Geometría recursos manipulativos

Didáctica de la geometría
Tema 8.
Recursos y materiales
Ignacio Carlos Maestro Cano

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 2
Índice
► Contextualización del tema en la asignatura
► Esquema de contenidos
► Guía de estudio
► Introducción
► Recursos manipulativos. Diseño de actividades
► Las TIC en el aprendizaje de la geometría. Diseño de actividades
► Aprendizaje de la geometría a partir de otras áreas de conocimiento

Contextualización
Tema 1. Enseñanza y aprendizaje de la geometría
La geometría en la vida/en el mundo/en la realidad. Su importancia.
Consideraciones acerca de su enseñanza y aprendizaje (peculiaridades).
Tema 2. Desarrollo de la Geometría en el marco curricular
Currículo de infantil. Currículo de primaria. Estructura de los contenidos. Recomendaciones del NCTM.
Tema 3. Las aportaciones de Piaget al campo de la geometría
Aplicación del conocimiento de la psicología de la infancia a la didáctica de la geometría. Geometrías topológica, proyectiva y euclídea o
métrica.
Tema 4. Las aportaciones del matrimonio Van Hiele al campo de la geometría
Teoría de los niveles de razonamiento (visualización o reconocimiento, análisis, ordenación o clasificación, deducción formal y rigor).
Independientes de la edad, ¿cómo aplicar a infantil y primaria?
Tema 5. Teoría cognitiva de Duval para la enseñanza de la Geometría
Relación con la interpretación y utilización de dibujos, figuras y esquemas (visualización y razonamiento). Formas de aprehensión
(perceptiva, discursiva y operativa). Tipos de actividades geométricas (botanista, agrimensor geómetra, constructor e inventor).
Tema 6. Conocimientos espaciales y conocimientos geométricos
Consideraciones psicopedagógicas en la representación del espacio. Percepción del espacio. Tipos de espacio (micro, meso y macro).
Tema 7. Dificultades y obstáculos en enseñanza de la geometría
Importancia del uso de términos y expresiones precisas (vocabulario geométrico). Utilidad de la representación (para facilitar el acceso a
otro tipo de conocimientos no geométricos: simbolización, p. ej.).
Tema 8. Recursos y materiales
Recursos manipulativos y diseño de actividades. Uso de las TIC.

Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Esquema de contenidos

Guía de estudio (1)

Guía de estudio (y 2)
Bibliografía
• Alsina, C., Burges, C. y Fortuny, J. (1987). Invitación a la didáctica de la geometría. Matemáticas, cultura
y aprendizaje 12. Madrid: Síntesis.
• Zvonkin , A. (2011). Math from Three to Seven: The Story of a Mathematical Circle for Preschoolers.
American Mathematical Society, MSRI Mathematical Circles Library, 5.
• ’t Hooft, G. (2006). Meccano Math I. Institute for Theoretical Physics. Utrecht University and Spinoza
Institute.

Introducción
La Geometría es sin lugar a dudas el campo de las matemáticas que mayores
posibilidades ofrece a la hora de explorar, investigar, aprender, experimentar y
estudiar sus contenidos, sus nociones, demostraciones y propiedades, mediante
materiales y recursos digitales y manipulativos.
A lo largo de este tema nos centraremos en estudiar, analizar y sacar provecho de
distintos materiales, recursos, medios e incluso áreas de conocimiento que
facilitan el aprendizaje significativo de los contenidos geométricos.
Ya vimos que la interiorización de cualquier conocimiento geométrico debía pasar por:
1. Movimiento (participación activa, dinámica, de los alumnos).
2. Manipulación (interactuar físicamente con aquello que se estudia: tocar,
manipular).
3. Representación (participación coordinada de razonamiento y visualización).
También se vio que, más allá del interés (matemático) de la geometría para modelizar
la realidad, esta poseía una dimensión afectiva o “estética” (Klimt, Klee, Miró,
Escher…) y nos ayudaba en la comprensión (“visualización”) de fenómenos más
abstractos (no espaciales), a través de funciones, gráficas estadísticas, los grafos,
etc.

