Conocimientos espaciales y geométricos en la enseñanza

Didáctica de la geometría
Tema 6.
Conocimientos espaciales y
conocimientos geométricos
Ignacio Carlos Maestro Cano

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 2
Índice
► Contextualización del tema en la asignatura
► Esquema de contenidos
► Guía de estudio
► Introducción
► Consideraciones psicopedagógicas en la representación del espacio
► Percepción del espacio
► La representación del espacio
► Tipos de espacio
► Diseño de actividades para la construcción del espacio

Contextualización
Tema 1. Enseñanza y aprendizaje de la geometría
La geometría en la vida/en el mundo/en la realidad. Su importancia.
Consideraciones acerca de su enseñanza y aprendizaje (peculiaridades).
Tema 2. Desarrollo de la Geometría en el marco curricular
Currículo de infantil. Currículo de primaria. Estructura de los contenidos. Recomendaciones del NCTM.
Tema 3. Las aportaciones de Piaget al campo de la geometría
Aplicación del conocimiento de la psicología de la infancia a la didáctica de la geometría. Geometrías topológica, proyectiva y euclídea o
métrica.
Tema 4. Las aportaciones del matrimonio Van Hiele al campo de la geometría
Teoría de los niveles de razonamiento (visualización o reconocimiento, análisis, ordenación o clasificación, deducción formal y rigor).
Independientes de la edad, ¿cómo aplicar a infantil y primaria?
Tema 5. Teoría cognitiva de Duval para la enseñanza de la Geometría
Relación con la interpretación y utilización de dibujos, figuras y esquemas (visualización y razonamiento). Formas de aprehensión
(perceptiva, discursiva y operativa). Tipos de actividades geométricas (botanista, agrimensor geómetra, constructor e inventor).
Tema 6. Conocimientos espaciales y conocimientos geométricos
Consideraciones psicopedagógicas en la representación del espacio. Percepción del espacio. Tipos de espacio (micro, meso y macro).
Tema 7. Dificultades y obstáculos en enseñanza de la geometría
Importancia del uso de términos y expresiones precisas (vocabulario geométrico). Utilidad de la representación (para facilitar el acceso a
otro tipo de conocimientos no geométricos: simbolización, p. ej.).
Tema 8. Recursos y materiales
Recursos manipulativos y diseño de actividades. Uso de las TIC.

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Esquema de contenidos

Guía de estudio (1)

Guía de estudio (y 2)
Bibliografía
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• Berthelot, R. y Salin, M.H. (1993). La enseñanza de la geometría en la escuela primaria, Grand 53.
• Berthelot, R., y Salin, M.H., (2001). L’enseignement de la géométrie au début du collège, Petit X 56, pp. 5-34.
• Bideaud, J. et al. (1980). La représentation de l’espace. Stratégies pédagogiques et instruments de contrôle. Recherches Pédagogiques 106. Paris: INRP.
• Brousseau, G. (1983). Etude de questions d'enseignement, un exemple: la geometrie. Seminaire de didactique des mathematiques et de l'informatique. Grenoble:
IMAG, LSD.
• Brousseau, G. (2000). Les propriétés didactiques de la géométrie élémentaire: l’étude de l’espace et de la géométrie. Recuperado el 15 de mayo de 2012:
http://dipmat.math.unipa.it/~grim/brousseau_geometrie_03.pdf
• Camargo, L. (2011). El legado de Piaget a la didáctica de la Geometría. Revista Colombiana de Educación 60.
• Chamorro (Coord.) (2001): Dificultades del aprendizaje de las matemáticas. Madrid: M.E.C.D.
• Chamorro, M.C. (2005a). Didáctica de las Matemáticas en Educación Infantil. Madrid: Pearson Educación.
• Chamorro, M.C. (2005b). Matemática para la cabeza y las manos: la enseñanza de la geometría en la Educación Primaria. Conferencia presentada en Ciclo de
conferencias Organizado por la Editorial Proyecto Sur y el Centro Regional de Innovación y Formación (CRIF) «Las Acacias», Madrid, España.
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• Gálvez, G. (1994). La didáctica de las matemáticas. En: Parra, C. y Saiz, I. (comps.), Didáctica de Matemáticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
• Giovagnoli, G., Vicari, S., Tomassetti, S. y Menghini, D. (2016). The Role of Visual-Spatial Abilities in Dyslexia: Age Differences in Children’s Reading? Frontiers in
Psychology 7: 1997. doi: 10.3389/fpsyg.2016.01997
• Lepecq, J.C. (1982). Référentiels spatiaux et espace des positions chez le jeune enfant (tesis doctoral sin publicar). Paris: Université de Paris.
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• Pestalozzi, J.H. (1801). Cómo Gertrudis enseña a sus hijos. Buenos Aires: Centro Editor de América Latina.
• Piaget J. y García R. (1986). Psicogénesis e historia de la ciencia. Madrid: Siglo XXI.
• Piaget, J. (1929). The Child's Conception of the World. London: Routledge & Kegan Paul Ltd.
• Piaget, J. (1984). La representation de l’espace chez l’enfant. Paris: PUF.
• Piaget, J. y Inhelder, B. (1956). The child's conception of space. London: Routledge & Kegan Paul.
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provincia de Buenos Aires. Disponible en línea en: http://servicios2.abc.gov.ar/
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• Ruiz, L., García, F. J. y Lendínez, E. M. (2013). La actividad de modelización en el ámbito de las relaciones especiales en la Educación Infantil. Edma 0-6: Educación
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• Vecino F. (2001). La enseñanza de la geometría en la Educación Primaria en M. C.
• Vecino, F. (2004). La consideración de distintas representaciones geométricas y su influencia en la proposición de una didáctica coherente de la geometría. En:
Chamorro, M.C. (dir), Números, formas y volúmenes en el entorno del niño. Madrid, MECD.
• Vergnaud, G. (1982). The acquisition of arithmetical concepts. Educational Studies in Mathematics 10, pp. 263-274.
• Vergnaud, G. (1991). El niño, las Matemáticas y la realidad. México: Trillas.

