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FFRRAACCTTAALLEESS YY AANNÁÁLLIISSIISS
FFRRAACCTTAALL
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CONTENIDO
1 OBJETIVOS 2
2 JUSTIFICACIÓN 2
3 INTRODUCCIÓN 2
4 ANTECEDENTES 3
5 GEOMETRÍA FRACTAL 5
5.1 CONCEPTO DE FRACTA...
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1 OBJETIVOS
Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal.
Dar una breve explicación d...
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“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y la corteza de los
árboles no es lisa...
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Giuseppe Peano (1858-1932)
Fue un matemático y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a
la Teoría de conjunt...
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5 GEOMETRÍA FRACTAL
5.1 CONCEPTO DE FRACTAL
Como se mencionó anteriormente, el término fractal fue introducido por prime...
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teóricamente, podría seguir infinitamente al disminuir la escala. Cada porción del objeto tiene las
mismas característic...
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Obsérvese que en cada uno de los tres casos mencionados, tenemos una dimensión D, un factor
de escala r y un número de c...
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1.2619
log3
D ¡Un objeto con dimensión fraccional!
El resultado es desconcertante pero indiscutible, y es una evide...
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participación del centro (N=8). Entiéndase por iteración a la repetición de la misma operación o
transformación a toda e...
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Su dimensión de Hausdorff, que de ahora en adelante llamaremos dimensión fractal, es:
log2
0.631
log3
D
Figura 8: Polvo...
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atractores que tienden a infinito, salvo para un conjunto bien definido de puntos. En estos casos,
la iteración tiende ...
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5.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROT
Del análisis de la Figura 9 se hace evidente que existen dos clases principales de conj...
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Si representamos en negro los puntos para los que la órbita de las iteraciones permanece acotada,
y los puntos para los...
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a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de
recurrencia son normalmente de este...
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En general, parece ser que dondequiera que un proceso irregular y caótico ha dado forma al
ambiente, se han generado ge...
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trabajando con curvas y objetos fractales como los triángulos de Sierpinski, árboles fractales,
curvas e islas de Koch,...
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Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales ya que no esperamos,
por ejemplo, que la imagen d...
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7.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING).
Este es uno de los métodos más utilizados para calcular la dimensión fractal de obj...
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Así, para la imagen de la Figura 14, se registra el número de cajas que contienen una parte de la
costa de Inglaterra (...
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Obsérvese la isla de la Figura 17. En el caso de la izquierda se ha medido la longitud de la costa
utilizando una medid...
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7.4 MÉTODO “SLIT ISLAND” (SIM).
El método slit-island o método de las islas emplea una relación de perímetro-área para ...
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7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O ESPACIALES.
El concepto de un objeto fractal, que carece de una escala de lo...
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dimensión fractal se estima mediante la pendiente de la curva resultante de graficar el logaritmo
de la propiedad estad...
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log
log
F n
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7.7 ANÁLISIS DE IMÁGENES Y TEXTURA.
En éste método una imagen, la cual se supone tiene una textura, es ...
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utilizando el método del conteo de cajas. Ahora se obtiene como resultado una representación de
las dimensiones fractal...
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FracLac (módulos para ImageJ)
8 CONCLUSIONES
El estudio de los fractales así como de los métodos de...
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[17]Montoya, A. Antenas fractales: un paso en la evolución de las telecomunicaciones.
Universidad de Antioquia. Medellí...
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Fractales y análisis fractal

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Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal.
Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal.
Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis basados en esta técnica.
Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la geometría fractal.

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Fractales y análisis fractal

  1. 1. FFRRAACCTTAALLEESS YY AANNÁÁLLIISSIISS FFRRAACCTTAALL
  2. 2. 1 CONTENIDO 1 OBJETIVOS 2 2 JUSTIFICACIÓN 2 3 INTRODUCCIÓN 2 4 ANTECEDENTES 3 5 GEOMETRÍA FRACTAL 5 5.1 CONCEPTO DE FRACTAL 5 5.2 DIMENSIÓN FRACTAL 6 5.3 ALGUNOS FRACTALES FAMOSOS 8 5.3.1 LOS CONJUNTOS DE JULIA 10 5.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROT 12 5.4 PROPIEDADES DE UN FRACTAL 13 5.5 CLASIFICACIÓN DE LOS FRACTALES 13 6 UTILIDAD DE LOS FRACTALES 14 6.1 LOS FRACTALES EN LA NATURALEZA 14 6.2 APLICACIONES DE LOS FRACTALES EN LA CIENCIA Y TECNOLOGÍA 15 7 ANÁLISIS FRACTAL 17 7.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING). 18 7.2 DIVISORES (MÉTODO DEL COMPÁS). 19 7.3 RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO. 20 7.4 MÉTODO “SLIT ISLAND” (SIM). 21 7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O ESPACIALES. 22 7.6 ANÁLISIS DE FLUCTUACIÓN SIN TENDENCIA (DFA) 23 7.7 ANÁLISIS DE IMÁGENES Y TEXTURA. 24 7.8 ANÁLISIS MULTIFRACTAL. 24 7.9 SOFTWARE PARA EL ANÁLISIS FRACTAL 25 8 CONCLUSIONES 26 9 REFERENCIAS 26
  3. 3. 2 1 OBJETIVOS Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal. Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal. Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis basados en esta técnica. Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la geometría fractal. 2 JUSTIFICACIÓN Los métodos de análisis fractal han demostrado ser una herramienta con un gran potencial para el estudio de datos y la obtención de información en distintas ramas del conocimiento. 3 INTRODUCCIÓN Cuando intentamos comprender y describir el mundo que nos rodea o cuando atacamos un problema por vez primera generalmente tendemos a hacer simplificaciones y desmenuzarlo en componentes de menor complejidad. Esta forma de comenzar a entenderse con los fenómenos de la naturaleza es muy útil tanto en la ciencia como en la vida cotidiana. Nos da en el mayor de los casos modelos con una aproximación suficiente a la realidad con los cuales poder trabajar para fines prácticos. Para qué complicarse más las cosas. Sin embargo, poniéndonos más estrictos, las figuras comunes de la geometría clásica o euclidiana no son las más adecuadas para generar formas complejas como la hoja de un helecho o el perfil de una montaña (Figura 1). Su limitación se debe a que tienden a perder su estructura cuando son ampliadas; un arco de círculo se transforma poco a poco en una recta, la superficie de una esfera se hace cada vez más plana. Esto no es precisamente lo que sucede con las formas naturales. Por ejemplo, la superficie rugosa de una roca mantiene prácticamente la misma complejidad a varios niveles de amplificación con el microscopio. Si analizamos una parte de la roca, y dentro de ella otra más pequeña, y así sucesivamente, no por ello nos parecerá cada vez más lisa [1] . Figura 1: Simplificación de la naturaleza.