Recursos manipulativos. Diseño de actividades
Si pretendemos fundamentar los conocimientos geométricos y lograr un
aprendizaje significativo de estos, debemos tratar de incluir en nuestro
modelo de enseñanza la el juego, el descubrimiento y la acción.
http://media.gettyimages.com http://media.gettyimages.comhttps://www.newscastic.com

Si pretendemos fundamentar los conocimientos geométricos y lograr un
aprendizaje significativo de estos, debemos tratar de incluir en nuestro
modelo de enseñanza la el juego, el descubrimiento y la acción.
http://media.gettyimages.com https://www.techadvisor.co.ukhttps://www.newscastic.com

Los repasaremos de acuerdo con la siguiente clasificación:
1. Modelos fijos. No se desmontan.
2. Modelos movibles y/o desmontables.
3. Material preparado para el montaje de modelos.
4. Materiales aptos para la confección de modelos.

1. Modelos fijos.
No se desmontan

Bloques lógicos

Bloques lógicos
Ideado por Zoltán Pál Dienes, constan de 48 piezas sólidas, generalmente de madera
o plástico, de fácil manipulación.
Cada pieza se define por cuatro variables: color, forma, tamaño y grosor.
Su objeto es poner a los niños ante situaciones que favorezcan la aprehensión de
conceptos matemáticos, así como ayudar al desarrollo del pensamiento lógico.
Su empleo puede ser muy variado:
 Mero “juego libre” (construcciones). Habilidades motoras.
 Dibujar sus siluetas en papel. Estudio de propiedades.
 Representar objetos que se les propongan (un coche, una casa, etc.).
 Clasificación de polígonos. Reunir “familias” (agrupar en base a algún criterio: color,
forma, etc.).
 Formación y comparación de áreas por pavimentado.
 Recorrer o construir “caminos” (nombrando todos los bloques).
 Juegos de memoria (quitar determinada ficha de un patrón previo y preguntar por
ella).
 Series (indicar qué criterio se ha seguido o aplicarlo).

Cuerpos geométricos rígidos

Cuerpos geométricos rígidos
Constituyen el equivalente a los bloques lógicos en versión tridimensional, algo que lo
hace indicado también para desarrollar la orientación espacial. Por lo demás, sus
posibilidades son muy similares a las de éstos.
Según el modo en que estén fabricados, resultará posible analizar diferentes
propiedades. Por ejemplo, en los cuerpos de plástico transparente será posible
visualizar sus secciones planas.
Su empleo puede ser muy variado:
 Mero “juego libre” (construcciones).
 Adivinanzas (¿qué es?”). Estudio de las propiedades.
 Representar objetos que se les propongan (un coche, una casa, etc.).
 Clasificación de poliedros, prismas, pirámides. Reunir “familias” (agrupar en base a
algún criterio: número de caras, redondo/plano, etc.).
 Recorrer o construir “caminos” (nombrando todos los bloques).
 Juegos de memoria (quitar determinada ficha de un patrón previo y preguntar por
ella).
 Series (indicar qué criterio se ha seguido o aplicarlo).

Fotografías
 Reconocimiento de formas y cuerpos, sus características y propiedades
(paralelismo, equidistancia, etc.).
 Búsqueda de patrones (y parcelación) mediante análisis geométricos.
 Estudio de simetrías, rotaciones y traslaciones.

Fotografías - Patrones
Fuente: Richard Winchell (Flickr )
Fuente: Hussein Abbdallah (Flickr)

Fotografías - Patrones
Fuente: https://pxhere.com

Fotografías - Simetrías

Fotografías - Simetrías
Fuente: Kathy Keatley Garvey (http://ucanr.edu)

Fotografías – Varios
Fuente: https://www.terapeak.com
Fuente: http://jwilson.coe.uga.edu
Fuente: http://www.riegosruiz.es
Fuente: http://www.chufadevalencia.org

Maquetas
 Estudio de la proporcionalidad geométrica, cálculo de distintas áreas y
escalas.
 Estudio de los criterios de semejanza y obtención de la razón lineal, la
razón en superficie y la razón en volumen.
 Medición, motricidad fina, agrimensor-geómetra y/o constructor de Duval.

