Vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán

1. VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC AA2
=
VÀO GIẢI TOÁN
Trong chương I, Đại số 9, hằng đẳng thức AA 2
= có nhiều vận dụng
trong các bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
Tuy nhiên, khi gặp dạng toán này, nhiều em thường lúng túng, ngay cả
học sinh giỏi cũng gặp nhiều sai sót trong khi trình bày lời giải. Qua bài viết
này tôi nêu một số loại toán thường gặp có thể vận dụng hai dạng biến đổi
căn thức cơ bản sau đây:
Đưa ra ngoài dấu căn
AA 2
= = A nếu A ≥ 0
- A nếu A < 0
Đưa vào dấu căn:
A B = BA2
nếu A ≥ 0
- BA2
nếu A < 0
Loại 1: Biển đổi đơn giản căn thức bậc hai
Ví dụ 1: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
yx2yx9 224
= = 3x2
y nếu y ≥ 0
- 3x2
y nếu y < 0
Ví dụ 2: Đưa thừa số vào trong dấu căn
y2x = yx2 2
nếu x ≥ 0
- yx2 2
nếu x < 0
Một số em thường nhầm ở trường hợp thứ hai
Loại 2: Tính giá trị của một biểu thức
Ví dụ 1: Tính 728 −
Giải 728 − = 2
)17(1727 −=+−
= 1717 −=− (vì )017 >−
Có thể đặt 7ba728 +=− với các số nguyên a, b rồi bình
phương hai vế để tính a, b? Tương tự, hãy tính 19992200022002 −+
Ví dụ 2: Tính giá trị của
A = 3x - 1 - 9124 2
+− xx với x = 1999
Giải
A = 3x - 1 - 3213)32( 2
−−−=− xxx
Với x = 1999 thì 2x - 3 > 0 nên A = 3x - 1 - (2x - 3) = x + 2
Lúc đó A có giá trị là 1999 + 2 = 2001

2. Loại 3: Rút gọn một biểu thức
Ví dụ 1: Rút gọn B = 53243 −−− xx
Giải: Điều kiện x ≥ 3
5
. Biến đổi
B = 153)153(153353 2
−−=−−=+−−− xxxx
Nếu 0153 ≥−−x hay 2153 ≥≥− xhayx thì
15x3B −−=
Nếu 153 −−x < 0 hay x < 2 thì B = 1 - 53 −x
Vậy B = 153 −−x nếu x ≥ 2
1 - 53 −x nếu 3
5
≤ x ≥ 2
Có thể đặt B = a + b 53 −x với các số nguyên a, b rồi tính a, b?
Ví dụ 2: Rút gọn C = 2
442
−
++
x
xx
Giải: C = 2
2
2
)2( 2
−
+
=
−
+
x
x
x
x
(đk: x ≠ ± 2)
Lập bảng khử dấu giá trị tuyệt đối
x -2 0
2+x -(x + 2) 0 x + 2 2 x + 2
2−x - x - 2 0 - x - 2 -2 x - 2
Từ đó tính được
1 nếu x < -2
C = -1 nếu -2 < x < 0
1x
2x
−
+
nếu x ≥ 0 và x ≠ 2
Có thể đưa mẫu số 2−x vào trong dấu căn?
Loại 4: Chứng minh một đẳng thức
Ví dụ 1: Chứng minh 2 (*)2632 +=+
Giải: Biến đổi vế trái:
348)32(4322 +=+=+
= 2
)26(21226 +=++
= 2626 +=
Vậy: 26322 +=+
Có thể biến đổi )13(23242 +=+ hoặc bình phương của hai vế của
(*)?
Ví dụ 2: Chứng minh 2116116 =−−+
Đặt vế trái là A, ta có:
2

3. 11212112122 −−+=A
=
22
)111()111( −−+
= 2111111 =−−+
Có thể tính A2
?
Loại 5: Giải phương trình
Ví dụ: Giải phương trình: 3366322 =−+++−+− xxxx
Giải: Điều kiện x ≥ 3. Biến đổi vế trái thành
93631323 +−+−++−+− xxxx
= 2
)33()13( 2
+−++− xx
= 3313 +−++− xx
= 3313 +−++− xx
= 4 + 2 43 ≥−x
Loại 6: Tìm giá trị của biến thoả mãn điều kiện cho trước
Ví dụ: Cho M = 4x - 1 - .4129 2
+− xx Tìm x để M = 3
Giải: M = 4x - 1 - 2314)23( 2
−−−=− xxx
Xét dấu của 3x - 2 ta tính được
M = x + 1 nếu x ≥ 3
2
7x - 3 nếu x < 3
2
+ Với x ≥
3
2
thì M = 3 ⇔ x + 1 = 3 ⇔ x = 2: Thích hợp
+ Với x < 3
2
thì M = 3 ⇔ 7x - 3 = 3 ⇔ x = 7
6
: Loại vì không thoả mãn
x < 3
2
Vậy: M = 3 khi x = 2. Có ⇔ thể viết 4x - 1 = 4129 2
+− xx rồi bình
phương hai vế?
Loại 7: Tìm cực trị của một biểu thức
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = 9124441 22
+−++− xxxx
Giải: D = 9124441 22
+−++− xxxx
= 22
)32()21( −+− xx
= 232213221 =−+−≥−+− xxxx
Đẳng thức xảy ra ⇔ (1 - 2x) (2x - 3) ≥ 0
Lập bảng xét dấu
3

4. x 2
1
2
3
1 - 2x + 0 - -
2x - 3 - - 0 +
(1 - 2x)(2x - 3) - 0 + 0 -
(1 - 2x) (2x - 3) ≥ 0 ⇔ 2
3
2
1
≤≤ x
Vậy: GTNN D = 2 ⇔ 2
3
2
1
≤≤ x
Các bài tập ở các ví dụ trên có thể còn nhiều cách giải khác, trong phạm
vi bài viết này, chỉ xin trình bày cách giải có thể vận dụng bằng đẳng thức
AA =2
và gợi ý một vài cách khác. Mong rằng các em có thể củng cố,
khắc sâu và vận dụng thành thạo, linh hoạt khi gặp các dạng toán biến đổi
biểu thức có dấu căn.
Tôn Nữ Bích Vân
(Bài này đã được đăng trên báo Toán học tuổi trẻ)
4