Introducción
Para el hombre el espacio, más correctamente el territorio, (tan sólo) remite a un
“ser ocupado”. Así, todo espacio vacío no es sino (resulta difícil no concebirlo así) un
espacio que en algún momento se verá ocupado, será “realizado”.
Si la nada no (nos) es nada, en cambio, el espacio...lo es todo.
Esa parece ser la condición dominadora del hombre, aparentemente nunca satisfecho
con lo que tiene. El ser humano es un “colonizador del espacio”.
En tanto que colonizador, la primera necesidad que ha de ver satisfecha es la de
organizar el espacio, esto es, sistematizarlo por así decir a través de una geometría
(“geometrizarlo”).
Se habla con frecuencia del agotamiento de los recursos naturales, sin pensar que el
espacio que es el recurso natural por antonomasia.

Introducción

Introducción
No existe una materia específica en la escuela que aborde las habilidades
espaciales sino que ésta queda repartida entre las distintas materias: lectura,
escritura, conocimiento del medio, etc.
Ya desde que son bebés, incluso antes de adquirir movilidad, las personas tenemos
contacto con actividades de carácter espacial (para localizar un juguete por ejemplo).
En ese sentido, desde muy pequeños las habilidades espaciales están ahí pero
requieren ser trabajadas, no se desarrollarán como por arte de magia: puzles (Levine et
al., 2012), sopas de letras, bloques de construcción, etc.
Por otra parte, ocurre que mientras unos padres utilizan un vocabulario espacial de
apenas cinco palabras, otros dicho amplían este “repertorio” a las 500 palabras. Algo
que tendrá sus repercusiones.
https://edukame.com/por-que-los-puzzles-son-tan-
buenos-para-los-ninos

Introducción
La geometría son las matemáticas (la ciencia) de las formas y del espacio. Hasta
ahora nos hemos centrado en las primeras.
Geometría (RAE): “estudio de las propiedades y de las magnitudes de las figuras en el
plano o en el espacio”. En otras palabras, podríamos decir que el espacio “está ahí”,
mientras que la geometría (su organización u ordenamiento) la ponemos nosotros.
Consecuencias:
 Geometría y espacio hacen referencia a aspectos distintos (Berthelot y Salin, 1995).
 La geometría ha de ponerse a disposición del espacio.
Los conocimientos espaciales hacen referencia a acciones y comunicaciones
relativas al espacio sensible, mientras que los conocimientos geométricos se
refieren al espacio “conceptualizado”, dentro del cual la validez de una afirmación
queda determinada a través de un proceso deductivo y no empírico, tal y como
sucede en el caso de los conocimientos espaciales.
No debe confundirse el concepto de espacio físico (el que podemos “recorrer” o
“tocar”) con ése espacio “abstracto” o conceptual (no existente en la realidad y tan
ideal como lo pueda ser cualquier “objeto” matemático). Sin embardo, el individuo será
capaz de resolver un determinado problema acudiendo a cualquiera de los dos
(podemos saber si una cama cabe en un dormitorio acudiendo a una variante del
espacio conceptual con la ayuda, por ejemplo, de un plano), esto es, sin necesidad de
acudir el espacio físico.

Introducción
http://www.learning-history.com/dna-extinction-neanderthals/

Introducción
Fuente: http://mentalfloss.com

Introducción
Dentro del contexto de los conocimientos espaciales, posee gran importancia la propia
representación del espacio, los “grafismos del espacio” (planos, mapas, dibujos
técnicos, dibujos geométricos, etc.). Estos constituyen tareas “imprescindibles para
el correcto desenvolvimiento de todo ciudadano en su vida corriente” (Ruiz, 2013: 96).

