense Publishers.
• Gutiérrez, A. (2005): Aspectos metodológicos de la investigación sobre aprendizaje de la demostración mediante exploraciones con software de geometría dinámica.
En: Maz, A.; Gómez, B.; Torralbo, M. (eds.), Actas del 9º Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM), 27-44.
• Hershkowitz, R., Duval, R., Bartolini Bussi, M.G., Boero, P., Lehrer, R., Romberg, T. et al. (1998). Reasoning in Geometry. En: Mammana C. y Villani V. (eds.)
Perspectives on the Teaching of Geometry for the 21st Century. New ICMI Study Series, vol 5 (pp. 29-83). Dordrecht: Springer.
• Macías Sánchez, J. (2016). Diseño y estudio de situaciones didácticas que favorecen el trabajo con registros semióticos (tesis doctoral no publicada). Madrid: UCM.
• Radford, L. (2003). Gestures, speech and the sprouting of signs: A semiotic-cultural approach to students’ types of generalization. Mathematical thinking and learning
5(1), 37-70.
• Radford, L. (2004). La généralisation mathématique comme processus sémiotique. En: G. Arrigo (dir.) Atti del Convegno di didattica della matematica, pp. 11-27.
Locarno: Alta Scuola Pedagogica.
• Steinbring, H. (1991). Mathematics in Teaching Processes The Disparity between Teacher and Student Knowledge. Recherches en Didáctique des Mathématiques
11(1), 65-107.
• Torregrosa, G. y Quesada, H. (2007). Coordinación de procesos cognitivos en Geometría. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 10(2),
275-300.
• Wirszup, I. (1976). Breakthroughs in the psychology of learning and teaching geometry. En: J.L. Martin y D.A. Bradbard (eds.), Space and geometry. Papers from a
research workshop (pp. 75-97). Athens: University of Georgia, Georgia Center for the Study of Learning and Teaching Mathematics.

Introducción
“El estudiante indefenso, que tiene todo el derecho a ser ignorante en sentido etimológico, que debe construir
cognitivamente los objetos de la Matemática, se ve obligado a confundir el objeto con su representación semiótica
(…) esto tiene una explicación teórica y no sólo depende de la voluntad del individuo. Esta es una contribución más
al conocimiento y, sobre todo, a la construcción del conocimiento” (D’Amore, 2015: 209).
En toda comunicación, una cuestión fundamental de fondo es la que se refiere a los
conceptos de significado (de un signo) e interpretación (que yo hago). En este
sentido, ocurre a veces que uno “ve” algo, pero “no le dice nada” (“Por más que
escucho a Shostakóvich, no me dice nada”, p. ej.).
Ello atañe, como sabemos, a la semiótica. Se trata de conocer la conexión entre
conocimiento, lenguaje y realidad. Un problema que podría ser rastreado hasta
hace miles de años pues se trata de explicar la compleja relación existente entre
palabra, idea y cosa (objeto). Sea a través de la lingüística (palabra), la filosofía o la
gnoseología (idea) o la ontología (ser)
Y una problemática que surge también en la comunicación gráfica que implica
cualquier tarea de geometría.
“El signo es cualquier cosa que, además de la apariencia [faciens] que en sí tiene y presenta a nuestros sentidos,
hace que nos venga al pensamiento otra cosa distinta. Así, cuando vemos una huella, pensamos que es señal de
que un animal pasó; y cuando vemos humo, comprendemos [cognoscimus] que debajo hay un fuego; si
escuchamos la voz de un animal, nos apercibimos [advertimus] de su estado de ánimo; cuando suena la corneta,
saben [noverunt] los soldados si han avanzar, retirarse o cualquier otro movimiento que exija la batalla” (Agustín, De
doctrina cristiana, II, 1.1).
Una revisión sintética de este trasfondo filosófico en D'amore et al. (2015).

Introducción
De acuerdo con la RAE, la semiótica (del griego sēmeion, signo o marca) es la “teoría
general de los signos”. Precisando algo más, podría decirse que es la ciencia que
trata de los sistemas de comunicación dentro de las sociedades humanas. Y ello
desde una perspectiva relativamente amplia que ha llevado a Umberto Eco a afirmar
que todo fenómeno cultural puede ser estudiado como forma de comunicación.
El ser humano “matematiza” (reduce la realidad [lo real] a objetos matemáticos [lo
conceptual]) con el objeto de explicar determinados fenómenos (comprenderlos y
modelizarlos para, en la medida de lo posible, predecirlos). En este sentido, la
simbolización matemática resulta ser la llave de acceso a la explicación del mundo.
Para Charles W. Morris, la semiótica tiene una doble relación con la ciencia: por un
lado constituye una ciencia de por sí y, por otro, se erige en instrumento con el
cual estudiar al resto de ciencias (por ejemplo las matemáticas o, incluso su
didáctica, como es el presente caso). Sólo a través de este estudio de los sistemas de
signos en que está basada toda ciencia resulta posible sistematizar, depurar y
simplificar su contenido con el importantísimo objeto de liberar al hombre de
todas las imperfecciones que acarrea el uso del lenguaje.

Introducción
Se estudiará aquí la geometría desde la perspectiva de la teoría de la Gestalt. Dicha
teoría queda caracterizada por una serie de “leyes” o principios (semejanza,
proximidad, figura-fondo, cerramiento, etc.) con los que se busca explicar la forma en
que se produce la percepción.
“Las dificultades recurrentes y sistemáticas encontradas por la mayoría de estudiantes en el aprendizaje de las
matemáticas [y no otras disciplinas] llevan a preguntarse: ¿Son los procesos del pensamiento los mismos en
matemáticas que en las otras áreas de conocimiento? Desde la teoría del desarrollo epistemológico de Piaget es
más o menos asumido que los procesos cognitivos son básicamente comunes a todas las áreas de
conocimiento” (Duval, 2006b: 166).
En este sentido, existe un claro interés en lo que se refiere a las representaciones
semióticas que se utilizan en matemáticas, sea con fines meramente
comunicativos (su didáctica) o bien para su propio desarrollo científico.
Percepción multiestable
Copa de Rubin Figura aburrida

Introducción
Importancia de este conjunto de descubrimientos para la didáctica de las
matemáticas: permite averiguar cómo los alumnos perciben las figuras que les son
presentadas en el contexto del aprendizaje de la geometría, desde las figuras más
elementales hasta la demostración o resolución de los problemas más complejos.
En el contexto de las matemáticas, la relación epistemológica entre objeto, concepto y
signo posee una particularidad: que la relación entre signo y objeto es variable (los
signos y representaciones en matemáticas pueden referirse a objetos muy diferentes).
“El signo en sí mismo no tiene significado matemático, sólo en su intención en algún contexto (…) Es
[únicamente] este significado de intención lo que dota a los signos matemáticos (…) la capacidad de convertirse
en elementos productivos en el triángulo epistemológico” (Steinbring, 1991: 85).
La capacidad para modelizar la realidad de la geometría facilita la comprensión (a
través de gráficas, figuras y esquemas) de determinados fenómenos más abstractos
permitiendo el acceso a “formas superiores de pensamiento matemático”.
Triángulo epistemológico de Steinbring (1991). Fuente: Macías (2016: 33).

