22. ESFUERZOS POR TEMPERATURA
l
d
ΔT
δ
Deformación por temperatura = α.∆T.L
α=Coeficiente de dilatación
L=Longitud
∆T=Variación de temperatura
Para este caso:
Deformación por temperatura = deformación Elástica
∝∗ ∆𝑻 ∗ 𝑳 =
𝑃𝐿
𝐸𝐴
∝∗ ∆𝑇 =
𝜎
𝐸
𝝈 =∝∗ ∆𝑻 ∗ 𝑬
23. L1 L2
A1 A2
ΔT
δ
p
e
Deformación por T = e + deformación elástica
∝∗ ∆𝑇 ∗ 𝐿 = 𝑒 +
𝑃𝐿
𝐸𝐴
Deformación por T = deformación elástica
∝∗ ∆𝑇 ∗ 𝑙1 +∝∗ ∆𝑇 ∗ 𝑙2 =
𝑃1 𝐿1
𝐸𝐴1
+
𝑃2 𝐿2
𝐸𝐴2
24. ΔT
Problema #1
Determinar el esfuerzo que se produce en el concreto al subir la
temperatura en 20°C, la barra de acero esta en contacto como se indica en
la figura
∝= 16 ∗ 10−6/°𝐶
𝐸 = 2 ∗ 106
𝐾𝑔/𝑐𝑚2
∝∗ ∆𝑇 ∗ 𝐿 = 16 ∗ 10−6°𝐶 ∗ 20°𝐶 ∗ 2 ∗ 106
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
𝜎 = 640
𝐾𝑔
𝑐𝑚2
25. ACERO BRONCE COBRE
2,1x106 kg/Cm2 9.8x105 1,2x106 E
11x10-6 /°C 17,7x 10-6 16 x10-6 α
1,2Cm2 3,0 1,8 A
25 Cm 15 20 L
90cm 60cm
x
BA C
A
c
e
r
o
c
o
b
r
e
B
r
o
n
c
e
Problema # 2
La T de los 3 cables aumenta 14 °C; Hallar el esfuerzo en
c/cable y la posición de la carga aplicada, para que la viga
permanezca horizontal.
c
o
b
r
e
b
r
o
n
c
e
12 ton.
26. Solución:
D.C.L:
∑Fy = 0
FAcero + FBronce+ FCobre = 12 Tn………………………..…….(1)
∑MA= 0:
Fbronce( 90)+ Fcobre(150) =12000Kg(90 -X) ….……….(2)
FAcero Fbronce Fcobre
12Tn
A B C
(90-x) x 60
28. Problema # 3
Se tiene una barra rígida AB sometida a una carga de
50KN y sostenida por una varilla de Aluminio y otra de
Acero. Si se incrementa la T en 40°C, hallar los
esfuerzos en el Aluminio y el Acero.
● ●
Aluminio
Acero
A B
50KN
3m 3m 3m
ALUMINIO ACERO
E : 70x109
N/m2
2x1011 N/m2
Α : 900 mm2 600 mm2
α : 23x10-6/°C 11.7x10-
6/°C
L : 3 4
31. Problema # 4
Barras de Acero:
E=2x106 Kg/cm2
α = 125x10-7/°C
Se calienta a 40°C
Determinar los esfuerzos en las 3 barras del sistema
F
F
Acero
Acero
Acero
L1=400cm
L2=300cm
L3=200cm
(7/5)A
(6/5)A
A
36. F = P. cos 𝛼 … … … … … … … … … … (3)
V = P. sin α … … … … … … … … … … 4
A = Aα. cos 𝛼 … … … … … … … … … (5)
𝜏 =
𝐴
𝐴 cos 𝛼
… … … … … … … … … … … … . (5)
Reemplazo: (3), (4) y (5) en (1) y (2)
σ =
P
A
= cos2
α
𝜏 =
𝑃
𝐴
= sin 𝛼 cos 𝛼
ESFUERZO EN UN PLANO
OBLICUO BAJO CARGA AXIAL
37. Ejercicio:
Hallar el máximo valor de
P(Admisible)
σ = 1600 Kg/cm2
𝜎 𝑎𝑝 = 3200 Kg/cm2
τ = 1200 Kg/cm2
a=4.6m
b=2.5m
c=16cm
t=0.5cm
d
b b
P
P
P/2
P/2
P
t
2t
t
a
38. Solución:
𝜏 =
1200
𝑃
2𝑋
𝜋𝑑2
4
P = 4825 kg
Esfuerzo de aplastamiento:
σap= 3200 =
P
2td
… P = 5120 kg
P/2
P/2
P
Corte perno:
a 2t
d
39. Esfuerzo Normal:
𝜎 = 1600 =
𝑃
2𝑡𝑎 − 2𝑡𝑑
𝑃 = 4800𝑘𝑔
Corte:
a 2t
d
b-d/2
2t
P
(b-d/2)
40. PROBLEMA:
En el soporte mostrado la Porción superior del eslabón ABC es de 3/8 de
pulg. Y las porciones inferiores son de c/u de ¼ de Pulgada de grueso. Se
utiliza resina para unir la porción superior con la inferior en B. El pasador en
A tiene un diámetro de 3/8 in, mientras en C se emplea un pasador de 1/4in.