Introducción
Pese a ello, los conocimientos espaciales útiles para la vida son excluidos de manera
casi sistemática de los currículos escolares (Gálvez, 1985; Berthelot y Salin, 1993, 2003 y 2005; Gobert, 2001).
Los individuos han de terminar aprendiéndolos, como buenamente pueden (con
importantes deficiencias y malas interpretaciones), conforme se presentan las
ocasiones en las que se éstos se hacen necesarios.
Ya en un plano educativo, es posible (y necesario) diferenciar entre contenidos
espaciales y contenidos geométricos:
 Contenidos espaciales: aquellos conocimientos relativos a la orientación y
localización en el espacio, la representación de posiciones y desplazamientos,
(propios y de los objetos). Los relacionados con las denominadas “habilidades
espaciales”. Trabaja con ideas espaciales creadas para modelizar el espacio físico
y permitirnos resolver problemas en el espacio real, pero no se identifican con él.
 Contenidos geométricos: aquellos conocimientos relativos a las figuras y cuerpos
geométricos (análisis, descripción, medición y reproducción). Tal y como lo explican
Quaranta y Ressia (2009: 31): “La geometría no tiene como objeto de estudio
determinados aspectos de la naturaleza, sino el estudio de una reproducción
necesariamente arbitraria —idealizada— de la misma”. De este modo, los
problemas asociados al conocimiento geométrico “no refieren al espacio físico
y sus objetos sensibles, sino a un espacio constituido por las conceptualizaciones
que el niño se construye acerca del espacio físico” (Quaranta y Ressia, 2009: 32).

Introducción
De la conjunción de ambos saberes, de la aplicación de los conocimientos
geométricos y de su puesta al servicio del conocimiento espacial surge lo que se
denominan conocimientos espacio-geométricos (Berthelot y Salin, 1993).
Tal y como han señalado algunos autores, “como parte del conocimiento matemático,
la geometría se vinculó inicialmente a la búsqueda de respuestas a preguntas
relativas al espacio físico, pero paulatinamente se desprendió de esta
problemática” (Quaranta y Ressia, 2009: 25).
Tradicionalmente, la enseñanza de herramientas y nociones espaciales se limitaba al
estudio de las figuras geométricas elementales y poco más (nombrar y representar
figuras, memorizar fórmulas, calcular áreas y volúmenes, etc.). Coincidiendo con la
divulgación de los trabajos de Piaget (años 80), los currículos empezaron a incluir un
bloque que se denominó “Exploración del espacio y primeros pasos en geometría”.
Se comienza así a hacer referencia explícita a la necesidad de plantear en el aula
situaciones que permitan progresar en lo relativo a la orientación espacial:
“situación del propio cuerpo en el espacio”, “situación de los objetos en el espacio”,
“posiciones relativas”, etc.

Introducción
https://coneducacion.wordpress.com
http://www.aulapt.org

Introducción
Hay un espacio “sensible” que es aquél en el que están contenidos los objetos y que
nos es accesible a través de los sentidos y un espacio “geométrico”, que resulta de
determinado esfuerzo teórico al que denominamos “geometría” y que nos permite dar
razón de lo sensible, concebir lo percibido (Chevallard, 1990; Mercier y Tonelle, 1991; Laborde, 1988).
Queda clara la distinción entre conocimiento geométrico y conocimiento espacial y
cómo el primero es pilar fundamental para el desarrollo del segundo.
Así, el propio Piaget abordó ambos problemas por separado: La géométrie chez
l'enfant y La representation de l'espace chez l'enfance. Por cierto, y curiosamente,
partiendo del espacio (que abordó en primer lugar) o incluso de “la realidad”, en The
Child's Conception of the World (Piaget, 1929:1), hacia la geometría.

Introducción
No debe olvidarse que la orientación espacial constituye una habilidad básica que
interviene sobre el desarrollo del niño previniendo dificultades a distintos niveles
como son el perceptivo, el motor o incluso el social y personal.
Algunos estudios (Zhou, McBride-Chang y Wong, 2014; Pestalozzi, 1801) afirman que (a través de
cuestiones como la direccionalidad) juega también un papel esencial en el desarrollo
de la lectoescritura (el niño necesita saber que ciertas formas como “d” y “b”, “w” y “m”
o “6” y “9” cambian su significado por simple rotación).
Fuente: Cziker (2016).

Introducción
Berthelot y Salin (1992: 13-14) han resumido las diferencias entre conocimientos
espaciales y conocimientos geométricos así:
 La génesis: Cualquier niño posee conocimientos espaciales antes mismo de
proponerse aprender nociones de geometría: “La geometría debe ser enseñada
para existir”.
 El vocabulario: geometría y espacio implican el uso de palabras de carácter
común, pero con un significado concreto específico, distinto.
 La naturaleza de la validación: el problema del cristalero es un problema de
naturaleza espacial, mientras que su equivalente geométrico sería: “encuentra un
conjunto de propiedades que caractericen (por completo) a un paralelogramo”. En
los problemas de naturaleza espacial, suele bastar con “mostrar” la solución y
validarla empíricamente mientras que en los problemas de naturaleza geométrica
se precisa de una solución matemáticamente probada. En geometría es necesario
demostrar, no basta con mostrar.
 La organización de los conocimientos: Es bien conocida la forma en que son
estructurados los contenidos de geometría (figuras, polígonos regulares, posición
relativa de rectas, paralelismo, perpendicularidad, clasificación de ángulos, etc.),
mientras que la estructura de los conocimientos espaciales es mucho menos
conocida pese a que son utilizados en multitud de tareas cotidianas y/o profesionales.

