SlideShare a Scribd company logo
1 of 7
Download to read offline
VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG
        TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE

Brojevi x1 i x 2 su rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 ako i samo ako je

                                                 b                     c
                                   x1 + x2 = −       i     x1 ⋅ x2 =
                                                 a                     a

Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule.

        Čemu one služe?

Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja x1 i x 2 napravimo kvadratnu
jednačinu:

        x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0

        ili bi možda bilo preciznije

             [                        ]
        a x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 najčešće se ovde uzima a = 1 , pa je to formula

Primer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja:

        a) x1 = 3, x2 = −2
        b) Jedno rešenje je x1 = 1 + 2i

a) x1 = 3,       x 2 = −2

        x1 + x2 = 3 + (−2) = +1
        x1 ⋅ x2 = 3 ⋅ (−2) = −6
             ⎡                                 ⎤
Formula je a ⎢ x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 ⋅ x 2 ⎥ = 0
             ⎢       1 24
                       4 3            1 3⎥
                                        2
             ⎣            1             −6     ⎦
                   [          ]
      Pa je a x − x − 6 = 0 najčešće se uzima a = 1 ⇒ x 2 − x − 6 = 0
                  2
                                                         ______

b) x1 = 1 + 2i , Nemamo drugo rešenje?

Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to mora
biti: x 2 = 1 − 2i

                                                                               www.matematiranje.com




                                                                                                  1
x1 + x 2 = 1 + 2i + 1 − 2i = 2
 x1 ⋅ x 2 = (1 + 2i ) ⋅ (1 − 2i ) = 12 − (2i ) 2 = 1 − 4i 2 =
(pošto je i 2 = −1 ) = 1 + 4 = 5

Zamenimo u formulu:

          x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0
          x 2 − 2 x + 5 = 0 je tražena kvadratna jednačina

Primer 2: U jednačini mx 2 − (3m + 1) x + m = 0 odrediti vrednost realnog parametra
m tako da važi: x1 + x 2 = 5
                                                                     b
         Rešenje: a = m                                  x1 + x2 = −
                                                                     a
                  b = −(3m + 1)
                                                                     − (3m + 1) 3m + 1
                      c=m                                x1 + x2 = −           =
                                                                         m        m

Kako je x1 + x 2 = 5 ⇒ 3m + 1
                              =5
                         m
                       3m + 1 = 5m
                       3m − 5m = −1
                       − 2m = −1
                           1
                       m=
                           2

Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za x1 i x2 jednačine:

          x 2 − 4 x + 3(k − 1) = 0 važi x1 − 3 x2 = 0

                            b    −4
Rešenje: x1 + x 2 = −         =−    =4
                            a    1

          a =1                     x1 + x2 = 4 ⎫
          b = −4                               ⎬ rešimo kao sistem
                                   x1 − 3x2 = 0⎭
          c = 3(k − 1)             _________________

                                    x1 + x2 = 4
                                    − x + 3x = 0
                                        1       2
                                    __________________

                                 4 x2 = 4 ⇒ x2 = 1 ⇒ x1 = 3
                 c         3(k − 1)
Kako je x1 ⋅ x2 = ⇒ 3 ⋅1 =          ⇒ k −1 = 1 ⇒ k = 2
                 a            1
                                                                                   www.matematiranje.com




                                                                                                           2
Primer 4: U jednačini x 2 − (m + 1) x + m = 0 odrediti realan broj m tako da njena rešenja
zadovoljavaju jednakost x12 + x 2 = 10
                                2




Rešenje:                                                b    −(m + 1)
            a =1                              x1 + x2 = − =−          = m +1
                               ⇒                        a       1
            b = −(m + 1)                               c m
            c=m                               x1 + x2 = = = m
                                                       a 1

Ovaj izraz x12 + x 2 → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo
                   2


je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima.

Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: ( x1 + x2 ) 2 = x12 + 2 x1 x2 + x2
                                                                               2




Odavde je: x12 + x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 ZAPAMTI!!!
                  2




Vratimo se u zadatak:

        x12 + x2 = 10 ⇒ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 10
               2


                           (m + 1) 2 − 2m = 10
                           m 2 + 2m + 1 − 2m = 10
                           m 2 = 10 − 1
                           m2 = 9
                           m=± 9
                           m1 = 3
                           m2 = −3

Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0 tako da
                   x =p
njena rešenja budu 1
                   x2 = q

Rešenja: a = 1                            b    p
                           x1 + x2 = −      = − = −p
         b= p⇒                            a    1
         c=q               x1 ⋅ x2 =
                                       c
                                         =q
                                       a

    p + q = − p⎫  2p + q = 0
⇒              ⎬⇒
    p⋅q = q ⎭     pq − q = 0
                                                                               www.matematiranje.com




                                                                                                  3
Iz druge jednačine sistema: pq − q = 0 ⇒ q( p − 1) = 0 pa je q = 0 ili p = 1

Za q = 0 ⇒ vratimo u prvu jednačinu:
 2p + q = 0 ⇒ 2p +0 = 0 ⇒ p = 0
Za p = 1 ⇒ 2 p + q = 0 ⇒ 2 + q = 0 ⇒ q = −2
Dakle ta kvadratna jednačina je:

x 2 + px + q = 0     ⇒      x 2 = 0 za p = 0 i q = 0
                     ⇒      x 2 + x − 2 = 0 za p = 1 ∧ q = −2


                         Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce

Kvadratni trinom po x je izraz oblika: ax 2 + bx + c gde su a, b, c → brojevi i a ≠ 0 .
Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratnog trinoma.

Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 onda je:

                                   ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x 2 )

Primer1: Kvadratni trinom:

        a) x 2 + 5 x + 6
        b) x 2 + 2 x + 2
rastaviti na činioce.

a) x 2 + 5 x + 6 = 0 najpre rešimo kvadratnu jednačinu:
                                                         − b ± D 5 ±1
         a =1             D = b 2 − 4ac        x1, 2 =          =
                                                             2a    2
         b = −5           D = 25 − 24          x1 = 3
         c=6              D =1                 x2 = 2



Formula: a( x − x1 )( x − x2 ) = 1( x − 3)( x − 2) = ( x − 3)( x − 2)
Dakle: x 2 + 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2)

                                                                            www.matematiranje.com




                                                                                                    4
b) x 2 + 2 x + 2 = 0 ⇒            a = 1, b = 2, c = 2            D = 4 − 8 = −4

      − 2 ± 2i 2(−1 ± i )
x1, 2 =       =
          2       2
x1 = −1 + i
x 2 = −1 − i
a ( x − x1 )( x − x 2 ) = 1( x + 1 − i )( x + 1 + i )
Dakle: x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1 − i )( x + 1 + i )

                                          3x 2 + 2 x − 8
Primer 2: Skratiti razlomak:
                                         12 x 2 − 7 x − 12

Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce.

          3x 2 + 2 x − 8 = 0
                                                          −b± D
          a=3           D = b 2 − 4ac             x1, 2 =
                                                              2a
          b=2           D = 4 + 4 ⋅3⋅8                    − 2 ± 10
                                                  x1, 2 =
          c = −8        D = 4 + 96                            6
                        D = 100                          − 2 + 10 8 4
                                                  x1 =            = =
                                                            6       6 3
                                                         − 2 − 10
                                                  x2 =            = −2
                                                             6
                                                       4
Dakle: 3x 2 + 2 x − 8 = a( x − x1 )( x − x 2 ) = 3( x − )( x + 2)
                                                       3

12 x 2 − 7 x − 12 = 0
                                                               −b ± D
a = 12            D = b 2 − 4ac                         x1,2 =
                                                                   2a
b = −7            D = 4 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−12)                        7 ± 25
                                                        x1,2 =
c = −12           D = 49 + 576                                   24
                  D = 625                                     7 + 25 32 4
                                                        x1 =         =    =
                                                                24     24 3
                                                              7 − 25     18    3
                                                        x2 =          =−    =−
                                                                24       24    4

