1. NEKE JEDNAČINE KOJE SE SVODE NA KVADRATNE
1) Bikvadratna jednačina
To je jednačina oblika: ax 4 + bx 2 + c = 0 Uvodimo smenu x 2 = t , dobijamo jednačinu
− b ± b 2 − 4ac
at 2 + bt + c = 0 , nadjemo t1, 2 = i vratimo se u smenu:
2a
x 2 = t1 i x 2 = t2
x1, 2 = ± t1 i x3, 4 = ± t 2
Primer1: x 4 − 4 x 2 + 3 = 0
x 4 − 4 x 2 + 3 = 0 ⇒ smena x 2 = t
t 4 − 4t 2 + 3 = 0
a =1 − b ± b 2 − 4ac − (−4) ± (−4) 2 − 4 ⋅1 ⋅ 3
b = −4 t1, 2 = =
2a 2 ⋅1
c=3 4 ± 16 − 12 4 ± 2
t1, 2 = =
2 2
4+2
t1 = =3
2
4−2
t2 = =1
2
Vratimo se u smenu:
x 2 = t1 x 2 = t2
x2 = 3 x2 = 1
i
x1, 2 = ± 3 x3, 4 = ± 1
x1 = + 3 x3 = +1
x2 = − 3 x4 = −1
www.matematiranje.com
1

2. Primer 2: (4 x 2 − 5) 2 + ( x 2 + 5) 2 = 2(8 x 4 − 83)
(4 x 2 − 5) 2 + ( x 2 + 5) 2 = 2(8 x 4 − 83)
16 x 4 − 40 x 2 + 25 + x 4 + 10 x 2 + 25 = 16 x 4 − 166
x 4 − 30 x 2 + 50 + 166 = 0
x 4 − 30 x 2 + 216 = 0 → Bikvadratna, smena: x 2 = t
t 2 − 30t + 216 = 0
a =1 − b ± b 2 − 4ac 30 ± 900 − 864
b = −30 t1, 2 = =
2a 2
c = 216 30 ± 6
t1, 2 =
2
36
t1 = = 18
2
24
t2 = = 12
2
Vratimo se u smenu:
x 2 = 18 x 2 = 12
x1, 2 = ± 18 x3, 4 = ± 12
x1, 2 = ±3 2 x3, 4 = ±2 2
x1 = +3 2 x3 = +2 2
x 2 = −3 2 x 4 = −2 2
Primer 3:
( x 2 − 2 x) 2 − 2( x 2 − 2 x) = 3
Ovo liči na bikvadratnu jednačinu, ali je mnogo bolje uzeti smenu: x 2 − 2 x = t
x2 − 2x = t
t 2 − 2t = 3
a =1
t 2 − 2t − 3 = 0
→ b = −2
c = −3
www.matematiranje.com
2

3. − b ± b 2 − 4ac
t1, 2 =
2a
2 ± 4 + 12 2 ± 4
t1, 2 = =
2 2
t1 = 3
t 2 = −1
Vratimo se sada u smenu:
x 2 − 2 x = t1 x 2 − 2 x = t2
x2 − 2x = 3 x 2 − 2 x = −1
x2 − 2x − 3 = 0 x2 − 2x +1 = 0
Sada rešavamo dve nove kvadratne jednačine po x.
a =1 2 ± 4 + 12 a =1 2± 4−4
x1, 2 = x3, 4 =
b = −2 2 b = −2 2
c = −3 2±4 c =1 2±0
x1, 2 = x3, 4 =
2 2
x1 = 3 x3 = 1
x 2 = −1 x4 = 1
Dakle, rešenja su: {3,−1,1,1}
Primer 4: x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 0,5625
Ovo baš i ne liči na bikvadratnu jednačunu, a ne ‘’vidi se’’ da ima neka pametna smena.
Ako sve pomnožimo tek tad smo u problemu!!!
Probajmo da pomnožimo prva dva, i druga dva, da vidimo šta će da ispadne…
( x 2 + x)( x 2 + 3x + 2 x + 6) = 0,5625
( x 2 + x)( x 2 + 5 x + 6) = 0,5625 → Neće!!!
Probajmo onda prvi i četvrti, a drugi i treći!!!
x( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 0,5625
www.matematiranje.com
3