Introducción
Las investigaciones de Raymond Duval hacen patente que dicha interpretación
precisa de la activación por parte de los estudiantes de complejos procesos
semióticos que, por lo general, no son tenidos en consideración en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la geometría. En este tema nos centraremos en su estudio
(semiótica a la didáctica) y en el diseño de actividades que tengan en cuenta este
conocimiento (ingeniería de la didáctica).
“Las capacidades visuales innatas de los seres humanos pueden ser cultivadas y puestas al servicio del
aprendizaje de las matemáticas, no sólo como una labor de apoyo, sino en ocasiones como método principal de
aproximación” (Hershkowitz et al., 1998: 36).
Parece que Duval trate de decir: no es que los conceptos sean difíciles, es la forma
en la que los abordamos, la que los hace difíciles.
La teoría cognitiva de Duval se propone el estudio de los procesos cognitivos que
intervienen en la resolución de problemas de geometría para generar un modelo
teórico que ayude a interpretar las interacciones entre los procesos de
visualización y razonamiento.
Para Duval, la geometría implica la participación (movilización) de una serie de
capacidades de razonamiento fundamentales en otras áreas, no sólo en la
geometría.
Debate: Impresiones sobre el artículo de Duval. ¿Contenido? ¿Exposición?

Introducción
La cuestión del tema es pues la relativa al problema cognitivo que hay detrás de la
representación simbólica de los diferentes objetos matemáticos. Algo así como:
¿Qué significa un determinado objeto matemático X para un sujeto y qué
apreciaciones puede extraer de la observación de su representación?
Los objetos matemáticos (número, media, derivada…), son ideales por naturaleza,
esto es, no pueden ser captados directamente por los sentidos, de aquí la necesidad
de representaciones para poder mediar con ellos. Duval (2006b: 157) habla de un “estatus
epistemológico particular de las matemáticas”: “El único modo de tener acceso a ellos
y vérselas con ellos es utilizando signos y representaciones semióticas”; “sin
«mediaciones semióticas» no es posible la actividad matemática” (Duval, 2006b: 158).
Paradoja cognitiva del pensamiento matemático (Duval, 2007: 145):
“Este es el aspecto más controvertido en la educación de las matemáticas. Tenemos dos pretensiones en
oposición:
1. «Las matemáticas son independientes de cualquier lenguaje» [cita a Leibniz] y
2. «Las matemáticas necesitan intrínsecamente alguna herramienta simbólica o representación para el tratamiento
de objetos (cálculo, visualización, razonamiento, etc.) y no sólo para su comunicación» (…) No hay
razonamiento válido sin lenguaje”.
Por ello la cuestión se reduce a: “¿Cómo podemos llegar al conocimiento de estos
objetos generales, dado que no tenemos acceso a estos objetos sino a través de
representaciones que nos hacemos de estos?” (Radford, 2004: 13).
Desde el punto de vista semiótico que ahora nos ocupa, un objeto matemático no es
sino el invariante de una multiplicidad de representaciones semióticas posibles.

Introducción
“El contenido de cada representación semiótica no depende sólo de los conceptos u
objetos representados, sino también de los sistemas semióticos de representación
empleados”. Para Duval, la cuestión no reside tanto en lo que va del objeto al símbolo
sino en lo que media entre una forma de simbolizar y otra: el cambio de registro.
Ya Agustín de Hipona había señalado cómo no es posible pasar del signo al
significado, sino únicamente de un signo a otro signo (centralidad del cambio de
registro), puesto que ningún signo es capaz, dada su propia naturaleza, de hacer
evidente un significado.
“Lo que importa no son las representaciones sino su transformación. A diferencia de otras áreas de conocimiento
científico, [en matemáticas] la transformación de signos y representaciones semióticas constituyen el meollo
de la actividad matemática” (Duval, 2006c: 107).
Es preciso, ante todo, una coordinación cognitiva:
“La comprensión matemática comienza cuando se pone en marcha la coordinación de registros (…) Los
procesos de pensamiento matemático dependen de una sinergia cognitiva de los registros de representación. La
coordinación de los registros de representación semiótica proporcionan algo así como una ampliación de la
capacidad mental” (Duval, 2006c: 126).
Las consecuencias de esta realidad en un contexto educativo son de largo alcance: el
maestro jamás podrá transmitirle al alumno el significado sino únicamente la forma
de simbolizar (representar) dicho significado. Es aquí donde interviene la didáctica de
la geometría:
“El auténtico desafío de la educación matemática es en primera instancia el desarrollo
de la capacidad para cambiar de registro de representación” (Duval, 2006c: 128).

Introducción
Apliquemos lo anterior a un ejemplo:
El concepto de derivada, f’(x). ¿Qué significa? Lo dibujo (representación), lo explico (discurso), en suma, lo
simbolizo de distintas maneras, pero lo que significa lo “decidirá” el receptor del mensaje una vez haya ordenado y
relacionado todas estas representaciones (incluso las haya construido por sí mismo) y, por supuesto, no lo
olvidemos, las reflexione.
Veamos ahora las distintas representaciones del concepto de circunferencia (Macías, 2016: 52-55):
 Registro de lengua natural: definiciones, descripciones, etc. Por ej.: “lugar geométrico de los
puntos del plano equidistante de otro fijo, llamado centro…”.
 Registro figural-icónico: dibujos, esquemas, bosquejos, etc.
 Registro numérico: Circunferencia de centro C y radio r: C = (5, 9) y r = 3
 Registro tabular: datos en forma de tabla de acuerdo con un ordenamiento lógico.
 Registro algebraico:
 Registro geométrico: admite operaciones de reconfiguración y manipulación que facilitan la
comprensión y el establecimiento de conexiones entre diferentes objetos. Permite apreciar
características de la circunferencia desde la perspectiva de su construcción.
 Registro gráfico: permite inferir, de un simple vistazo, el comportamiento que va seguir una
determinada función, así como efectuar tratamientos propios de su registro como traslaciones,
reflexiones, simetrías, etc.
Debate: ¿Resulta suficiente mirar a una imagen/figura para ver lo que representa?
(Duval en Hershkowitz et al., 1998: 39)

Representación, visualización y razonamiento
Simplificando la cuestión podría hablarse de tres registros de representación en
geometría: lenguaje común o natural, lenguaje simbólico y registro figurativo.
Toda figura no es sino la representación icónica de un concepto o situación geométrica.
“La palabra no tiene significado si nada le corresponde [pero ésta puede estar ahí, inventarse]”; “El significado de
una palabra [figura] está en el uso que se hace de ésta en el lenguaje [geometría]” (Wittgenstein, 1953: § 40 y 43).
Son muchas y variadas las capacidades, habilidades y destrezas que intervienen en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría, pero suele considerarse (Boubil-Ekimova,
2010; Giaquinto, 2005) que son dos las fundamentales: la visualización y el razonamiento.
Resulta prioritario que el alumno construya un sistema de redes y conexiones que
permita una interacción entre ambas. Para ello se ha propuesto (Wirszup, 1976: 88) como
“estrategia de fondo” adoptar la idea de que las figuras son meros contenedores de
propiedades. Con ello se logra que la importancia de éstas —su significación—
recaiga sobre tales propiedades. Al principio los estudiantes son incapaces de distinguir
entre el contenido de la representación y el objeto representado. Para ellos los
objetos cambian cuando cambia la representación.
En todo problema de geometría un tipo de representación (figural o discursiva) suele
situarse como protagonista y la otra queda en un segundo plano. Los estudiantes han
de ser capaces de pasar con soltura de una a otra representación, algo que no
siempre es fácil (no es algo “natural”).

