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.clopen greenroadGuía MatemáticaRA´ICESprofesor: Nicol´as Melgarejo
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¡Mira!Para el trabajo algebraico y aritm´etico con ra´ıces es importante que no olvidemos que existe unarelaci´on entre ra...
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¡Mira!5.1. Denominador monomio radicalEn este caso debemos amplificar la fracci´on por el radical, del mismo´ındice del rad...
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Raices

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Raices

  1. 1. .clopen greenroadGuía MatemáticaRA´ICESprofesor: Nicol´as Melgarejo
  2. 2. open greenroad1. Ra´ıces y potenciasLa radicaci´on podemos entenderla como la operaci´on inversa a la potenciaci´on, as´ı como multiplicary dividir, sumar y restar. La ra´ız en´esima de a elevada a m es n√am, de la cual podemos distinguir doselementos importantes:
  3. 3. ¡Mira!Para el trabajo algebraico y aritm´etico con ra´ıces es importante que no olvidemos que existe unarelaci´on entre ra´ıces y potencias:amn = n√amDe esta relaci´on podemos encontrar una serie de propiedades para las ra´ıces.1. n√a · n√b = n√abEsto se debe a quen√a ·n√b = a1n · b1n= (ab)1n=n√ab2.n√an√b= nabEsto se debe a quen√an√b=a1nb1n=ab1n= nab3. n m√a = n·m√aEsto se debe a quen m√a = m√a1n= a1m1n= a1m· 1n= a1n·m= n·m√a2
  4. 4. open greenroad4. n√anb = a n√bEsto se debe a quen√anb = (anb)1n= (an)1n b1n= annn√b= an√bEsta propiedad es muy ´util, ya que nos permiteextraer de la ra´ız todas las cantidades subradicalesque tengan un exponente divisible por el ´ındice dela ra´ız. De manera general:n√amb = amnn√b EjemploAplica las propiedades de las ra´ıces para escribir los radicales de la forma m´as simple posible.1.√4 · 16Soluci´on: Escribimos las cantidades subradi-cales como potencias y luego aplicamos la pro-piedad 4.√4 · 16 =√22 · 42= 2 · 4= 82.√18Soluci´on: Escribimos la cantidad subradicalcomo factorizaci´on prima y luego extraemosde la ra´ız las cantidades subradicales que ten-gan un exponente divisible por el ´ındice.√18 =√2 · 9=√2 · 32= 3√23. 3 27125Soluci´on: Escribimos el numerador y deno-minador como potencia y luego extraemos dela ra´ız las cantidades subradicales que tenganun exponente divisible por el ´ındice.3 27125=3 3353=3 353=354.√1 ÷ 36Soluci´on:√1 ÷ 36 =136=√1√36=163
  5. 5. open greenroad5.4981Soluci´on:4981=√49√81=796.√36Soluci´on: Aplicando la relaci´on entre poten-cias y ra´ıces:√36 = 362= 33= 277.3√215Soluci´on: Aplicando la relaci´on entre poten-cias y ra´ıces:3√215 = 2153= 25= 328.√81Soluci´on: Aplicamos la propiedad 3:√81 =2·2√81=4√81=4√92= 4(32)2=4√34= 39.√50Soluci´on: Para simplificar el radical debemosescribir la cantidad subradical como factoriza-ci´on prima.√50 =√2 · 25=√2 · 52= 5√210. 2√108Soluci´on: Para simplificar el radical debemosescribir la cantidad subradical como factoriza-ci´on prima.2√108 = 2√2 · 54= 2√2 · 6 · 9= 2√2 · 2 · 3 · 32= 2√22 · 33= 2 · 2√33= 4√33La potencia 33 la podemos escribir como 32 ·3,de este modo podemos extraer 32 de la ra´ızcuadrada.4√33 = 4√32 · 3= 4 · 3√3= 12√3 Ejercicios 1Aplica las propiedades de las ra´ıces para escribir los radicales de la forma m´as simple posible.1.√722.√1623.15√2504.38√805. 3√486.183√1927.3√648.3 2√7139. 6√72910.353√37511. 3 3√5.00012. 2 4√10.0004
  6. 6. open greenroad2. Ra´ıces semejantesDecimos que dos o m´as radicales son semejantes cuando tienen el mismo ´ındice y la misma cantidadsubradical, por ejemplo√2,2√23, m√2 y 5√2 son radicales semejantes porque tienen en com´un el radical√2.