Determinar:
El esfuerzo cortante en el pasador A
El esfuerzo cortante en el pasador C
El máximo esfuerzo normal en el eslabón ABC
El esfuerzo cortante promedio en las superficies pegadas en B.
El Esfuerzo de soporte en el eslabón c(esfuerzo de apoyo de
aplastamiento)
50. PROBLEMA:
Una tubería de gran tamaño, llamada tubería de presión en obras hidráulicas
tiene 1,5m de diámetro. Está formada por duelas de madera, sujetas mediante
aros de acero de 300 mm2 de sección, y se utiliza para suministrar el agua
desde un embalse a la sala de máquinas. Si el máximo esfuerzo que se
permite en los aros es de 130MPa, y la carga hidráulica es de 30m.
Determinar la máxima separación entre aros.
A
=D
L
L
L
L L
P=Aσ
P=Aσ
F = ρDL
51. Solución:
La presión correspondiente a 30m de carga hidráulica es:
p = ρ. g. h
= 1000
𝑘𝑔
𝑚3 9.81
𝑚
𝑠2 30𝑚
= 294𝑥103 𝑁/𝑚2
= 294𝐾𝑃𝑎
Del gráfico:
𝐹𝑥 = 0:
𝐹 = 2𝑃 ⇒ 𝑝𝑥𝐷𝑥𝐿 = 2(𝐴𝑥𝜎)
294𝑥103 15𝑥𝐿 = 2(300𝑥10−6)(130𝑥106)
𝐿 = 0.0177
52. PROBLEMA: A una temperatura de 20° C hay un ∆ = 0,2mm entre el
extremo inferior de la barra de bronce y la losa rígida suspendida de
las 2 barras de acero. Determinar el esfuerzo en cada barra cuando la
temperatura final es 100° C.
a a
Losa rígida
Δ
acero
acero
bronce
Bronce Acero
A 600 mm2 400mm2
E 83Gpa 200Gpa
α 18,9x10-6/°C 11,7x10-6/°C
53.
D.C.L
a a
Diagrama de deformaciones:
Δ
δTa
δFa
δTb
δFb
Posición inicial de
la losa
Posición final de
la losa𝑀0 = 0:
2𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 … (1)
𝛿𝑇𝐵 − ∆ − 𝛿𝐹𝐵 = 𝛿𝑇𝐴 + 𝛿𝐹𝐴 … (2)
Reemplazando (1) en (2):
18.9𝑥10−6
𝑥80𝑥799.8 − 0.2 −
2𝐹𝐴 800
83𝑥109 𝑥600𝑥10−6
= 11.7𝑥10−6
𝑥80𝑥800 +
𝐹𝐴(800)
2𝑥1011 𝑥4𝑥102 𝑥10−6
FA = 6184.65 N
FB = 12369.30 N
∴ σacero = 15,465Mpa
σbronce= 20,61Mpa
54. Hipótesis: Cuando un eje circular se somete a torsión,
todas las secciones transversales permanecen planos
y sin distorsión.
A
B
B
dF
dF
dF
ρ
=
B
C
*TORSIÓN
ρ: distancia perpendicular desde la fuerza
dF, al eje de la flecha.