  4. 4. 3 “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y la corteza de los árboles no es lisa, ni los relámpagos viajan en una línea recta”, reflexiona Benoît Mandelbrot, padre de la geometría fractal, en su libro The Fractal Geometry of Nature [2] . Es entonces cuando nos preguntamos si hay otras formas de describir estas entidades. Y por qué no describirlas por medio de cuerpos que lleven tal propiedad de detalle al extremo; que mantengan sus propiedades y características a cualquier escala. Cuerpos que si bien son mucho más complicados que las figuras geométricas tradicionales, su construcción no implica un procedimiento muy complicado. A este tipo de formas geométricas que, entre otras propiedades, contienen una imagen de sí mismas en cada una de sus partes, se les llama ahora fractales y hace ya más de una década que inundaron el mundo científico con un conjunto de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de conocer y describir la naturaleza [1] . 4 ANTECEDENTES[3] Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) Definió la primera curva que es continua en todo punto y no es derivable o diferenciable en ninguno: la función de Weierstrass. Está definida en la recta y toma valores reales. De este modo, Weierstrass mostró que era falsa la conjetura que circulaba en aquella época que afirmaba que las funciones continuas eran diferenciables salvo en puntos aislados [4] . Es la primera curva que puede ser considerada como un fractal. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) Fue un matemático alemán inventor, con Dedekind y Frege, de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas [5] . Estableció una sucesión de segmentos conocida como polvo de Cantor, un ejemplo sencillo de fractal, mismo que ha resultado ser de gran utilidad en el modelado de distintos fenómenos en variadas áreas del conocimiento. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) Abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos. Elaboró la teoría rigurosa moderna de la estabilidad de un sistema y la del movimiento de un sistema mecánico a partir de un número finito de parámetros. Partiendo de dicha teoría se construyen los denominados fractales de Markus-Lyapunov mapeando las regiones de estabilidad y de comportamiento caótico de un sistema dinámico.[6][7]
  5. 5. 4 Giuseppe Peano (1858-1932) Fue un matemático y filósofo italiano, conocido por sus contribuciones a la Teoría de conjuntos. Diseñó en 1890 una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano (curva de Peano) como un contraejemplo que usó para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una región arbitrariamente pequeña. Éste fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.[8] Waclaw Sierpinski (1882-1969) Matemático polaco con notables aportaciones a la teoría de conjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría de funciones. Tres conocidos fractales llevan su nombre: el triángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski.[9] Niels Fabian Helge von Koch (1815-1897) Fue un matemático sueco que escribió muchos artículos sobre teoría de números y cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva llamada copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales en ser descritas, en un artículo del año 1904 titulado Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los métodos de la geometría elemental.[10] Gaston Maurice Julia (1893-1978) Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema, y explicar cómo a partir de cualquier función compleja se puede fabricar, por medio de una sucesión definida por inducción, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso. Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo informe sobre la iteración de las funciones racionales en la revista francesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. [11] Benoît Mandelbrot (1924-2010) Principal creador de la Geometría Fractal (término que él mismo acuñó), al referirse al impacto de esta disciplina en la concepción e interpretación de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libro Fractal Geometry of Nature en el que explicaba sus investigaciones en este campo. Supo utilizar la herramienta que se estaba popularizando en ésta época, el ordenador, para trazar los más conocidos ejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrot por supuesto, así como los conjuntos de Julia descubiertos por Gaston Julia quien inventó las matemáticas de los fractales, desarrollados luego por Mandelbrot. [12]
  6. 6. 5 5 GEOMETRÍA FRACTAL 5.1 CONCEPTO DE FRACTAL Como se mencionó anteriormente, el término fractal fue introducido por primera vez por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latín fractus que significa quebrado o fracturado. [13] Un fractal, según Mandelbrot, es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. [2] Se dice que es semigeométrico pues resulta ser más complicado que un cuerpo geométrico regular. A simple vista es un ente con bordes altamente irregulares y que a distintas escalas de observación, parece conservar el mismo patrón, lo que le confiere la propiedad de autosimilitud, la cual es una de las más importantes a la hora de definir estas estructuras. Es por esto que, adelantándonos un poco a definir puntualmente las propiedades de los fractales, es necesario hablar sobre la autosimilitud. Según B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. [13] Esta propiedad puede vislumbrarse muy claramente al observar uno de los fractales más famosos: el triángulo de Sierpinski (Figura 2). Figura 2: Triángulo de Sierpinski. Como se puede notar, el triángulo de Sierpinski presenta una estructura aparentemente simple, un triángulo compuesto por triángulos más pequeños; pero pronto descubrimos que tanto si se observa en su escala total (cuadro negro) como si disminuimos la escala y observamos cada una de las partes que lo componen (cuadro azul), esta construcción sigue manteniéndose. Aún disminuyendo la escala (cuadros verde y púrpura) descubrimos triángulos que a su vez están formados por triángulos más pequeños y que son exactamente iguales al original. Y esto,
