Matematicas para el diseño

Matemáticas para el
Diseño.
Arq. J. Victor Meneses Campos
www.conocimiento5.com
1
ARQUITECTURA DE INTERIORES
MATEMÁTICAS PARA EL DISEÑO
AGOSTO DE 2008

Diseño.
2
1. OBJETIVO GENERAL DEL SEMESTRE
• El alumno generará los conocimientos básicos y habilidades
esenciales de composición, representación arquitectónica, técnicas
de documentación y desarrollo creativo.
2. OBJETIVO GENERAL DE LA MATERIA
• Estudiar las formas de las diferentes figuras geométricas, con el
objeto de que estas puedan utilizarse en el diseño de los diversos
trabajos y calcular los elementos de todos los tipos de triángulos
(lados y ángulos interiores) con el objeto de que estos puedan
utilizarse en el diseño de armaduras, partes de edificios, anuncios
publicitarios, levantamientos topográficos, etc.

Diseño.
3
DÌA TEMA Y SUBTEMAS ACTIVIDADES
PROGRAMADAS PARA
CLASE.
MATERIAL
DIDÁCTICO
TAREAS E
INVESTIGACIÓN
20
ago.
1. Geometría.
1.1. Triángulos.
1.2. Definición.
1.3. Clasificación.
Exposición del tema. Pizarrón y juego de
geometría.
Composición con
triángulos.
27
ago.
1.4. Rectas y puntos notables.
1.5. Teoremas sobre
triángulos.
1.6. Ejercicios y problemas.
Exposición del tema.
Resolución de problemas
Por parte del profesor y
alumnos.
Pizarrón y juego de
geometría.
Ejercicios de tarea.
03
sept.
2. Circunferencia y círculo.
2.1. Definición de
circunferencia.
2.2. Rectas y curvas notables
en la circunferencia.
2.3. Longitud de la
circunferencia.
2.4. Definición del círculo.
2.5. Perímetro y área del
círculo.
alumnos.
geometría.
Composición con
círculos y
triángulos.

Diseño.
4
10
sept.
2.6. Partes o secciones
del círculo.
2.7. Cálculo de
perímetros y áreas de
figuras compuestas.
alumnos.
geometría.
17
sept.
3. Polígonos.
3.1. Definición.
3.2. clasificación.
geometría.
Composición con
polígonos.
24
sept.
3.3. Rectas notables. Exposición del tema. Pizarrón y juego de
geometría.
Analizar videos de
geometría.
01 oct. 3.4. Áreas y perímetros
de poligonos regulares.
alumnos.
geometría.
Analizar videos de
geometría.
08 oct. 3.5. Cuadrilateros,
paralelogramos,
trapecios, trapezoides.
geometría.

Diseño.
5
15 oct. 3.6. Cálculo de
perímetros y areas de
figures compuestas.
alumnos.
geometría.
figures compuestas.
alumnos.
geometría.
figures compuestas.
alumnos.
geometría.
Composición con
polígonos.
05
nov.
4. Poliedros.
4.1. Definición.
geometría.
Analizar videos de
geometría.
12
nov.
4.3. Prismas Exposición del tema. Pizarrón y juego de
geometría.
Maquetas.

Diseño.
6
19
nov.
4.4. Pirámides y troncos
de pirámides.
geometría.
Maquetas.
26
nov.
4.5. Cálculo de areas y
volumenes.
alumnos.
geometría.
03 dic. 4.5. Cálculo de areas y
volumenes.
geometría.
10 dic. 4.5. Cálculo de areas y
volumenes.
alumnos.
geometría.