𝜌. 𝑑𝐹 = 𝑇
𝑆𝑖: 𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴
𝜌. 𝜏𝑑𝐴 = 𝑇
Entonces:
55. : deformación (radianes)
: ángulo de giro
De la fig. para valores pequeños de γ:
AA´ = Lγ … (1)
También: AA´ = ρϕ … (2)
De (1) y (2) :
Lγ = ρϕ
La deformación unitaria a corte en una flecha circular varía linealmente con la
distancia desde el eje de la flecha.
Si ρ = r :
γ
γ =
𝜌𝜙
𝐿
γmax =
𝑟𝜙
𝐿
γ =
𝜌
𝑟
𝛾 𝑚á𝑥
ϕ
γ
A´
A
ρ
L
56. Esfuerzos en el rango elástico
Aplicando la ley de Hooke:
𝜏 = 𝐺𝛾
G: módulo de rigidez
También: γ =
𝜌
𝑟
𝛾 𝑚á𝑥
Multiplicando x G:
γG = Gγmax
𝜏
𝜌
𝑐
= τmax
En la superficie:
𝜏
𝜌
𝑟
= τmax
ρr
τ
57. Para un eje circular hueco:
𝜏 𝑚𝑖𝑛 =
𝑟1
𝑟2
𝜏 𝑚𝑎𝑥
También: 𝜌. 𝜏. 𝑑𝐴 = 𝑇
Reemplazando 𝜏 =
𝜌
𝑟
𝜏 𝑚𝑎𝑥, en la ecuación anterior:
𝜌
𝑟
𝜏 𝑚𝑎𝑥 𝑑𝐴 =
𝜏 𝑚𝑎𝑥
𝑟
𝜌2
𝑑𝐴; Pero: I(momento de inercia) = 𝜌2
𝑑𝐴
𝑇 =
𝜏 𝑚𝑎𝑥 𝐼
𝑟
Despejando: 𝜏 𝑚𝑎𝑥 =
𝑇𝑟
𝐼
Sustituyendo 𝜏 𝑚𝑎𝑥 :𝜏 =
𝑇𝜌
𝐼
τ: momento cortante a cualquier distancia del eje de la flecha.
Eje macizo: 𝐼 =
1
2
𝑟4
Eje circular hueco: 𝐼 =
1
2
𝜋(𝑟2
4
− 𝑟1
4
)
ρr
τmin
r1 r2
τmax
58. Ángulo de giro en el rango elástico
γmax =
rϕ
L
También: γmax =
τmax
G
=
Tr
IG
Dentro del rango elástico, el ángulo de giro ϕ es proporcional al par de torsión T
aplicado al eje.
rϕ
L
=
Tr
IG
ϕ =
TL
IG
; Φ: radianes
ϕ
γ
A´
A
ρ
L
59. PROBLEMA: Si se aplica un momento torsor de 10000kg/cm sobre un árbol
de 45mm de diámetro ¿cuál es la tensión cortante máxima producida? y
¿cuál es el ángulo de giro en una longitud de árbol de 1,20m?
El material es de acero, para el cual G = 8,4x105 Kg/cm2
Solución:
ρ = r = 2.25cm
τmax =
104 kg
cm
x2.25cm
π
2
x(2.25cm)4
= 558.898 kg/cm2
ϕ =
TL
IG
=
104x120
π
2
x 2.25 4x8.4x105
= 0.035rad
PROBLEMA: Un árbol hueco de acero de 3m de longitud debe transmitir un
par de 250000 kg/cm. El ángulo de torsión en esta longitud no debe exceder
de 2,5° y la tensión cortante admisible es de 850 kg/cm2. Determinar los
diámetros exterior e interior del árbol, si G es igual a 8,5x105 kg/cm2.
60. DISEÑO DE EJES DE TRANSMISIÓN
Las especificaciones principales que deben cumplirse en el diseño de un eje de transmisión
son la potencia que debe transmitirse y la “velocidad de rotación del eje”.
La función del diseñador es seleccionar el “material” y la “sección transversal” del eje para
que el esfuerzo máximo del material no sea excedido cuando el eje transmite la potencia
requerida para la velocidad especificada. La potencia “P” asociada con la rotación de un
cuerpo rígido sujeto a un par “T” es : P = Tw
w: velocidad de rotación (radianes/segundo)
Pero: w = 2πf; P = 2πfT
N.m
seg
= watts
f: frecuencia de rotación
T =
P
2πf
; De la torsión elástica: τmax =
Tr
I
Se tiene:
I
C
=
T
τmax
;I =
1
2
πr4
;
Si: c = r = ½πr3
61. PROBLEMA: ¿Qué tamaño del eje debe usarse para aportar un
motor de 5 hp, que opera a 3600 revoluciones por minuto, si el
esfuerzo cortante no debe exceder de 8500 psi en el eje.