                                                          4      3
Dakle: 12 x 2 − 7 x − 12 = a( x − x1 )( x − x2 ) = 12( x − )( x + )
                                                          3      4
Vratimo se sad u razlomak
                                                                                   www.matematiranje.com




                                                                                                      5
4
                   3 ( x − ) ( x + 2)
 3x + 2 x − 8
     2
                          3             x+2
                =                     =
12 x − 7 x − 12
    2
                          4        3       3
                  12 ( x − ) ( x + ) 4( x + )
                          3        4       4

                    4        3
                       x−
                      ≠0   x+ ≠0
                    3        4
Naravno uz uslov         i
                    4          3
                 x≠        x≠−
                    3          4

                               x3 + 1
Primer 3: Skratiti razlomak: 2
                             x − 2x − 3

Rešenje: x 2 − 2 x − 3 = 0

                                                  −b± D
   a =1            D = b 2 − 4ac          x1, 2 =
                                                     2a
   b = −2          D = 4 + 12                     2±4
                                          x1, 2 =
   c = −3          D = 16                          2
                                          x1 = 3
                                          x 2 = −1


Dakle: x 2 − 2 x − 3 = a( x + x1 )( x + x 2 ) = (1( x − 3)( x − (−1)) = ( x − 3)( x + 1)

x 3 + 1 → ćemo rastaviti po formuli:
A3 + B 3 = ( A + B)( A2 − AB + B 2 ) VIDI POLINOMI

pa je: x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1)

Vratimo se u razlomak:

   x3 + 1    ( x + 1) ( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1                  x − 3 ≠ 0 x +1 ≠ 0
           =                        =            naravno uz uslov          i
x − 2x − 3
 2
                ( x − 3) ( x + 1)       x −3                      x≠3        x ≠ −1

U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji su
to uslovi:

1) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:
                               b     c
realna i pozitivna ⇔ D ≥ 0, < 0, > 0                                                www.matematiranje.com
                               a     a


                                                                                                            6
2) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su:
                                 b      c
realna i negativna ⇔ D ≥ 0, > 0, > 0
                                 a      a
Ova razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila:
→ Da bi rešenja bila realna je D ≥ 0
               b              c
→ x1 + x 2 = − i x1 ⋅ x 2 =
               a              a
                                            b
1) x1 i x 2 pozitivna ⇒    x1 + x 2 > 0 ⇒ < 0
                                            a
                                           c
                           x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0
                                           a
                                              b
                             x1 + x 2 < 0 ⇒ > 0
2) x1 i x 2 negativna ⇒                       a
                                             c
                             x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0
                                             a
                          (minus puta minus je plus)

Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 budu
pozitivna.

Rešenja: Iz x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 vidimo da je

        a =1                                             D = b 2 − 4ac
        b = −3                     b     c               D = (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (2m − 1)
                           D≥0,      <0,   >0
        c = 2m − 1                 a     a               D = 9 − 8m + 4
                                                         D = 13 − 8m

D≥0 ⇒            13 − 8m ≥ 0   ( Pazi: znak se okreće)
                 − 8m ≥ −13
                      13
                 m≤
                       8
b     −3
  <0⇒    < 0 ⇒ Zadovoljeno!!!
a     1

c     2m − 1
  >0⇒         <0
a       1
     2m − 1 < 0
                                                                ⎛ 1 13 ⎤
     2m < 1                                                   m∈⎜ , ⎥
                                                                ⎝2 8 ⎦
         1
     m<
         2


                                                                                         7

More Related Content

What's hot

VIII razred - Linearna funkcija
VIII razred - Linearna funkcijaVIII razred - Linearna funkcija
VIII razred - Linearna funkcijamirjanamitic18
 