Los principales motivos que “explican y fundamentan la necesidad de utilizar varios y
diversos registros de representación en el desarrollo del pensamiento matemático” son
(Macías, 2016: 61 citando a Duval, 1993 y 1995a):
1. Economía del tratamiento: determinadas características/propiedades de un objeto
matemático se ponen de manifiesto con más claridad en unos registros que en otros
que, además, permiten un tratamiento más fácil y potente.
2. Complementariedad de los sistemas: cualquier tipo de representación es
[forzosamente] cognitivamente parcial. Cada registro representa unas características
concretas (y pasa por alto otras).
3. Formación de conceptos: para alcanzar un conocimiento completo de estas
nociones/objetos matemáticos es necesario manejar y coordinar distintos registros
de representación, los cuales se complementan.
Una figura proporciona una representación que, por así decir, “economiza” recursos
perceptivos (debido a su mayor capacidad expresiva), pero ello a costa de algo: esta
movilización simultánea de relaciones diversas hace más complicada la distinción entre
lo que es dado y lo que realmente se necesita (la información que se nos da y aquella
que necesitamos).

La lectura del dibujo exige con frecuencia el reconocimiento de un determinado “todo” a
partir de sus partes o, al revés, la “disección” de este todo de partida.
De tal capacidad derivará en ocasiones la posibilidad de descubrir esa información
complementaria, no perceptible en un primer vistazo (“lo miras, pero no lo ves”), pero
que será la que permita la resolución del problema (Rubinstein, 1957).
Sólo la actividad mental de análisis, debidamente guiada por la práctica de diversos
registros, por ejemplo, permitirá que se “evoquen” en el alumno esos elementos (o
relaciones) que “están ahí, sin estar [dibujados]”.
Fuente: Duval, 2006c: 112.
Fuente: Duval, 2006c: 116.

Cada tipo de registro de representación resalta características y propiedades
diferentes de un objeto matemático. No tiene sentido limitar el trabajo a unos u otros.
No obstante, para Duval, la clave no reside tanto en la capacidad de escoger el registro
más adecuado, sino en la capacidad de movilizar y coordinar varios registros.
Cualquier predominio de un registro concreto de representación frente a los demás
supone en definitiva adquirir tan sólo una visión parcial (incompleta, esto es,
deficiente) del concepto trabajado.
Como buen semiólogo, Duval no duda en afirmar: “aprender Matemáticas es aprender
a discriminar y coordinar los sistemas semióticos de representación” (Duval, 2000: 67).
“Lo que primero importa para la enseñanza de las matemáticas no es la elección del
mejor sistema de representación sino lograr que los estudiantes sean capaces de
relacionar muchas maneras de representar los contenidos matemáticos” (Duval, 2006b: 159).
“Las figuras reenvían necesariamente a un acto que es cognitivamente fundamental:
¡ver! Ahora bien, en los procesos de geometría ese acto se convierte de golpe en
problemático y es algo esencial. Pues toda mirada sobre una figura requiere un
cuestionamiento que, a menudo, se hace en contra de la primera constatación
perceptiva, contra lo que se ha reconocido en un primer vistazo: ¿qué es lo que es
necesario ver sobre esta figura?, ¿qué representa? (…) las figuras en geometría no
se miran como cualquier otra figura (una imagen, un esquema, un plano…) distinta de
las que se dan en geometría” (Duval, 2003: 1).

A la hora de tratar de mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje, “la principal
dificultad está en la necesidad que tenemos de conocer lo que pasa por la cabeza
de los estudiantes cuando están envueltos en una actividad matemática” (Gutiérrez, 2005:
28). Es por ello que caracterizar de modo adecuado estos procesos resulta fundamental,
pues con ello se abre la puerta a una correcta interpretación de las producciones de los
estudiantes, lo que permitirá transmitir unas pautas de actuación adecuadas.
Cuando nos adentramos en la resolución de una tarea geométrica, el primero de los
sentidos que interviene en su análisis es la vista. Sólo después, mediante el
razonamiento, se integran todos esos elementos que hemos percibido.
Toda explicación teórica (sustentada por el razonamiento) debe, por una parte, estar
apoyada en experiencias en las que la visualización esté presente y, por otra, las
destrezas visuales deben estar orientadas por el razonamiento para que sean más
fieles a la realidad y poder ir más allá de lo meramente descriptivo (Castiblanco et al., 2004).
El aprendizaje de la geometría sólo tendrá lugar si se tienen en cuenta:

Los procesos de visualización están determinados por características fisiológicas que
favorecen la percepción de ciertos aspectos y dificultan otros. Es por ello que
pueden resultar un obstáculo para el razonamiento en geometría, impidiendo la
identificación de relaciones o componentes claves para la comprensión de un problema
o que pueden resultar un apoyo fundamental en dicho razonamiento.
Los procesos de visualización pueden constituirse, en sí mismos, en una forma de
razonamiento tanto o más poderosa que la justificación y no asimilable con ésta.
Los procesos de argumentación pueden influir nuestra percepción visual,
permitiendo superar los obstáculos de carácter fisiológico.
El trabajo complementario entre los procesos de visualización y los procesos de
justificación puede favorecer una organización deductiva, pues se evidencian las
relaciones de equivalencia o de inferencia entre distintos enunciados (por ejemplo: si un
cuadrilátero tiene lados opuestos paralelos, entonces sus diagonales se bisecan).

Dificultades visuales
Diversos autores (Zykova, 1969; Kabanova-Meller, 1970; Burger y Shaughnessy, 1986; Fuys, Geddes y Tischler, 1988)
señalan que las limitadas concepciones de los alumnos tienen su origen en la
costumbre de aprender exclusivamente sobre ejemplos particulares que les inducen
a considerar como esenciales aspectos que, siendo los más “comunes”, no lo son.
En su disposición de la izquierda, el triángulo “invita” a tratarlo como
rectángulo, mientras que la derecha lo hace como isósceles.
Los alumnos muestran dificultad para reconocer aquí un triángulo
isósceles.
Fuente: elaboración propia basada en Boubil-Ekimova (2010: 99).
Los alumnos identifican esta transformación como una rotación. Sólo
unos pocos la reconocen como una simetría.
Al pedir que dibujen las vistas de esta figura, muchos fallaban en dibujar
en la vista superior (planta) algo más que la cara superior (pasaban por
alto la cara inclinada de la derecha). Otros para la vista “desde la
derecha” dibujaban un cuadrado y no el rectángulo de lados 1,1 x 2,2
cm.