4. ( x 2 + 3 x)( x 2 + 2 x + 1x + 2) = 0,5625
( x 2 + 3 x)( x 2 + 3 x + 2) = 0,5625
E, ovo je već bolje ⇒ Smena: x 2 + 3x = t
t ⋅ (t + 2) = 0,5625
t 2 + 2t − 0,5625 = 0
− 2 ± 4 + 2,25 − 2 ± 2,5
t1, 2 = =
2 2
t1 = +0,25
t 2 = −2,25
Vratimo se u smenu:
x 2 + 3 x = +0,25
x 2 + 3 x = +2,25
x 2 + 3 x − 0,25 = 0
− 3 ± 9 +1 x 2 + 3 x − 2,25 = 0
x1, 2 =
2 −3± 9−9
x3, 4 =
− 3 ± 10 2
x1, 2 =
2 −3± 0
x3, 4 =
− 3 + 10 2
x1 =
2 3
x3 = x4 = −
− 3 − 10 2
x2 =
2
x2 + x − 5 3x
5) Reši jednačinu + 2 +4=0
x x + x−5
x2 + x − 5 3x
+ 2 +4=0
x x + x−5
x2 + x − 5 x
+ 3⋅ 2 +4=0
x x + x−5
x2 + x − 5 x 1
Ovde je zgodno uzeti smenu = t , jer je onda 2 =
x x + x −5 t
1
t + 3 ⋅ + 4 = 0 /⋅ t
t
t + 3 + 4t = 0
2
t 2 + 4t + 3 = 0
www.matematiranje.com
4

5. − 4 ± 16 − 12 − 4 ± 2
t1, 2 = =
2 2
t1 = −1
t 2 = −3
Vratimo se u smenu:
x2 + x − 5 x2 + x − 5
= −1 ili = −3
x x
x2 + x − 5 = −x x 2 + x − 5 = −3 x
x2 + x − 5 + x = 0 x 2 + x − 5 + 3x = 0
x2 + 2x − 5 = 0 x 2 + 4x − 5 = 0
− 2 ± 4 + 20 − 4 ± 16 + 20
x1, 2 = x1, 2 =
2 2
−4±6
− 2 ± 24 x1, 2 =
x1, 2 =
2 x =1 2
3
−2±2 6 x 4 = −5
x1, 2 =
2
x1, 2 =
(
2 −1± 6 )
2
x1 = −1 + 6
x2 = −1 − 6
{− 1 + }
6 ,−1 − 6 ,1,−5 su rešenja.
Binomne jednačine
To su jednačine oblika:
Ax n ± B = 0
gde su A > 0 i B>0
Najpre pokušamo da datu jednačinu rastavimo na činioce upotrebom poznatih formula,
pa koristimo M ⋅ N = 0 ⇔ M = 0 v N = 0
B
Uvek ovu jednačinu možemo rešiti smenom x = y n , koja binomnu jednačinu svede
A
na oblik y n ± 1 = 0
www.matematiranje.com
5

6. Primer 1 8 x 3 − 27 = 0
8 x 3 − 27 = 0 Pazi: Pogrešno je 8 x 3 = 27
jer se ‘’gube’’ 27
(2 x) 3 − 33 = 0 rešenja!!! x3 =
8
27
x=3
8
3
x=
2
Upotrebićemo formulu
A3 − B 3 = ( A − B)( A2 + AB + B 2 )
(2 x − 3)((2 x) 2 + 2 x ⋅ 3 + 32 ) = 0
(2 x − 3)(4 x 2 + 6 x + 9) = 0 ⇒ odavde je:
2x − 3 = 0 4 x2 + 6 x + 9 = 0
2x = 3 ili −6 ± 36 − 144
3 x2,3 =
x1 = 8
2 −6 ± −108 −6 ± 6 3i
x2,3 = =
8 8
−6 + 6 3i
x2 =
8
−6 − 6 3i
x3 =
8
− 6 + 6 3i 2(−3 + 3 3i ) − 3 + 3 3i
x2 = = =
8 8 4
− 6 − 6 3i 2(−3 − 3 3i ) − 3 − 3 3i
x3 = = =
8 8 4
PAZI: − 108 = 108 ⋅ − 1 = 36 ⋅ 3 ⋅ i = 6 3i
Primer 2 x 6 − 729 = 0
x 6 − 729 = 0
x 6 − 36 = 0
( x 3 ) 2 − (33 ) 2 = 0 → Razlika kvadrata
www.matematiranje.com
6