Solución:
P = 5hp x
6600 in x
lb
s
1hp
= 33000 in x
lb
s
f = 3600rpm x
1Hz
60rpm
= 60Hz = 60s−1
T =
P
2πf
=
33000 in x
lb
s
2π(60s−1)
= 87.54 lb. in
Mínimo valor permisible:
𝐼
𝑟
=
𝜏
𝜏 𝑚𝑎𝑥
=
87.54 𝑙𝑏 𝑥 𝑖𝑛
8500 𝑝𝑠𝑖
= 10.30 𝑥 10−3 𝑖𝑛3
Pero:
I
r
=
1
2
πr3
= 10.30 x 10−3
in3
1
2
πr3
= 10.30 x 10−3
in3
r = 0.1872 in
d = 2r = 2 x 0,1872 in = 0,374 in
Debe usarse un eje de ϕ =
3
8
in
62. PROBLEMA: Un eje consta de un tubo de acero de 50 mm de diámetro exterior debe
transmitir 100 kwatts de potencia mientras gira a una frecuencia de 20GHz.
Determinar el espesor del tubo que deberá utilizarse si el esfuerzo cortante no debe
exceder de 60 MPa.
Ejercicio:
Diámetro de flecha = 2 pulg
Determinar el ángulo de torsión de la polea “D” con respecto a la polea “A”.
G = 12x103 lb/pulg2
A B C D
6 pulg 4 pulg 4 pulg
7 klb-pulg 4 klb-pulg 3 klb-pulg
64. Ejercicio:
Un motor, mediante un conjunto de engranajes, mueve un eje a 10Hz, según la
fig. El motor entrega 45 kW en A y 30 kW en C. Elegir una flecha maciza de
sección circular del mismo diámetro a todo lo largo. El esfuerzo cortante
admisible es de 40MPa y el ángulo de torsión admisible es de 1/12 radianes.
Solución:
Para el diseño considerar el esfuerzo cortante admisible y el ángulo de torsión
admisible.
Flecha AB:
P = 2πTf
T =
P
2πf
=
45000
2π(10)
= 716 N. m
Flecha BC:
T =
P
2πf
=
30000
2π(10)
= 478 N. m
A C
B
3m 7,5m
45kw 75kw
30kw
65. Para tener en cuenta el esfuerzo cortante admisible solo se debe considerar flecha AB.
(El par en la flecha BC < que en flecha AB)
𝜏 =
𝑇𝑐
𝐽
=>
𝐽
𝑐 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜
=
𝑇
𝜏
J = I ; C = ρ = r
𝐽
𝑐 𝑛𝑒𝑐𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑜
=
716 𝑁. 𝑚
40 𝑥 106 𝑁
𝑚2
= 17,9𝑥10−6
𝑚3 … (𝛼)
𝐽
𝑐
=
𝜋𝐷4
/32
𝐷/2
=
𝜋𝐷3
16
… (𝛽)
(𝛂) = (𝛃) ∶
𝜋𝐷3
16
= 17,9x10−6
D = 0,045m D = 45mm
Para la limitación del ángulo de torsión:
Flecha AB
ϴ =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
𝐽 =
𝑇𝐿
𝐺𝜃
;
𝜋𝐷4
32
=
716 (3)
(11𝑥109)(1/12)
𝐷 = 0,070𝑚 𝐷 = 0,7𝑚𝑚
Flecha AB
𝜋𝐷4
32
=
(478)(7.5)
(11𝑥109)(1/12)
𝐷 = 0,079𝑚 𝐷 = 79𝑚𝑚
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
94. VIGAS
Son elementos rectos sometidos a
un conjunto de fuerzas.P
Vigas sometidas a
cargas concentradas
Vigas sometidas a
cargas distribuidas
95. VIGAS.- son elementos prismáticos, largos y rectos.
Las vigas se clasifican de acuerdo con la manera en la
que se encuentran apoyadas.