Dificultades visuales
En la identificación de las relaciones geométricas, ejerce gran influencia la
orientación, que parte de nuestra posición “natural” erguida e introduce nociones
(relaciones espaciales) como arriba/abajo, adelante/atrás, izquierda/derecha. De esta
manera, las relaciones de paralelismo y perpendicularidad, por ejemplo, son más
fácilmente reconocibles cuando poseen una orientación vertical u horizontal. Por otro
lado, la gravedad influye fuertemente sobre nuestra percepción, llevándonos a colocar
casi siempre las figuras con su base abajo (Castiblanco et al, 2004: 11).
En este sentido, una sencilla estrategia didáctica que permitirá (o al menos
favorecerá) “liberar” la mente de este tipo de condicionamientos consiste en forzar la
identificación de esas relaciones espaciales antes mencionadas, a través de figuras
cuyas posiciones no sean las “típicas”. Es por ello que Duval (1995: 194) considera que
la identificación de figuras en una disposición distinta a la habitual constituye un
salto cualitativo para los alumnos.

Dificultades en el razonamiento
También la organización del espacio que se lleva a cabo en geometría es una forma de
razonamiento.
Llegada la Primaria, la necesidad “razonar” suele presentarse en tareas de
clasificación, construcción o resolución de problemas. Y así debe ser, es decir, ha de
procurarse que tal necesidad se presente. Se ha alegado que las dificultades de los
alumnos en geometría aparecen “en parte porque no les son propuestos problemas
geométricos en sus primeros años” (Clements et al. 1999: 208). Se ha llegado a hablar del primer
ciclo de Primaria como un “prolongado periodo de inactividad geométrica” (Wirszup, 1976: 85)
sólo conducente a una “indigencia geométrica” (Fuys, Geddes y Tischler, 1988).
Boubil-Ekimova (2010: 105-106) ha descrito algunas dificultades en el razonamiento
geométrico:
Cuadriláteros Respuestas
Cuadrado
Rombo
Rectángulo
Paralelogramo
Trapecio
Se pide a los alumnos que clasifiquen las figuras de acuerdo con
sus características en una serie de familias (tabla adjunta). Sólo
un 14% respondieron bien a las cuatro primeras clasificaciones y
sólo un 5% fue capaz de reconocer el trapecio fuera de su
configuración “típica”.

Dificultades en el lenguaje
Tampoco han de pasarse por alto aquellas dificultades en el reconocimiento de figuras
geométricas que en realidad pudieran tener un origen en dificultades en el uso del
lenguaje (Boubil-Ekimova, 2010: 102-104):
 Desconocimiento de ciertos términos geométricos (como mediana de un triángulo,
etc.).
 Falta de una descripción completa (poligonal en lugar de poligonal abierta, etc.).
 Falta de un vocabulario preciso (“pentágono” cuando resulta necesario indicar
“pentágono regular”, etc.).

El significado de un objeto emerge de los medios semióticos de objetivación
empleados, que pueden ser signos, gestos, recursos lingüísticos, instrumentos, todos
ellos permitiendo tomar conciencia subjetiva del objeto.
En este sentido, las funciones cognitivas involucradas son:
1. Visualización: ilustrar determinada afirmación, realizar la exploración heurística de
una situación compleja o simplemente disponer de un cuadro sinóptico de ésta.
2. Construcción: disponer de un modelo que facilite la comprensión así como ensayar
diversas configuraciones de éste.
3. Razonamiento: estructurar la información de forma discursiva para ampliar nuestro
conocimiento, explicar determinado fenómeno o tener acceso a una demostración.

Es cierto que la visualización de una figura no depende de su construcción (existe un
acceso a las figuras, independientemente del modo en que sean construidas), por otro
lado, los procesos de construcción dependen sólo de las relaciones entre propiedades
matemáticas y de las limitaciones del instrumental empleado (el radio de un arco con
compás, por ejemplo). Por su parte, el razonamiento sigue quedando determinado tan
sólo por el corpus de proposiciones que sea de aplicación (definiciones, axiomas,
teoremas). En definitiva, las tres funciones son independientes, pero ello no impide que
estén estrechamente conectadas entre sí, siendo su sinergia cognitivamente
necesaria para lograr una adecuada competencia geométrica (Duval en Hershkowitz et al., 1998: 38).
¿Cómo lograr que los alumnos perciban (y apliquen) la relación existente entre ellas?
Interacciones cognitivas en la actividad geométrica. Fuente: Hershkowitz et al., 1998: 38.

Como resumen, Duval establece las siguientes hipótesis de partida con relación al
proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría (Duval en Hershkowitz et al., 1998: 39):
1. La actividad geométrica involucra tres clases de procesos cognitivos: la
visualización, el razonamiento y la construcción.
2. Las tres clases de procesos deben ser desarrollados separadamente. Es cierto que
en ocasiones una sola de estas actividades (visual, razonada o gráfica) permite
acceder a la solución de una tarea (por ejemplo, puede no ser necesario conocer
determinado teorema para encontrar una solución), sin embargo (o precisamente
por ello) es necesario trabajar con cada una de estas capacidades por separado.
3. Es necesario garantizar que en el currículo escolar se trabaje la diferenciación
entre distintos procesos de visualización y razonamiento, puesto que no sólo hay
varias formas de ver una figura, sino también de “razonarla”.
4. La coordinación entre visualización y razonamiento sólo puede ocurrir realmente
después de haber llevado a cabo este trabajo de diferenciación.

Tipos de aprehensión y razonamiento. La importancia del cambio de anclaje
La visualización en geometría implica necesariamente al menos uno de estos cambios con
relación a lo que se está viendo: un cambio dimensional, un cambio figural o un cambio de
anclaje. Duval introduce para ello el término aprehensión y sus distintos tipos:
Tipo de aprehensión Descripción Subtipos
Aprehensión perceptiva
(I)
Primera que aparece en el desarrollo
cognitivo del sujeto. Corresponde a la
identificación simple de una
configuración. Debe ser desarrollada en
relación al cambio dimensional
(identificación de configuraciones de
dimensiones distintas a la inicial).
—
Aprehensión discursiva
(II)
Cuando se produce una asociación de la
configuración identificada visualmente
con alguna afirmación matemática
(definición, teorema, axioma). Tal vínculo
puede realizarse en dos direcciones a las
que se denomina cambio de anclaje.
IIa. Del anclaje visual al discursivo
IIb. Del anclaje discursivo al visual
Aprehensión operativa
(III)
Cuando el sujeto lleva a cabo alguna
modificación en la configuración
inicial para resolver un problema
geométrico.
IIIa. Aprehensión operativa de cambio figural:
consiste en añadir/quitar elementos geométricos
a la configuración inicial, obteniendo nuevas
subconfiguraciones.
IIIb. Aprehensión operativa de reconfiguración:
consiste en manipular las configuraciones
iniciales como piezas de un puzzle.
Fuente: elaboración propia basada en Duval (1998: 40).