7. ( x 3 − 33 )( x3 + 33 ) = 0
( x − 3)( x 2 + 3 x + 9)( x + 3)( x 2 − 3 x + 9) = 0
x−3= 0 ili x 2 + 3x + 9 = 0 ili x+3= 0 ili x 2 − 3x + 9 = 0
− 3 ± 9 − 36
x1 = 3 x2 , 3 =
2
− 3 ± − 27 − 3 ± 3 3i
x2 , 3 = =
2 8
−3 + 3 3i −3 − 3 3i
x2 = x3 =
2 2
3 ± 9 − 36
x + 3 = 0 → x4 = −3 x 2 − 3x + 9 = 0 → x5,6 =
2
3 + 3 3i 3 − 3 3i
x5 = x6 =
2 2
PAZI: − 27 = 27 ⋅ − 1 = 9 ⋅ 3 ⋅ i = 3 3i
Primer 3.: Rešimo jednačinu:
5x3 + 2 = 0
Rešenje: Sad se ne može upotrebiti formula, pa idemo na smenu:
B
x= y n , kako je A=5, B=2, n = 3
A
2
smena je x = y 3
5
3
⎛ 2⎞
5 ⋅ ⎜ y3 ⎟ + 2 = 0
⎜ 5⎟
⎝ ⎠
2
5 ⋅ y3 ⋅ + 2 = 0
5 ( y + 1)( y 2 − y − 1) = 0
y ⋅2+ 2 = 0
3
y +1 = 0
2 ⋅ ( y 3 + 1) = 0 ⇒ y 3 + 1 = 0 (zbir kubova) y1 = −1
www.matematiranje.com
7

8. y2 − y −1 = 0
1± 1− 4
y2,3 =
2
1± i 3
y2,3 =
2
1+ i 3
y2 =
2
1− i 3
y3 =
2
Vratimo se u smenu:
2
x = y3
5
2 2
x1 = −1⋅ 3 = −3
5 5
1+ i 3 3 2 1− i 3 3 2
x2 = ⋅ i x3 = ⋅
2 5 2 5
Primer 4 Rešiti jednačinu
11x 4 − 17 = 0
Rešenje: I ovde ne možemo lako datu jednačinu rastaviti na činioce; zato upotrebljavamo
B
smenu: x = y n
A
17
Kako je n = 4 , B = 17 , A = 11 ⇒ x = y 4
11
4
⎛ 17 ⎞
11 ⋅ ⎜ y 4
⎜ 11 ⎟ − 17 = 0
⎟
⎝ ⎠
17
11 ⋅ y 4 − 17 = 0
11
17 ⋅ y − 17 = 0 ⇒ 17( y 4 − 1) = 0 ⇒ y 4 − 1 = 0 → ( y 2 ) 2 − 1 = 0
4
( y 2 − 1)( y 2 + 1) = 0
( y − 1)( y + 1)( y 2 + 1) = 0
8

9. y −1 = 0 ili y +1 = 0 ili y2 +1 = 0
y1 = 1 y 2 = −1 y 2 = −1
y 3, 4 = ± − 1 = ± i
y3 = + i
y4 = −i
17
Vratimo se u smenu x = y 4
11
17 4 17 17 17
x1 = 1 ⋅ 4 = ; x2 = −14 = −4
11 11 11 11
17 17
x3 = i 4 ; x 4 = −i 4
11 11
Trinomne jednačine
To su jednačine oblika
ax 2 n + bx n + c = 0
gde su a, b i c realni brojevi (različite od nule).
Rešava se smenom x n = t ⇒ x 2 n = t 2 . Rešavamo kvadratnu po t , pa se vratimo u smenu.
Primer 1: Reši jednačinu
x6 + 7 x3 − 8 = 0
Rešenje: ( x3 )2 + 7 x3 − 8 = 0 cmena x 3 = t
t 2 + 7t − 8 = 0
−7±9
t1, 2 =
2
t1 = 1
t 2 = −8
Vratimo se u smenu:
x3 = 1
Ili x3 = −8
x −1 = 0
3
x3 + 8 = 0
( x − 1)( x + x + 1) = 0
2
x 3 + 23 = 0
x −1 = 0 ili x2 + x +1 = 0 ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)www.matematiranje.com
=0
9

