La teoría combinatoria es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio de las formas de contar

1. Prof. Enely Freitez
Enero, 2015

2. Sean dos artículos escogidos al azar de un grupo de
12 artículos, de los cuales cuatro son defectuosos
a) La probabilidad de que los dos artículos sean
defectuosos.
b) La probabilidad de que los dos artículos sean no
defectuosos.
A1 A2 A3 A4 A5 A6
A7 A8 AD1 AD2 AD3 AD4

3. La resolución de este ejemplo se
hace un poco tediosa, puesto que
existen infinitas maneras de
seleccionar dos artículos de 12,
así como también la cantidad de
maneras de seleccionar dos
artículos no defectuosos de 8
artículos defectuosos
Por ello vamos a estudiar unas
técnicas que nos facilitan el
calculo de los mismos

4. Muestra
Ordenada
Muestra no
Ordenada
Remplazamiento
Sin
Remplazamiento
nmVR ,
nmV ,
nmCR ,
nmCR ,

5. Factorial de un Número Número Combinatorio
Se define como el
producto sucesivo desde
el 1 hasta n inclusive.
n!= 1x2x3x….xn
Lo denotamos por el
símbolo n!
Se lee n factorial
El numero combinatorio
de m en n, se define .
𝒎
𝒏
=
𝒎!
𝒏! 𝒎 − 𝒏 !
Sean m y n números
enteros.
Se lee “combinatorio m
n”

6. 567.8
!6
!6.7.8
!6
!8
120645!345!5
6321!3
221!2




xxxx
xx
x
Número Factorial

7. Número Combinatorio

8. Sin Remplazamiento,
con Orden
a b c d
a ab ac ad
b ba bc bd
c ca cb cd
d da db dc
Sin Remplazamiento,
sin Orden
a b c d
a ab ac ad
b bc bd
c cd
d
Con Remplazamiento,
con Orden
a b c d
a aa ab ac ad
b ba bb bc bd
c ca cb cc cd
d da db dc cc
Con Remplazamiento,
sin Orden
a b c d
a aa ab ac ad
b bb bc bd
c cc cd
d cc
a b c d

9. Son aquellas formas de agrupar los elementos de un
conjunto teniendo en cuenta que:
 Influye el orden en que se colocan
 Si permitimos que se repitan los elementos,
podemos hacerlo hasta tantas veces como
elementos tenga la agrupación.
Existen dos tipos de variaciones: variaciones sin
repetición y variaciones con repetición

10. se definen como las distintas agrupaciones
formadas con n elementos distintos, eligiéndolos
de entre los m elementos de que disponemos,
considerando una variación distinta a otra tanto si
difieren en algún elemento, como si están situados
en distinto orden .
El número de variaciones que se pueden construir
se pueden calcular mediante la formula
Con n < m;
)!(
!
,
nm
m
V nm



11. Variación sin Repetición
De doce manzanas de una caja se
desean escoger dos de ellas .
¿Cuántas maneras hay de hacerlo?
Solución:
132
)!212(
!12
2,12 

V
Interpretación: de 132 maneras se pueden seleccionar 2 manzanas
de 12 que hay en la caja

12. se definen como las distintas agrupaciones
formadas con n elementos que pueden repetirse,
eligiéndolos de entre los m elementos de que
disponemos, considerando una variación distinta a
otra tanto si difieren en algún elemento, como si
están situados en distinto orden .
El número de variaciones que se pueden construir
se pueden calcular mediante la formula
n
nm mVR ,

13. Variación con Repetición
Se desea colocar códigos a
determinados productos en una
compañía. ¿Cuántos códigos de
exactamente cuatro cifras se
pueden formar con los dígitos
impares?
Solución:
Tenemos 5 dígitos impares 1,3,
5, 7 y 9, por lo tanto hay
62555555 4
xxx
Interpretación: hay 625 códigos de
4 cifras todos impares

14. Son aquellas formas de agrupar los elementos de un
conjunto teniendo en cuenta que:
 Influye el orden en que se colocan
 Se toman todos los elementos de que se disponen
 Serán permutaciones sin repetición cuando todos
los elementos de que disponemos son distintos.
 Serán permutaciones con repetición si disponemos
de elementos repetidos
También son llamadas ordenaciones

15. Se definen como las distintas formas de ordenar
todos esos elementos distintos, por lo que la única
diferencia entre ellas es el orden de colocación en
los elementos.
El número de permutaciones, se pueden calcular
mediante la formula
!mPm 

