Вектор, түүн дээрх шугаман үйлдэл

1. Дээд тоо хичээлийн лекц С.Баярбаатар
Вектор, түүн дээрх шугаман үйлдлүүд
Тодорхойлолт:
Чиглэлт хэрчмийг вектор гэнэ. Хэрэв А эхлэл, В төгсгөлтэй бол векторыг ÀÂ гэж
тэмдэглэдэг. Векторын уртыг түүний модуль гэж нэрлэдэг бөгөөд ÀÂ , à гэх мэт
тэмдэглэнэ. Векторуудыг нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлүүдийг вектор дээрх
шугаман үйлдэл гэнэ. Дурын a ба b хоѐр вектор аваад тэдгээрийг нэмэх ба хасах
үйлдлүүдийг дараах зургаар үзүүлье.
Векторуудыг үржүүлэхдээ дараах дүрмийг баримтлана. à дурын вектор,   бодит
тоо байг. c= a векторыг
1. c a ,
2. Хэрэв 0  бол à -тай ижил чиглэлтэй, 0  бол à -тай эсрэг чиглэлтэй байхаар
тодорхойлдог. Вектор дээр хийх шугаман үйлдлүүдийн хувьд дараах чанарууд хүчинтэй
байна. Үүнд:

2. Дээд тоо хичээлийн лекц С.Баярбаатар
   
 
 
 
   
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1. a b b a
2. a b c a b c
3. a 0 a
4. a a 0
5. a b a b, R
6. a a a, , R
7. a a
8. 1 a a
   
     
   
  
    
 
  
   
   

 
Тодорхойлолт: Хавтгай дээрх дурын гурван, огторгуй дахь дурын дөрвөн вектор
шугаман хамааралтай байна. Хавтгай дээрх шугаман хамааралгүй дурын хоѐр векторыг
хавтгайн суурь вектор гэж нэрлэх бөгөөд сууриар задлан бичвэл 1 1 2 2a e e   болно.
Үүнд: 1 2,  тоог a векторын аффин координат гэнэ.
Тодорхойлолт: Огторгуй дээрх шугаман хамааралгүй дурын гурван векторыг огторгуйн
суурь вектор гэж нэрлэх бөгөөд сууриар задлан бичвэл 1 1 2 2 3 3a e e + e    болно. Үүнд:
1 2 3, ,   тоог a векторын аффин координат гэнэ. Векторын тэнхлэг дээрх проекцыг
e
ïð AB AB cos томъѐогоор тодорхойлно. Энд  нь e тэнхлэг AB векторын
хоорондох өнцөг. Проекцын хувьд дараах чанарууд хүчинтэй.
   
 
e e e
e e
4.1ïð a b ïð a ïð b
ïð a ïð a, R 4.2  
  
   
i, j, k нь Ох, Оу, Оz тэнхлэгүүдтэй харгалзан ижил чиглэлтэй, нэгж урттай векторууд
байг. Дурын a векторыг координатын сууриар задлан бичвэл a=x i y j z k     болно.

3. Дээд тоо хичээлийн лекц С.Баярбаатар
x,y,z коэффициентүүдийг a векторын  i, j, k суурь дахь координат гэх ба эдгээр нь
координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцууд юм. Тэдгээрийг a векторын тэгш өнцөгт
координатууд гэнэ.
Тодорхойлолт: a вектор x, y, z координаттай гэвэл  a= x, y, z гэж бичнэ. a векторын
хувьд урт нь нэгтэй тэнцүү, a -тай ижил чиглэлтэй векторыг a векторын нэгж вектор
буюу орт гээд
0
a гэж тэмдэглэнэ. Орт векторын хувьд
0 a
a
a
 томъѐо хүчинтэй.
a вектор нь координатын тэнхлэгүүд Îx, Oy, Oz -тэй харгалзан , ,   өнцөг
үүсгэдэг бол чиглүүлэгч косинусуудыг олох томъѐо нь:
x y z
cos = ; cos = ; cos =
a a a
   болно.
Координатаараа өгөгдсөн векторууд дээрх шугаман үйлдлүүд нь тэдгээрийн координат
дээрх үйлдлүүдэд шилжинэ.     3
1 1 1 2 2 2a= x , y , z áà b= x , y , z , a,b R байг.
 
 
1 2 1 2 1 2
1 1 1
1. a b= x x , y y , z z
2. a= x , y , z   
   

1 2 1 2 1 23. x x , y y , z =z  байвал a b байна.
2 2 2
1 1 14. a = x y z 
 1 1 15. A= x , y , z ба  2 2 2B= x , y , z цэгүүд координатаараа өгөгдсөн байг.
Тэгвэл  2 1 2 1 2 1AB x x , y y , z z    болно.

4. Дээд тоо хичээлийн лекц С.Баярбаатар
6. Хоѐр цэгийн хоорондох зайг      2 2 2
2 1 2 1 2 1AB x x y y z z      томъѐогоор
тодорхойлно.
7. Хэрчмийг өгөгдсөн  харьцаанд хуваах цэгийн координатыг олох томъѐо нь
1 2 1 2 1 2x x y y z z
x= , y= , z=
1 1 1
  
  
  
  
Хэрчмийг таллан хуваах цэгийн координатыг олох томъѐо нь:
1 2 1 2 1 2x x y y z z
x= , y= , z=
2 2 2
  
1  үед
Жишээ: Өгөгдсөн a, b, c векторуудаар a b c  векторыг байгуул.
Бодолт:
Жишээ:  1M 2, 4, -2 ба  2M 2, 4, 2 цэгүүд өгөгджээ. 1 2M M хэрчмийг =3
харьцаагаар хуваах М цэгийн координатыг ол.
Бодолт:
1 2
M
1 2
M
1 2
M
x x 2 3( 2 )
x = 1,
1 1 3
y y 4 3 4
y = 4,
1 1 3
z z 2 3 2
z = 1 Ì(-1; 4; 1)
1 1 3






  
  
 
  
 
 
   
 
 

5. Дээд тоо хичээлийн лекц С.Баярбаатар
Жишээ: a =13, b =19, a b =24 бол a b =?
Бодолт:  2 2 2 2
2 a b = a b + a b   томъѐог ашиглавал
   2 2 2 2 2 2 2 2
2 a b = a b + a b a b = 2 a b a b       
 
2
2
a b = 2 169 361 576 1060 576 484
a b =484 a b 22
     
   
Жишээ:  M 5, -3, 4 цэгийн радиус векторын чиглүүлэгч косинусуудыг ол.
Бодолт: Координатын эхээс эхлэлтэй  OM= 5, -3, 4 вектор үүсгэе.
 22 2
OM = 5 + -3 +4 = 25 9 16= 50= 25 2=5 2  
Чиглүүлэгч косинусуудыг олох томъѐо:
x 5
cos =
a
 
5
1 y 3 z 4
; cos = ; cos =
2 2 5 2 5 2a a
 

  
Жишээ:  a 3, -5, 8 ба  b 1, 1, -4  векторуудын нийлбэр ба ялгаврын модулийг ол.
a b (3 ( 1), -5+1, 8+(-4)) ( 2, -4, 4 ); a b ( 4, -6, 12)       тул
2 2 2
2 2 2
a b = 2 ( 4 ) 4 = 36=6;
a b = 4 ( 6 ) 12 = 196=14
   
   