  7. 7. ¡Mira!2.1. Reducci´on de radicales semejantesLas ra´ıces semejantes se reducen de la misma manera que lo hacemos para t´erminos algebraicossemejantes, hallando la suma o resta de los coeficientes de las ra´ıces semejantes y colocando esa suma odiferencia como coeficiente de la parte radical en com´un. Ejemplo1. Simplificar:a) 7√2 − 15√2 = (7 − 15)√2 = −8√2b) 4√3 − 20√3 + 19√3 = (4 − 20 + 19)√3 = 3√3c)143√2 −123√2 =14−123√2 = −143√22. Efectuar la siguiente operaci´on.a)√12 +√27Soluci´on: A primera vista no hay t´erminos comunes, pero podemos reescribir las cantidadessubradicales como factorizaci´on prima y luego extraemos t´erminos.√12 +√27 =√3 · 22 +√3 · 32= 2√3 + 3√3= (2 + 3)√3= 5√3b) 3√20 −√45Soluci´on: Aplicamos los mismos pasos que en el caso anterior.3√20 −√45 = 3√22 · 5 −√32 · 5= 3 · 2√5 − 3√5= 6√5 − 3√5= 3√5Un error com´un es pensar que:√a + b =√a +√bPrueba la falsedad de esta afirmaci´on con a = 36 yb = 645
  8. 8. open greenroad Ejercicios 2Reduce los radicales semejantes.1. 3√2 + 7√22.12√3 − 5√33. 8 3√7 −343√7 + 3√74. (x − 1)√3 + (x + 3)√3 − x√35.√45 −√27 −√206.√80 −√63 −√1807. 3√54 − 3√24 − 3√168. 3√625 − 3√192 + 3√1.715 − 3√1.5369.√80 − 2√252 + 3√405 − 3√50010.12√12 −13√18 +34√48 +16√723. Radicales algebraicosComo es de esperar, todas las propiedades que hemos estudiado para cantidades aritm´eticas aplicanpara expresiones algebraicas. A continuaci´on presentamos una serie de ejemplos para mostrar la aplicaci´onde las propiedades de los radicales en ´algebra. Ejemplo1. Simplificar:a) 49x3y7Soluci´on:49x3y7 =√49√x3 y7=√72√x2x y6y= 7xy3√x√y= 7xy3√xyb)√50a2bSoluci´on:√50a2b =√2 · 25a2b=√2 · 52a2b= 5a√2bc) 2 316x2y7Soluci´on: Descomponemos las potencias de tal manera que sus exponentes sean m´ultiplos del´ındice de la ra´ız, en este caso m´ultiplos de 3.2 316x2y7 = 2 324x2y7= 2 32 · 23x2y6y= 4y2 32x2y6
  9. 9. open greenroadd)4√25a2b2Soluci´on:4√25a2b2 =4√52a2b2= 4(5ab)2= (5ab)24= (5ab)12=√5abe) 3 881x7Soluci´on:3 881x7=3 2334x7=3 233 · 33x · x6=23x23 13xf ) 59n5m3Soluci´on:59n5m3= 532n5m · m2= 53mn5m=15mn5m2. Reduce t´erminos semejantesa)√25ax5 +√49a3x3 −√9ax7Soluci´on: Extraemos las cantidades subraricales que tengan exponente divisible por el ´ındicede la ra´ız.√25ax5 +√49a3x3 −√9ax7 =√52 · a · x4 · x +√72 · a2 · a · x2 · x −√32 · a · x6 · x= 5x2√ax + 7ax√ax − 3x3√ax= (5x2+ 7ax − 3x3)√axRecuerda que al extraer una cantidad subradical, ´estaqueda como coeficiente de la ra´ız elevada a la raz´onentre el exponente que ten´ıa dentro de la ra´ız y el´ındice de la ra´ız.n√amb = amnn√b7
  10. 10. open greenroad Ejercicios 3Simplificar.1.√4a32. 43√250a3b83.434√32mn84.12√108a5b75. 2a√44a3b7c96.6√343a9x187.6√49a2b48.27x216a2b49. 2b2 3 1254b53.1. Operaciones con ra´ıces de diferente ´ındicePara sumar o restar fracciones necesitamos que ´estas tengan el mismo denominador. Si no lo tienenbuscamos el m´ınimo com´un m´ultiplo entre los denominadores y luego escribimos fracciones equiva-lentes a las anteriores, pero con el denominador encontrado. Notemos que en los radicales ocurre algosimilar. Para sumar, restar, multiplicar y dividir ra´ıces necesitamos que ´estas tengan el mismo ´ındice,entonces ¿qu´e podemos hacer cuando dos ra´ıces tienen ´ındices diferentes? Veamos el siguiente ejemplopara entender. Ejemplo1. Multiplicar√x por3√2x2Soluci´on: Primero escribimos las ra´ıces como potencias de exponente fraccionario.√x ·3√2x2 = x12 · (2x2)13Para que podamos usar la propiedad de la multiplicaci´on de las ra´ıces con igual ´ındice, debemosreescribirlas como radicales equivalentes que tengan igual ´ındice. Al expresarlas como potencias deexponente fraccionario los ´ındices corresponden a los denominadores. Entonces debemos reescribirlos exponentes como fracciones con el mismo denominador usando el m´ınimo com´un m´ultiplo. ElMCM(2, 3) = 6, entonces:12=36y13=26Ahora usamos las fracciones con denominador 6 para reescribir las ra´ıces.x12 · (2x2)13 = x36 · (2x2)26=6√x3 · 6(2x2)2= 6x3 · (2x2)2=6√x3 · 4x4=6√4x7= x6√4x8