  7. 7. 6 teóricamente, podría seguir infinitamente al disminuir la escala. Cada porción del objeto tiene las mismas características del objeto completo. 5.2 DIMENSIÓN FRACTAL Establecer la dimensión de un objeto regular "a ojo" parece ser cosa fácil y requiere tan sólo de un poco de sentido común. De esta forma decimos que un punto es adimensional, un segmento de recta es unidimensional, que un cuadrado es bidimensional y un cubo es tridimensional. Estamos acostumbrados a ver la dimensión de un objeto como un número entero que indica la cantidad de direcciones independientes o grados de libertad sobre los que uno se puede mover en el espacio que contiene a dicho objeto, es decir, su dimensión topológica. Sin embargo, a fin de estudiar los fractales, es necesario encontrar una expresión matemática que nos permita caracterizar la dimensión de un objeto de forma general. Para tal fin, consideremos un segmento de recta de una unidad de longitud. Si triplicamos su tamaño, esto es, lo expandimos con un factor de escala igual a tres, obtenemos un segmento de recta de longitud tres el cual obviamente contiene tres componentes congruentes, es decir, tres copias del segmento original de longitud uno (Figura 3). Por razones que serán más claras posteriormente, notamos que 1 3 3 . Ahora hacemos lo mismo con un cuadrado de área unitaria. Si lo expandimos por un factor de escala tres, esto es, triplicamos la longitud de sus lados, obtenemos un cuadrado cuya área es nueve veces mayor. En esta ocasión tenemos nueve copias del cuadrado unitario original. Observemos que 2 9 3 . Finalmente expandimos un cubo de volumen unitario con un factor de escala tres y obtenemos un cubo que consiste de 27 componentes congruentes. En este caso, 3 27 3 . Figura 3: Concepto de dimensión.
  8. 8. 7 Obsérvese que en cada uno de los tres casos mencionados, tenemos una dimensión D, un factor de escala r y un número de componentes N, que satisfacen la ecuación D N r . Otros ejemplos de la validez de esta regla se muestran en la Figura 4, en donde un triángulo es expandido por un factor de escala de 2, un cuadrado por un factor de 2.5 y un segmento de recta por uno de 2 . Figura 4: Ejemplos de escalamiento. Como se demuestra en la Figura 4, ni N ni r necesitan ser estrictamente números enteros para que la ecuación D N r sea válida. La dimensión D, en cambio, esperaríamos que fuese siempre entera. Despejando D de la ecuación anterior obtenemos la expresión general que estábamos buscando, misma que se conoce como dimensión de Hausdorff-Besicovitch. log log N D r Ahora veamos si es posible producir un objeto geométrico cuya expansión por un factor r pueda ser dividida en N componentes de tal forma que su dimensión no sea un número entero. Nuestro primer ejemplo de dimensión fraccionaria puede ser hallado en la arquitectura de un interesante objeto ideado en 1904 por el matemático sueco Helge von Koch y que recibe el nombre de “copo de nieve de Koch”. Su construcción empieza con un triángulo equilátero de lado unitario. Cada lado se divide en tres partes iguales y se remplaza la parte central por dos segmentos de igual longitud formando un ángulo de 60 grados. Luego, con la figura resultante se procede de la misma manera en cada uno de sus lados y así sucesivamente (Figura 5). En este caso, a toda escala sobre la figura, cada lado de longitud L es dividido en secciones de un tercio de extensión, l=L/3 (r=3), y en el proceso se generan cuatro particiones de tamaño similar (N=4). Entonces, usando la fórmula de Hausdorff-Besicovitch para caracterizar la dimensión de este peculiar objeto obtenemos:
  9. 9. 8 log4 1.2619 log3 D ¡Un objeto con dimensión fraccional! El resultado es desconcertante pero indiscutible, y es una evidencia más de la singularidad de la forma geométrica que estudiamos. La dimensión de Hausdorff definida de esta manera es una medida de la complejidad y rugosidad del cuerpo, y nos da una idea de su extensión real en el espacio. El copo de nieve de Koch cubre más espacio que una recta (D=1), pero menos que un plano (D=2). Incluso se puede demostrar que su perímetro es infinito aunque está confinado en un área bien determinada. Figura 5: Construcción del “copo de nieve de Koch”. 5.3 ALGUNOS FRACTALES FAMOSOS Otros "monstruos" matemáticos como la curva de Koch exhiben dimensiones fraccionales distintas y cada uno de ellos tiene una dimensión de Hausdorff que lo caracteriza. Tal es el caso, por ejemplo, del triángulo de Sierpinski que es el resultado de seccionar a toda escala un triángulo equilátero en cuatro particiones similares cuyos lados son tan sólo la mitad de los de la figura original (r=2). Una vez hecho esto se extrae la sección central, de forma que queden las tres partes de los vértices (N=3), y sobre éstas se actúa de la misma manera, como se muestra en la Figura 6. Su dimensión de Hausdorff es entonces: log3 1.585 log2 D De forma análoga puede construirse la carpeta de Sierpinski (Figura 6) si la iteración consiste en dividir a todos los niveles un cuadrado en secciones de un noveno de área (r=3), eliminando la
  10. 10. 9 participación del centro (N=8). Entiéndase por iteración a la repetición de la misma operación o transformación a toda escala. La dimensión de esta figura es: log8 1.893 log3 D Figura 6: Construcción del triángulo y la carpeta de Sierpinski. Comparando los resultados obtenidos para las tres figuras estudiadas se hace evidente que la dimensión de Hausdorff cuantifica hasta qué punto el objeto cubre el espacio en el que se encuentra inscrito. Mientras la curva de Koch malcubre el plano, D=1.263, la carpeta de Sierpinski, D=1.893, lo logra casi completamente. [1] De esta misma forma, aplicando una operación repetidamente sobre alguna figura podemos obtener un sinnúmero de formas con dimensiones fractales. Como ejemplos tenemos la greca fractal cuya construcción puede vislumbrarse en la Figura 7 o el polvo de Cantor (Figura 8), mismo que es particularmente útil como se verá más tarde. log8 1.5 log4 D Figura 7: Greca fractal. La construcción de éste último fractal, también llamado conjunto de Cantor, resulta sencilla. Tomemos una línea recta de longitud uno. Dividamos ahora esta línea en tres partes iguales y quitemos la parte central. Cada segmento tiene ahora longitud de un tercio. Enseguida repetimos el mismo procedimiento con cada uno de los segmentos restantes. Cada uno de los segmentos tiene ahora una longitud de un noveno. Si se llevara a cabo este procedimiento un número muy grande de veces, se llegaría a obtener un "polvo" formado de un número extraordinariamente grande de segmentos, cada uno de longitud pequeñísima.