Diseño.
7
CRITERIOS Y PROCEDIMIENTOS DE EVALUACIÓN Y ACREDITACIÓN
ASISTENCIAS
80% de asistencias como mínimo para tener derecho a acreditar la
materia
CALIFICACIONES
30% Asistencia a clase
70% Realización de ejercicios en el taller y tareas
Participación en clase
100%
Realización de un Proyecto Terminal Integral

Diseño.
8
BIBLIOGRAFIA:
http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Acut%C3%A1ngulo
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1goras
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/3eso/geometria/teori
atriangulo/triangulo.htm
http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/tema4/Teoremas1.html
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/teoremat.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Corolario
http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

Diseño.
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http://redescolar.ilce.edu.mx/redescolar/act_permanentes/mate/nombres/nombres.htm
http://www.educacionplastica.net/poligonos.htm
http://webdelprofesor.ula.ve/nucleotrujillo/alperez/te.../cap_01a-conceptos_geometricos/06a-
solido-poliedro.htm
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/polie
dros/poliedros.htm
http://www.quizma.cl/matematicas/centrodecalculo/poliedros/index.htm
http://mimosa.pntic.mec.es/clobo/geoweb/polied2.htm
http://www.georgehart.com/
http://201.116.18.153/laciencia/matematicas_sec/me_poliedros/poliedros.htm

Diseño.
10
http://www.epson.com.sg/ideas/papercraft/buildntran.htm
http://skyscrapermodels.us/models/model_main.html
http://cp.c-ij.com/en/contents/1006/

Diseño.
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1. Geometría. 1.1. Triángulos.
1.2. Definición.
• TRIÁNGULO
• Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por
tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos
que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados,
vértices.
• En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos : interior (formado
por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro).
• Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría
euclidiana.

Diseño.
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C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S T R I Á N G U L O S
Según sus lados
• Equiláteros (sus tres lados iguales)
• Isósceles (dos lados iguales y uno desigual)
• Escaleno (tres lados desiguales)

Diseño.
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C L A S I F I C A C I Ó N D E L O S T R I Á N G U L O S
Según sus ángulos
• Rectángulos (un ángulo recto)
• Acutángulos (tres ángulos agudos)
• Obtusángulos (un ángulo obtuso)

Diseño.
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ELEMENTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
• Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes
iguales.
• Incentro es el punto de intersección de las tres bisectrices de un
triángulo. Es el centro de la circunferencia inscrita.

Diseño.
15
Mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al mismo en su
punto medio.
Circuncentro es el punto de intersección de las tres mediatrices de un
triángulo. Es el centro de la circunferencia circunscrita.

Diseño.
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Altura es el segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el
lado opuesto.
Ortocentro es el punto de intersección de las tres alturas de un
triángulo.

Diseño.
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Mediana es el segmento comprendido entre un vértice y el punto medio
del lado opuesto.
Baricentro es el punto de intersección de las tres medianas de un
triángulo.
http://personal5.iddeo.es/ztt/For/F7_Triangulos.htm

Diseño.
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TEOREMA
Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada como
verdadera dentro de un marco lógico. Demostrar teoremas es
el asunto central en la matemática.
http://es.wikipedia.org/wiki/Corolario

Diseño.
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Cálculo de la superficie de un triángulo
La superficie de un triángulo se obtiene multiplicando la base por la
altura y dividiendo entre dos (donde la altura es el segmento que
parte perpendicular desde la base hasta llegar al vértice opuesto).
La superficie S queda expresada del siguiente modo:

Diseño.
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Teorema de Pitágoras.
• El Teorema de Pitágoras, fue descubierto por uno de los discípulos
de Pitágoras, llamado Hipaso de Metaponto, según la tradición. Es
uno de los más conocidos y estudiados. Lleva el nombre de Pitágoras
porque se atribuye el descubrimiento a la escuela pitagórica.
Establece lo siguiente: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos.
• Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes y , y la
medida de la hipotenusa es , se establece que:

Diseño.
21
Teorema de la altura
"El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo,
coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre
ella“.
A parte del triángulo ABC, que por definición es rectángulo, al
trazar la altura sobre la hipotenusa, aparecen dos nuevos
triángulos rectángulos (por ser la altura perpendicular a la
base), a saber, ADC y ADB.
http://ficus.pntic.mec.es/dbab0005/triangulos/Geometria/tema4/Teoremas1.html

Diseño.
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Teoremas elementales de los Triángulos
• 1.- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es
180°.
• 2.- Todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma
de los ángulos interiores no adyacentes.
• 3.- La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es
360°.
• 4.- En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen
ángulos iguales.
• 5.- En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.
• 6.- En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los
otros dos pero mayor que su diferencia.
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/geometri/teoremat.htm

Diseño.
23
Geometría del triángulo
• Si construimos un paralelogramo, u otro polígono de más lados,
con tiras de cartón y alfileres, obtenemos estructuras que se
deforman presionando.