16. Permutaciones sin Repetición
¿De cuantas maneras podemos
colocar 6 envases de jugos en
un estante?
Solución
El primero puede ser
cualquiera de los 6, el
segundo cualquiera de
los 5, el tercero
cualquiera de los 4 y así
sucesivamente.. Esto es:
720!6123456 xxxxx
Interpretación: Se pueden
colocar 6 jugos en un estante de
720 maneras

17. Llamamos a las permutaciones con repetición de m
elementos tomados de a en a, de b en b, de c en c,
etc., cuando en los n elementos existen elementos
repetidos (un elemento aparece a veces, otro b
veces, otro c veces, etc).
El número de permutaciones, con términos a, b y c
que se repiten son:
!!!
!
cba
m
PRm 

18. Permutaciones con Repetición
Se tienen 4 gaseosas de
naranja, 3 gaseosas de uva,
y 2 gaseosas de colita. ¿En
cuantas maneras diferentes
se puede ordenar en línea
recta todos las gaseosas?
Solución
El primero puede ser
cualquiera de los 6, el
segundo cualquiera de
los 5, el tercero
cualquiera de los 4 y así
sucesivamente.. Esto es:
1260
!2!3!4
!9
9 PR
Interpretación: las gaseosas se
pueden ordenar en línea recta de
1260 maneras.

19. Son aquellas formas de agrupar los elementos de un
conjunto teniendo en cuenta que:
 No influye el orden en que se colocan
 Si permitimos que se repitan los elementos,
podemos hacerlo hasta tantas veces como
elementos tenga la agrupación
También son llamadas ordenaciones

20. Las combinaciones sin repetición de m elementos
tomados de n en n, se definen como las distintas
agrupaciones formadas con n elementos distintos,
eligiéndolos de entre los m elementos de que
disponemos, considerando una combinación distinta
de otra solo si difieren en algún elemento.
El numero de combinaciones sin repetición se calcula
mediante la formula:
𝑚
𝑛
=
𝑚!
𝑛! 𝑚−𝑛 !

21. Combinaciones sin Repetición
¿De cuantas maneras podemos escoger 5 personas de 10,
para aplicarles una encuesta sobre la preferencia de un
producto?
10
5
=
10!
5! 10−5 !
= 252
Interpretación
Se pueden escoger 5 personas de 10
para aplicar la encuesta de 252
maneras

22. Supongamos que A y B son dos
sucesos disjuntos, es decir, no
se presentan al mismo tiempo.
Si el suceso A se puede
realizar de m maneras y el B
de n maneras. Entonces el
suceso A o el B se podrá
realizar de m + n maneras
distintas.

23. Ejemplo
Un producto alimenticio se vende en 6 tiendas en
Cabudare o en 8 tiendas en Barquisimeto. ¿De
cuantas formas se puede adquirir el producto?
6 formas + 8 formas = 14 formas

24. Sea C un suceso que pueda descomponerse en dos
etapas sucesivas A y B independientemente entre si.
Supongamos que la etapa A se puede realizar de m
maneras y que la B se puede realizar de n maneras,
independientemente de cual sea el resultado
obtenido en la etapa A. Entonces, el suceso C se
podrá realizar de m.n maneras distintas.

25. Ejemplo
Una bodeguera tiene tres tipos de arroz, cinco
clases de azúcar, y ocho tipo de leche en polvo.
¿De cuantas maneras puede escoger un producto
de cada tipo para conformar bolsas de comida
para vender?
Solución:
3x5x8= 120 maneras

27. Son Variaciones o
Permutaciones
Para formar las
agrupaciones ¿Influye el
orden de colocación de los
elementos?
¿Vamos a usar todos los
elementos de que
disponemos?
Son Permutaciones Son Variaciones
¿Existen elementos
repetidos en el conjunto?
Son Permutaciones CON
repetición
Son Permutaciones SIN
repetición
Son Combinaciones
Serán con o sin
repetición, si se pueden
o no repetir los
elementos,
respectivamente
SI NO
SI NO
NO
SI

28. ARMAS, J. Estadística Sencilla, Teoría de
Probabilidad. Universidad de los Andes. Facultad de
Ciencias Económicas y Sociales. Dpto. de Estadística
Mérida (1996).
ORTEGA, J. Elementos de Probabilidad. Editorial
CENAMEC. Caracas – Venezuela (1998)