1. Chapter 9
Fonctions g´n´ratrices des variables
e e
al´atoires ` valeurs dans N
e a
Sommaire
9.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . .
e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.2 Calculs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.3 Loi et fonction g´n´ratrice . . . . . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.4 Fonction g´n´ratrice et ind´pendance
e e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.5 Fonction g´n´ratrice et moments . .
e e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Objectifs:
• Introduire un objet qui caract´rise la loi d’une variable al´atoire ` valeurs dans N: la fonction g´n´ratrice.
e e a e e
Mots-cl´s:
e
• fonction g´n´ratrice, rayon de convergence.
e e
Outils:
• liens entre la loi et la fonction g´n´ratrice,
e e
• calcul de l’esp´rance et de la variance ` partir de la fonction g´n´ratrice.
e a e e
Techniques de d´monstration: R´sultats sur les s´ries enti`res.
e e e e
9.1 D´finition
e
D´finition 9.1 Soit X une variable al´atoire a valeurs dans N. On d´finit sa fonction g´n´ratrice gX par
e e ` e e e
+∞
gX (s) = sk P(X = k).
k=0
Remarque: 1. Si X ne prend qu’un nombre fini de valeurs, gX est un polynˆme en s, elle est donc d´finie sur R
o e
tout entier.
2. Si X prend un nombre d´nombrable de valeurs, gX est une s´rie enti`re en s: on doit donc se demander pour
e e e
quelles valeurs de s cette s´rie est bien d´finie. La th´orie des s´ries enti`res assure qu’il existe RX tel que
e e e e e
• si |s| < RX , alors gX (s) converge (et mˆme converge absolument)
e
• si |s| > RX , alors gX (s) diverge,
68

2. • si |s| = RX , on ne sait pas.
Cette grandeur RX est appel´e rayon de convergence de gX . Remarquons ici que
e
+∞ +∞
gX (1) = 1k P(X = k) = P(X = k) = 1,
k=0 k=0
et donc RX > 1.
la fonction g´n´ratrice d’une variable al´atoire ` valeurs dans N est toujours d´finie au moins sur [−1, 1].
e e e a e
3. Par la formule de transfert, on remarque que quand gX (s) est fini, on a
gX (s) = E(sX ).
9.2 Calculs
Loi de Bernoulli de param`tre p
e
gX (s) = ps1 + (1 − p)s0 = (1 − p) + ps.
Le rayon de convergence est +∞.
Loi binomiale de param`tres n, p
e
n n
n k n
gX (s) = p (1 − p)n−k sk = (ps)k (1 − p)n−k = (1 − p + ps)n .
k k
k=0 k=0
Le rayon de convergence est +∞.
Loi uniforme sur {0, 1, . . . , n}
n
1 k 1 1 − sn+1
gX (s) = s = .
n+1 n+1 1−s
k=0
Attention, cette formule n’est valable que pour s = 1, mais on peut la prolonger par continuit´ par 1 en 1.
e
Le rayon de convergence est +∞.
Loi g´om´trique de param`tre p
e e e
+∞ +∞
gX (s) = sk p(1 − p)k−1 = ps ((1 − p)s)k−1 .
k=1 k=1
On reconnait la s´rie g´om´trique de raison (1 − p)s: elle converge si et seulement si
e e e
1
|(1 − p)s| < 1 ⇔ |s| < .
1−p
1 1
Le rayon de convergenc est donc 1−p > 1 et pour tout |s| < 1−p ,
ps
gX (s) = .
1 − (1 − p)s
Loi de Poisson de param`tre λ
e
+∞ +∞
λk (λs)k
gX (s) = sk exp(−λ) = exp(−λ) .
k! k!
k=0 k=0
On reconnait la s´rie exponentielle, donc le rayon de convergence est +∞ et
e
gX (s) = exp(−λ + λs) = exp(−λ(1 − s)).
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3. 9.3 Loi et fonction g´n´ratrice
e e
Th´or`me 9.2 Soit X une variable al´atoire a valeurs dans N. Sa fonction g´n´ratrice gX est infiniment d´rivable
e e e ` e e e
sur ] − RX , RX [, et la d´riv´e n-`me est donn´e par
e e e e
+∞
(n)
gX (s) = k(k − 1) . . . (k − n + 1)P(X = k)sk−n = E(X(X − 1) . . . (X − n + 1)sX−n ).
k=n
En particulier,
(n)
gX (0)
∀n ∈ N, P(X = n) = .
n!
Ceci signifie que la fonction g´n´ratrice caract´rise la loi.
e e e
D´monstration: C’est le th´or`me de d´rivation d’une s´rie enti`re (et le th´or`me de transfert pour
e e e e e e e e
la deuxi`me formule)
e
♦ En pratique: Pour retrouver la loi si on connait la fonction g´n´ratrice, on regarde les d´riv´es successives en
e e e e
0:
(n)
g (0)
∀n ∈ N, P(X = n) = X .
n!
9.4 Fonction g´n´ratrice et ind´pendance
e e e
Proposition 9.3 Soit X et Y deux variables al´atoires ind´pendantes a valeurs dans N. Alors
e e `
gX+Y (s) = gX (s)gY (s).
D´monstration: Comme X et Y sont ind´pendantes,
e e
gX+Y (s) = E(sX+Y ) = E(sX sY ) = E(sX )E(sY ) = gX (s)gY (s).
♣ Exercice: Soit X et Y deux variables al´atoires ind´pendantes de lois de Poisson de param`tres respectifs λ > 0
e e e
et µ > 0. D´terminer, en calculant sa fonction g´n´ratrice, la loi de X + Y .
e e e
♣ Exercice: Soit X1 , X2 , ..., Xn des vaiid de loi de Bernoulli de param`tre p. D´terminer la loi de X1 +X2 +· · ·+Xn .
e e
9.5 Fonction g´n´ratrice et moments
e e
Proposition 9.4 Soit X une variable al´atoire a valeurs dans N de rayon de convergence RX > 1. Alors X admet
e `
des moments de tout ordre et
+∞
(n)
∀n ≥ 0, gX (1) = k(k − 1) . . . (k − n + 1)P(X = k)1k−n = E(X(X − 1) . . . (X − n + 1)).
k=n
En particulier,
gX (1) = E(X) et gX (1) = E(X(X − 1)).
D´monstration: C’est une application de la formule de la d´riv´e n-i`me.
e e e e
Remarque: En fait, on a un r´sultat plus fort quand RX = 1: X est int´grable si et seulement si GX est d´rivable
e e e
1. On n’utilisera pas ce r´sultat cette ann´e.
e e
70

4. ♣ Exercice: Calculer ` l’aide de la fonction g´n´ratrice l’esp´rance et la variance de la loi g´om´trique de param`tre
a e e e e e e
p et de la loi de Poisson de param`tre λ.
e
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