Diseño.
24
Realizando la operación con el triángulo, no conseguiremos modificarlo:
es la rigidez del triángulo lo que hace que sea utilizado en
multitud de estructuras de construcción.

Diseño.
25

Diseño.
26

Diseño.
27

Diseño.
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2. Circunferencia y círculo.
Un círculo, en geometría, es el conjunto de los puntos de un plano
que se encuentran contenidos en una circunferencia.
En castellano, la palabra círculo tiene varias acepciones, la
primera: es una superficie geométrica plana contenida dentro
de una circunferencia con área definida, mientras que se
denomina circunferencia a la curva geométrica plana,
cerrada, cuyos puntos son equidistantes del centro, y sólo
posee longitud.
"Aunque ambos conceptos están relacionados, no debe
confundirse la circunferencia (línea curva) con el círculo
(superficie)."

Diseño.
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Elementos del círculo
El circulo comparte con la circunferencia que lo delimita los
siguientes elementos:
Puntos
• Centro del circulo, que se corresponde con el centro de la
circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.
Rectas y segmentos
• Radio: es el segmento que une el centro y un punto de la
circunferencia perimetral.

Diseño.
30
• Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro
y divide al círculo en dos semicírculos; es la mayor de las
cuerdas de la circunferencia perimetral.
• Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.
• Recta secante: es la recta que corta al círculo en dos partes
de diferente área.
• Recta tangente: es la recta que toca al círculo en un solo
punto; es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de
tangencia.

Diseño.
31

Diseño.
32
Curvas
• Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más
característica aquella que lo delimita: la circunferencia de
radio máximo.
Superficies
• El circulo también puede compartir con la circunferencia
exterior los siguientes elementos: los arcos y sus cuerdas.
• Sector circular: es la superficie delimitada por un arco y los
dos radios que contienen sus extremos.
• Segmento circular: es la superficie limitada por un arco y su
cuerda.
• Corona circular: es el espacio comprendido entre dos
circunferencias concéntricas. http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%ADrculo

Diseño.
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Diseño.
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Área de un círculo.
• Un círculo de radio r , tendrá una área:
• En función del diámetro (d),
pues
En función de la longitud de la circunferencia máxima
(C),
Pues la longitud de dicha circunferencia es:

POLIGONOS
Los polígonos son figuras formadas por varias líneas
a las que llamamos lados.
Para que una figura formada por líneas se considere
un polígono es indispensable que estas líneas
formen una figura cerrada.
Por ejemplo, dos líneas que se cruzan no pueden
formar un polígono porque no encierran una área,
por eso el polígono con el menor número de lados
es el triángulo.
Diseño.
35

Diseño.
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La palabra polígono viene del griego polygonos .
De polys que significa muchos y de gonia que
significa ángulos.
Digamos que la "traducción" más precisa de la
palabra polígono sería "figura que tiene muchos
ángulos".

Diseño.
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Éstos son los nombres de los polígonos de menos de
veinte lados.
Número de lados Nombre del polígono
• 3 Triángulo
• 4 Cuadrilátero
• 5 Pentágono
• 6 Hexágono
• 7 Heptágono
• 8 Octágono
• 9 Eneágono o Nonágono

Diseño.
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• 10 Decágono
• 11 Endecágono
• 12 Dodecágono
• 13 Triskaidecágono
• 14 Tetradecágono
• 15 Pentadecágono
• 16 Hexadecágono
• 17 Heptadecágono
• 18 Octadecágono
• 19 Eneadecágono

Diseño.
39
Para saber cómo se llama un polígono de menos de
cien lados podemos hacer lo siguiente.
Primero contamos el número de lados que tiene,
hacemos una combinación de prefijos como se
muestra a continuación y agregamos la terminación
gono.

Diseño.
40
Por ejemplo, un polígono de 30 lados se llama
triacontágono, mientras que uno de 63 lados se
llama hexacontakaitrígono .