  11. 11. 10 Su dimensión de Hausdorff, que de ahora en adelante llamaremos dimensión fractal, es: log2 0.631 log3 D Figura 8: Polvo de Cantor. En otras palabras, es más que una colección de puntos, pero menos que una línea. 5.3.1 LOS CONJUNTOS DE JULIA Los fractales también pueden ser generados en base a un número sobre el que se hace una operación de forma recursiva. Esta operación puede ser, por ejemplo, el elevar al cuadrado un número real lo cual se denotaría por la expresión: 2 1n nZ Z Así, tomando un número inicial 0 2Z , como ejemplo, se tendría la secuencia: 2, 4, 16, 256, 65536, … , en la que cada elemento de la serie es el cuadrado de su antecesor. A esta secuencia de números que se genera se le denomina la órbita de la iteración, y el punto al que se tiende a llegar (infinito, en este caso) se le llama su atractor. Por ejemplo, si escogemos como punto inicial 0 0.5Z , obtenemos la órbita: 0.5, 0.25, 0.0625, 0.00390625, … , 0, en la que el atractor es cero. Los conjuntos de Julia son una familia de fractales, que se obtienen al estudiar el comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función de este tipo. Este trabajo fue desarrollado por dos matemáticos franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, a principios de nuestro siglo. Sus resultados fueron la base sobre la que se construyó la revolución fractal de los ochenta. En particular, Benoît Mandelbrot recuperó su análisis sobre el comportamiento de los números complejos cuando la iteración consiste en elevarlos al cuadrado y sumar una constante al resultado, esto es: 2 1n nZ Z c Donde c también es un número complejo. Las órbitas que ahora se generan son secuencias de números complejos y sus características dependen fundamentalmente de los valores del punto inicial Z0 del que se parte y la constante c seleccionada. Desde 1906, Fatou había demostrado que para cada valor de c, la aplicación de esta iteración sobre todos los puntos del plano complejo genera órbitas que en su mayoría terminan en
  12. 12. 11 atractores que tienden a infinito, salvo para un conjunto bien definido de puntos. En estos casos, la iteración tiende a órbitas periódicas donde se repite la misma secuencia de números después de cierto número de iteraciones o puntos que convergen hacia atractores finitos. A estos puntos, cuya iteración no escapa a infinito, se les llama prisioneros, mientras los otros son escapistas. El conjunto de todos los puntos prisioneros pertenecen a lo que llamaremos el cuerpo de un conjunto de Julia. Para localizar los puntos que conforman el conjunto de Julia para una constante c dada, hay que recorrer el plano complejo buscando la frontera donde se pasa de tener órbitas que se disparan a infinito, a la región donde esto ya no sucede. Al efectuar este procedimiento con la ayuda de un ordenador y colorear los puntos del plano de acuerdo con la velocidad con la que escapan o convergen, se obtienen figuras de gran complejidad y belleza, como las que se muestran en la Figura 9. c = 0.32+0.043i c = 0.194+0.6557i c = -0.12+ 0.66i c = -0.1565+1.0322i c = 0.12+ 0.74i c = -0.1565+1.0322i Figura 9: Conjuntos de Julia para distintos valores de la constante c.
  13. 13. 12 5.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROT Del análisis de la Figura 9 se hace evidente que existen dos clases principales de conjuntos de Julia; aquellos para los cuales el cuerpo está formado por una sola pieza (el área del cuerpo se dice que es conexa) y otros en los que el cuerpo está desmembrado en infinitas colecciones de puntos más o menos aisladas (disconexa). Benoît Mandelbrot, en la década de los setenta, fue el primero en localizar los valores de la constante c que dan lugar a conjuntos de Julia conexos. Al hacerlo se encontró con que esta colección de valores de c, que en su honor tiene el nombre de conjunto de Mandelbrot, también tenía una estructura sorprendente cuando se representaba en el plano complejo. [1] Este conjunto se define así:[14] 0 2 1 0 (término inicial) , (relación de inducción)n n z c z z c  Existe otra manera de definir este conjunto: Es el conjunto de los complejos c para los que el conjunto de Julia asociado a fc(z) = z² + c es conexo. Figura 10: Conjunto de Mandelbrot. Cada imagen es una ampliación de la anterior.