Trigonometrijske formule
Trigonometrijske formuleTrigonometrijske formule
Trigonometrijske formulemArKoBK3
 
VIII razred - Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatom
VIII razred - Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatomVIII razred - Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatom
VIII razred - Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatommirjanamitic18
 
Piramida i zarubljena_piramida
Piramida i zarubljena_piramidaPiramida i zarubljena_piramida
Piramida i zarubljena_piramidaBojan Maksimovic
 
Povrsina pravilne trostrane i sestostrane prizma.pptx
Povrsina pravilne trostrane i sestostrane prizma.pptxPovrsina pravilne trostrane i sestostrane prizma.pptx
Povrsina pravilne trostrane i sestostrane prizma.pptxPupeDenis
 
Rastvorljivost - osnovni zadaci
Rastvorljivost - osnovni zadaciRastvorljivost - osnovni zadaci
Rastvorljivost - osnovni zadaciJasminkaProdana
 
Razdvajanje sastojaka smesa
Razdvajanje sastojaka smesaRazdvajanje sastojaka smesa
Razdvajanje sastojaka smesaBiljana Ristic
 
Kvadrat binoma i razlika kvadrata
Kvadrat binoma i razlika kvadrataKvadrat binoma i razlika kvadrata
Kvadrat binoma i razlika kvadratasaculatac
 
Istočno pitanje
Istočno pitanjeIstočno pitanje
Istočno pitanjebatica1
 
Mendelova pravila nasleđivanja
Mendelova pravila nasleđivanjaMendelova pravila nasleđivanja
Mendelova pravila nasleđivanjaIvana Damnjanović
 
organska hemija - uvod
organska hemija - uvodorganska hemija - uvod
organska hemija - uvodvvlivvli
 
Hemijski elementi u prirodi nemetali,pdf
Hemijski elementi u prirodi   nemetali,pdfHemijski elementi u prirodi   nemetali,pdf
Hemijski elementi u prirodi nemetali,pdfBiljana Ristic
 

What's hot (20)

Iracionalne jednacine
Iracionalne jednacineIracionalne jednacine
Iracionalne jednacine
 
Iracionalne nejednacine
Iracionalne nejednacineIracionalne nejednacine
Iracionalne nejednacine
 
VIII razred - Linearna funkcija
VIII razred - Linearna funkcijaVIII razred - Linearna funkcija
VIII razred - Linearna funkcija
 
Linearne jednacine
Linearne jednacineLinearne jednacine
Linearne jednacine
 
Trigonometrijske formule
Trigonometrijske formuleTrigonometrijske formule
Trigonometrijske formule
 
Grafik funkcija
Grafik funkcijaGrafik funkcija
Grafik funkcija
 
Valenca
ValencaValenca
Valenca
 
VIII razred - Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatom
VIII razred - Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatomVIII razred - Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatom
VIII razred - Linearne jednacine i nejednacine sa jednom nepoznatom
 
Piramida i zarubljena_piramida
Piramida i zarubljena_piramidaPiramida i zarubljena_piramida
Piramida i zarubljena_piramida
 
Karboksilne kiseline
Karboksilne kiselineKarboksilne kiseline
Karboksilne kiseline
 
Povrsina pravilne trostrane i sestostrane prizma.pptx
Povrsina pravilne trostrane i sestostrane prizma.pptxPovrsina pravilne trostrane i sestostrane prizma.pptx
Povrsina pravilne trostrane i sestostrane prizma.pptx
 
Rastvorljivost - osnovni zadaci
Rastvorljivost - osnovni zadaciRastvorljivost - osnovni zadaci
Rastvorljivost - osnovni zadaci
 
Razdvajanje sastojaka smesa
Razdvajanje sastojaka smesaRazdvajanje sastojaka smesa
Razdvajanje sastojaka smesa
 