Introducción
Conscientes de esta diferenciación, se ha (Berthelot y Salin, 1992; 2001; 2005)
señalado la conveniencia de generar en el contexto escolar, y desde las etapas más
tempranas, situaciones que planteen problemas de naturaleza espacial que
favorecerán el control, anticipación y modelización de este tipo de tareas.
Fuente: Lohman et al. (1987). Fuente: Alias (2000).

Introducción
No cabe duda de la importancia de la modelización en el establecimiento de una
relación entre mundo sensible o real y geometría (mundo simplificado), una
relación que no surge de manera espontánea y natural en los alumnos y que, por
tanto, debe ser favorecida (diseño de situaciones-problema). Para ello Berthelot y
Salin (2005) proponen la adopción de una doble perspectiva:
 Modelización espacio-analógica: propone la resolución de problemas en el
espacio “vivido” a través de estrategias basadas en la construcción de esquemas,
croquis, dibujos, etc. Esta modelización conservará todas aquellas propiedades
de naturaleza topológica (conectividad, orden, continuidad, etc.), no sucediendo
así siempre con las de carácter más geométrico (paralelismo, perpendicularidad,
etc.).
 Modelización espacio-geométrica: incorpora ya técnicas fundamentadas en
conocimientos propiamente geométricos (ángulos, longitudes, perpendicularidad,
etc.). Ello permite que se establezca ya un vínculo con el espacio sensible a través
de las nociones geométricas, alcanzándose con ello un empleo significativo de
la geometría como estrategia para la resolución de problemas espaciales. En la
actualidad existen diversas herramientas informáticas que facilitan la elaboración de
planos a escala (http://www.roomarranger.com/, http://www.sweethome3d.com/es/,
https://floorplanner.com/).

Introducción
Fuente: http://noesparaviejos.blogspot.com.es
Fuente: http://unaescuelaunailusion.blogspot.com.es
Fuente: http://www.math-kitecture.com

Consideraciones psicopedagógicas en la representación del espacio
La adquisición de los conocimientos y la percepción espacial supone a su vez el
desarrollo de la intuición geométrica (Alsina, Burgués y Fortuny, 1987; Kuzniak, 2005,
2006 y 2010), dando lugar a una estrecha relación entre el espacio sensomotor o
espacio físico y cómo se estructura éste en el espacio representativo a partir de la
percepción, la medición y el empleo de nociones geométricas.
Un desarrollo temprano de la conceptualización del espacio (Piaget) no implica una
adecuada construcción de su representación. Más aún, se ha afirmado que “la
construcción conceptual del espacio se construye en oposición a la percepción”
(Camargo, 2011: 43). Surgen de aquí distintas hipótesis con relación a la capacidad en los
niños de representar el espacio (Camargo, 2011: 43):
 Hipótesis constructivista: la representación del espacio depende (surge a partir)
de una organización progresiva de las acciones motoras y mentales (en especial
hasta los 7-8 años) que permiten el desarrollo de esquemas operacionales. Es lo
que Piaget (1956: 13, 16) denomina “la actividad perceptiva”. Aconsejable para la
construcción mental (representación) del espacio.
 Hipótesis de la primacía topológica: corresponde con la comprensión
psicogenética de Piaget (tema 3) de un progreso que parte de lo topológico y
progresa hacia lo euclídeo. Aconsejable para el aprendizaje de la geometría.

La construcción (activa) del espacio frente a una geometría más “pasiva”.
Fuente: https://www.susankmann.com
Fuente: http://www.asilonidodellerondini.com Fuente: https://scacchi012.wordpress.com/
Fuente: https://www.parentingscience.com/toy-blocks.html

Cada sujeto, en su interacción con el entorno, desarrolla y construye los
conocimientos espaciales que le permitan desenvolverse con agilidad y afrontar toda
aquella problemática que surja en él. Estos conocimientos de naturaleza informal
se transformarán con posterioridad en objetos de conocimiento geométrico formales,
siendo el sustrato en el cual se plantan y germinan los mismos.
Por ello, para que se produzca la formación de dichos conceptos geométricos, es
imprescindible que el estudio del espacio forme parte de su propio proceso de
enseñanza-aprendizaje del sujeto, que incluirá:

De acuerdo con la revisión que llevara a cabo Lepecq (1982) de las ideas de Piaget,
podemos considerar como hipótesis primordiales de su investigación (Chamorro, 2005a: 260):
 En la etapa sensomotora comienza la construcción de las relaciones
espaciales expresables únicamente a través de una geometría.
 El espacio sensomotor (0-24 meses) es la base para la construcción de un
ulterior espacio representativo (2-12 años).
 Las relaciones topológicas son anteriores a las proyectivas y a las métricas
en ambos tipos de espacio.
Las dos primeras hipótesis han sido relativamente admitidas por la comunidad
científica, no tanto la tercera (Lovell, 1959; Page, 1959; Darke, 1982). Ello nos lleva a considerar
(Chamorro, 2005a: 260):
 La importancia del estudio del espacio representativo como base para cualquier
acción didáctica que pretenda basarse en unas sólidas referencias psicológicas.
 La consideración simultánea de los diversos tipos de geometría (topológica,
proyectiva y métrica) sin establecer a priori la preeminencia de ninguna de ellas.
Consideraciones de carácter teórico sobre todo, pero también práctico, aconsejan
organizar todo este trabajo (representación, percepción, organización y medida del
espacio) en dos grandes apartados: la percepción del espacio y la representación
del espacio.

La percepción del espacio
Piaget defiende la existencia de una “sorprendente analogía”, de un “paralelismo”,
entre el proceso de construcción del conocimiento en la sociedad (desarrollo
científico) y en el individuo (Piaget y García, 1986: 31) (aprendizaje): es la llamada psicogénesis
del aprendizaje (Piaget y García, 1986: 31). Sin embargo se ha advertido al respecto:
“A menudo se toma como un hecho que el desarrollo del niño tiende hacia y debe rígidamente tender
hacia el logro de conceptos estandarizados euclidianos y newtonianos del mundo. Pero a menudo se
olvida que los puntos de vista euclidiano y newtoniano son efectivamente modelos de las geometrías del
mundo real y sistemas físicos más que hechos dados” (Downs y Stea, 1973: 247).
Si añadimos a todo lo visto hasta el momento esta afirmación, se comprende que
haya investigadores (Laurendeau y Pinard, 1968) que han evolucionado hacia posiciones más
críticas con la jerarquía y la cronología piagetianas de la (las) geometría(s). Tales
autores optan más por la existencia de cierto sincronismo entre representaciones
de varios tipos, por ejemplo de tipo topológico y de métrico.
Fuente: https://www.apcor.pt

El modelo por etapas de Piaget supone una concepción del desarrollo cognitivo
siempre positivo (de menos a más, de “peor” a “mejor”) en el que lo sabido
anteriormente se ve mejorado (en cantidad y calidad) por lo nuevo conocido: “lo que
fue rebasado está de alguna manera integrado en el rebasante” (Piaget y García, 1986: 33). Se
trata de “un proceso (…) de naturaleza completamente general (…) que conduce de lo
intra-objetal (o análisis de los objetos), a lo inter-objetal (o estudio de las relaciones y
transformaciones) y de allí a lo trans-objetal (o construcción de las estructuras)” (Piaget y
García, 1986: 33).
Diversos autores han cuestionado si tal planteamiento es siempre de aplicación
(generalizable). Se cita (Doppelt, 1978) el caso de determinadas teorías científicas que,
pese a ser admitidas durante cierto tiempo (por ejemplo, las teorías de Dalton en
química), resultaron ser erróneas.
“¿Es la teoría einsteniana superior a la newtoniana en términos puramente lógicos? No. Ambas pueden ser
caracterizadas en términos de cálculo predicativo y ambas comparten las mismas reglas de relaciones lógico-
operacionales (…) La lógica de Einstein no es, en ningún sentido, superior a la de Newton; la superioridad está
dada por el contenido de la teoría y no por sus características formales (…) A pesar de ello, de acuerdo con
Piaget y García, la lógica de "trans-" [aceptación e integración simultánea] es superior a la del "inter-" [que “salte”
de una a la otra] que es, a su vez, mejor que la del "intra-" [limitarse a tener en cuenta una sola]. (…) no quiero
decir que el paralelo entre psicogénesis y progreso científico constituya una hipótesis hueca e inútil (…) Sin
embargo, como tantos otros estudiosos de la tradición de análisis de la ciencia, Piaget y García han elegido sólo
aquellos eventos que confirman su teoría y han ignorado los que la refuta (…) el paralelismo entre
psicogénesis e historia de la ciencia debe ser visto (…) como parcial ya que las evidencias que se ofrecen son
insuficientes e inadecuadas para considerarlo como una "teoría del desarrollo científico” (Elguea, 1986: 119).

