1. Método A: Resolución de la ecuación diferencial
La segunda ley de Newton postula que la fuerza aplicada sobre un cuerpo es
directamente proporcional a la aceleración que este adquiere. Matemáticamente:
Y como la aceleración es la segunda derivada de la posición respecto del tiempo,
queda:
De este modo, esta expresión permite obtener la ecuación de movimiento si
conocemos las fuerzas que actúan sobre el cuerpo estudiado.
En la versión más simplificada del movimiento vibratorio armónico simple, la única
fuerza que causa la oscilación del sistema es de la forma:
Se denomina fuerza recuperadora ya que, al oponerse al sentido de la elongación,
hará que el cuerpo regrese a la posición de equilibrio. Se trata, asimismo, de una
fuerza central.
Sustituyendo en la ecuación de la segunda ley de Newton resulta:
Con el fin de simplificar la ecuación diferencial obtenida, introduciremos una
constante cuyo valor es:
Por lo tanto:
Un método que nos brinda la solución a esta ecuación es presuponer que esta es del
tipo:
Calculamos su segunda derivada.
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2. Y sustituyendo en la ecuación diferencial se tiene que:
Despejamos :
Siendo
Así pues, es ya conocida:
La solución general a la ecuación diferencial vendrá dada por la suma de
multiplicadas por sendas constantes arbitrarias:
y
,
Ahora bien, si recurrimos a la llamada fórmula de Euler:
Podemos reescribir la solución del siguiente modo:
Y finalmente, haciendo
expresión:
y
, obtenemos la siguiente
No obstante, la versión más empleada de la ecuación de movimiento del M.A.S. es
. Para llegar a ella habremos de realizar una segunda
transformación.
De este modo:
A la hora de trabajar con el producto de cosenos o senos, aplicaremos las relaciones
que siguen:
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3. Por consiguiente:
Desarrollando los productos, resulta:
Método B: Relación M.C.U. y M.A.S.
Una de las formas de definir el movimiento armónico simple es a través de su
conexión con el movimiento circular uniforme. Si imaginamos una partícula que
describe un M.C.U. sobre una circunferencia de radio , el movimiento de la
proyección de dicha partícula sobre el diámetro de la misma circunferencia es
armónico simple.
Es posible relacionar la elongación (la distancia entre el punto proyectado y el
centro de la circunferencia) con el radio del siguiente modo:
Donde es el ángulo formado entre el diámetro y un vector dirigido desde el
centro hasta la partícula que describe el M.C.U. (vector de posición).
Y, partiendo de la fórmula que define al movimiento circular uniforme:
Despejando
y sustituyendo en la ecuación de movimiento se concluye que:
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