Prizmaa
PrizmaaPrizmaa
Prizmaa
 
Kovalentna veza
Kovalentna vezaKovalentna veza
Kovalentna veza
 
Kvadrat binoma i razlika kvadrata
Kvadrat binoma i razlika kvadrataKvadrat binoma i razlika kvadrata
Kvadrat binoma i razlika kvadrata
 
Istočno pitanje
Istočno pitanjeIstočno pitanje
Istočno pitanje
 
Mendelova pravila nasleđivanja
Mendelova pravila nasleđivanjaMendelova pravila nasleđivanja
Mendelova pravila nasleđivanja
 
organska hemija - uvod
organska hemija - uvodorganska hemija - uvod
organska hemija - uvod
 
Hemijski elementi u prirodi nemetali,pdf
Hemijski elementi u prirodi   nemetali,pdfHemijski elementi u prirodi   nemetali,pdf
Hemijski elementi u prirodi nemetali,pdf
 

Similar to Vietove formule

Similar to Vietove formule (9)

Eksponencijalne funkcije
Eksponencijalne funkcijeEksponencijalne funkcije
Eksponencijalne funkcije
 
Zadaci
ZadaciZadaci
Zadaci
 
Tablica integrala
Tablica integralaTablica integrala
Tablica integrala
 
C7 integrali
C7 integraliC7 integrali
C7 integrali
 
Zadaća 2 1
Zadaća 2 1Zadaća 2 1
Zadaća 2 1
 
OI1_DZ2_2013
OI1_DZ2_2013OI1_DZ2_2013
OI1_DZ2_2013
 
Crtanje grafa-trig-funkcije
Crtanje grafa-trig-funkcijeCrtanje grafa-trig-funkcije
Crtanje grafa-trig-funkcije
 
Oi1 dz2 2013
Oi1 dz2 2013Oi1 dz2 2013
Oi1 dz2 2013
 
Mihael golec matematika
Mihael golec matematikaMihael golec matematika
Mihael golec matematika
 

More from Jelena Dobrivojevic (20)

Stepenovanje
StepenovanjeStepenovanje
Stepenovanje
 
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynateSistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
Sistemi kvadratmih jednacina_sa%20dve%20nepoynate
 
Sinusna i kosinusna_teorema
Sinusna i kosinusna_teoremaSinusna i kosinusna_teorema
Sinusna i kosinusna_teorema
 
Osnovne trigonometrijske jednacine
Osnovne trigonometrijske jednacineOsnovne trigonometrijske jednacine
Osnovne trigonometrijske jednacine
 
Logaritmi
LogaritmiLogaritmi
Logaritmi
 
Logaritamske jednacine i_nejednacine
Logaritamske jednacine i_nejednacineLogaritamske jednacine i_nejednacine
Logaritamske jednacine i_nejednacine
 
Logaritamska funkcija
Logaritamska funkcijaLogaritamska funkcija
Logaritamska funkcija
 
Kvadratna funkcija
Kvadratna funkcijaKvadratna funkcija
Kvadratna funkcija
 
Korenovanje
KorenovanjeKorenovanje
Korenovanje
 
Kompleksni brojevi
Kompleksni brojeviKompleksni brojevi
Kompleksni brojevi
 
Graficko resavanje sistema
Graficko resavanje sistemaGraficko resavanje sistema
Graficko resavanje sistema
 
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deoGrafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_ii_deo
 
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deoGrafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
Grafici trigonometrijskih funkcija_i_deo
 
Adicione formule
Adicione formuleAdicione formule
Adicione formule
 
Vektori u ravni_i_deo
Vektori u ravni_i_deoVektori u ravni_i_deo
Vektori u ravni_i_deo
 
Trigonometrijske funkcije ostrog_ugla
Trigonometrijske funkcije ostrog_uglaTrigonometrijske funkcije ostrog_ugla
Trigonometrijske funkcije ostrog_ugla
 
Translacija
TranslacijaTranslacija
Translacija
 
Transformacije algebarskih izraza
Transformacije algebarskih izrazaTransformacije algebarskih izraza
Transformacije algebarskih izraza
 