Maquetas
Fuente: https://www.teacherspayteachers.com/
Fuente: http://assessmentgrademadness.blogspot.com
Fuente: http://www.lodijoella.net

Mapas
 Estudio de la proporcionalidad geométrica, cálculo de distancias, áreas y
escalas.
 Medición, agrimensor-geómetra de Duval.

Mapas
Sistemas de referencia
(elipsoides)
Cenitales o acimutales
Principales sistemas de proyección
Cónicos Cilíndricos
Coordenadas

Mapas
Carta de Juan de la Cosa (1500). Fuente: http://tonova.typepad.com

Mapas
Fuente: http://www.bilbao.eus
Fuente: http://photobucket.com
Fuente: https://www.google.es/maps

Mapas
Fuente: http://www.wikirutas.es
Fuente: http://www.misviajesysensaciones.com
Fuente: http://losk2delaskumbres.blogspot.com.es

2. Modelos movibles
y/o
desmontables

Poliminós (dominós, triminós, tetraminós y pentaminós)
Un poliminó (Solomon W. Golomb) es un objeto geométrico resultante de la
unión de varias formas geométricas (generalmente cuadrados) conectadas
compartiendo sus lados.
 Descomposición de figuras planas.
 Cálculo y comparación de áreas.
 Cálculo y comparación de perímetros.
 Suma y diferencia de áreas.
 Habilidades espaciales (rotación, etc.) Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=RHIEEx_g-zw
Dominó Tetraminó Pentominó

Policubos
 Clasificar formas, colores, etc.
 Descomposición de cuerpos.
 Obtención de nuevos cuerpos.
 Interpretar y describir (gráfica y verbalmente) diferentes composiciones.
 Cálculo, deducción y comparación de volúmenes.
 Estudio de simetrías.

Policubos
Fuente: http://www.reseteomatematico.com
Arriba Frente Lado
Representación por vistas
Fuente: Alsina (1987: 68).
Representación topográfica

Legos
 Tareas básicas: juego libre, clasificación por formas, colores, etc.
 Descomposición de cuerpos.
 Obtención de nuevos cuerpos.
 Cálculo y comparación de volúmenes.
 Deducción del algoritmo para el cálculo de algunos volúmenes.
 Pavimentado y comparación de superficie y perímetros (https://www.youtube.com/
watch?v=Rob30oX9r4U).
http://www.matematicasdigitales.com

Legos
https://buggyandbuddy.com
http://photobucket.com
Creando y corrigiendo simetrías con Lego.
Fuente: https://logicroots.com/
http://www.teachinginroom6.com
Creando y corrigiendo series con Lego.
Fuente: http://www.learnwithplayathome.com

Tangram
 Obtención de nuevas formas por combinación.
 Introducción de conceptos referentes a la medida de longitud, amplitud y
área.
 Clasificación de polígonos.
 Suma de ángulos interiores de un polígono.
 Equivalencia entre áreas de figuras con distinta forma.
 Estudio de la relación perímetro-área.
 Triángulos semejantes.

Tangram
Fuente: http://asdelosnumeros.blogspot.com.es

Mosaico
 Recubrimiento de una superficie plana con polígonos iguales o no.
 Suma de los ángulos interiores de un polígono.
 Superficie equivalente.
 Paralelismo y perpendicularidad.
 Simetría.
Fuente: https://aprendiendomatematicas.com/mosaicos/

Mosaico
Fuente: https://juguettos.comFuente: http://www.teachersofindia.org
Fuente: YIXIN. Fuente: http://lasmatesdemama.blogspot.com.es Fuente: Zvonkin (2011: 23)

Cubo de Rubik
 Estudio de los movimientos rígidos espaciales y sus combinaciones.
 Elementos de los cuerpos geométricos: caras, aristas y vértices.
 Desarrollo de capacidades de razonamiento y concentración.
 Concepto de algoritmo.
https://sp.depositphotos.com