  14. 14. 13 Si representamos en negro los puntos para los que la órbita de las iteraciones permanece acotada, y los puntos para los que esta órbita escapa se representan de diferentes colores según la velocidad con que la órbita se va a infinito, se obtienen las representaciones usuales del conjunto de Mandelbrot (Figura 10). Estas representaciones sugieren que su estructura es altamente compleja y nos muestran la autosimilaridad a diferentes escalas de observación que si bien no es exacta, se puede demostrar que sigue siendo isomorfa a la inicial. Además de esta característica, el conjunto de Mandelbrot presenta otras propiedades. Es compacto, conexo y su complemento también es conexo. Su interior consta de un conjunto numerable de componentes. Su frontera tiene dimensión topológica 1 pero dimensión de Hausdorff 2, la máxima posible al ser subconjunto del plano. Los diferentes tipos de conjuntos de Julia se reparten en diferentes regiones del conjunto de Mandelbrot. 5.4 PROPIEDADES DE UN FRACTAL A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características: [13] Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observación. Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente). Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Se define mediante un simple algoritmo recursivo. No es diferenciable en ningún punto. Es preciso mencionar que no basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar, carece del resto de las características exigidas. 5.5 CLASIFICACIÓN DE LOS FRACTALES Por su autosimilitud se pueden clasificar en: [13] Fractales con autosimilitud exacta. Este es el tipo más restrictivo de autosimilitud. Exige que el fractal sea idéntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas. Fractales con cuasiautosimilitud. Exige que el fractal parezca aproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos. Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar
  15. 15. 14 a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. Fractales con autosimilitud estadística. Es el tipo más débil de autosimilitud; se exige que el fractal tenga medidas numéricas o estadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. También se pueden clasificar según el método con el cual se generan o su construcción como: Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de reglas. El conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos. Fractales de algoritmos de Escape. Definidos por una relación de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo). Dentro de este tipo de fractales encontramos el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia y el fractal de Lyapunov. Fractales aleatorios. Generados por procesos estocásticos, no deterministas. Como ejemplo están el movimiento browniano, el vuelo de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos. 6 UTILIDAD DE LOS FRACTALES 6.1 LOS FRACTALES EN LA NATURALEZA Mandelbrot asegura que en la naturaleza existen muchos fenómenos de carácter fractal, de hecho, muchos más de los que podemos imaginar: la trayectoria que sigue una partícula que realiza movimiento browniano; la forma de las cadenas montañosas, en las que si uno intentara medir su superficie, encontraría valores infinitos; el perímetro de las costas que, al ir disminuyendo la escala escogida para medirlo, su longitud tiende a infinito; la configuración de los sistemas respiratorio, nervioso y circulatorio en los vertebrados; la morfología de algunas plantas y animales (Figura 11). [15] Figura 11: Fractales naturales. Izquierda: Brócoli romanescu. Derecha: Hoja de helecho.
  16. 16. 15 En general, parece ser que dondequiera que un proceso irregular y caótico ha dado forma al ambiente, se han generado geometrías fractales como las costas, ríos, montañas, nubes, rocas, etc. que por su redundancia y falta de regularidad poseen propiedades estructurales particulares. Es importante señalar que los fractales que existen en la naturaleza tienden a ser irregulares y son autosimilares sólo en sentido estadístico. Además, cuando se amplifica una de las partes de un fractal natural, la propiedad de generar la misma figura, o alguna similar, tiene límites inferiores y superiores. Por ejemplo, al observar el perfil de una montaña, el tamaño de los objetos más grandes está determinado por la fuerza de gravedad, mientras que la menor escala de observación a la cual todavía se detectan los mismos detalles depende de la acción de la erosión y, por supuesto, del tamaño de los átomos. Los fractales son, en ese sentido, sólo una buena aproximación de la estructura de las formas naturales. 6.2 APLICACIONES DE LOS FRACTALES EN LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Los fractales mostraron su utilidad por primera vez cuando se generó con ellos un modelo simple para la aparición de ruido en ciertas líneas de transmisión en sistemas de comunicación digital, esto es, la presencia de breves interrupciones eléctricas que confunden y dificultan la comunicación, del tipo de las que estamos acostumbrados a oír cuando hablamos por teléfono o escuchamos el radio. [1] El análisis de las señales demostró que las interrupciones aparecían por paquetes, pero dentro de estos paquetes se distinguía una estructura intermitente, y dentro de ésta, más interrupciones recurrentes, etc. Un registro gráfico de las interrupciones dio lugar a un patrón fractal similar al conjunto de Cantor (Figura 8). El polvo de Cantor es uno de los más famosos, a pesar de no ser tan atractivo visualmente. Su estructura está detrás de varias cosas en el mundo real y así se ha utilizado como modelo para representar desde la distribución de los anillos de Saturno y las fluctuaciones en el precio del algodón a partir del siglo pasado, hasta las variaciones que el nivel de las aguas del río Nilo ha experimentado desde hace 2000 años. Más aún, cuando la idea que subyace en la construcción de este conjunto se extiende a tres dimensiones, el patrón que se genera coincide sorprendentemente con la distribución de estrellas y galaxias en el universo. En el área de las telecomunicaciones, los fractales han tenido también grandes aportaciones. En los sistemas móviles de comunicaciones es de vital importancia el uso racional del espacio. Sin embargo un elemento crucial del sistema que utiliza mucho de ese espacio es la antena. Una solución inesperada para este problema fue construir antenas fractales, las cuales son más compactas y tienen ciertas propiedades que las hacen preferibles a las antenas tradicionales. [16] Las propiedades de los fractales se aprovechan en la construcción de antenas que pueden obtener anchos de banda de 10 a 40% de la frecuencia central superiores a las antenas clásicas, que van de 10% a 20%, patrones de radiación estables y gran número de bandas determinado por el número de iteraciones del fractal. [17] Las primeras antenas diseñadas, fueron arreglos planos y lineales tipo fractales delgados, organizando los elementos en un patrón Fractal para reducir el número de elementos en el arreglo y obtener antenas de banda ancha o desempeño en múltiples bandas. Actualmente se está
  17. 17. 16 trabajando con curvas y objetos fractales como los triángulos de Sierpinski, árboles fractales, curvas e islas de Koch, entre otras (Figura 12) que minimicen el área de la antena, aprovechando su capacidad natural multibanda. Figura 12: Antenas fractales. De izquierda a derecha: Antena fractal para teléfono móvil inspirada en la distribución de Cantor; respuesta en frecuencia de dicha antena; antena fractal inspirada en la curva de Koch. Se han utilizado técnicas derivadas de la teoría de fractales en la compresión de imágenes, música, video y datos en general.[13] Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la Figura 13 no es difícil. Haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS o conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La información sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicación reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestión. Figura 13: Imagen autosemenjante de un helecho.