Talesova teorema
Talesova teoremaTalesova teorema
Talesova teorema
 
Slicnost trouglova
Slicnost trouglovaSlicnost trouglova
Slicnost trouglova
 

Vietove formule

  • 1. VIETOVE FORMULE. RASTAVLJANJE KVADRATNOG TRINOMA NA LINEARNE ČINIOCE Brojevi x1 i x 2 su rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 ako i samo ako je b c x1 + x2 = − i x1 ⋅ x2 = a a Ove dve jednakosti zovu se Vietove formule. Čemu one služe? Osnovna primena da nam pomognu da kada imamo rešenja x1 i x 2 napravimo kvadratnu jednačinu: x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 ili bi možda bilo preciznije [ ] a x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 najčešće se ovde uzima a = 1 , pa je to formula Primer 1: Napisati kvadratnu jednačinu čija su rešenja: a) x1 = 3, x2 = −2 b) Jedno rešenje je x1 = 1 + 2i a) x1 = 3, x 2 = −2 x1 + x2 = 3 + (−2) = +1 x1 ⋅ x2 = 3 ⋅ (−2) = −6 ⎡ ⎤ Formula je a ⎢ x 2 − ( x1 + x 2 ) x + x1 ⋅ x 2 ⎥ = 0 ⎢ 1 24 4 3 1 3⎥ 2 ⎣ 1 −6 ⎦ [ ] Pa je a x − x − 6 = 0 najčešće se uzima a = 1 ⇒ x 2 − x − 6 = 0 2 ______ b) x1 = 1 + 2i , Nemamo drugo rešenje? Pošto znamo da su rešenja kvadratne jednačine konjugovano kompleksni brojevi to mora biti: x 2 = 1 − 2i www.matematiranje.com 1
  • 2. x1 + x 2 = 1 + 2i + 1 − 2i = 2 x1 ⋅ x 2 = (1 + 2i ) ⋅ (1 − 2i ) = 12 − (2i ) 2 = 1 − 4i 2 = (pošto je i 2 = −1 ) = 1 + 4 = 5 Zamenimo u formulu: x 2 − ( x1 + x2 ) x + x1 ⋅ x2 = 0 x 2 − 2 x + 5 = 0 je tražena kvadratna jednačina Primer 2: U jednačini mx 2 − (3m + 1) x + m = 0 odrediti vrednost realnog parametra m tako da važi: x1 + x 2 = 5 b Rešenje: a = m x1 + x2 = − a b = −(3m + 1) − (3m + 1) 3m + 1 c=m x1 + x2 = − = m m Kako je x1 + x 2 = 5 ⇒ 3m + 1 =5 m 3m + 1 = 5m 3m − 5m = −1 − 2m = −1 1 m= 2 Primer 3: Odrediti vrednost realnog parametra k tako da za x1 i x2 jednačine: x 2 − 4 x + 3(k − 1) = 0 važi x1 − 3 x2 = 0 b −4 Rešenje: x1 + x 2 = − =− =4 a 1 a =1 x1 + x2 = 4 ⎫ b = −4 ⎬ rešimo kao sistem x1 − 3x2 = 0⎭ c = 3(k − 1) _________________ x1 + x2 = 4 − x + 3x = 0 1 2 __________________ 4 x2 = 4 ⇒ x2 = 1 ⇒ x1 = 3 c 3(k − 1) Kako je x1 ⋅ x2 = ⇒ 3 ⋅1 = ⇒ k −1 = 1 ⇒ k = 2 a 1 www.matematiranje.com 2