Es, pues, el sujeto el que construye, desarrolla y comprende el espacio de acuerdo
a dos grandes momentos que, aunque claramente distintos, se complementan entre sí
(Alsina, Burgués y Fortuny, 1987):
 El que se realiza en forma directa mediante la percepción espacial y la intuición, de
naturaleza eminentemente visual y sensitiva.
 El que se realiza en forma reflexiva, estableciendo conexiones con una
construcción lógica mediante palabras y representaciones.
Para lograr la efectiva emergencia de la percepción y la representación espacial
y poder así sentar las bases fundamentales de los conocimientos geométricos, resulta
necesario distinguir entre tres formas de percepción, las cuales han de ser
trabajadas en el currículo (Vecino, 2001):

Tipo de percepción Tratamiento de las figuras Rasgos de su tratamiento didáctico1
Intrafigural
Análisis de las figuras (como entes
independientes).
Se tienen en cuenta las relaciones
internas de una figura.
- Estaticidad.
- Independencia.
- Indescomponibilidad.
- Incapacidad de medir.
- Adireccionalidad.
Interfigural
Análisis de las relaciones entre distintas
figuras.
- Dinamicidad.
- Dependencia.
- Componibilidad.
- Posibilidad de medición.
- Consideración de distintas direcciones.
Transfigural
Análisis de las propiedades y estructuras
generales de cualquier figura.
Estructuras o propiedades que determinan
su clasificación o clasificaciones (sea de
acuerdo con distintas geometrías o una
misma geometría).
- Diferenciación según invariantes.
- Dependencia en base al espacio considerado.
- Sistemas de medida.
- Dirección, orientación y localización.
Nota 1: Vecino (1996).

En la etapa de Infantil (entre 4 y 7 años), existe una percepción del espacio “a
caballo“ entre la intrafigural y la interfigural, lo que a priori debería dejar fuera del
currículo de Infantil a la percepción transfigural (Chamorro, 2005a: 262).
Berthelot y Salin (1992: 353-356) establecen una serie de propuestas a considerar en la
introducción de programas curriculares específicos para el desarrollo del espacio:
 Existencia de conocimientos espaciales pregeométricos.
 Desarrollo de tales conceptos antes (o simultáneamente) de los conceptos
geométricos básicos.
 Conveniencia de introducir, de forma explícita, objetivos relativos a
“determinados conocimientos espaciales útiles” en la enseñanza de matemáticas
y, en particular, “en lo relativo al macroespacio y el dominio de la representación
material de objetos”.
 El establecimiento de contratos didácticos netamente distintos según se trate de
espacio o de geometría, distinguiendo lo geométrico de lo práctico, poniendo en
valor la especificidad de cada uno de estos aspectos.
 Consideración, desde Primaria, de los conceptos fundamentales de la geometría
como herramientas (outils) para la resolución de problemas espaciales, “articulando
la problemática de la modelización con la problemática [meramente] geométrica”.

La representación del espacio
Algunos autores (Bideaud, 1980) han mostrado cómo, es posible apreciar que, ya en niños
de 5-6 años, la representación del espacio tiene lugar en forma de una progresiva
geometrización (conversión de la realidad —ageométrica— en geometría o
plasmación de ésta en forma de geometría).
Vamos a centrarnos por un momento en las investigaciones relativas a la
representación del espacio a partir de la realización de recorridos que lo recorran (su
“navegación”). En concreto por medio de los robot “Tortuga” programados en LOGO
(Papert, 1980; Péres, 1987).
Tortuga LOGO. Fuente: http://www.obsolete-tears.com

De acuerdo con los resultados obtenidos este proceso de “geometrización” descansa
fundamentalmente sobre dos capacidades distintas (Chamorro, 2005a: 263):
 La variación del impulso motor (interrupción o prolongación de un trayecto).
 La interiorización de secuencias cada vez más largas.
Y que resulta conveniente complementar con una creciente codificación a través de
los registros gráfico y/o verbal (simultáneas o posteriores a la codificación motora).
Code & GoTM Robot. Fuente: http://www.techagekids.com

Alternativas más actuales, complejas y “aparentes”…
LEGO MINDSTORMS® EV3
El tándem Makeblock/Arduino
Fuente: https://education.lego.com/en-us/shop/mindstorms%20ev3
Fuente: https://makeblock.es

Con relación al desarrollo de las habilidades espaciales, Liben (1981: 11-13) establece una
clasificación que puede ofrecer claves en el diseño de currículos:
 Productos espaciales: aquellos que “representan el espacio, independientemente
del medio [empleado]; croquis, mapas, modelos a escala, o descripciones verbales”.
 Pensamientos espaciales: “pensamiento (…) [relacionado] con el espacio (…)
[rotaciones o traslaciones mentales, por ejemplo]”.
 Memoria espacial: “cualquier información relacionada con el espacio y almacenada
en el cerebro” y de la que el individuo no ha de ser necesariamente consciente.
Liben superpone a esta división otra que tiene en consideración (distingue entre) si se
trabaja con contenidos concretos/específicos (pertenecientes al entorno en el que
puede maniobrar el sujeto) o abstractos (relativos “conceptos” espaciales).
Tipos de representación espacial (Liben, 1981).

