競技プログラミング練習会2015 Normal 第2回

2015/04/17
長嶺英朗(ID:hnagamin)
競技プログラミング練習会
2015 Normal
第2回

目次
●
スタックとキュー
●
全探索
– 幅優先探索
– 深さ優先探索
●
累積和

データ構造
●
データ構造は多数のデータをある秩序に従って保
存しておくための構造です
– 例) 配列、ハッシュテーブル、木、スタック、キュー…
●
データ構造には様々な種類があり、それぞれ得意な
ことと不得意なこと、可能なことと不可能なことがあ
ります
●
今日はスタックとキューの話をします

スタック
● 「後入れ先出し」 (Last In, First
Out)のデータ構造
● 次のことがO(1)でできる
● push: 先頭に要素を追加する
● pop: 先頭の要素を取り出す
●
本の山みたいなイメージ
push
pop

キュー
● 「先入れ先出し」 (First In, First
Out)のデータ構造
● 次のことがO(1)でできる
● enqueue: 先頭に要素を追加する
● dequeue: 末尾の要素を取り出す
●
店の行列的なイメージ
enqueue
dequeue

スタックを使う問題の例
http://poj.org/problem?id=2559

全探索
●
いくつかの組合せの中からある特定のものを探す
とき、考えるべき組合せが比較的少ない場合にはそ
れらを全て調べてしまうのが有効なことがある
● 「比較的少ない」: 106通りくらい

全探索が有効な例
● 3×3魔法陣の解の個数を求める
● 3x3マスに1~9の数字を入れて魔法陣か確かめる
● 考えるべき組合せは9!通り
● 9! = 362880 < 106
●
間に合う
2 9 4
7 5 3
6 1 8

● 8クイーン問題の解のひとつを求める
● 8x8チェス盤に8つのクイーンを置く
●
どのクイーンも他の駒の利きにないよう置く

8クイーン問題の解の一例
http://ja.wikipedia.org/wiki/エイト・クイーン

● 普通に並べると64C8 通り
– ちょっと大きい
●
工夫が必要

● 普通に並べると64C8 = 4426165368 通り
– ちょっと大きい
●
工夫が必要

●
よく考えると、２つのクイーンは同じ列・同じ行には
並ばない
● {1, 2, ... 8} の順列をクイーンの位置に対応させる
● 8! = 40320
●
間に合う
(7, 5, 3, 1, 6, 8, 2, 4)

全探索
●
考えるべき状態を木として扱うことが多い
1 2 3 4 5
1 31 2 1 4 2 1
…

18 1914
深さ優先探索
●
葉に到達するまで子要素を探索してから次の子要
素を探索する
1
2 11 15
3 5 8 12 13 16 17
4 6 7 9 10

深さ優先探索
●
スタックを使って深さ優先探索が実現できる
●
まだ探索していない頂点をスタックに積んでから、
スタックから頂点を取り出して深さ優先探索する

18 1917
幅優先探索
●
子要素を全て探索してから子要素の子要素を探索
する
●
根に近い順に探索していく
1
2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16

幅優先探索
●
キューを使って幅優先探索が実現できる
●
今見ている頂点の子要素を全てキューに突っ込ん
でから、キューから頂点を１つ取りだして幅優先探
索する

深さ優先探索のココがすごい!
● メモリ消費量が幅優先に比べて少ない!
● 再帰を使うことで楽に書ける!
– 再帰を使って書くときは、暗黙のうちにコールスタックを
使っている
● 葉に至るまでが長い分枝が存在するとつらい!
– 木の深さが有限でない場合終わらないことがある

幅優先探索のココがすごい!
● ある種の最小解が求まる!
– 例えば、頂点として迷路内の座標を設定しゴールに向
かって幅優先探索すると迷路を出るための最短経路が
求まる
● (解があれば)(木の深さが有限でなくても)
必ず見つける!
● メモリを大量に使う!

要求
● 長さNの配列が与えられて、その中にはN個の数が
格納されている
● q個のクエリ(問題)が与えられるので、それに答える
– 問題: 「i番目からj番目までの要素の和を答えよ」
● N 10≦ 6 , q 10≦ 6

愚直な解法
●
各クエリに対して、一つひとつ和を求めていく

愚直な解法
●
各クエリに対して、一つひとつ和を求めていく
● O(qN)
– 各クエリの処理に最大O(N)回の計算が必要
– クエリはq個
● qN 10≦ 12
– ちょっと大変

累積和
● クエリを処理する前に予めSi = (0番目からi番目ま
での要素の和)を求めておく
● 各クエリに対してSj - Si-1を返せば良い
3 1 4 1 5 9 2 63 1 4 1 5 9 2 6

累積和
● クエリを処理する前に予めSi = (0番目からi番目ま
での要素の和)を求めておく
● 各クエリに対してSj - Si-1を返せば良い
3 1 4 1 5 9 2 6
3 4 8 9 14 23 25 31

計算量
● Siを求めるのにO(N)
– Si = Si-1 + ai を利用する
● 各クエリに対してO(1)
● 従って、計算量はO(N + q)
●
間に合う

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