Diseño.
41
EJEMPLOS
NUMERO DE LADOS NOMBRE
33
77
25
48
81
TRIACONTAKAITRIGONO
HEPTACONTAKAIHEPTAGONO
ICOSAKAIPENTAGONO
TETRACONTAKAIOCTAGONO
OCTACONTAKAIENAGONO

Diseño.
42
• Los polígonos que tienen todos sus lados y todos
sus ángulos iguales se llaman polígonos
regulares. Por ejemplo, el polígono que tiene ocho
ángulos y ocho lados iguales se llama octágono
regular.
• El triángulo y el cuadrilátero regulares son
excepciones.
• ¿Cómo le llamamos normalmente a un triángulo
regular?
• ¿Y a un cuadrilátero regular?

Diseño.
43
Como los polígonos regulares tienen todos sus
ángulos iguales, es muy fácil calcular cuánto miden
sus ángulos internos y sus ángulos externos.
En general, cuando se habla de los ángulos internos
de un polígono, se le refiere en singular, es decir se
dice el ángulo interno del polígono, porque es el
mismo valor para todos los ángulos.

Diseño.
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Para verificar que hablamos en los mismos términos,
establezcamos que el ángulo interno de un
polígono es el ángulo que forman dos lados que se
tocan,

Diseño.
45
y el ángulo externo es aquel que forman un lado y la
prolongación de otro que lo toca.

Diseño.
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Ejemplos de cómo calcular polígonos.

Diseño.
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Ejemplos de cómo calcular polígonos.

FORMULARIOS
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PRISMAS Y POLIEDROS
Diseño.
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Poliedro
Sólido limitado por superficies planas (polígonos). Sus partes se
denominan:
● caras: polígonos que limitan al poliedro,
● aristas: lados de las caras del poliedro,
● vértices: puntos donde concurren varias aristas.

Diseño.
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Diseño.
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Clasificación de los Poliedros
Los poliedros se clasifican básicamente en:
● poliedros regulares
● poliedros irregulares
Poliedro Regular
Poliedro cuyas caras son polígonos regulares iguales y todas sus
aristas son de igual longitud; en consecuencia, todos sus vértices
están contenidos en una esfera.

Diseño.
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poliedros regulares son cinco y se denominan:
● tetraedro regular: poliedro regular definido por 4 triángulos
equiláteros iguales,
● hexaedro regular (cubo): poliedro regular definido por 6 cuadrados
iguales,
● octaedro regular: poliedro regular definido por 8 triángulos
equiláteros iguales,
● dodecaedro regular: poliedro regular definido por 12 pentágonos
regulares iguales,
● icosaedro regular: poliedro regular definido por 20 triángulos
equiláteros iguales.

Diseño.
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Diseño.
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Poliedro Irregular
Poliedro definido por polígonos que no son todos iguales.
Clasificación de los Poliedros Irregulares
Los poliedros irregulares se clasifican básicamente en:
● tetraedro, pentaedro, hexaedro, heptaedro, octaedro,
● pirámide
● prisma

Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Prisma
Poliedro definido por dos polígonos iguales y paralelos (bases) y
cuyas caras laterales, en consecuencia, son paralelogramos. La recta
que une los centros geométricos de las bases se denomina eje del
prisma (e). Los prismas se clasifican en:
• prisma recto: el eje es perpendicular a los polígonos base,
• prisma oblicuo: el eje no es perpendicular a los polígonos base,
• prisma regular: las bases son poligonos regulares,
• prisma regular recto: las bases son poligonos regulares y el eje
es perpendicular a los polígonos base.
• prisma regular oblicuo: las bases son poligonos regulares y el
eje no es perpendicular a los polígonos base.
• paralelepípedo: prisma cuyas bases son paralelogramos.
Pueden ser a su vez rectos u oblicuos

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DESARROLLO DE POLIEDROS
Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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PROPORCIÓN ÁUREA
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Diseño.
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Ejemplos:

Diseño.
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Ejemplos:

Diseño.
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Ejemplos:

Matemáticas para el Diseño. Arq. J. Victor Meneses Campos
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Arq. José Victor Meneses Campos
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