10. −1 ± i 3
x1 = 1 x2,3 = x+2=0 ili x2 − 2x + 4
2 x 4 = −2
2 ± − 12
x5,6 =
2
2 ± 2 3i
x5,6 =
2
x5,6 = 1 ± 3i
Primer 2: Rešiti jednačinu:
x8 − 17 x 4 + 16 = 0
( x 4 ) 2 − 17 x 4 + 16 = 0
Rešenje: smena: x 4 = t
t − 17t + 16 = 0
2
17 ± 15
t1, 2 =
2
t1 = 16
t2 = 1
Vratimo se u smenu:
x 4 = 16 ili x4 = 1
x 4 − 16 = 0 x4 −1 = 0
x 4 − 24 = 0 ( x 2 − 1)( x 2 + 1) = 0
( x 2 − 2 2 )( x 2 + 2 2 ) = 0 ( x − 1)( x + 1)( x 2 + 1) = 0
( x − 2)( x + 2)( x 2 + 4) = 0 x − 1 = 0 ili x + 1 = 0 ili x 2 + 1 = 0
x − 2 = 0 ili x + 2 = 0 ili x2 + 4 = 0 x5 = 1 , 6 = −1
x , 2 = −1
x
x1 = 2 x2 = −2 x 2 = −4 x7 ,8 = ± − 1
x3, 4 = ± − 4 x7 = +i
x3 = +2i x8 = −i
x4 = −2i
Dakle rešenja su:
{2,−2,2i,−2i,1,−1,+i,−i}
www.matematiranje.com
10

11. Simetrične (recipročne) jednačine
To su jednačina oblika:
ax n + bx n −1 + cx n − 2 + ... + cx 2 + bx + a = 0
Gde su a, b, c... realni brojevi. Naziv simetrične potiče jer su koificijenti uz x n −k i x k
(k = 0,1,2...n) jednaki.
Drugo ime recipročne su dobile zbog osobina: Ako je x = α jedno rešenje, onda je i
1
x = takodje rešenje date jednačine i važi osobina: Ako je najveći stepen n − neparan
α
broj, tada je x1 = −1 jedno rešenje simetrične jednačine!!!
Postupak rešavanja
- Ako je jednačina neparnog sistema podelimo je sa ( x + 1) i dobijemo jednačinu
parnog sistema
- Celu jednačinu podelimo sa’’srednjim’’ članom i grupišemo odgovarajuće
članove.
1
- Uzimamo smenu x + = t , odavde je ako kvadriramo:
x
2
⎛ 1⎞
⎜x+ ⎟ =t
2
⎝ x⎠
1 1
x2 + 2 ⋅ x ⋅ + 2 = t 2
x x
1
x2 + 2 + 2 = t 2
x
1
x 2 + 2 = t 2 − 2 → ZAPAMTI
x
11

12. 3
⎛ 1⎞
⎜x+ ⎟ =t
3
⎝ x⎠
1 1 1
x3 + 2 x 2 ⋅ + 3x + 2 + 3 = t 3
ili x x x
1 1
x 3 + 3x + 3 + 3 = t 3
x x
⎛ 1⎞ 1
x 3 + 3⎜ x + ⎟ + 3 = t 3
⎝ x⎠ x
1
x3 + 3
= t 3 − 3t → ZAPAMTI
x
itd…
Primer1: Rešiti jednačinu:
2 x 4 + 3x 3 − 16 x 2 + 3x + 2 = 0
Rešenje: Celu jednačinu delimo sa x 2 jer je on srednji član. Dakle
2 x 4 3x 3 − 16 x 2 3 x 2
+ 2 − + 2 + 2 =0
x2 x x2 x x
1 1
2 x 2 + 3x − 16 + 3 ⋅ + 2 ⋅ 2 = 0 grupišemo članove!!!
x x
⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 1
2⎜ x 2 + ⎟ + 3⎜ x + ⎟ − 16 = 0 smena: x + = t
⎝ x⎠ ⎝ x⎠ x
2(t − 2) + 3t − 16 = 0
2
2t 2 − 4 + 3t − 16 = 0
2t 2 + 3t − 20 = 0
− 3 ± 9 + 160 − 3 ± 13
t1, 2 = =
4 4
5
t1 = −4 , t 2 =
2
www.matematiranje.com
12