  11. 11. open greenroad2. Simplificar3√3x2 ÷√9xSoluci´on: Hacemos los mismos pasos que en el caso anterior.3√3x2 ÷√9x = (3x2)13 ÷ (9x)12= (3x2)26 ÷ (9x)36=6(3x2)26(9x)3= 6 (3x2)2(9x)3=6 32x493x3=6 32x436x3=136√32x=136√9x Ejercicios 4Desarrolla las operaciones y reduce.1.√3 ·√52. 3√64 ÷ 3√123.√2x ·3√3x24. 39x2y ·6√81x35. 3x2y2 · 43x3y6.√2x · 5√5x · 10 116x27.√6 ÷ 3√58. 2 3√3a ÷ 10√a9.3√8a3b ÷6√16x24. Comparaci´on de ra´ıces con el mismo ´ındicePara x y y n, todos reales positivos, se cumple que:n√x n√y
  12. 12. ¡Mira!Este resultado nos permite definir si una ra´ız es mayor o menor que otra, s´olo comparando si lacantidad subradical es menor o mayor. Por ejemplo ¿qu´e n´umero es mayor 3√10 ´o√5? Para responderesta pregunta podemos escribir ambas ra´ıces con el mismo ´ındice como lo hemos hecho en los anterioresejemplos. Los ´ındices son 2 y 3, por lo tanto, el menor m´ultiplo com´un es 6.3√10 = 1013 = 1026 =6√102 =6√100√5 = 512 = 536 =6√53 =6√1259
  13. 13. open greenroadComo las ra´ıces tienen el mismo ´ındice, el radical mayor es el que tiene la mayor cantidad subradical,en este caso6√125 6√100Entonces podemos concluir que√5 3√10 Ejercicios 5Escribir en orden decreciente de magnitud.1.√6, 3√32. 6√15, 4√73.√13, 3√44.√3, 3√12, 4√185. 4√3, 3√4, 5√156. 3√3, 6√12, 9√245. Racionalizaci´onConsiste en reescribir una fracci´on cuyo denominador es un radical a otra fracci´on equivalente endonde su denominador sea un racional. Con esta acci´on hacemos “desaparecer” todo signo radical deldenominador. En la racionalizaci´on podemos distinguir dos casos diferentes.
  14. 14. ¡Mira!5.1. Denominador monomio radicalEn este caso debemos amplificar la fracci´on por el radical, del mismo´ındice del radical del denominador,tal que al multiplicarlo con el denominador d´e como resultado un racional. Para comprenderlo veamosuna serie de ejemplos. EjemploRacionaliza:1.1√5xSoluci´on: Para eliminar el radical del denominador amplificamos por√5x1√5x=√5x√5x·1√5x=√5x · 1√5x√5x=√5x√52x2=√5x5x10
  15. 15. open greenroadDe manera general para cualquier a 0 se cumpleque:1√a=√aa2.13√9xSoluci´on: El denominador es 3√9x que es igual a3√32x. Para extraer cantidades subradicales deesta ra´ız c´ubica, los exponentes de los t´erminos que componen a la cantidad subradical deben serm´ultiplos de 3. Sabemos que la ra´ız por la que amplificaremos tiene ´ındice 3. Adem´as la cantidadsubradical es 32x , para que los podamos extraer de la ra´ız c´ubica debemos multiplicarlos por3x2 , de este modo debemos multiplicar el numerador y denominador por3√3x2 .13√9x=3√3x23√3x2·13√32x=3√3x23√3x2 3√32x=3√3x23√33x3=3√3x23xNos podemos dar cuenta que la cantidad subradical del factor que usaremos para amplificar, secompone de todas letras y n´umeros de la cantidad subradical de la ra´ız del denominador, cada unade ´estas elevada a la potencia que le falta para llegar al ´ındice.Por ejemplo, si el denominador es4√23x2, el factor para amplificar ser´a una ra´ız de ´ındice 4 y lacantidad subradical estar´a compuesta por 2 y x, cada una de ´estas elevadas al n´umero que le