Formulas y técnicas para calcular la fracción generatriz de un número decimal. Solucionario completo en nuestro sitio: http://refuerzateenciencias.blogspot.pe

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FRACCIÓN GENERATRIZ
¡Recordemos!
1. Fracciones
Una “Fracción” es:
Una expresión que indica una división no efectuada o
que no se puede efectuar.
• Una expresión de la forma:
a
b
• Con a y b enteros, b = 0, donde “a” recibe el
nombre de numerador y “b” el de denominador.
• En la fracción
8
7
, 8 es el numerador y 7 es el
denominador.
• La expresión
4
0
no es una fracción, porque el de-
nominador es 0.
Es una parte o porción de un todo.
• Si dividimos un pastel en dos partes, entonces
cada parte es la mitad del pastel, en otras pala-
bras cada parte es
1
2
del pastel.
• Si dividimos un pastel en cinco partes, entonces
cada parte es
1
5
del pastel.
◦ Si juntamos dos partes del pastel, estos re-
presentan
2
5
del pastel.
◦ Si juntamos 4 partes del pastel, estos repre-
sentan
4
5
del pastel
2. Expresión decimal
La expresión decimal de una fracción se obtiene dividiendo
el numerador entre el denominador.
“0.5 es la expresión decimal de
1
2
”
Fracción Generatriz
“
1
2
es la fracción generatriz de 0.5”
2.1. Decimal exacto
Cuando el residuo de la división es 0.
0.1 0.512 3.1416
2.79 0.000009
a.b =
ab
10
a.bc =
abc
100
a.bcd =
abcd
1000
En general:
a0.a1a2a3 . . . an =
a0a1a2a3 . . . an
10n
(0.1)
2.2. Decimal periódico
Cuando nunca se llega a obtener residuo 0.
En la expresión decimal, el grupo de cifras que se repiten
indefinidamente se llama “periodo”.
Notación:
0.111 . . . = 0.
>
1 → periodo igual a 1.
0.236767 . . . = 0.23
>
67 → periodo igual a 67.
2.2.1. Decimal periódico puro
Cuando el periodo comienza inmediatamente después
del punto decimal.
0.
>
1 0.222 . . . 3.145145 . . .
123.
>
7 0.
>
432
a.
>
b =
ab − a
9
a.
>
bc =
abc − a
99
a.
>
bcd =
abcd − a
999
En general:
a0.
>
a1a2 . . . an =
a0a1a2 . . . an − a0
9 . . . 9
n veces
(0.2)
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2.2.2. Decimal periódico mixto
Cuando tiene alguna cifra (anteperiodo) después del
punto decimal y antes del periodo.
0.2
>
6 0.42777 . . . 3.141666 . . .
103.12
>
7 0.000
>
4
a.b
>
c =
abc − ab
90
a.b
>
cd =
abcd − ab
990
...
Similarmente:
a.bc
>
d =
abcd − abc
900
a.bc
>
de =
abcde − abc
9900
...
En general:
a1.b1 . . . bm
>
c1 . . . cn =
a1b1 . . . bmc1 . . . cn − a1b1 . . . bm
9 . . . 9
n veces
×10m
(0.3)
PROBLEMAS PROPUESTOS
Básico:
Hallar la fracción generatriz
1. 0.5
2. 0.0000023
3. 12323.3120000012
4. 0.111 . . .
5. 0.555 . . .
6. 0.
>
1263
7. 2.
>
108
8. 0.2
>
43
9. 0.432
>
5
Intermedio:
10. E = (3 + 0.15 + 1.2 − 4.3) × 0.
>
4
11. Escriba >, =, o < según corresponda.
a) 0.49 . . . 0.490
b) 0.09 . . . 0.101
c) 0.99 . . . 0.989
12. Ordenar de mayor a menor los números dados
a) 0.291,
1
3
, 0.2
>
5, 0.
>
25 y
1
4
Avanzado:
13. Calcule x de la ecuación:
x − 0.0
>
7 = 1 − x
14. Demuestre que:
0.
>
0m =
m
99
donde m ∈ Z y 1 ≤ m ≤ 9.
15. Si el número periódico 0.
>
36 es escrito en su forma frac-
cional más simple, la suma del numerador y el denomi-
nador es:
16. Qué número representa la serie:
0.142857 + 0.000000142857 + . . .
17. Verifique si 0.
>
9 = 1.
Referencias
[1] P. García (1992). Diccionario de términos matemáticos.