B
C
W
A
B C D
P1 P2
A
Carga distribuidaCargas concentradas
96. CLASIFICACION
VIGAS ESTATICAMENTE DETERMINADAS: las
incógnitas pueden determinarse por métodos estáticos.
L L L
a) viga simplemente
apoyada
b) viga con un tramo en
voladizo
c) viga en voladizo
97. VIGAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS: las
incógnitas no pueden determinarse por métodos estáticos, se
usan las deformaciones.
L1 L2
L L
d) viga continua
e) viga empotrada en
un extremo
f) viga empotrada
98. B H
A C
B
(a) (b)
H
En ocasiones, dos o más vigas se conectan por bisagras para
formar una estructura continua única.
Las reacciones en los apoyos involucran 4 incógnitas y no
pueden determinarse del DCL del sistema de 2 vigas, entonces
es conveniente considerar al DCL de cada viga por separado,
obteniéndose 6 incógnitas y 6 ecuaciones.
106. ESFUERZOS EN VIGAS
𝜎 = 𝐸𝜀 =
𝐸
𝜌
𝑦 … 1
El esfuerzo en cualquier fibra es directamente proporcional a su distancia
“y” a la superficie neutra, y el radio de curvatura de la superficie es
independiente de la ordenada “y” de la fibra.
Tenemos:
𝑀 =
𝐸𝐼
𝜌
… (2)
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
… (2𝑎)
De (1) y (2a):
𝐸
𝜌
=
𝑀
𝐼
=
𝜎
𝑦
𝜎 =
𝑀𝑦
𝐼
(𝐹ó𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛)
109. Variación de los esfuerzos de
flexión en una sección
rectangular
e
k
k
c
c
c
r
Área en
compresión
Área en
tensión
b
h/2
h/2
h
110. Ejercicio:
Una viga de sección rectangular de
150 x 250 mm, soporta la carga que
se indica en la figura.
Determinar el máximo esfuerzo por
flexión que se produce.
150
200
15KN
1m2m
6KN/m
112. Ejercicio:
Una viga de madera de 8m de longitud
soporta las cargas según la figura. Si el
máximo esfuerzo admisible es de
9Mpa.
¿Para qué valor máximo de W se anula
la fuerza cortante bajo P y cuánto vale
P?
8m
P
6m 2m
d=300mm
S = πd³/32
113. PERFILES
COMERCIALES
En una viga de sección rectangular o circular, las
fibras situadas en la proximidad del eje neutro,
están sometidas a un esfuerzo muy pequeño
comparado con el esfuerzo en la parte superior
o en la inferior.
El hecho de que una gran parte de la sección
esté poco aprovechada las hace poco
apropiadas para trabajara flexión.
E N E N E N E N
(a) (b) (c) (d)
Viga ala ancha perfil (w) Viga I perfil (s)
La fig. (c) representa una sección I de ala ancha que suele llamarse H.
Es uno de los perfiles más eficientes, ya que no solo tiene gran
resistencia trabajando a la flexión como viga sino también como
columna.
Otro tipo de perfil es el I normal (fig. (d)), pero no es muy eficiente.
114. De la fórmula de la flexión:
𝜎 =
𝑀𝑦
𝐼
Demuestra que si el área de la sección rectangular (fig. (a)) pudiera
distribuirse de manera que la viga siguiera teniendo la misma altura, pero
con su forma indicada en la fig. (b), el momento de inercia aumentaría
muchísimo, por lo que el momento flexionante que podría soportar sería
mucho mayor.
Físicamente, el incremento de momento resistente es debido a que hay
muchas más fibras a mayor distancia del eje neutro, fibras que soportarán
un esfuerzo mayor, y con un brazo de momento también mayor respecto al
eje neutro. Sin embargo, la sección de la fig. (b) no es realizable, las dos
partes en que ha quedado dividida no pueden estar aisladas. Es necesario
emplear parte del área en la sujeción como se indica en la fig. (c). El área
del alma soporta prácticamente la totalidad de la fuerza cortante vertical.
La fig. (c) representa una sección I de ala ancha que suele llamarse H. Es
uno de los perfiles más eficientes, ya que no solo tiene gran resistencia
trabajando a la flexión como viga sino también como columna.
Otro tipo de perfil es el I normal (fig. (d)), pero no es muy eficiente.
Las características de perfiles estructurales se dan en tablas.