Aprehensión perceptiva
Capacidad de nombrar a las figuras y reconocer en una figura distintas subfiguras.
Es el nivel más elemental de visualización y funciona como una percepción global de
las imágenes, esencial en geometría y que nos permite asociar figuras a objetos.
“La primera en ser usada a lo largo de toda la etapa educativa y también la primera
que aparece en el desarrollo cognitivo del alumno” (Torregrosa y Quesada, 2007: 281).
En la percepción de este tipo de formas “prototípicas” se aprecia un predominio de
cuestiones no propiamente matemáticos como son la posición (boca arriba, boca
abajo), el tipo de trazo (grueso, delgado), etc.
La figura siguiente puede ser percibida (aprehendida perceptivamente) como el tejado
de una casa, la superficie de una mesa, cuatro rayas dibujadas en el papel o la
representación de una figura geométrica (determinado objeto mental).

Aprehensión discursiva
La representación geométrica es dada a través de las relaciones entre las gestalten
constituyentes. Ya no se percibe únicamente la forma global, sino ésta como constituida
por una serie de elementos constituyentes (que pueden ser de idéntica dimensión a la
figura original o de dimensión inferior). Para ello resulta indispensable un enunciado que
describa las relaciones entre tales elementos constitutivos.
La peculiaridad de este tipo de percepción es que rompe con el esquema de
imágenes prototípicas, pues la orientación o tamaño de las formas dejan de ser
relevantes, siendo lo fundamental las relaciones existentes entre los elementos
constitutivos.
En este sentido, al figura II requiere cierto “movimiento interno” (transición o paso) entre
esa gestalt 2D prevaleciente (“el todo”) y esos elementos constitutivos de tipo 1D/2D
que confluyen (se reúnen) en un todo (“las partes”).
En el caso IIa, el observador debe haber identificado primero en el dibujo aquello que
caracteriza a la figura (la sentencia que le acompaña). Por el contrario, en el caso IIb,
ante la afirmación “Sea ABCD un paralelogramo”, el estudiante tiene la capacidad de
dibujarlo pero las configuraciones (paralelogramos) que emergerán serán infinitud.

La falta de experiencia en tareas geométricas suele traducirse en una pobre capacidad para
visualizar las figuras a partir de la descripción de sus propiedades. En estos casos la
aprehensión operativa puede constituir un apoyo fundamental.
En las figuras más complejas resulta más fácil que entren en juego distintos factores que
pueden inhibir o potenciar la captación de operaciones de resolución (Padilla, 1990) como:
1. Complementariedad: las formas empleadas constituyen la totalidad de la figura inicial. Si
las figuras son complementarias su percepción resultará más fácil.
2. Solapamiento: las figuras identificadas dentro de la configuración global comparten
regiones con la figura original. En la siguiente figura, será más fácil percibir los cuatro
triángulos rojos (son complementarios y no se solapan) que los tres paralelogramos (verde,
azul y amarillo) que la conforman, pues estos se solapan entre sí. Si dos figuras están
solapadas, será más difícil su percepción.
En resumen: “fisiológicamente predomina la percepción de figuras complementarias y
no solapadas” (Castiblanco et al, 2004: 12).

En el contexto de un problema dado, una o varias configuraciones son relevantes
mientras que otras reorganizaciones no lo son. La cuestión entonces es ¿cómo
identificarlas? Es a través de la aprehensión operativa que podemos apercibirnos o
darnos cuenta [get an insight to] de la solución a un problema cuando miramos una
figura.
La capacidad de visualizar en mayor o menor grado cuál es la reorganización efectiva
da a la visión su poder heurístico para la solución de problemas. Pero supone el
esfuerzo de reorganizar las configuraciones significativamente y usarlas para “ver”
por qué una proposición matemática puede ser cierta y cómo se podría definir una
estrategia de trabajo.
Insight es un término de la psicología con el que se viene a describirse el fenómeno por el cual
uno se da cuenta de algo (se apercibe). Veámoslo con un ejemplo:
“¿Por qué razón los números están colocados en este orden?
0, 5, 4, 2, 9, 8, 6, 7, 3, 1”.
Pasará cierto tiempo y es probable que el sujeto no la encuentre pero, si el mismo problema se plantea así:
“¿Por qué razón estas palabras están colocadas en este orden?
Cero, cinco, Cuatro, Dos, Nueve, Ocho, Seis, Siete, Tres, Uno”.
Es muy probable que el lector experimente ese insight.

Aprehensión operativa de cambio figural
Se añaden/quitan elementos (dando lugar a nuevas subconfiguraciones).
Aprehensión operativa de reconfiguración
Se reconfiguran las figuras iniciales como si de piezas de un rompecabezas se tratara
(manipulación mental) con el objeto de obtener una nueva disposición que resulte
significativa y útil. Al modo de las denominadas “demostraciones sin palabras”.
Fuente: https://divulgadores.com/pruebas-sin-palabras/
A
B
E
D
Ejemplo: Sabido que y , probar queEBAD  EDAB  DB ˆˆ 

La coordinación entre formas de aprehensión
Existen tres tipos de razonamiento en función de la coordinación que se dé entre los
tipos de aprehensiones y el proceso discursivo utilizado (Duval, 1998: 45):
Proceso configural
Se identifica con la aprehensión operativa. Acción coordinada entre la aprehensión
discursiva (asociar una o varias afirmaciones matemáticas a la figura del problema) y la
operativa (cambios sobre la configuración inicial) que permite avanzar en la resolución
de un problema geométrico.
Proceso discursivo natural
Llevado a cabo espontáneamente utilizando el lenguaje natural (común): descripción,
explicación o argumentación. En ocasiones el proceso configural no basta para resolver
el problema.
Proceso discursivo teórico
Se caracteriza por hacer uso exclusivo de teoremas, axiomas o definiciones para llegar
a la resolución de un problema. Queda estructurado de manera deductiva, sea a través
de un registro estrictamente simbólico o de lenguaje natural, no requiriendo ninguna
clase de representación gráfica más que para la mera organización del discurso.