3. Material preparado para el
montaje de modelos

Geomag, Varillas de mecano, palillos, depresores, pajitas
 Construcción de polígonos/poliedros: existencia y determinación.
 Clasificación de polígonos/poliedros.
 Área/volumen máxima y mínima.
 Estudio de ángulos y clasificación.
 Deformación de polígonos para obtener otros.
 Estudio de simetrías, traslaciones y giros.
 Deducción de la Fórmula de Euler.
Fuente: http://elblogdesami.org Fuente: https://sites.google.com/site/
cienciasrutadelaplata

Geomag, Varillas de mecano, palillos, depresores, pajitas
Fuente: ’t Hooft (2006: 6). http://luciamartinezplanells.blogspot.com.es/2012/04/construcciones-con-pajitas.html
Fuente: https://www.youtube.com/watch?v=8kRTRu_ZMoUFuente: Karl Horton (Flickr)Fuente: https://www.geomagworld.com/es

Plastilina, arcilla o material similar
 Modelado de cuerpos y figuras planas.
 Estudio y comparación de propiedades, superficies, volúmenes, etc.
 Secciones planas (de cubos, cilindros, conos, etc.).

Polydron
 Construcción de poliedros y estudio de sus elementos.
 Determinación de la existencia de poliedros a partir del número de aristas
y/o el número de caras que convergen en un vértice. Fórmula de Euler.
Fuente: http://www.polydron.co.uk

Polydron
Fuente: http://www.polydron.co.uk

4. Materiales aptos para la
confección de modelos

Espejos
 Estudio de simetrías.
 Reproducción de un cuerpo a partir de una parte del mismo
(caleidoscopios).
Fuente: https://www.espaipulula.com/espacio-para-las-matemticasFuente: https://www.hope-education.co.uk
Fuente: https://www.sciensation.org

Espejos
Fuente: http://proyectomatematicasyarte.blogspot.com.es/2015/12/a-traves-del-
espejo-la-magia-de-los.html

Geoplanos
 Construcción de segmentos.
 Estudio de posiciones relativas, polígonos, áreas y perímetros.
 Estudio teorema de Pitágoras.
 Equivalencia entre áreas de figuras con distinta forma.
 Estudio de la relación perímetro-área.
 Triángulos semejantes.
https://www.mathlearningcenter.org/web-apps/geoboard/

Geoplanos
Fuente: https://www.mathlearningcenter.org/web-apps/geoboard/

Geoplanos
Fuente: https://mathsolutions.com

Geoplanos
Fuente: https://www.triumphantlearning.com/teaching-perimeter-and-area-with-geoboards/

Hilos, cuerdas o limpiapipas
 Estudio de curvas: círculo, circunferencia, elipse, parábola, etc.
Fuente: https://www.makeandtakes.com
Fuente: https://www.bakerross.es

 Estudio de curvas: círculo, circunferencia, elipse, parábola, etc.
 Geometría proyectiva: cerca/lejos, encima/debajo, etc.
 Desarrollo de la atención y la percepción espacial.
Fuente: https://aprendiendomatematicas.com

Fuente: https://www.remodelaholic.comFuente: https://www.fizzicseducation.com.au

Papel y cartulina
1. Papiroflexia
 Estudio de rectas y ángulos.
 Suma de ángulos de un triángulo.
 Puntos notables de un triángulo: incentro, baricentro, ortocentro y
circuncentro.
 Construcción de polígonos.
 Áreas equivalentes.
 Ejercitación del vocabulario geométrico: diagonal, mediana, bisectriz, etc.
 Desarrollo del aprendizaje “esquemático” (pasos).
2. Desarrollos planos: obtención de poliedros

Papel y cartulina
1. Papiroflexia
Fuente: http://cepymeemprende.es

Papel y cartulina
1. Papiroflexia
Fuente: http://www.estalmat.org

Papel y cartulina
2. Desarrollos planos: obtención de poliedros
Fuente: http://villaeducacion.mx

Papel con trama
 Estudio de las isometrías en el plano.
 Paralelismo y perpendicularidad.
 Polígonos equivalentes y cálculo de áreas.

