Ejercicios resueltos de refuerzo de trigonometría

1. 1

2. 2
REFUERZO TRIGONOMETRÍA
Ejercicio nº 1
Sabiendo que  es un ángulo agudo tal que
3
cos
5
 , calcula (expresando los resultados en forma fraccionaria):
a) Las razones trigonométricas de 
b) Las siguientes razones trigonométricas:
b1)  cos 180º  b2)  180ºsen  b3)  90ºtg  b4)  sen 
Ejercicio nº 2 Calcula los ángulos comprendidos entre 00
y 3600
que cumplen cada una de las siguientes
condiciones
(haz un dibujo ilustrativo de cada situación):
a)
1
4
 sen x
b)
1
cos
3
x
c) 1tg x
d) sec 2 x
Ejercicio nº 3
En el centro de un lago circular sale verticalmente un chorro de agua, y
se quiere medir su altura. Para llevarlo a cabo, se mide el ángulo de
elevación desde la orilla a la parte más alta del chorro de agua y se
obtienen 68°. Después de distanciarse 75 m del lago, se vuelve a
medir el ángulo de elevación y se obtienen 37°. Calcula la altura del
chorro de agua y la superficie del lago.
Ejercicio nº 4
a) Deduce las razones trigonométricas de 600
b) Una cinta transportadora de sacos de cemento mide 350 m y se quiere que eleve el cemento a 75 m de altura. ¿Que
ángulo de elevación debe llevar la cinta?
Ejercicio nº 5
Razona si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.Justifica las respuestas
a)
2 2
1 tg sec   
b) Si la tangente de un ángulo  vale
2
3
, ¿esto quiere decir que el seno de  vale 2 y el coseno de  vale 3?
Ejercicio nº 6
El lado de un pentágono regular mide 20 centímetros. Calcula su área.
Ejercicio nº 7
a) Calcula los ángulos comprendidos entre 00
y 3600
que cumplen cada una de las siguientes condiciones
(haz un dibujo ilustrativo de cada situación):
a1)
3
2
sen x  a2)
4
sec
5
x  
b) Sabiendo que
4
tg
3
  y que
3
2

   calcula (expresando los resultados en forma fraccionaria)
todas las razones trigonométricas de 

3. 3
SOLUCIONES
Ejercicio nº 1
a) Las razones trigonométricas de 
2 2 2 9
sen cos 1 sen 1
25
        2 9 16
sen 1
25 25
    
4
senα =
5
4
senα 5
3cos
5

 
4
tgα =
3
3
cos 5
4senα
5

 
3
ctgα =
4
1 1
3cos
5

 
5
secα =
3
1 1
4senα
5
 
5
coscα =
4
b) Las razones trigonométricas:
 
3
cos 180º +α = cosα=
5
   
4
180º
5
sen sen   
 
3
90º
4
tg ctg     
4
5
sen sen     
Ejercicio nº 2
1
4
 sen x
1
2
194 28 39.041
4 345 31 20.96
o
o
x arcsen


   
    
   

4. 4
1
cos
3
x
1
2
70 31 43.611
arccos
3 289 28 16.39
o
o
x


   
   
   
1tg x
¨
 
 
1
2
3
4
45
1 1
225
1
135
1 1
315
o
o
o
o
tg x x arctg
tg x
tg x x arctg




  
    
 
  
  
      

1351 2 2
sec 2 cos arccos
2 22 225
o
o
x x x
  
                
Ejercicio nº 3
o
o
h
tg37
x 75
h
tg68
x

 

 

 
   
o
o o o o o
o
o
o o
o o
metros radio del lago h= metros alto del chorro
h x 75 tg37
x 75 tg37 x tg68 tg37 tg68 x 75 tg37
h x tg68
75 tg37
x 32,83 x tg68 32,83 tg68 81,26
tg37 tg68

   
           
 
 
     

SUPERFICIE del lago
2 2 2
R 32,83 3 386 m     

5. 5
Ejercicio nº 4
a) Teoría
b)
¨
75 75
12 22 25.05
350 350
o
sen x x arcsen
       
 
α
Ejercicio nº 5
a) VERDADERO
Partimos de la fórmula fundamental
2 2
sen cos 1  
Dividimos los dos miembros de la igualdad por
2
cos 
b) NO.
El seno de un ángulo toma valores comprendidos entre -1 y 1. NUNCA puede ser 2
El coseno de un ángulo toma valores comprendidos entre -1 y 1. NUNCA puede ser 3
Haciendo cuentas obtendríamos que el seno de α es
2
13
y que el coseno de α es
3
13
Ejercicio nº 6
o
o360
72
5

o
o72
36
2

o
o
10 10
tg36 a 13,76 cm
a tg36
   
2perímetro apotema 20 5 13,76
ÁREA 688 cm
2 2
  
  
Ejercicio nº 7
a)
603 3
2 2 120
o
o
sen x x arcsen
  
         
cos 1
4 5
sec cos ¡ !,
5 4
el eno de un ángulo no puede ser menor quex x IMPOSIBLE     
b)
4
tg
3
  y que
3
2

   El seno en el tercer cuadrante es – y el coseno –
2
2 2 2 2 24 16 25
1 tg sec 1 sec 1 sec sec
3 9 9
 
                 
 
5
secα =
3

3
cosα =
5
3
ctgα =
4
sen sen 4 3 4
tg
3cos 3 5 3
5
 


          

4 5
senα cosc α =
5 4
2 22 2
2 2
2 2 2
sen cos 1 sen 1
1 1 tg sec
cos cos cos cos cos
  
 
    
   
          
  