  18. 18. 17 Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales ya que no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeños gatitos distorsionados sobre sí mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas. En él se subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante se busca otra región similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas. El esquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempo asimétrico. Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresión JPEG. Algunos otros ejemplos de las numerosas aplicaciones que se le ha dado a los fractales se muestran en la Tabla 1. Tabla 1:Aplicaciones de los fractales. Área del conocimiento Aplicación Comunicaciones Modelado del tráfico en redes. Informática Técnicas de compresión (imágenes, audio y vídeo). Robótica Robots fractales. Infografía y artes plásticas Paisajes fractales y otros objetos. Biología Crecimiento tejidos, organización celular, evolución de poblaciones. Música Composición musical. Física Transiciones de fase en magnetismo, modelado de sistemas dinámicos. Química Agregación por difusión limitada. Geología Análisis de patrones sísmicos. Fenómenos de erosión. Modelos de formaciones geológicas. Economía Análisis bursátil y de mercado. Filosofía de la fábrica fractal. 7 ANÁLISIS FRACTAL Derivados de la matemática fractal, han surgido un gran número de métodos para analizar las propiedades fractales de fenómenos naturales, resultados de experimentos, imágenes y en general datos en los que se investiga si tienen o no, y si lo tienen, en qué medida, el comportamiento de un fractal, es decir, se analiza su dimensión fractal. Algunos de estos métodos, mismos que se presentan en este trabajo, son:[18] Conteo de cajas (Box-Counting). Divisores (método del compás). Relación área-perímetro. Método “slit island” (SIM). Autosimilaridad en series temporales o espaciales. Análisis de fluctuación sin tendencia (DFA) Análisis de imágenes y textura. Análisis multifractal.
  19. 19. 18 7.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING). Este es uno de los métodos más utilizados para calcular la dimensión fractal de objetos en una imagen por su sencillez y fácil implementación en un ordenador. Para calcular la dimensión de un objeto fractal, que bien puede ser la imagen de una costa, imaginemos que sobre la imagen se extiende una malla uniformemente espaciada y contemos cuántas cajas se requieren para cubrir el conjunto[19] , como se muestra en la Figura 14. La dimensión fractal de éste objeto se calcula viendo cómo cambia éste número al ir haciendo la malla más y más fina. Figura 14: Método de conteo de cajas aplicado para calcular la dimensión fractal de la costa de Inglaterra. De esta forma, suponga que N es el número de cajas de longitud requeridas para cubrir el conjunto, entonces su dimensión fractal se define conforme a la fórmula de Minkowski–Bouligand como sigue: 0 log lim log 1/ N D N 1/ log[N] log[1/ ] 12 3 1.0792 0.477121255 28 6 1.4472 0.77815125 77 12 1.8865 1.079181246 157 24 2.1959 1.380211242 374 48 2.5729 1.681241237 D= 1.241 Figura 15: Cálculo de la dimensión fractal de la costa de Inglaterra. y = 1.241x + 0.496 R² = 0.997 0.0000 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 0 0.5 1 1.5 2 log[N] log [r] Costa de Inglaterra
  20. 20. 19 Así, para la imagen de la Figura 14, se registra el número de cajas que contienen una parte de la costa de Inglaterra (N) y la longitud de las cajas ( ), al ir haciendo estas últimas cada vez más pequeñas. Se calcula el logaritmo de estos dos valores y se puede observar que guarda una relación lineal, como se aprecia en la Figura 15. La pendiente de la recta será la dimensión fractal buscada. En este caso y en muchos más en los que no se forma una recta perfecta, se toma la pendiente de la recta que más se acerca a los puntos obtenidos, ya sea por mínimos cuadrados o cualquier otro criterio. Cabe notar que existen otras variantes de este método que utilizan en lugar de cajas, el máximo número de discos de radio r centrados en el conjunto, en este caso, cuyo centro se encuentra sobre la costa (Figura 16-centro), o el mínimo número de discos que cubren el conjunto (Figura 16- izquierda). Figura 16: Otras variantes del método de conteo de cajas. 7.2 DIVISORES (MÉTODO DEL COMPÁS). Otro método muy extendido y claramente emparentado con el conteo de cajas es el método de divisores o del compás (Compass o ruler method). Se utiliza habitualmente para medir la dimensión fractal de perímetros.[20] Mandelbrot hizo popular los fractales utilizando este método en un artículo titulado ¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña? Figura 17: Método del compás aplicado para calcular la dimensión fractal de la costa de Inglaterra.