La Calesa S.A.: Valladolid.
[2] F. Vega (1973). Matemática moderna 2. Perú.
[3] M. Coveñas (1997). Matemática 2. Perú.
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SOLUCIONARIO
Básico:
1. 0.5
Es un decimal exacto.
Usamos la fórmula (0.1)
a0.a1a2a3 . . . an =
a0a1a2a3 . . . an
10n
Aquí n = 1, a0 = 0 y a1 = 5, entonces:
0.5 =
05
101
0.5 =
1
¡5
&10
2
0.5 =
1
2
2. 0.0000023
Es un decimal exacto.
Usamos la fórmula (0.1)
a0.a1a2a3 . . . an =
a0a1a2a3 . . . an
10n
Aquí n = 7, a0 = a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = 0, a6 = 2 y a7 = 3, entonces:
0.0000023 =
00000023
107
0.0000023 =
23
107
0.0000023 =
23
10000000
3. 12323.3120000012
Es un decimal exacto.
Expresamos el número de la siguiente manera:
12323.3120000012 = 12320 + 3.3120000012
Para el número 3.3120000012, usamos la fórmula (0.1)
a0.a1a2a3 . . . an =
a0a1a2a3 . . . an
10n
Aquí n = 10, a0 = a1 = 3, a2 = 1, a3 = 2, a4 = a5 = a6 = a7 = a8 = 0 , a9 = 1 y a10 = 2, entonces:
3.3120000012 =
33120000012
1010
3.3120000012 =
33120000012
10000000000
Ahora
12323.3120000012 = 12320 + 3.3120000012
= 12320 +
33120000012
10000000000
=
123200000000000 + 33120000012
10000000000
=
123233120000012
10000000000
FORMA DIRECTA
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Usamos la fórmula (0.1)
a0.a1a2a3 . . . an =
a0a1a2a3 . . . an
10n
Aquí n = 10, entonces:
12323.3120000012 =
123233120000012
1010
=
123233120000012
10000000000
Es decir, contamos los números después del punto decimal, en este caso son 10, luego en la fracción, el numerador
es el número sin el punto decimal y el denominador es 1010
.
4. 0.111 . . .
Es un decimal periódico puro.
Usamos la fórmula (0.2)
a0.
>
a1a2 . . . an =
a0a1a2 . . . an − a0
9 . . . 9
n veces
Aquí n = 1, a0 = 0, a1 = 1 entonces:
0.111 . . . =
01 − 0
9
0.111 . . . =
1
9
5. 0.555 . . .
Es un decimal periódico puro.
Usamos la fórmula (0.2)
a0.
>
a1a2 . . . an =
a0a1a2 . . . an − a0
9 . . . 9
n veces
Aquí n = 1, a0 = 0, a1 = 5 entonces:
0.555 . . . =
05 − 0
9
0.555 . . . =
5
9
OTRA FORMA
x = 0.55555........
10x = 5.55555.......
10x − x = 5.
>
5 − 0.
>
5
9x = 5
x =
5
9
6. 0.
>
1263
Es un decimal periódico puro.
Usamos la fórmula (0.2)
a0.
>
a1a2 . . . an =
a0a1a2 . . . an − a0
9 . . . 9
n veces
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Aquí n = 4, a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 6 y a4 = 3 entonces:
0.12631263 . . . =
01263 − 0
9999
0.12631263 . . . =
1263
9999
0.12631263 . . . =
421
3333
OTRA FORMA
x = 0.126312631263......
10000x = 1263.12631263.......
10000x − x = 1263.
>
1263 − 0.
>
1263
9999x = 1263
x =
1263
9999
x =
421
3333
Por lo tanto 0.
>
1263 =
421
3333
7. 2.
>
108
Es un decimal periódico puro.
Usamos la fórmula (0.2)
a0.
>
a1a2 . . . an =
a0a1a2 . . . an − a0
9 . . . 9
n veces
Aquí n = 3, a0 = 2, a1 = 1, a2 = 0, a3 = 8 entonces:
2.108108 . . . =
2108 − 2
999
2.108108 . . . =
2106
999
2.108108 . . . =
78
37
OTRA FORMA
x = 2.108108108108.....
1000x = 2108.108108108....
1000x − x = 2108.
>
108 − 2.
>
108
999x = 2106
x =
2106
999
x =
702
333
x =
234
111
x =
78
37
Por lo tanto 2.
>
108 =
78
37
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