2. PLANO CARTESIANO
Um ponto que está sobre o eixo X possui
sua ordenada igual a zero. (x,0)
Um ponto que está sobre o eixo Y possui
sua abscissa igual a zero. (0,y)
3. PLANO CARTESIANO
O plano cartesiano é constituído por duas retas
numéricas perpendiculares nas quais é possível
marcar localizações. Essas retas são chamadas de
eixos.
A reta do eixo Y (vertical) é chamado de eixo das
ordenadas.
A reta do eixo X (horizontal) é chamada de eixo
das abscissas.
4. PONTOS NO PLANO CARTESIANO
Um ponto possui coordenadas X e Y. O
primeiro elemento da coordenada é o X
(abscissa) e o segundo elemento é o Y
(ordenada)
(X , Y)
5. DISTÂNCIA ENTRE PONTOS - DEMONSTRAÇÃO
Constrói-se um segmento de reta que liga os
dois pontos que se quer calcular a distância. A
partir disso é possível visualizar um triângulo
retângulo.
Sua hipotenusa é dada pelo segmento AB, e os
catetos são dados pelos segmentos AC e BC.
Aplica-se então o teorema de Pitágoras:
𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
𝐴𝐶2
+ 𝐵𝐶2
= 𝑑𝐴𝐵2
(𝑋𝑏 − 𝑋𝑎)2
+(𝑌𝑏 − 𝑌𝑎)2
= 𝑑𝐴𝐵2
𝑿𝒃 − 𝑿𝒂 𝟐 + (𝒀𝒃 − 𝒀𝒂)² = 𝒅𝑨𝑩
6. EXEMPLO CÁLCULO DISTÂNCIA ENTRE
PONTOS
A (-2,4) e E (2,1)
𝑿𝒆 − 𝑿𝒂 𝟐 + (𝒀𝒆 − 𝒀𝒂)² = 𝒅𝑨𝑬
( 𝟐 − (−𝟐) 𝟐+(𝟏 − 𝟒)² = 𝒅𝑨𝑬
(𝟒) 𝟐+(−𝟑)² = 𝒅𝑨𝑬
𝟏𝟔 + 𝟗 = 𝒅𝑨𝑬
𝟐𝟓 = 𝒅𝑨𝑬
5 = 𝒅𝑨𝑬
7. PONTO MÉDIO - DEMONSTRAÇÃO
Os triângulos AMN e ABP são semelhantes. Por isso:
AM
AB
=
AN
AP
Como M é o ponto médio do segmento AB então AB = 2.(AM)
AM
2AM
=
AN
AP
1
2
=
𝐴𝑁
𝐴𝑃
AP = 2.(AN)
(Xa – Xp) = 2.(Xa – Xm)
(Xa – Xb) = 2.(Xa – Xm)
Xa – Xb = 2.Xa – 2.Xm
Xa – Xb – 2.Xa = - 2.Xm
-Xa – Xb = - 2.Xm
𝑿𝒂 + 𝒙𝑩 = 𝑿𝒎
𝟐
Pelo mesmo processo é
possível demonstrar que:
𝒀𝒂 + 𝒀𝒃 = 𝒀𝒎
𝟐
8. EXEMPLO DE CÁLCULO – PONTO MÉDIO
A(4,-1) e B(-2,3)
Xa + Xb = Xm
2
4 + (−2) = Xm
2
2 = Xm
2
1 = 𝑿𝒎
Ya + Yb = Ym
2
−1 + 3 = Ym
2
2 = Ym
2
1= 𝒀𝒎
Pm (1,1)
9. MEDIANA E BARICENTRO
A Mediana é o segmento de reta que une o
ponto médio de um lado do triângulo ao vértice
oposto.
A Mediana divide qualquer triângulo em dois
triângulos menores e de áreas iguais.
O Baricentro é o ponto de encontro das
Medianas (Ponto G no gráfico).
As medianas estão representadas pelos segmentos de retas laranja, rosa e preta
10. CÁLCULO MEDIANA
1º calcula-se o ponto
médio do lado do
triângulo
D(-4, -4) e C(6,-4)
Xc + X𝑑 = Xm
2
6 + (−4) = Xm
2
2 = Xm
2
1 = 𝐗𝐦
Yc + 𝑌𝑑 = Ym
2
−4 + (−4) = Ym
2
−8 = Ym
2
-4 = Ym
(1,-4) – Ponto Médio
(Ponto E)
• 2º Calcula-se a distância
entre o ponto médio ao
vértice oposto (A)
A(1,2) e E(1,-4)
Xe − Xa 2 + (Ye − Ya)² =
dAE
1 − 1 2 + (−4 − 2)² =
dAE
0 2 + (−6)² = dAE
36 = dAE
6 = 𝒅𝑨𝑬 --- MEDIANA
12. BISSETRIZ
É UMA RETA QUE DIVIDE O ÂNGULO DOS QUADRANTES PARES E ÍMPARES EM DOIS
ÂNGULOS CONGRUENTES (MESMA MEDIDA)
Bissetriz dos quadrantes ímpares: Os valores
de Y serão iguais ao valores de X (Y = X)
Bissetriz dos quadrantes pares: Os valores de Y
são opostos aos valores de X (Y = - X)
13. RETAS
É uma forma geométrica formada por
infinitos pontos alinhados.
Para formarmos uma reta precisamos de
no mínimo dois pontos.
14. CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO ENTRE TRÊS
PONTOS
Três pontos estarão alinhados somente se pertencerem à mesma reta.
Para saber se os pontos estão alinhados deve-se calcular o determinante pela regra de Sarrus. Caso
esse valor dê zero, então os pontos estarão alinhados.
Pontos:
A(1,2)
B(3,3)
C(5,4)
Como o determinante resultou em zero,
então os pontos estão alinhados!
15. ALGUNS TIPOS DE RETAS
Retas paralelas: Não se encontram (Possuem o
mesmo coeficiente angular)
Retas concorrentes: Possuem um único ponto em
comum.
Retas perpendiculares: Possuem um único ponto
em comum e formam um ângulo de 90º (O
coeficiente angular é o oposto do inverso da
outra)
Coincidentes: Retas em que dois ou mais pontos
de uma reta coincidem com outra.
16. EQUAÇÃO DA RETA
Geral
ax + by + c = 0
Reduzida
y = ax + b
Coeficiente
Angular
Coeficiente Linear
17. RETAS PARALELAS E PERPENDICULARES
Paralelas: Digamos que uma reta A com equação y = -3x + 5 seja paralela a uma reta B. Essa reta B
terá coeficiente angular -3 pois retas paralelas possuem o mesmo coeficiente angular
Perpendiculares: Digamos que uma reta B com equação y = 2x – 6 seja perpendicular a uma reta C.
Essa reta C terá coeficiente angular -1/2 pois o coeficiente angular da reta perpendicular é o oposto
do inverso do coeficiente angular da outra reta (oposto de 2 é -2 e o inverso de -2 é -1/2)