falta a23 y x2 para llegar a un exponente igual al ´ındice de la ra´ız (en este caso particular 4). A 23 le falta1 unidad en el exponente y a x2 le faltan 2 unidades en el exponente, entonces debemos multiplicarnumerador y denominador por4√2x2.3.34√9aSoluci´on: El denominador es 4√9a =4√32a, a 3 le faltan dos unidades en el exponente paraigualar el valor del ´ındice de la ra´ız, y a a le faltan tres unidades en el exponente. Entonces el factores4√32a3.34√9a=4√32a34√32a3·34√32a=3 ·4√32a34√32a3 4√32a=34√32a34√34a4=34√9a33a=4√9a3a11
  16. 16. open greenroad Ejercicios 6Racionaliza.1.4√52.3√5x3.23√12a4.14√20x25.x4√27x36.5n33√mn7.15√81a38.26x3y59.x12√m11n105.2. Expresiones conjugadasConsideremos una expresi´on algebraica que contiene radicales de ´ındice dos:√a +√bTomemos la expresi´on compuesta por los mismos elementos, pero ahora con signo opuesto:√a −√bSe dice que estas dos expresiones son conjugadas. Otros ejemplos de pares de conjugadas son:a +√b y a −√b√a − b y√a + bEntonces la conjugada de√2 − 1 es√2 + 1, la conjugada de12−√11 es12+√11, y la conjugada de2 + 3√5 es 2 − 3√5. Pero ¿cu´al es la importancia de los pares de expresiones conjugadas? Veamos lo queocurre al multiplicar expresiones conjugadas:(√2 − 1)(√2 + 1) = (√2)2− (1)2= 2 − 1= 1En otro ejemplo:12−√1112+√11 =122− (√11)2=14− 11= −4311Notemos que si multiplicamos un binomio por su conjugado obtendremos una suma por su dife-rencia, lo que eliminar´a los radicales.12
  17. 17. open greenroadEl producto de una expresi´on por su conjugada esracional. De hecho si√a y√b son reales, entonces:(√a +√b)(√a −√b) = (√a)2− (√b)2= a − bLas expresiones conjugadas son muy importantes para la racionalizaci´on donde el denominador es unbinomio que contiene radicales de segundo grado.5.3. Denominador binomio con radicales de segundo gradoPara racionalizar el denominador de una fracci´on cuando ´este se compone de un binomio que contie-ne radicales de segundo grado, debemos simplemente amplificar la fracci´on por el conjugado deldenominador. Ejemplo1. Racionaliza:a)2√5 − 1Soluci´on: Amplificamos por el conjugado del denominador que es√5 + 12√5 − 1=2√5 − 1·√5 + 1√5 + 1=2( 5 + 1)(√5 − 1)(√5 + 1)=2(√5 + 1)(√5)2 − 12=2(√5 + 1)4=(√5 + 1)2b)3 −√21 +√2Soluci´on:3 −√21 +√2=3 −√21 +√2·1 −√21 −√2=(3 −√2)(1 −√2)(1 +√2)(1 −√2)=3 − 3√2 −√2 + (√2)212 − (√2)2=3 − 4√2 + 2−1= −1(5 − 4√2)= 4√2 − 513
  18. 18. open greenroad2. Racionalizar la expresi´on4√2 +√5 −√6con tres radicales de ´ındice dos en el denominador.Soluci´on: Utilizando la propiedad de asociatividad, agrupamos el denominador en 2 t´erminos:4(√2 +√5) −√6El conjugado de (√2 +√5) −√6 es (√2 +√5) +√6. Amplificamos la fracci´on por el conjugado.4(√2 +√5) −√6=4(√2 +√5) −√6·(√2 +√5) +√6(√2 +√5) +√6=4((√2 +√5) +√6)(√2 +√5)2 − (√6)2=4((√2 +√5) +√6)(√2)2 + 2(√2 ·√5) + (√5)2 − 6=4((√2 +√5) +√6)2 + 2√2 · 5 + 5 − 6=4((√2 +√5) +√6)2√10 + 1=4√2 + 4√5 + 4√62√10 + 1Ahora amplificamos por el conjugado del denominador, que es 2√10 − 1.4√2 + 4√5 + 4√6(2√10 + 1)=4√2 + 4√5 + 4√6(2√10 + 1)·2√10 − 12√10 − 1=(4√2 + 4√5 + 4√6)(2√10 − 1)(2√10)2 − 12=8√20 + 8√50 + 8√60 − 4√2 − 4√5 − 4√640 − 1=16√5 + 40√2 + 16√15 − 4√2 − 4√5 − 4√639=36√2 + 12√5 + 16√15 − 4√639 Ejercicios 7Racionaliza.1.2√3 −√22.5 + 2√34 −√33.3√27√2 + 6√34.√3 +√52√10 − 65.2 −√31 +√2 +√36.√2√2 +√3 +√514
  19. 19. open greenroadBibliograf´ıa[1 ] ´Algebra, Edici´on 1983, CODICE S.A. Madrid (1983)Dr. Aurelio Baldor.[2 ] Aritm´etica, Edici´on 1983, CODICE S.A. Madrid (1983)Dr. Aurelio Baldor.15

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