A brief introduction to Multilevel / HLM.

1. Multilevel / HLM Presenter: Ida Wu November 25, 2010

2. Introduction Multilevel linear model Hierarchical linear model, HLM The intervention may well be delivered and have effects at more than one level, sometimes unwittingly. If we drop a tone into water the maximum effect is seen where the stone hits the water, but the ripples go outwards for some distance. 2

3. Introduction 分析軟體：Kreft，de Leeuw，和Kim (1990) 曾對這些HLM軟體進行深入的探討與比較。大體而言，在美國以HLM較普遍，MLn及VARCL在英國較通行。 具有階層結構之資料，就理論而言，最多可以有無限多階層。但受限於HLM目前的分析技術、模式的實用性及分析結果的可解釋性，雖然VARCL 軟體最高可分析至九個階層的資料，但是一般仍以二至三階層的資料為主要的分析對象。 3

4. HLM理論基礎 以學生的家庭社經地位(SES)來預測學生的學業成績，所分析之二階層資料中，第一階層是學生階層，第二階層是學校階層。 迴歸方程式為： 𝑦𝑖=𝑏0+ 𝑏1𝑥𝑖+𝑒𝑖 若有兩間學校（學校1和學校2）分別以學生的SES來預估學生的學業成績，則迴歸方程式分別為： 𝑦𝑖1=𝑏01+ 𝑏11𝑥𝑖1+𝑒𝑖1 𝑦𝑖2=𝑏02+ 𝑏12𝑥𝑖2+𝑒𝑖2 4

5. HLM理論基礎 當學校1=學校2時，兩校學生整體的迴歸方程式𝑆𝑇，將等於各校的迴歸方程式。 因此，以𝑆𝑇來預測學生的學業成績，尚不致因為忽略學校的特徵而產生偏誤。 5 𝑆𝑇 學校1=學校2

6. HLM理論基礎 但以實際情形而言，學校1≠學校2 此時，若強行以𝑆𝑇來預測所有學生的學業成績，將會低估學校1之學生的成績而高估學校2學生的成績，因而產生分析結果解釋上的一致性偏誤。 6 學校1 學校2

7. HLM階層一方程式 如果我們有j所學校，則拓展成以下公式，即為HLM階層一方程式： 𝑦𝑖𝑗=𝑏0𝑗+ 𝑏1𝑗𝑥𝑖𝑗+𝑒𝑖𝑗 學生的學業成績 = 所有學校的所有學生分數平均 (截距)+斜率*學生SES+ 階層一殘差/隨機誤差 𝑏0𝑗和𝑏1𝑗二係數，會受到學校特性影響，隨學校的不同而有所不同截距和斜率 7

8. HLM階層二方程式 若以𝑧𝑗代表學校的特性（例：學校的平均SES），則可進一步用𝑧𝑗來預測𝑏0𝑗和𝑏1𝑗，其迴歸方程式如下，即為HLM階層二方程式： 𝒃𝟎𝒋=𝜸𝟎𝟎+ 𝜸𝟎𝟏𝒛𝒋+𝒖𝟎𝒋 𝒃𝟏𝒋=𝜸𝟏𝟎+ 𝜸𝟏𝟏𝒛𝒋+𝒖𝟏𝒋 𝛾00 … 𝛾11為階層二方程式的係數，又稱固定效果 (fixed effect) 𝑢0𝑗和𝑢1𝑗為階層二方程式中的隨機效果 (random effect)：考慮了該校所有學生的截距和斜率差異 8 學校1 學校2

9. 二階層之HLM模式 HLM階層二方程式： 𝒃𝟎𝒋=𝜸𝟎𝟎+ 𝜸𝟎𝟏𝒛𝒋+𝒖𝟎𝒋 𝒃𝟏𝒋=𝜸𝟏𝟎+ 𝜸𝟏𝟏𝒛𝒋+𝒖𝟏𝒋 HLM階層一方程式： 𝒚𝒊𝒋=𝒃𝟎𝒋+ 𝒃𝟏𝒋𝒙𝒊𝒋+𝒆𝒊𝒋 將階層二方程式代入階層一方程式，可得二階層之HLM模式，公式如下： 𝒚𝒊𝒋=𝜸𝟎𝟎+ 𝜸𝟎𝟏𝒛𝒋+ 𝜸𝟏𝟎𝒙𝒊𝒋+ 𝜸𝟏𝟏𝒛𝒋𝒙𝒊𝒋+𝒖𝟎𝒋+𝒖𝟏𝒋𝒙𝒊𝒋+ 𝒆𝒊𝒋 9 誤差項