*Perfiles Comerciales
115. Problema: Seleccionar el perfil más
ligero que puede soportar la carga
indicada en la fig., sin exceder el
esfuerzo admisible de 120 Mpa.
Determinar el esfuerzo real en el perfil
escogido.
4m 2m
45KN
R1=15KN R2=30KN
116. Solución
Determinando modulo de sección:
𝑆 ≥
𝑀
𝜎
⇒ 𝑆 ≥
60 ∗ 103
𝑁. 𝑚
120 ∗
106 𝑁
𝑚2
⇒ 𝑆 ≥ 500 ∗ 103 𝑚𝑚3
En tabla:
Se elige el mayor: 549 ∗ 103
𝑚𝑚3
Tipo S
W200x52 512x103
𝑚𝑚3
W250x45 535x103
𝑚𝑚3
W310x39 549x103 𝑚𝑚3
117. Problema: Se pretende diseñar una viga que soporte las
cargas estáticas mostradas en la fig. La sección transversal
de la viga será rectangular y se fabricará de una placa de
acero estructural ASTM A36 de 1,25 pulg de espesor.
Especifique una altura adecuada para la sección transversal.
Tabla (propiedades de aceros estructurales):
Perfil Resistencia a cedencia
A - 36 36000 lb/pulg²
b
h =??
1275lb 1275lb
3pies 3pies6pies
119. Problema: Una viga de acero en
voladizo de 5 m de longitud está
sometida a una carga aislada de 150 kg
en su extremo libre. La viga tiene sección
rectangular de 5cm de ancho y 8cm de
altura. Determinar la magnitud y
situación de las tensiones de flexo
tracción y compresión de la viga.
120. Solución :
𝑀 = 150𝑥
𝐼 =
1
12
𝑏ℎ3
σ =
MC
I
=
MC
1
12
bh3
σ =
750 ∗ 4
1
12
∗ 5 ∗ 83
= 1405
𝑘𝑔
𝑐𝑚2
Problema: Con los datos del problema anterior en
el caso en que se sustituye la viga rectangular por
un perfil comercial de acero designado por H160.
Esta nomenclatura indica que la altura del perfil es
de 160 cm. Determinar las tensiones de tracción y
compresión máximas.
121. PROBLEMA: Considerar la viga con
voladizo sobre una carga uniformemente
repartida. Se trata del perfil H120. ¿Cuál es
el máximo esfuerzo de flexión producido en
la viga?
E N
6cm
6cm
1m 4m
160kg/m
123. VIGAS ASIMÉTRICAS
Todas las vigas examinadas hasta ahora
han sido simétricas con respecto a la línea
neutra. Como el esfuerzo por flexión varía
linealmente con la distancia al eje neutro
que pasa por el centro de gravedad, tales
secciones son útiles para materiales que
tengan igual resistencia a la tensión que a la
compresión, pero para aquellos otros que
son relativamente débiles a la tensión y
más resistentes a la compresión, como es el
caso del hierro fundido, es preferible
emplear secciones asimétricas con respecto
al eje neutro. Con esta forma de sección las
fibras de gran resistencia pueden colocarse
a mayor distancia de la línea neutra que las
fibras más débiles. La sección ideal sería
aquella en la que el centro de gravedad, se
colocara en tal posición que la relación de
distancias de las fibras que van a quedar
sometidas a máxima tensión y compresión,
fuera la misma relación que los esfuerzos
admisibles para cada caso. De esta manera
se alcanzarían simultáneamente los valores
admisibles a tensión y compresión.
124. PROBLEMA: Una viga de fundición
simplemente apoyada soporta una carga
uniformemente repartida. Determinar el
ancho “b” de la sección en “T” invertida
de manera que se alcancen los
esfuerzos admisibles de 30 y 90 MPa a
tensión y compresión respectivamente.
126. PROBLEMA: La viga con voladizo de la
figura es de fundición y los esfuerzos
admisibles son de 40MPa a tensión y
100MPa a compresión. Determinar la carga
máxima uniformemente distribuida que puede
soportar.
IEN = 50x106mm4
128. PROBLEMA: Determinar los
esfuerzos máximos de tensión y
compresión en la viga. La sección es
una T, con las dimensiones de la figura.