13. Vratimo se u smenu:
1 1 5
x+ = −4 x+ =
x x 2
x 2 + 1 = −4 x 2 x 2 + 2 = 5x
x 2 + 4x + 1 = 0 2 x 2 − 5x + 2 = 0
− 4 ± 16 − 4 i 5 ± 25 − 16
x1, 2 = x 3, 4 =
2 4
x1 = −2 + 3 x3 = 2
x 2 = −2 − 3 1
x4 =
2
1 1
Dakle, rešenja su 2 i i − 2 + 3 i − 2 − 3 i recipročna su!!! Za 2 i je to
2 2
očigledno, a šta je sa − 2 + 3 i − 2 − 3 ?
− 2 + 3 − 2 + 3 − 2 − 3 (−2) 2 − 3 1
= ⋅ = =
1 1 −2− 3 −2− 3 −2− 3
Sad vidimo (posle racionalizacije) da su i ona takodje recipročna.
Primer 2: Rešiti jednačinu:
12 x 5 + 16 x 4 − 37 x 3 − 37 x 2 + 16 x + 12 = 0
Rešenje:
Ovo je jednačina petog stepena, pa je jedno rešenje x = −1 , pa ćemo celu
jednačinu podeliti sa ( x + 1)
(12 x 5 + 16 x 4 − 37 x 3 − 37 x 2 + 16 x + 12) : ( x + 1) = 12 x 4 + 4 x 3 − 41x 2 + 4 x + 12
Pogledaj deljenje polinoma!!!
Dalje radimo:
12 x 4 + 4 x 3 − 41x 2 + 4 x + 12 = 0 / : x 2
1 1
12 x 2 + 4 x − 41 + 4 ⋅ + 12 ⋅ 2 = 0
x x
www.matematiranje.com
13

14. ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞
12⎜ x 2 + 2 ⎟ + 4⎜ x + ⎟ − 41 = 0
⎝ x ⎠ ⎝ x⎠
1 1
Smena x + = t ⇒ x 2 + 2 = t 2 − 2
x x
12(t − 2) + 4t − 41 = 0
2
12t 2 − 24 + 4t − 41 = 0
12t 2 + 4t − 65 = 0
− 4 ± 56
t1, 2 =
24
13
t1 =
6
5
t2 = −
2
Vratimo se u smenu:
1 13 1 5
x+ = i x+ =−
x 6 x 2
6 x 2 − 13x + 6 = 0 2 x + 5x + 2 = 0
2
13 ± 5 −5±3
x1, 2 = x3, 4 =
12 4
18 3 1
x1 = = x3 = −
12 2 2
8 2 x4 = −2
x2 = =
12 3
⎧3 2 1 ⎫
Dakle: ⎨ , ,− ,−2,−1⎬ su rešenja
⎩2 3 2 ⎭
Veoma slične simetričnim su KOSOSIMETRIČNE jednačine, one su oblika
ax n + bx n −1 + cx n − 2 + ... − cx 2 − bx − a = 0 tj. koeficijenti uz x k i x n − k su suprotni
koeficijenti
Ako je kososimetrična jednačina neparnog sistema, jedno rešenje je uvek x1 = 1
Postupak rešavanja je sličan!!!
www.matematiranje.com
14

15. Primer 3:
x 5 − 7 x 4 + 16 x 3 − 16 x 2 + 7 x − 1 = 0 kososimetrična
Pošto je njeno rešenje x1 = 1 , celu jednačinu delimo sa ( x − 1)
( x 5 − 7 x 4 + 16 x 3 − 16 x 2 + 7 x − 1) : ( x − 1) = x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 6 x + 1
Dobijena jednačina:
x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 6 x + 1 = 0 je simetrična / : x 2
x 4 − 6 x 3 + 10 x 2 − 6 x + 1 = 0
1 1
x 2 − 6 x + 10 − 6 ⋅ + 2 = 0
x x
itd…
Dobijena rešenja su x1 = 1, x2 = 1, x3 = 2 + 3 , x4 = 2 − 3 i x5 = 1
www.matematiranje.com
15