  21. 21. 20 Obsérvese la isla de la Figura 17. En el caso de la izquierda se ha medido la longitud de la costa utilizando una medida o regla de menor tamaño con respecto del caso del centro y éste último con respecto del caso de la derecha. La longitud medida depende obviamente del tamaño de la regla. El método del compás consiste en mover una regla de longitud a lo largo de la curva. La longitud estimada de dicha curva será el producto del número de pasos N de tamaño delta necesarios para cubrir la costa, esto es, L N . Valores de delta inferiores darán longitudes mayores; a medida que nuestra regla se hace más y más pequeña, añadimos más detalles y la longitud medida de la costa crece. La dimensión fractal es estimada midiendo la longitud L a diferentes valores de escala mediante la siguiente relación: 0 log lim log 1/ L D 7.3 RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO. El método de área-perímetro es utilizado generalmente para estimar la dimensión fractal de objetos completos, y no sólo su perímetro. Dependiendo de los objetivos del análisis, existen tres enfoques posibles: el método basado en el perímetro, para determinar la medida en que el perímetro de la isla, es decir, del objeto a analizar, llena el plano; basado en el área, para determinar la medida en que la propia isla llena el plano; y basada en el paisaje (islas divididas en diferentes tipos), para comparar la complejidad de las islas. Estos métodos se pueden utilizar para determinar la dimensión fractal de un conjunto de islas o para cada isla.[18] El enfoque de la dimensión fractal perimetral mide el grado en el que el perímetro de la o las islas llenan el plano. La relación perímetro-área de un conjunto de islas está dada por: 2 D P kA Donde el área A es el número de pixeles que conforman el objeto dado, el perímetro P es el número de pixeles en la frontera de la isla, k es una constante de escalamiento y D es la dimensión fractal, misma que se determina mediante la pendiente de la gráfica de los logaritmos del área contra perímetro. El enfoque de la dimensión fractal del área cuantifica la proporción del plano que es ocupada por un objeto. Esta dimensión puede ser medida como: log log A D L Donde L es la longitud máxima horizontal o vertical de la isla en pixeles, y A es el número total de pixeles que conforman la isla. Así, una isla cuadrada de n n (A=n2 , L=n), llena completamente el plano bidimensional ( 2 log /log 2D n n ), mientras que para una isla rectangular de longitud n y ancho unitario (A=n 1, L=n), es decir, una línea recta, log /log 1D n n .
  22. 22. 21 7.4 MÉTODO “SLIT ISLAND” (SIM). El método slit-island o método de las islas emplea una relación de perímetro-área para determinar la dimensión fractal de imágenes en las que se distinguen múltiples islas u objetos fracturados. Se ha utilizado en gran medida en la evaluación de la dimensión fractal de superficies fracturadas en metales como el acero y otros materiales como las cerámicas.[21] Los perímetros y áreas de las islas son medidos con cajas de longitud E de forma muy parecida al método del conteo de cajas, contando cuántas cajas son necesarias para cubrir la isla en su totalidad, en el caso del área, y cuántas cajas tocan el contorno de la misma, en el caso del perímetro. Como se puede prever, el tamaño de la caja de conteo E se va haciendo cada vez más pequeño pero en este caso la dimensión fractal se determina mediante la siguiente ecuación que relaciona el área de la isla con su perímetro: 2 2 / / 0.5 /A E I E P E Donde el término 2 /A E corresponde al área de la isla, 2 /I E es el número de cajas dentro de la frontera y 0.5 /P E es la mitad del número de cajas sobre la frontera del objeto a analizar. E, como ya se mencionó, es el tamaño de la caja en pixeles usada para contar. De esta forma se tiene que: 1 12 2 / / DA E P E Así, la dimensión fractal D puede ser obtenida con la pendiente de la recta resultante al graficar el logaritmo de 2 /A E contra el logaritmo de /P E, a distintos tamaños de E, como se ilustra en la Figura 18. Figura 18: Estimación de la dimensión fractal con el método SIM para fracturas en una aleción metálica HS- 21.
  23. 23. 22 7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O ESPACIALES. El concepto de un objeto fractal, que carece de una escala de longitud característica, se puede extender al análisis de los complejos procesos temporales. Sin embargo, un reto en la detección y cuantificación de la dimensión fractal en las series temporales es que a pesar de que este tipo de series se suelen representar en un plano bidimensional, en realidad dependen de dos variables físicas distintas. Por ejemplo, en la Figura 19-a, el eje horizontal representa el tiempo, mientras que el eje vertical representa el valor de la variable que cambia con el tiempo, en este caso, la frecuencia cardíaca. Estos dos ejes tienen unidades físicas independientes: minutos y latidos por minuto, respectivamente. Incluso en los casos en los que los dos ejes de una serie en el tiempo tienen las mismas unidades, su significado físico sigue siendo diferente. Esta situación es diferente a la de las curvas geométricas tales como las costas y cordilleras, donde ambos ejes representan una misma magnitud física.[22] Figura 19: Autosimilaridad en series temporales. Para determinar si una curva dependiente del tiempo es auto-similar, podemos hacer la siguiente prueba: tomemos un subconjunto del objeto y escalémoslo al mismo tamaño del objeto original, utilizando el mismo factor de aumento, tanto para el ancho como para el alto, y luego comparemos las propiedades estadísticas del objeto escalado con las del objeto original (media, varianza, desviación estándar, etc.). En la práctica, para determinar la dimensión fractal de una serie temporal para un intervalo de tiempo dado, éste se divide en subconjuntos del mismo tamaño, es decir, en ventanas de observación más pequeñas a las que se les analiza alguna propiedad estadística, que generalmente es la desviación estándar. Para obtener una buena aproximación de la característica estadística a ésta escala de la ventana, se promedian todos los valores individuales de la propiedad en cuestión para cada subconjunto. Este procedimiento se repite para diferentes tamaños de la ventana y la