Tipos de acceso a las actividades geométricas
Duval llega a la conclusión de que el tipo de actividades que se despliegan en los
procesos geométricos pueden clasificarse en cuatro grandes categorías. Para ello,
Duval se basa en la clase de procesos cognitivos que movilizan las figuras, en
otras palabras, cuál es el papel que desempeñan las figuras (el uso que se hace de
ellas).
Vienen a ser algo así como las cuatro “maneras de hacer” típicas en el alumnado
cuando se enfrenta a problemas de geometría y que, según Duval —y esto es
importante señalarlo— no son igual de eficaces. En este sentido, constituyen algo así
como el rol con el que el alumno decide abordar el estudio de determinado
problema de geometría.
De acuerdo con Duval, los tres primeros están directamente relacionados con las
figuras, mientras que el cuarto tiene que ver más bien con la forma en que es preciso
utilizar dichas figuras (y si ello es necesario). Por ello que Duval considera que las tres
primeras son las más habituales en geometría.
Para esta clasificación, Duval propone, en un sentido claramente metafórico, los
siguientes nombres: botánico (botaniste), agrimensor-geómetra (arpenteur-
géomètre), constructor (constructeur) e inventor-manitas (inventeur-bricoleur).
Estas formas de acceso son tan heterogéneas, cognitivamente hablando, que no es
posible una transferencia desde una a otra. Son tan distintas “como puede ser la
práctica de cuatro deportes como la natación, el rugby, el tenis y el tiro al arco” (Duval, 2003:
13).

Fuente: Duval, 2003: 3.

El botánico
Es la entrada más evidente e inmediata.
Trata de reconocer cuáles son las formas elementales que es posible encontrar en
geometría (tipos de triángulos, cuadriláteros, posiciones relativas de dos rectas, etc.).
Para ello se centra en identificar las diferencias entre dos formas semejantes (un
cuadrado y un rectángulo, por ejemplo) y las semejanzas entre dos formas diferentes
(un cuadrado y un paralelogramo, por ejemplo).
Las propiedades geométricas no pasan de meras características visuales de contorno
por lo que, para Duval, este tipo de entrada no tiene nada de actividad “geométrica”
(podría enmarcarse en el ámbito de cualquier otra disciplina).
Como fuere, este acceso pasará por tareas como la superposición (comparación con
patrones), la reproducción (dibujar) o una clasificación elemental (“poner nombre” a los
objetos y sus propiedades).
Casi siempre, predominará una de estas tres actividades: manipulación, dibujo o
designación verbal.
Enebro común (Juniperus communis)Enebro rojo (Juniperus oxycedrus)Encina (Quercus ilex) Roble (Quercus iobur)

El agrimensor-geómetra
Duval le denomina la “entrada tradicional [historique]”.
Se trata de “medir” al modo de un agrimensor (por ejemplo, la distancia entre dos
puntos señalizados sobre el terreno para plasmarla después en un dibujo a escala).
Se limita pues a poner en correspondencia dos escalas diferentes. Lo que ocurre
es que esta puesta en correspondencia no tiene nada de natural o evidente puesto
que no existe una única forma de medir la verdadera distancia sobre el terreno
(irregular) y llevarla al plano (regular). Para ilustrarlo, Duval cita el “problema del
cristalero” (Berthelot y Salin, 1994: 40-41): ¿cuántas medidas hay que tomar, y cuáles, para fabricar
una ventana que entre en una abertura con forma de paralelogramo?
La cuestión no es aquí el hecho de medir, sino las tareas a que da lugar dicha
correspondencia entre plano/dibujo y realidad: interpretar o elaborar el plano,
reconocer sólidos a través de sus diferentes representaciones planas posibles, etc.
Entra aquí en acción la consideración de la orientación y la posición relativa de los
objetos, una tarea que muchos alumnos no dominan.
?
?
?
?
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El agrimensor-geómetra
1. Problema: Balda en hueco irregular.
2. Instrumentos de medida y auxiliares.
3. Tablero de partida.
4. Toma de medidas y elaboración del croquis.
5. Corte de la balda
1 2 43 5

El constructor
Para Duval, constituye la entrada “necesaria” (obligada) por cuanto las figuras elementales
han de poder ser construidas con la ayuda de instrumentos (regla, compás, etc.) debido a
la regularidad (invarianza visual) que impone el trazado: “Cualquier forma es más
fácilmente vista como representación geométrica cuando es construida utilizando
instrumentos (regla y compás)” (Duval en Hershkowitz et al., 1998: 40).
La construcción de figuras mediante instrumentos cambia completamente la relación con
las formas percibidas y sus diferentes configuraciones. El uso de un instrumento permite
experimentar (tomar conciencia de) las propiedades geométricas como limitaciones en
su construcción y no como meras características perceptivas: secuencia, primitivas de cada
instrumento (recta en la regla, arco en el compás, etc.).
Sin embargo, la descomposición de las figuras queda impuesta y guiada por las primitivas
del instrumento utilizado (p. ej., la regla únicamente genera segmentos), algo
“didácticamente catastrófico” (Duval, 2003: 8): la conversión de un reconocimiento bidimensional
propio de la figura (inherente a ella) en uno unidimensional (el de las alineaciones que
constituyen su contorno).
Duval destaca el papel desempeñado en los últimos años por la informática en lo relativo a
la didáctica de la geometría (GeoGebra, Cabri-géomètre, Dr. Geo, etc.). Este tipo de
programas impiden la construcción de una figura si no se ha adquirido (y aplica) el
conocimiento de las propiedades geométricas.
https://www.geogebra.org/geometry

El inventor-manitas
Duval destaca el hecho de que toda figura posee unas propiedades “independientes de
toda utilización de instrumentos”, siendo preferible tratar de resolverlo por simples
acciones de recortado o, si se quiere, de dibujo pero siempre en la forma de una
reorganización —sin perder la dimensionalidad original— visual como la vista para el
inventor-manitas. Ello supone una auténtica “revolución visual” (Duval, 2003: 9) que cambia
la concepción y planteamiento de problemas en geometría.
Hace referencia altipo de tareas que surgen al plantear problemas como (Duval, 2003: 5-8):
(1) ¿Cómo partir, con un solo corte de tijeras, un triángulo de manera que se puedan ensamblar los dos pedazos
dando lugar a un paralelogramo?
(2) ¿Cómo partir, con un solo corte de tijeras, un triángulo isósceles, de manera que se puedan unir los dos pedazos
formando un rectángulo?
(3) ¿Cómo construir, a partir de un cuadrado dado, otro cuadrado dos veces más grande cuya área sea el doble).
(1)
(2)
(3)

El inventor-manitas
Estos problemas tienen en común que requieren una reconstrucción o reconfiguración
de las formas originales (“deconstrucción”), sea manipulativa o gráficamente.
Con estos dos ejemplos, Duval trata de ilustrar y destacar cómo, si se analizan las
reorganizaciones visuales inversas a las propuestas (del paralelogramo al triángulo),
se aprecia el papel de ciertos elementos como son los vértices o los ejes de simetría
en la percepción de la reorganización posible.
La trascendencia de este tipo de tareas reside en que implican una capacidad
fundamental que constituye la condición necesaria de todo empleo heurístico de
las figuras: añadir trazos suplementarios a una figura de partida con la finalidad de
descubrir, de “visualizar” (insight) un procedimiento de resolución.
Con ello Duval pretende señalar que existe una enorme diferencia entre la aprehensión
secuencial de figuras propia del constructor y la aprehensión operatoria propia del
inventor-manitas. En opinión de Duval, a pesar de lo aparentemente “rebuscado” o
intrascendente que pueda parecer dicho planteamiento, éste abre la puerta a un
sinfín de ventajas a la hora de abordar más tarde problemas de carácter
geométrico.