Con relación a la representación espacial, para Pecheux (1990) :
 La construcción de diversos tipos de representación espacial se fundamenta sobre
codificaciones diversas de la realidad espacial.
 La práctica pedagógica debe ir preferentemente desde la toma de conciencia de los
aspectos espaciales de un movimiento hasta la adquisición del vocabulario
correspondiente.
Por ello, una secuencia didáctica bien planteada ha de implicar el manejo de
codificaciones/decodificaciones de distinto tipo, partiendo de un lenguaje
previamente adquirido y que suponga “la articulación simbólica de una sucesión de
movimientos” (Vecino, 1996:261).
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Tipos de espacio
Partamos de lo manifestado por Camargo (2011: 49):
“En algunos experimentos en los que pedían a niños de cinco años indicar la localización de ciertos objetos
tridimensionales en relación a otros, los investigadores encontraron que los niños tenían más éxito en la tarea si se
les permitía moverse alrededor de los objetos o se les daba un modelo físico [que lo abarcara] del lugar en donde
estaba el objeto, pues de esa manera podían establecer varios puntos de referencia a partir de los cuales codificar
la localización de los objetos.”
Dependiendo de nuestra capacidad de visualización y del propio desarrollo cognitivo,
la forma de percibir el espacio no siempre es igual.
A la hora de “construir” el espacio se ha descubierto (Gálvez (1985); Brousseau (2000) una
importante variable a tener en cuenta: el tamaño del espacio a representar.
Dependiendo del tamaño del espacio, la relación entre sujeto y espacio cambia
profundamente de modo que el sujeto será capaz de llevar a cabo determinadas
acciones (y no otras) dentro de él. Así, podemos distinguir entre:
Microespacio Mesoespacio Macroespacio
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Tipos de espacio
Microespacio
El sujeto puede ver, tocar y desplazar los objetos de este espacio sin necesidad
de cambiar de punto de vista (escenario de manipulación de objetos pequeños). Se
corresponde con una percepción de relaciones exclusivamente intrafigurales.
Mesoespacio
Espacio que se sitúa al alcance de nuestro campo visual global permitiendo giros
de cabeza (por ejemplo todo lo que contiene una estancia) y accesible a través del
desplazamiento del sujeto. Entre “0,5 y 50 veces la estatura del sujeto” (Brousseau, 1983).
Su construcción “requiere la integración de los diferentes puntos de vista que el sujeto
va obteniendo en sus desplazamientos, a base de ir yuxtaponiendo representaciones
parciales hasta construir (progresivamente) una visión de conjunto” (Chamorro, 2005b: 7).
Macroespacio
Espacio de las grandes dimensiones en el que sólo una parte queda al alcance de
nuestra vista. Requiere el desplazamiento del individuo para poder percibirlo en su
totalidad. Se le ha denominado “el espacio de los recorridos en la ciudad” (Berthelot y Salin,
1992: 101). Cabe destacar los espacios urbano, rural y marítimo (Chamorro, 2005b: 7). Para su
organización basta con dos dimensiones (obviando la altura) y requiere coordinar el
sistema de referencia corporal (delante-detrás, derecha-izquierda) con un sistema de
referencia fijo externo al sujeto.

Tipos de espacio
Microespacio Mesoespacio Macroespacio
Acceso del
sujeto
Sector del espacio, próximo al sujeto.
Contiene objetos accesibles a la
manipulación y visión.
Accesible a una visión global, casi
simultánea (p. ej., el aula).
Para reconstruirlo, es necesario que el
sujeto se desplace. Es el espacio de los
desplazamientos del sujeto.
Accesible sólo a visiones locales (p.
ej., una ciudad). La visión global sólo
puede ser construida mentalmente (a
menos que se vea desde un avión).
Posibilidad de desplazamientos.
Necesidad de puntos de
referencia representaciones
Todos los desplazamientos del objeto y
del sujeto son posibles.
Permite una percepción exhaustiva del
objeto.
Como ahora los objetos permanecen
fijos, funcionan como puntos de
referencia, perceptibles sólo desde
ciertas perspectivas.
Desplazamientos del sujeto restringidos
por la disposición de los objetos.
Los objetos son fijos y funcionan como
puntos de referencia, pero sólo una
parte de estos queda al alcance de la
vista.
Densidad informacional.
Necesidad de
conceptualizaciones
Alta densidad informacional para el
sujeto.
Control empírico de relaciones
espaciales. No hay necesidad de
conceptualización.
Menor densidad informacional, mayor
coste de los desplazamientos.
Requiere un cierto nivel de
conceptualización para integrar y
coordinar distintas perspectivas.
De acuerdo con su densidad
informacional decreciente, encontramos :
espacio urbano, rural y marítimo.
La conceptualización resulta
imprescindible para reconstruir la
continuidad del espacio y lograr una
representación global por ser imposible la
percepción directa.
Centraciones y descentraciones Sujeto fuera del espacio (exterior).
Centrado en su propia perspectiva. No
necesita descentrarse de su punto de
vista para representarse otras
perspectivas del objeto.
Sujeto dentro del espacio (interior).
Necesita descentrarse para construir una
representación única de ese espacio,
dentro de la cual, debe situarse a sí
mismo.
Sujeto dentro del espacio (interior),
necesita descentrarse para integrar y
coordinar percepciones fragmentarias.
Espacio como entorno o como
continente
Espacio generado en torno al objeto; es
“el espacio del objeto” frente al cual se
sitúa el sujeto.
No necesita el espacio como
continente, sino como entorno. No hace
falta un sistema de referencias externo al
objeto.
Las propiedades espaciales son
atribuidas al objeto.
El espacio es considerado como
continente homogéneo de los objetos.
Las propiedades del espacio son: es
extenso (incluye la noción de distancias),
posee tres dimensiones y no isótropo
(según dónde se sitúe un objeto el coste
de acceso será uno u otro pues hay
pasillos, escaleras, etc.).
Requiere un sistema de referencia fijo
para poder orientarse.
Espacio como continente construido
intelectualmente.
Propiedades del espacio: extenso, tres
dimensiones e isótropo (el espacio
abierto que supone permite desplazarse
en cualquier dirección y los costes de ello
permanecen invariables).
Requiere, para orientarse, coordinar el
sistema de referencia del sujeto (móvil)
con otro externo y fijo.

