Coceptos basicos sobre limites matematicos

1. LIMITE
"En una secuencia infinita de magnitudes, magnitud fija a la que se aproximan cada vez
más los términos de la secuencia. Así, la secuencia de los números 2n/(n+1), siendo n la
serie de los números naturales, tiene como límite el número 2".
Sea f(x) una función y a un número fijo.
Supongamos que el codominio de f contiene intervalos abiertos (c,a) y (a,b), para algún
número c<a y algún número b>a, como en la figura (G.1).
Figura G.1
Si al aproximarse x hacia a, tanto por su izquierda como por su derecha (esto también es
equivalente a decir que existe tanto el límite de la función tanto por la izquierda como por
la derecha), f(x) tiende a un número específico S, entonces S se llama el límite
de f(x) cuando x tiende hacia a.
Lo cual se representa de la siguiente forma:
Entonces podemos determinar los límites para algunas funciones.
1.- Resolver el limite:
solución:
ac b

2. 2.- Resolver el limite
solución:
La solución no es tan inmediata como en el caso anterior, es necesario realizar algunas
operaciones antes de aplicar el límite, ya que este límite nos conduce a la indeterminación
del tipo cero sobre cero:
3.- Resolver el siguiente limite:
Solución: Como el limite queda indeterminado debido a la división:
entonces es necesario dividir entre la variable a la mayor potencia tanto en el numerador
como en el denominador en este caso entre x7
:

3. 4.- Solucionar el siguiente limite:
Solución:
Dividiendo entre x3
por ser variable de mayor potencia tendríamos:
5.- Encontrar el
Solución:
6.- Encontrar la solución de la siguiente expresión:
solución:
Multiplicando por
tenemos:

4. 7.- Encontrar la solución del siguiente limite
Solución: La solución, como podemos analizar, no es tan inmediata ya que nos conduce a
la indeterminación de la forma cero entre cero. Al igual que el ejercicio 2 podemos llegar
al resultado mediante dos caminos diferentes:
Debido a que se puede expresar como
por lo que:
8.- Resolver el siguiente limite:
Solución: Como el límite es indeterminado de la forma infinito sobre infinito primero
dividiremos entre x100
con lo que:

5. por lo tanto:
9.- Obtén el siguiente limite:
Solución: Directamente no se puede obtener el resultado por lo que es necesario desarrollar
los productos
Solución:
Dividiremos entre la variable de mayor potencia:
por lo tanto
10.- Resolver el siguiente limite:
Solución:

6. Consideraciones Generales:
Hay varias maneras de resolver Limites
➊ Cuando con solo sustituir el valor al que tiende (x), se resuelve el Limite
6
lim ---------
x → 3 x + 3
6
lim ---------- = 1
x → 3 (3) + 3
➋ Cuando un Limite se Indetermina, (0/0), podemos resolverlo de 2 maneras. para quitar la
Indeterminación
x² + x – 6

7. lim ---------------
x → 2x - 2
(2)² + (2) – 6 0
lim ----------------- = ---
x → 2 (2) – 2 0
➀ Aplicando Factorización al Límite
x² + x – 6
lim -------------
x → 2 x - 2
(x + 3) (x – 2)
lim ------------------
x → 2 x - 2
lim (x + 3)
x → 2
lim (2 + 3) = 5
x → 2
➁ Aplicando la Regla de L´Hopital, que consiste en Derivar la Función
x² + x – 6
lim -------------

8. x → 2 x - 2
2x + 1
lim ----------
x → 2 1
2(2) + 1
lim ------------ = 5
x → 2 1
Aprenda estas Reglas, ya que se ahorrará mucho tiempo, en la solución y evaluación de
Limites que tienden al ∞, con solo aplicar estas Reglas
➌ Solo para límites cuando tienden ∞
lim x → ∞
Fíjese lo único que tienes que hacer es checar donde está la literal con el exponente Mayor,
Casos:
➀ si el Exponente Mayor esta en el numerador el limite tiende a ∞
➁ si el Exponente Mayor esta en denominador el limite tiende a 0
➂ si los Exponentes Mayores son iguales en el Numerador y en el Denominador, resultado
es la fracción de ambos o el numero que de el cociente
Caso No. ➀
5x²+x+9
----------- = ∞
x+5
Porque la literal con exponente más grande esta en el numerador

9. Caso No. ➁
x+5
------------ = 0
5x²+x+9
Porque la literal con exponente más grande esta en el denominador
Caso No. ➂
3x²+x+5
------------ = 3/5
5x²+x+9
Porque la literal con exponente más grande esta en el numerador y en denominador