  • 3. Primer 4: U jednačini x 2 − (m + 1) x + m = 0 odrediti realan broj m tako da njena rešenja zadovoljavaju jednakost x12 + x 2 = 10 2 Rešenje: b −(m + 1) a =1 x1 + x2 = − =− = m +1 ⇒ a 1 b = −(m + 1) c m c=m x1 + x2 = = = m a 1 Ovaj izraz x12 + x 2 → se često javlja u zadacima. Da ga izvedemo kao formulicu pa ćemo 2 je gotovu upotrebljavati u drugim zadacima. Krenimo od poznate formule za kvadrat binoma: ( x1 + x2 ) 2 = x12 + 2 x1 x2 + x2 2 Odavde je: x12 + x2 = ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 ZAPAMTI!!! 2 Vratimo se u zadatak: x12 + x2 = 10 ⇒ ( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = 10 2 (m + 1) 2 − 2m = 10 m 2 + 2m + 1 − 2m = 10 m 2 = 10 − 1 m2 = 9 m=± 9 m1 = 3 m2 = −3 Primer 5: Odrediti koeficijente p i q kvadratne jednačine x 2 + px + q = 0 tako da x =p njena rešenja budu 1 x2 = q Rešenja: a = 1 b p x1 + x2 = − = − = −p b= p⇒ a 1 c=q x1 ⋅ x2 = c =q a p + q = − p⎫ 2p + q = 0 ⇒ ⎬⇒ p⋅q = q ⎭ pq − q = 0 www.matematiranje.com 3
  • 4. Iz druge jednačine sistema: pq − q = 0 ⇒ q( p − 1) = 0 pa je q = 0 ili p = 1 Za q = 0 ⇒ vratimo u prvu jednačinu: 2p + q = 0 ⇒ 2p +0 = 0 ⇒ p = 0 Za p = 1 ⇒ 2 p + q = 0 ⇒ 2 + q = 0 ⇒ q = −2 Dakle ta kvadratna jednačina je: x 2 + px + q = 0 ⇒ x 2 = 0 za p = 0 i q = 0 ⇒ x 2 + x − 2 = 0 za p = 1 ∧ q = −2 Rastavljanje kvadratnog trinoma na činioce Kvadratni trinom po x je izraz oblika: ax 2 + bx + c gde su a, b, c → brojevi i a ≠ 0 . Brojevi a, b i c su koeficijenti kvadratnog trinoma. Ako su x1 i x2 rešenja kvadratne jednačine ax 2 + bx + c = 0 onda je: ax 2 + bx + c = a( x − x1 )( x − x 2 ) Primer1: Kvadratni trinom: a) x 2 + 5 x + 6 b) x 2 + 2 x + 2 rastaviti na činioce. a) x 2 + 5 x + 6 = 0 najpre rešimo kvadratnu jednačinu: − b ± D 5 ±1 a =1 D = b 2 − 4ac x1, 2 = = 2a 2 b = −5 D = 25 − 24 x1 = 3 c=6 D =1 x2 = 2 Formula: a( x − x1 )( x − x2 ) = 1( x − 3)( x − 2) = ( x − 3)( x − 2) Dakle: x 2 + 5 x + 6 = ( x − 3)( x − 2) www.matematiranje.com 4
  • 5. b) x 2 + 2 x + 2 = 0 ⇒ a = 1, b = 2, c = 2 D = 4 − 8 = −4 − 2 ± 2i 2(−1 ± i ) x1, 2 = = 2 2 x1 = −1 + i x 2 = −1 − i a ( x − x1 )( x − x 2 ) = 1( x + 1 − i )( x + 1 + i ) Dakle: x 2 + 2 x + 2 = ( x + 1 − i )( x + 1 + i ) 3x 2 + 2 x − 8 Primer 2: Skratiti razlomak: 12 x 2 − 7 x − 12 Rešenje: Uzećemo posebno imenilac , posebno brojilac i rastaviti ih na činioce. 