Papel con trama
Fuente: http://www.didactmaticprimaria.com

Las TIC en el aprendizaje de la geometría. Diseño
de actividades
En la actualidad la presencia de la tecnología en nuestras vidas es
verdaderamente asombrosa. Desde la gestión de los electrodomésticos en
el hogar hasta la realización de prácticamente cualquier labor profesional.
Dispositivos móviles y todo tipo de gadgets (relojes, mandos a distancia,
navegadores, estaciones meteorológicas…) están cada día más presentes
en nuestras vidas y, en ocasiones…hasta nos resultan de utilidad.
Fuente: https://youtu.be/uGI8Od22WM4

de actividades
Más allá de la existencia de este tipo de dispositivos “inteligentes”. La
tecnología se ha convertido en un excelente recurso para la docencia de
casi cualquier disciplina. En este sentido, las posibilidades en el ámbito de
las matemáticas, y de la geometría en particular, son realmente notables.
Gracias a pizarras digitales, programas de diseño asistido por ordenador,
herramientas de visualización 3D, etc. Resulta posible realizar tareas y
abordar cuestiones que con el mero uso de lápiz y papel se verían muy
limitadas o requerirían mucho tiempo.
Tampoco ha de olvidarse la componente motivacional de este tipo de
herramientas, de gran atractivo para los estudiantes.
No se trata de la sustitución automática (no meditada) de los recursos
tradicionales (libro de texto, etc.) por este tipo de herramientas sino de
determinar cuándo éstas son capaces de apoyar o mejorar la construcción
significativa del conocimiento por parte del estudiante.

de actividades
La introducción de los entornos de aprendizaje informáticos en el sistema
didáctico modifica algunas de las restricciones que emergen a la hora de
estudiar matemáticas, sobre todo porque permite el acceso a la realización
efectiva de tareas cuyas características las harían inaccesibles si no se
emplearan dichos dispositivos.
No es de extrañar, por ejemplo, que debido al gran incremento de la
utilización de dispositivos móviles en nuestro día a día, hayan surgido
aplicaciones (app), específicas o no del área de matemáticas, que permiten
generar situaciones de aula a través de las cuales el alumno pueda
construir, visualizar, practicar y consolidar distintos conceptos
matemáticos.
De todos ellos, en este tema nos centraremos en el programa Geogebra, un
software de libre acceso que permite acercar la geometría a los alumnos de
una forma más entretenida y menos rígida que en las clases habituales.
https://www.geogebra.org/geometry

de actividades
Teorema de Napoleón (http://procomun.educalab.es/es/ode/view/1416349695477)
Manual de Geogebra: https://wiki.geogebra.org/es/Manual

de actividades
Círculo y circunferencia (http://procomun.educalab.es/es/ode/view/1416349649912)

de actividades
Teorema de Pitágoras (https://www.geogebra.org/geometry)

de actividades
Pentamino (https://www.geogebra.org/geometry)

de actividades
Ventajas de las TIC
 Fácil manejo (intuitivo) y integrado en la vida del alumnado.
 Permite el acceso a la información en cualquier momento y situación.
 Contribuye a mejorar la autonomía del estudiante.
 Aumenta el factor motivacional del alumno.
 En determinados contextos, favorece el aprendizaje personalizado,
permitiendo atender a la diversidad.
 Desarrolla capacidades como la comprensión, visualización,
multifuncionalidad, etc.
 Permite el uso del juego como recurso para la enseñanza-aprendizaje.
 Favorece el aprendizaje colaborativo ya que los estudiantes pueden
compartir el desarrollo de actividades creando grupos de trabajo online
(trabajo colaborativo en la nube: Google Docs, Google Drive, etc.).
 Permite registrar ideas, respuestas, pensamientos en el momento en el
que se producen y de forma instantánea.

de actividades
Inconvenientes de las TIC
 Probabilidad de distracciones debido a la limitación del control de los
dispositivos de los alumnos por parte del profesor (escritorio remoto:
TcosMonitor, iTalk, etc.), lo que da lugar a una resistencia hacia su empleo.
 Falta de preparación docente y/o de soporte técnico adecuado.
 Carencia de aplicaciones educativas en relación a ciertas áreas de
contenidos.
 Limitaciones propias del dispositivo o del propio centro:
incompatibilidades, falta de red, carencia de periféricos, etc.

de actividades
Otras aplicaciones de interés
 Qcad (https://qcad.org/en/)
 https://floorplanner.com/, http://www.sweethome3d.com/es
 Google Maps (https://www.google.es/maps).
 Google Earth (https://www.google.es/intl/es/earth/index.html)
 Visualizadores de cartografía: Iberpix (http://www.ign.es/iberpix2/visor/),
Vissir (http://www.icc.cat/vissir3/), etc.