10. 應用範例 陳正昌 (1994) 就台北市、台北縣及宜蘭縣六年級學生所進行之「從教育機會均等觀點探討家庭、學校與國小學生學業成就之關係」 第一階層：學生階層 2022 名學生的學業成就（國語及數學兩科的總分）做為結果變項𝒚𝒊𝒋 學生的家庭社經地位指數（含家長教育、職業、收入及子女數，分數越高代表社經地位越高）做為預測變項𝒙𝒊𝒋，以瞭解家庭社經地位對學業成就的解釋力。 第二階層：學校階層 40 個學校 以學校平均社經地位指數（以該校樣本之家庭社經地位指數之平均數代表）及所在縣市（化為兩個虛擬變項）當做階層二方程式中的預測變項𝒛𝒋 ，藉以瞭解其對階層一方程式中係數的影響。 10

11. 應用範例 可回答之問題： 各校在學業成就上是否有顯著差異？ 學業成就的總變異中有多少百分比是由於學校間的變異所造成的？ 40 所學校所形成的40 條迴歸方程式 (以學業成就為結果變項，家庭社經地位為預測變項)的平均截距 (各校平均學業成就之平均值) 以及平均斜率 (家庭社經地位對學業成就影響的平均值) 為多少？ 上述 40 條迴歸方程式中，彼此的截距項 (各校平均學業成就) 及斜率 (家庭社經地位對學業成就的影響) 是否有差異？ 11

12. 應用範例 學校的平均社經地位是否會影響該校學業成就？ 除去學校平均社經地位所能解釋的變異量之後，各校之平均學業成就是否仍然會有顯著的差異？ 再增加學校所在縣市 (化為二個虛擬變項) 是否可以增加解釋量？ 學生家庭社經對學業成就的效果是否會因學校的所在縣市及學校平均社經地位不同而有所差異？如果是，則其解釋量有多少？ 12

13. Project Charlie (Drugs education program) A two-form-entry school Intervention: class level Classification of intervention: random Pre-test & post-test 13 Level two Level one

15. Practical issues:leakage 以Reading Recovery的例子來說，至少有幾種方式控制組的學生會受此閱讀計畫影響到： 學校其他教職員的教學法可能會改變這個閱讀計畫的模式。 儘管只有參與此計畫的老師才會有額外訓練，但他們都是學校的教職員一份子，因此皆無可避免地去影響到學校的閱讀政策。 雖然這些老師的變化可能不足以顯著影響學生，但他們可能會影響學生的進步，減少學校間操弄的影響。 16

16. Practical issues:leakage 有閱讀困難但沒有接受到實驗操弄的學生們，可能班導師會更關心他們。 參與此閱讀計畫的實驗班老師也可能同時是控制組的班導師，比起沒參與計畫的老師們，這些老師在班級中表現更有效率。 因此在學校中要比較實驗組和控制組的操弄效果，變得更加困難。 17

17. Practical issues:leakage 短期而言，無論是within school / between schools的比較，操弄是有效的 長期而言，計畫效果變得不太明顯，只在between schools有顯著 假如leakage可以測量，可將其包含在階層一方程式中，給予一些指標表示其影響的幅度 例如也可比較階層一和階層二的effect size，但這又可能混淆了有沒有隨機分派所造成的誤差 18

18. Discussion The level of delivery of an intervention is not straightforward. Interventions frequently have an effect at more than one level is probably a common phenomenon, both in education and in other social science contexts. 19

19. References Plewis, I., & Hurry, J. (1998). A multilevel perspective on the design and analysis of intervention studies. Education Research and Evaluation, 4(1), 13-26. 邱皓政（譯）（2006）。多層次模型分析導論。台北市：五南。(Kreft, I., & de Leeuw, J., 1998) 郭志剛（譯）（2008）。階層線性模式。台北市：五南。(Raudenbush, S. W., & Bryk, A. S., 2002) 劉子鍵、陳正昌（2009）階層線性模式。載於陳正昌，程炳林，陳新豐，劉子鍵（主編），多變量分析方法-統計軟體應用（頁423-452）。台北市：五南。 20