3x 2 + 2 x − 8 = 0 −b± D a=3 D = b 2 − 4ac x1, 2 = 2a b=2 D = 4 + 4 ⋅3⋅8 − 2 ± 10 x1, 2 = c = −8 D = 4 + 96 6 D = 100 − 2 + 10 8 4 x1 = = = 6 6 3 − 2 − 10 x2 = = −2 6 4 Dakle: 3x 2 + 2 x − 8 = a( x − x1 )( x − x 2 ) = 3( x − )( x + 2) 3 12 x 2 − 7 x − 12 = 0 −b ± D a = 12 D = b 2 − 4ac x1,2 = 2a b = −7 D = 4 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−12) 7 ± 25 x1,2 = c = −12 D = 49 + 576 24 D = 625 7 + 25 32 4 x1 = = = 24 24 3 7 − 25 18 3 x2 = =− =− 24 24 4 4 3 Dakle: 12 x 2 − 7 x − 12 = a( x − x1 )( x − x2 ) = 12( x − )( x + ) 3 4 Vratimo se sad u razlomak www.matematiranje.com 5
  • 6. 4 3 ( x − ) ( x + 2) 3x + 2 x − 8 2 3 x+2 = = 12 x − 7 x − 12 2 4 3 3 12 ( x − ) ( x + ) 4( x + ) 3 4 4 4 3 x− ≠0 x+ ≠0 3 4 Naravno uz uslov i 4 3 x≠ x≠− 3 4 x3 + 1 Primer 3: Skratiti razlomak: 2 x − 2x − 3 Rešenje: x 2 − 2 x − 3 = 0 −b± D a =1 D = b 2 − 4ac x1, 2 = 2a b = −2 D = 4 + 12 2±4 x1, 2 = c = −3 D = 16 2 x1 = 3 x 2 = −1 Dakle: x 2 − 2 x − 3 = a( x + x1 )( x + x 2 ) = (1( x − 3)( x − (−1)) = ( x − 3)( x + 1) x 3 + 1 → ćemo rastaviti po formuli: A3 + B 3 = ( A + B)( A2 − AB + B 2 ) VIDI POLINOMI pa je: x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1) Vratimo se u razlomak: x3 + 1 ( x + 1) ( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1 x − 3 ≠ 0 x +1 ≠ 0 = = naravno uz uslov i x − 2x − 3 2 ( x − 3) ( x + 1) x −3 x≠3 x ≠ −1 U nekim zadacima nam traže da rešenja budu pozitivna (ili negativna). Pokažimo koji su to uslovi: 1) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su: b c realna i pozitivna ⇔ D ≥ 0, < 0, > 0 www.matematiranje.com a a 6
  • 7. 2) Rešenja x1 i x 2 kvadratne jednačine sa realnim koeficijentima su: b c realna i negativna ⇔ D ≥ 0, > 0, > 0 a a Ova razmišljanja (teoreme) proizilaze iz Vietovih pravila: → Da bi rešenja bila realna je D ≥ 0 b c → x1 + x 2 = − i x1 ⋅ x 2 = a a b 1) x1 i x 2 pozitivna ⇒ x1 + x 2 > 0 ⇒ < 0 a c x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0 a b x1 + x 2 < 0 ⇒ > 0 2) x1 i x 2 negativna ⇒ a c x1 ⋅ x 2 > 0 ⇒ > 0 a (minus puta minus je plus) Primer: Odrediti parameter m tako da rešenja jednačine x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 budu pozitivna. Rešenja: Iz x 2 − 3x + 2m − 1 = 0 vidimo da je a =1 D = b 2 − 4ac b = −3 b c D = (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (2m − 1) D≥0, <0, >0 c = 2m − 1 a a D = 9 − 8m + 4 D = 13 − 8m D≥0 ⇒ 13 − 8m ≥ 0 ( Pazi: znak se okreće) − 8m ≥ −13 13 m≤ 8 b −3 <0⇒ < 0 ⇒ Zadovoljeno!!! a 1 c 2m − 1 >0⇒ <0 a 1 2m − 1 < 0 ⎛ 1 13 ⎤ 2m < 1 m∈⎜ , ⎥ ⎝2 8 ⎦ 1 m< 2 7