Aprendizaje de la geometría a partir de otras áreas
de conocimiento
La construcción del conocimiento matemático constituye parte de un
sistema y objetivo global. Por ello, resulta imprescindible reflexionar
sobre la importancia de trabajar la matemática (también la geometría)
desde las distintas áreas o perspectivas en las que ésta está
presente.
Tal y como se vio en los temas 1 y 2 (enfoque integrador y globalizador),
resulta importante reconocer cómo el estudio de la geometría se
relaciona con otros saberes como las ciencias naturales, la pintura, la
música, la literatura, etc. De ello, resultará un currículo, además de
innovador, extremadamente abarcador y que aborde de manera óptima
las diferentes competencias básicas e inteligencias múltiples.

de conocimiento
Podríamos resumir así la utilidad de esta vinculación de la geometría con
otras áreas:
 Los contenidos matemáticos se presentan de forma visual, atractiva,
simplificada y cercana.
 Puede enseñarles, de formas diversas, la aplicación de las matemáticas
en la vida real.
 Fomentan el debate acerca de contenidos geométricos y su uso real.
 Despiertan el espíritu crítico, ya que pueden valorar la aplicación de
dichos saberes y descubrir distintos errores y fenómenos que acontecen
en su estudio.

de conocimiento
Geometría y naturaleza
Flores: Estudio de patrones geométricos, simetría, traslación, rotación y
reconocimiento de figuras.
Insectos: Estudio de simetrías y reconocimientos de figuras. Líneas
curvas, líneas rectas, abierto, cerrado, posición en el espacio.
Caracolas: Estudio de líneas curvas, espirales, semicircunferencias y sus
elementos constitutivos.
Semillas: Estudio del círculo, la circunferencia, la esfera, el radio, el
diámetro, Pi, etc.
Fuente: http://www.mathnasium.com
y http://rstb.royalsocietypublishing.org
http://moziru.com/explore/Drawn%20bug%20symmetrical/ Fuente: https://thatsmaths.com

de conocimiento
Geometría y naturaleza

de conocimiento
Geometría y arte
Pintura: Estudio de la perspectiva, la simetría, la rotación, la traslación,
reconocimiento de formas, paralelismo, perpendicularidad, etc. en obras de
cualquier época y autor: Velázquez, Picasso, Escher, etc.
Arquitectura: Estudio de ángulos y su clasificación, líneas, rectas, figuras
en el plano y cuerpos en el espacio, simetría, etc., en construcciones
arquitectónicas de cualquier época, desde las civilizaciones clásicas hasta
la actualidad.
Escultura: Estudio de ángulos y su clasificación, líneas rectas, figuras en
el plano y cuerpos en el espacio, simetría, etc.

La Lonja de la seda de Valencia (España).
Visita virtual: http://viewer.spainisculture.com/hdimages/Visita%20Lonja/tour.html?lang=es
(requiere Adobe Flash Player actualizado)
Geometría y arte
de conocimiento

Olas y remolinos en el río: en la obertura de El oro del Rin de R. Wagner (violoncelos desde el minuto
1:55; https://www.youtube.com/watch?v=IHptIIbbXz4) y en el grabado ukiyo-e de Utagawa Hiroshige.
Hay muchas otras: sinfonía “pastoral” de Beethoven, sinfonía “de los juguetes” (atribuida a L. Mozart),
etc.
Volver
Debate:
Geometría y arte
de conocimiento

de conocimiento
Estrella de Herrnhut.
Fuente: https://www.perl-online.com/blog/archives/16181 y
https://www.erzgebirgepalace.com
Geometría y plástica o manualidades

Fuente: Pinterest
Fuente: Hin27al (Wikipedia)
Geometría y plástica o manualidades (Kirigami)
de conocimiento

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