  24. 24. 23 dimensión fractal se estima mediante la pendiente de la curva resultante de graficar el logaritmo de la propiedad estadística contra el logaritmo del factor de escala de la ventana, como se puede apreciar en la Figura 19-d. Para este caso en particular, log /logD s n donde s es la desviación estándar y n es el tamaño del subintervalo de tiempo de la ventana de observación. 7.6 ANÁLISIS DE FLUCTUACIÓN SIN TENDENCIA (DFA) Una definición simplificada y general caracteriza a una serie en el tiempo como estacionaria si su media, desviación estándar, funciones de correlación u otras propiedades permanecen invariantes bajo una traslación en el tiempo. Las señales que no obedecen estas condiciones se denominan no estacionarias.[22] Para éste último tipo de señales, el análisis expuesto en el apartado 7.5 obviamente no funciona. Es por esto que se desarrolló el análisis de fluctuación sin tendencia o DFA, por sus siglas en inglés (detrended fluctuation analysis). Figura 20: Algoritmo del método DFA. En éste método se divide la señal original en cajas o ventanas de longitud n. Para cada ventana se dibuja la recta que más se ajusta a los valores de la curva por el método de mínimos cuadrados. Ésta recta representa la tendencia de los valores dentro de la ventana (Figura 20). Posteriormente se calcula la magnitud de la fluctuación de los valores dentro de dicha ventana mediante la siguiente ecuación: 2 1 1 N n k F n y k y k N Este cálculo se repite en todas las escalas temporales (diferentes tamaños de la ventana) para proporcionar una relación entre F(n) y el tamaño del intervalo n. Típicamente esta relación nos da la dimensión fractal, misma que está dada por:
  25. 25. 24 log log F n D n 7.7 ANÁLISIS DE IMÁGENES Y TEXTURA. En éste método una imagen, la cual se supone tiene una textura, es interpretada como un terreno en tres dimensiones, en donde cada coordenada x,y de la imagen tiene una tercera dimensión asociada z que representa la intensidad de color del pixel.[18] Posteriormente se realiza un procedimiento muy similar al del método de conteo de cajas, descrito en el apartado 7.1, sólo que en este caso en lugar de dividir la imagen con cajas bidimensionales, se tendrá que el terreno tridimensional es dividido en cubos de tamaño (Figura 21). Se cuentan el número de cubos N que engloban el terreno a analizar y se relaciona el logaritmo de ésta cantidad con el logaritmo del tamaño de los cubos. De igual forma, la magnitud se hace variar. La dimensión fractal se estima con la ecuación de Minkowski–Bouligand. Figura 21: Método de conteo de cajas modificado para imágenes con textura. 7.8 ANÁLISIS MULTIFRACTAL. Cuando se aplica la caracterización fractal a imágenes, suele ocurrir que la entidad a estudiar presenta las intensidades que la forman distribuidas en un intervalo de nivel de grises suficientemente amplio para no poder ser caracterizado adecuadamente con una única dimensión fractal. Para poder analizar correctamente esta situación se dispone de la caracterización multifractal.[23][24] Esta metodología de análisis divide el intervalo de intensidades a analizar en diferentes subintervalos, para cada uno de estos se realiza la correspondiente caracterización fractal
  26. 26. 25 utilizando el método del conteo de cajas. Ahora se obtiene como resultado una representación de las dimensiones fractales obtenidas frente a las intensidades correspondientes. En esta caracterización se pueden realizar múltiples análisis, pero es primordial asignar un significado a la intensidad observada en la imagen. Puede representar densidad, temperatura, altura, módulo de la velocidad o cualquier parámetro físico de interés relacionado con la estructura espacial autosimilar de la imagen. Para cada una de estas situaciones podemos hablar de la complejidad observada en función de la intensidad de la magnitud caracterizada y usar la dimensión fractal para describir la geometría reflejada en la imagen por los procesos físicos inherentes. Figura 22: Cálculo de la dimensión multifractal mediante el software especializado ImaCalc de la imagen satelital de un vórtice oceánico. 7.9 SOFTWARE PARA EL ANÁLISIS FRACTAL Existen un gran número de programas computacionales para el análisis de imágenes y datos que incluyen herramientas o están destinados para el estudio de su dimensión fractal por diversos métodos como los comentados en los apartados anteriores. Algunos de estos programas se enlistan a continuación: HarFA FracLab Fractalyse FracTop Fractal3e ImaCalc
  27. 27. 26 Kindratenko SimuLab FracLac (módulos para ImageJ) 8 CONCLUSIONES El estudio de los fractales así como de los métodos de análisis fractal sigue en desarrollo y aplicándose cada vez en un mayor número de ramas del conocimiento. Al igual que con otras técnicas de análisis de datos tales como el análisis en frecuencia por transformada de Fourier, Wavelets o análisis estadísticos, es importante conocer este tipo de herramientas para tener un panorama más amplio a la hora de enfrentarnos a la resolución de un problema. 9 REFERENCIAS [1] Talanquer, V. Fractus, Fracta, Fractal. Fractales, de laberintos y espejos. Fondo de Cultura Económica. México, 1996. [2] Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman and Company. New York, 1977. [3] Historia de los Fractales. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://www.geometriafractal.com/protagonistes.htm. [4] Función de Weierstrass. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_Weierstrass. [5] Georg Cantor. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor. [6] Aleksandr Liapunov. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Liapunov. [7] Lyapunov fractal. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_fractal. [8] Giuseppe Peano. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Giuseppe_Peano. [9] Wacław Sierpiński. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Wac%C5%82aw_Sierpi%C5%84ski. [10]Helge von Koch. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Helge_von_Koch. [11]Gaston Julia. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Gaston_Julia. [12]Benoît Mandelbrot. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot. [13]Fractal. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal. [14]Conjunto de Mandelbrot. Recuperado el 20 de febrero de 2011 de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot. [15]Braun, E. Caos, fractales y cosas raras. Fondo de Cultura Económica. México, 1996. [16]Mocencahua, D. Antenas Fractales. Facultad de Ciencias de la Electrónica. Benemérita Universidad Autónoma de Puebla. Segundo Congreso Nacional de Electrónica. 2002.
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Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal. Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal. Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis basados en esta técnica. Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la geometría fractal.

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