Propuesta de actividades
Microespacio
Proporcionar a los alumnos una cuadrícula de 4x4, 5x5, etc., dependiendo de la edad,
con elementos representados sobre ellos y una cuadrícula con las mismas
dimensiones vacía. El alumno que dispone de la cuadrícula con los elementos debe
indicar verbalmente a su compañero dónde se encuentra cada objeto para que lo
represente sobre la suya vacía.
Varios vasos o recipientes opacos en donde se introduce una canica o elemento similar
para realizar el juego de los trileros (“¿dónde está la bolita?”) con nuestros alumnos.
Proporcionar a los alumnos dos dibujos, fotografías o similar que aparentemente sean
iguales pero en las que existen diferencias para jugar a buscarlas.
Proporcionar a los alumnos una figura construida con policubos o piezas de
construcción y el dibujo de cuatro piezas que parecen representar la que le hemos dado
físicamente pero colocadas desde una perspectiva diferente. Primeramente los
alumnos podrán modificar la orientación de la figura física para determinar qué
representaciones coinciden con la figura dada, para posteriormente, a partir de otra ficha,
intentar determinarlo sin mover la figura.
Realizar pasatiempos como pueden ser sopas de letras o recorridos en laberintos.

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Mesoespacio
Búsqueda del tesoro: un grupo de alumnos esconde un “tesoro” en el aula que otro grupo
deberá localizar a partir del plano que se les proporcione.
Dictado de desplazamientos: sobre un circuito de psicomotricidad (cuerdas
extendidas, obstáculos, túneles, “pasos elevados”, etc.) y en un espacio suficientemente
amplio (patio o gimnasio), se le indicará al alumno el recorrido a seguir: pasa por
encima/la derecha/la izquierda de la cuerda”, “pasa por dentro/la izquierda/la derecha del
túnel”, etc. (https://www.youtube.com/watch?time_continue=68&v=3Ttt_ODVBz4). Puede
llevarse a cabo con varios alumnos para dar lugar a situaciones divertidas en las que
parezca que van a chocar todos, etc. Una variante puede hacer uso de una cuadrícula
sobre el suelo del aula o patio por donde se va a ir desplazando un alumno (que será el
que “dicte” con sus movimientos), mientras el resto tendrán que emular el movimiento
sobre una cuadrícula de papel (https://www.youtube.com/watch?v=SScG63milFA).
A partir de la utilización de una maqueta que simula la clase, colocar elementos sobre ella
en la misma localización en que se encuentra en el aula. Al principio la maqueta estará
orientada en la misma posición que la clase y posteriormente cambiaremos la posición.
Disponer de varias cajas de zapatos o similar distribuidas por el aula. Un alumno tendrá
los ojos vendados y otro compañero deberá guiarle para que sea capaz de llegar a cada
caja y recoger el contenido que hay en ella.
Proporcionar a los alumnos vías de madera o cartulina para que construyan un circuito
siguiendo una serie de indicaciones que el docente dará verbalmente.

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Fuente: http://www.woodenrailway.info/layout/guide/basicloop.html
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Macroespacio
Pedir a los alumnos que realicen una descripción y un plano del recorrido que realizan
para ir de casa al colegio y viceversa.
Realizar una búsqueda del tesoro en un espacio más amplio (un parque o jardines).
Elaborar una gymcana por todo el colegio, parque o espacio amplio para que mediante la
búsqueda de pistas (por medio de indicaciones verbales o escritas) resuelvan un enigma.
Representar una escultura, edificio y construcción arquitectónica desde distintos puntos
de vista.
Trabajo con cartografía en formato papel o visualizadores online (de mapas o imágenes
satélite): Google Earth (https://www.google.es/intl/es/earth/index.html), Iberpix
(http://www.ign.es/iberpix2/visor/), Vissir (http://www.icc.cat/vissir3/), etc.

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