Visualización icónica frente a visualización no icónica
Charles Peirce: todo pensamiento requiere de signos para existir (no se puede pensar sin
signos), luego la semiótica no es sino una teoría del conocimiento en la que los iconos no
son sino la forma más elemental de conocimiento humano (“primeridad”).
Para Peirce el signo es una cualidad mental que está reemplazando a alguna cosa. El signo
despierta en la mente (evoca) el objeto que representa.
De acuerdo con esta interpretación, es posible agrupar las cuatro formas de acceso a la
geometría descritas en dos categorías opuestas según sean los procesos de
reconocimiento de los objetos representados.
Visualización ICÓNICA:
Reconocimiento inmediato del objeto por el parecido con el
objeto real que representa o un modelo que lo representa.
Visualización NO ICÓNICA:
Reconocimiento discursivo del objeto (a partir de su
definición, sus propiedades o teoremas).
Única adecuada a las tareas geométricas.
BOTÁNICO AGRIMENSOR-GEÓMETRA CONSTRUCTOR INVENTOR
1. Modelo de
aprehensión de las
figuras.
2. Estatus de la
representación
3. Conciencia de
las propiedades
geométricas.
Actividad geométrica casi
inexistente. Reconocimiento
de unas cualidades visuales
de contorno que se imponen
(aprehensión perceptiva).
Una forma particular se
privilegia como “prototípica”.
Ninguna relación entre las
propiedades geométricas (no
hay definición matemática
posible).
Actividad específica: medir
longitudes, distancias, etc.
(sobre el terreno o sobre un
dibujo). Correspondencia
entre escalas.
Se trabaja con las formas
como si fueran objetos
físicos.
Las propiedades sólo
intervienen en cuanto sean
útiles para realizar un
cálculo (evocan la fórmula a
aplicar).
Entrada obligada en
geometría.
Generar con instrumentos
de construcción
(aprehensión secuencial).
Requiere pasar por los
trazados auxiliares que no
pertenecen a la figura “final”.
Las propiedades constituyen
un constreñimiento en lo
relativo a la secuencia
correcta de construcción.
Transformación
(reconfiguración) de la
figura original (aprehensión
operativa).
Comienzan los procesos de
visualización geométrica.
Emergen las relaciones
entre las
propiedades que antes se
percibían como separadas.
Fuente: elaboración propia basada en Duval (2003: 7).

Funcionamiento de la correspondencia con un modelo o patrón (al modo de
“plantilla”): hay una figura particular que sirve de modelo, estableciéndose como icono
(un rectángulo que “es más rectángulo” que los otros), siendo el resto de figuras
“acomodadas” según sea su parecido con dicho modelo (un “largo” y “ancho” en el
rectángulo, por ejemplo).
Inconvenientes del reconocimiento icónico (Duval, 2005: 15):
(1) Al centrarse el reconocimiento en el contorno, todas aquellas propiedades que no
están en relación directa con el contorno (propiedades ligadas a las diagonales de los
cuadriláteros más conocidos, a las medianas y alturas de los triángulos, etc.) son
pasadas por alto.
(2) Las formas aparecen como entes estables, impidiendo captar la posibilidad de ser
trasformadas en otras. Por el contrario, la manera de mirar una figura en geometría
requiere casi siempre una reorganización visual que va en contra de las primeras
formas que fueron reconocidas (ha de “luchar” contra esa “primera impresión”).

En la visualización icónica, el objeto geométrico no puede ser distinguido de una forma
perceptiva particular que la representa (es fuertemente dependiente del “modo”). De
este modo, las propiedades geométricas (que son lo que permite distinguir una
figura: “lo son todo”) pierden su “carácter distintivo” y, con ello, se desvanece su
fuerza deductiva y de razonamiento (la fuerza de las matemáticas).
Ers por ello que Duval se pregunta si no sucederá que toda actividad que movilice la
visualización icónica, lejos de ayudar a los alumnos a tomar conciencia de lo que son
las propiedades geométricas, no les estará entorpeciendo al desviarles de la
compresión de los procesos geométricos.
Por el contrario, en la visualización no icónica la toma de conciencia de las
propiedades queda ligada a las operaciones que se efectúen en ese proceso de
construcción o transformación de la figura.
Por otro lado la visualización no icónica supone la “búsqueda de una economía
maximal” (Duval, 2003: 11) ya que, mientras que en la visualización icónica, tan
íntimamente vinculada a la observación, se impone una descripción por exhaustividad,
esto es, una enumeración de todas las propiedades, en la no icónica, las definiciones
matemáticas intervinientes se caracterizan por una reducción a los rasgos mínimos
básicos (necesarios y suficientes).

Deconstrucción dimensional de figuras
Sin embargo, Duval considera que estas cuatro categorías no cubren todo el espectro
de actividades y procesos que pueden desarrollarse en geometría, por lo que añade
una quinta que juega un papel protagonista para el progreso, adquisición y
desarrollo de múltiples habilidades y razonamientos geométricos, y es la de la
deconstrucción dimensional de las formas en unidades figurales.
Existen dos maneras de descomponer una figura en sus unidades figurales:

Descomposición mereológica (i. e., análisis de las partes constituyentes).
Forma de dividir el “todo” original (la figura) en partes de diversas formas (del mismo
número de dimensiones) y la combinación de estas (reconfiguración), como en un
puzzle, para formar una nueva figura o subfiguras. Esta descomposición puede ser:
a. Estrictamente homogénea (unidades con la misma forma que la original).
b. Homogénea (unidades figurales todas con la misma forma pero distintas a la original).
c. Heterogénea (unidades figurales de formas distintas).

Descomposición por “deconstrucción dimensional”
Esta descomposición hace uso de unidades figurales de dimensionalidad inferior a la
de la figura original (p. ej., un cubo en cuadrados) en un proceso de deconstrucción
que podría continuar hacia dimensiones inferiores (1D ó 0D).
El problema es que se trata de un proceso “que va contra todos los procesos de
organización y de reconocimiento perceptivo de las formas” (Duval, 2003: 17). No sólo es
que se perciba primero un cuadrado (y no sus lados), sino de esta percepción tiene una
tendencia natural a perdudar (es dominante y perceptivamente estable), de modo que los
lados existen en cuanto que (sólo porque) definen el contorno del cuadrado (Duval, 2003: 17).
Fuente: Duval (2005: 47).