IEN = 40x106mm4
5Kn.m
130. Esfuerzo cortante horizontal:
𝜏 =
𝑉
𝑙𝑏
𝐴′
𝑦 =
𝑉
𝑙𝑏
𝑄; A’y: momento estático
Flujo de cortante (q):
𝑞 = 𝜏 𝑏 =
𝑉
𝐼
𝑄
Aplicación del esfuerzo cortante a una sección rectangular:
𝜏 =
𝑉
2𝐼
ℎ2
4
− 𝑦2
Deducción de la fórmula del esfuerzo cortante horizontal:
𝜏 𝑚𝑎𝑥 =
3
2
𝑉
𝑏ℎ
= (
3
2
)(
𝑉
𝐴
)
131. PROBLEMA: Una viga de sección
rectangular soporta una carga
uniformemente repartida de w(N/m) sobre
un claro L. Determinar la longitud crítica
para la cual el esfuerzo cortante y el normal
alcanzan simultáneamente sus valores
admisibles.
W(N/m)
b
h
L
133. 𝑀 𝑚𝑎𝑥 cuando el cortante se hace cero:
M =
1
2
𝑊
2
𝐿
2
; 𝑀 =
𝑊𝐿
8
… (2)
Por fórmula de flexión: M =
𝜎𝐼
𝐶
=
𝜎𝑏ℎ2
6
… (3)
2 = 3 :
𝑊𝐿
8
=
𝜎𝑏ℎ2
6
Sustituyendo W por su valor en función de
𝜏.
4
3
𝑏ℎ𝑡 𝐿
8
=
𝜎𝑏ℎ2
6
⇒ 𝐿 =
𝜎ℎ
𝜏
134. PROBLEMA: Una viga simplemente apoyada
de 120mm de ancho por 180mm de alto y 6m
de longitud, soporta una carga uniforme de
4KN/m.
Determinar el esfuerzo cortante horizontal en
los sucesivos planos horizontales trazados
cada 30mm desde la parte superior de la viga,
en una sección que dista 1m del apoyo
izquierdo.
Calcular el máximo esfuerzo cortante.
L
30mm
60mm
120mm
Ȳ=75mm
180mm Eje Neutro
136. De la figura: 𝜃 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
… (1)
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
… (2)
También: 𝑑𝑠 = 𝜌𝑑𝜃 … (3)
𝜌: radio de curvatura del área.
De 2 = 3 :
1
𝜌
=
𝑑𝜃
𝑑𝑠
≈
𝑑𝜃
𝑑𝑥
;
1
𝜌
=
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 … (4)
Sabemos que:
1
𝜌
=
𝑀
𝐸𝐼
Igualando a la ecuación (4):
EI
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 = 𝑀
Sustituyendo valores:
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
1+
𝑑𝑦
𝑑𝑥
2 3/2 =
𝑀
137. Teniendo en cuenta que
𝑑𝑦
𝑑𝑥
es muy pequeño, su
cuadrado es despreciable frente a la unidad.
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑀
𝐸𝐼
Integrando la ecuación:
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑀𝑑𝑥 + 𝐶1; ecuación de la pendiente
Integrando nuevamente:
143. Reemplazando X=0; Y=0 (del pto. C) en la ecuación (3):
𝐸𝐼 0 =
100(0)3
6
− 300
0 − 2
6
3
+ 𝐶1 0 + 𝐶2 ⇒ 𝐶2 = 0
Reemplazando X=3; y=0 en la ecuación (3):
𝐸𝐼 0 =
100(3)3
6
−
100 1 3
6
+ 𝐶1 3 + 0 ⇒ 𝐶1 = −
133𝑁
𝑚2
Reemplazando en (2) donde la pendiente máxima es cero:
𝐸𝐼
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
100𝑥2
2
− 300
𝑥 − 2
2
2
− 133 ⇒ 𝑋 = 1.63𝑚
Reemplazando X=1,63 en la ecuación (3):
𝑌 𝑚𝑎𝑥 =
−145𝑁. 𝑚3
𝐸𝐼
144. PROBLEMA:
Hallar el valor de EIy en el punto medio y
en extremo volado de la viga.
400N/m
A
B C D E
600N
1m 3m 2m 2m
145. PROBLEMA:
Determinar la ecuación de la elástica y el
valor de la deflexión máxima.
w = 400N/m
E = 10x109N/m2
I = 1,5x10-6m4
L = 4m
L
L/2
W(N/m)
