ESCALARES Y VECTORES ÁLGEBRA DE VECTORES EL SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULAR COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS EL PRODUCTO PUNTO EL PRODUCTO CRUZ OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS

1. CAMPOS ELECTROMAGN ÉTICOS TEMA 1 – AN ÁLISIS VECTORIAL Ingeniería en Redes y Telecomunicaciones Prof. Máximo Domínguez Ciclo Nov 2009 – Ene 2010 San Cristóbal, RD

7. COMPONENTES VECTORIALES Y VECTORES UNITARIOS 5 Un vector A posee tanto magnitud como dirección. La magnitud de A es un escalar, el cual se escribe A o | A |. Un vector unitario a A a lo largo de A es un vector cuya magnitud = 1 y cuya dirección sigue la dirección de A , esto es: Siendo Normalmente, el vector unitario se denota utilizando uno de estos símbolos: u A , a A , 1 A o simplemente a . Si se tiene en cuenta que | a A |= 1, A se puede expresar: A = A a A Un vector A se puede expresar en coordenadas cartesianas así: ( A x , A y , A z ) o A x a x + A y a y + A z a z .

11. EL PRODUCTO PUNTO 9 Dados dos vectores A y B, el Producto Punto o Producto Escalar, se define: El producto escalar obedece a la ley conmutativa, esto es: La expresión se lee : A punto B . Ej. de producto punto: El signo del ángulo no afecta el término coseno

12. EL PRODUCTO PUNTO (CONT.) 10 El producto punto de dos vectores expresados en componentes cartesianas sigue la ley distributiva, como se muestra a continuación: Sean los vectores A y B : El producto produce la suma de 9 términos escalares, y en los cuales se involucra el producto punto de dos vectores unitarios. Como el ángulo entre dos vectores unitarios diferentes es de 90° en coordenadas cartesianas, entonces se cumple que: Resultando que:

17. EL PRODUCTO CRUZ 15 Dados dos vectores A y B, el Producto Cruz o Producto Vectorial, se define: En este caso el subíndice N hace referencia a la normal . La expresión se lee : A cruz B . El producto cruz es un vector, cuya magnitud es igual al producto de las magnitudes de A , B y el seno del ángulo más pequeño entre A y B . La dirección de está en la dirección del tornillo de rosca derecha cuando A se gira hacia B .

18. EL PRODUCTO CRUZ (CONT.) 16 El producto cruz no es conmutativo, puesto que : De lo anterior se verifica que: A continuación se muestra el desarrollo del producto cruz en coordenadas cartesianas: Este resultado se puede expresar en la forma: Más Fácil, Verdad!

20. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] 18 Representación de un punto P : En donde representa el radio del cilindro que pasa por P o la distancia radial desde el eje z . recibe el nombre de ángulo azimutal y se mide desde el eje x en el plano xy , y z es igual en el sistema cartesiano. Intervalos En coordenadas cilíndricas, un vector A se puede expresar: o La magnitud de A es Je, Je, … ¿Cuál es la unidad de a φ ? Vectores Unitarios : Los vectores unitarios a ρ , a φ , y a z son mutuamente perpendiculares, por tanto se cumple:

22. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 20 Transformación Escalar De la figura se deduce que: Transformación Escalar De la figura se deduce que:

23. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [CILÍNDRICAS CIRCULARES ] (CONT.) 21 Transformación de un Vector Unitario De las figuras se deduce que: Ejercicio para la casa: Expresar ecuaciones de transformación en notaci ón matricial.

27. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFÉRICAS ] 25 Representación de un punto P : En donde representa la distancia del origen al punto P o el radio de una esfera centrada en el origen y que pasa por P. (llamado colatitud) es el ángulo entre el eje z y el vector de posición P, y se mide desde el eje x (igual que el ángulo azimutal en las coordenadas cilíndricas). Intervalos En coordenadas esféricas, un vector A se puede expresar: o La magnitud de A es Je, Je, … ¿ Qu é sólido de revolución formamos con θ = Constante? Vectores Unitarios : Los vectores unitarios a r , a θ , y a φ son mutuamente perpendiculares, por tanto se cumple:

29. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFÉRICAS ] (CONT.) 27 Transformación Escalar Transformación Escalar

30. OTROS SISTEMAS DE COORDENADAS [ESFÉRICAS ] (CONT.) 28 Relación entre Vectores Unitarios Ejercicio para la casa: Expresar ecuaciones de transformación en notaci ón matricial.

34. GRACIAS POR SU ATENCIÓN