Ambas formas de descomposición son radicalmente opuestas:
La primera (división mereológica) puede llevarse a cabo en un contexto manipulativo
(a través de troqueles o bloques) por lo que puede constituir una buena iniciación, si bien
excluye todo cambio de dimensión lo que constituye una seria limitación.
Duval (2003: 15) considera que la segunda (deconstrucción) no puede desarrollarse en un
contexto manipulativo pues esta implica la conservación del número de dimensiones. Es
por ello que, en su opinión, implica una articulación forzosamente discursiva
(aprehensión discursiva) que favorece la conexión entre figura y discurso (descripción,
definición, deducción, etc.), i.e., entre percepción y razonamiento, posibilitando o
facilitando el acceso a la solución de problemas geométricos de todo tipo (y no sólo
geométricos, dice Duval). Se trata pues de la gran tarea a abordar en los primeras
etapas del estudio de la geometría: lograr que los alumnos tomen conciencia de los
procesos de deconstrucción dimensional y sepan aplicarlos.
Duval (2003: 17) “denuncia” una aproximación inadecuada a la enseñanza de la geometría
centrada en la adquisición de vocabulario y el uso de herramientas de dibujo, lo que
impide una verdadera articulación entre figuras y discurso geométrico (comprensión
de definiciones, aplicación de propiedades, etc.), esto es, una comunicación entre los
procesos de visualización y los procesos de razonamiento, algo que estaría en el
origen de las dificultades sistemáticas de los alumnos en el aprendizaje de geometría.
Y es que, para Duval, la articulación entre visualización y razonamiento está en la
base de toda actividad geométrica.

Propuesta de actividades
Se ha podido ver cómo las teorías de Duval constituyen una serie de
informaciones complicadas y, en muchos casos, poco intuitivas o “previsibles”:
semiótica, fenomenología, Gestalt, etc. Ello debiera llevarnos a comprender que si
se explican con claridad y detalle muchos ejemplos de cómo aplicar dicha teoría
muy probablemente no se captará esta en su totalidad y de forma acertada (no la
abarcarán ni aprehenderán), lo que indudablemente impide su correcta
aplicación en el aula.
Por el contrario, se trata de una teoría que una vez se comprende (si se explica
con claridad y detalle la teoría subyacente), resulta sorprendentemente fácil
aplicarla y, partiendo de unos pocos ejemplos, se estará en disposición de idear y
proponer infinidad de nuevas propuestas. Esta ha sido el esquema de fondo visto
hasta aquí. Veamos ahora algunos ejemplos para las distintas formas de acceso a
la geometría, tipologías de aprehensión, etc.
Tal y como se señala en la lección magistral de Jesús Macías, no ha de ignorarse
la posibilidad (y la ventaja que ello supone: en lo cronológico y lo motivador)
de avanzar con este tipo de aproximaciones contenidos que los alumnos
(especialmente de Primaria) verán más tarde en Secundaria.

Botanista
Proporcionar a los alumnos diversos mosaicos que representen figuras geométricas
de manera independiente de modo que tengan que reconocerlas y distinguir sus
partes.
Proporcionar a los alumnos distintos cuerpos geométricos construidos con piezas,
plastilina o arcilla, de manera independiente de modo que tengan que reconocerlos y
distinguir sus partes.
Proporcionar a los alumnos una composición geométrica hecha en el geoplano, en una
cartulina o proyectando en la pizarra en donde las figuras que lo componen sean más
o menos diferenciables, jugando con el color y el trazo para su reconocimiento.
Proporcionar a los alumnos un puzzle construido en cartulina de una determinada figura
geométrica para que tengan que montarlo.
Buscar en el aula y el entorno cuerpos y figuras geométricas para fomentar su
reconocimiento y búsqueda de propiedades.

Agrimensor geómetra
Proporcionar a los alumnos varias tarjetas con figuras representadas (triángulos,
rectángulos, etc.) y otro grupo de tarjetas con medidas para que, a través de la
medición, asocien cada figura con sus medidas. Es importante que haya figuras con
alguna medida igual para evitar el descarte instantáneo.
Lo mismo pero con cuerpos geométricos (construidos con piezas o material de
construcción) para que, mediante la medición, asocien cada cuerpo con sus medidas.
Resulta igualmente importante que haya cuerpos con alguna medida igual para evitar el
descarte instantáneo.
Proporcionar a los alumnos varias composiciones geométricas con mismo perímetro y
distinta área y viceversa para que, a través de la medición, lleguen a comprender que
entre perímetro y área no hay relación directa.
Proporcionar a los alumnos dos planos distintos de una casa, cada uno con una
escala para determinar cuál tiene mayor superficie. Es importante que ambas casas
tengan la misma superficie para que comprendan el papel de la escala.
Proporcionar a los alumnos un itinerario dibujado en un plano con distintas paradas y
una tabla en la que se indiquen las distancias reales que se han recorrido para que
mediante el cambio de escala sean capaces de indicar en el plano cuál ha sido el camino
recorrido.

Constructor
Construcción de la mediatriz y bisectriz en el patio o suelo de clase utilizando con una
cuerda y cinta adhesiva. Posteriormente con regla y compás.
Construcción de un cuadrado dado el lado con regla y compás y/o con algún programa
informático como puede ser Geogebra.
Proporcionar a los alumnos una tabla con las dimensiones de posibles triángulos y
mediante regla y compás construir aquellos que sean factibles. Se puede,
posteriormente, guiar a los alumnos para que sean ellos solos los que deduzcan qué
propiedad deben cumplir los lados para que el triángulo exista.
Construcción de polígonos a partir de la circunferencia circunscrita o inscrita.
Proporcionar a los alumnos un acetato y cartulina para que construyan un
transportador de ángulos.

Inventor
Proporcionar a los alumnos una composición de figuras en papel, geoplano, mosaico o
similar para que, mediante su descomposición, puedan resolver las cuestiones que se les
plantee, sea en lo referente a la figura en su conjunto (su área, su perímetro, etc.) o a
las figuras que la componen.
Lo mismo pero haciendo uso de cuerpos (con piezas de construcción o material similar).
Que mediante su descomposición puedan resolver las cuestiones que se les plantee, sea
en lo referente a la figura en su conjunto (su área, su perímetro, etc.) o a las figuras
que la componen.
A partir de figuras elementales, componer una figura con una determinada área,
perímetro o forma.
A partir de cuerpos elementales componer una escultura con un determinado
volumen o área.
A partir de un entramado de rectas, componer una figura que tenga una determinada
área y perímetro.

Descomposición mereológica y deconstrucción dimensional
Proporcionar a los alumnos un triángulo equilátero para que calcule su superficie a
partir de la descomposición mereológica estrictamente homogénea. De igual
manera se puede hacer con cuadrados y rectángulos.
Calcular el volumen de un ortoedro a partir de la descomposición mereológica
estrictamente homogénea.
Proporcionar a los alumnos distintos polígonos y que calculen su área a partir de la
descomposición mereológica homogénea. De igual manera se puede hacer con
cuerpos y volúmenes.
Proporcionar figuras o cuerpos para el cálculo del área y volumen a partir de la
descomposición mereológica heterogénea.
Construir el desarrollo plano de un cuerpo para realizar la deconstrucción
dimensional 3D/2D.

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