2. 2.1 El Conjunto de los números naturales
Históricamente, el número natural nació con la necesidad que tuvo el
hombre de saber Cuánto Tenía de algo.
Los números naturales son los números que se utilizan para
contar cantidades. Es un conjunto ordenado, porque entre dos
números naturales es posible establecer una relación de orden, o
sea, decir quién es mayor y quién es menor; También es un
conjunto infinito, cuyo número menor es cero (0), no existe un
número natural que sea mayor que los demás. Al conjunto de
los números naturales se le denota por ℕ.
Representación como conjunto Representación Gráfica
ℕ = 0; 1; 2; 3; 4; 5; …
1 2 3 4 50
3. Comparación de números naturales
Observa el conjunto de los números
naturales ubicados en la recta
numérica.
A medida que nos alejamos más a la derecha los números se van haciendo
cada vez mayores.
Ejemplos:
1 2
1 2 3 4 50 6 7
1 2 3 4 50 6 7
1 2 3 4 50 6 7
2<5 7>4
Si dos números naturales tienen diferente número de cifras, es menor aquel
que tiene menos cifras. Veamos:
3 30 < 140 4 350 < 45896
2 Dígitos 3 Dígitos 3 Dígitos 5 Dígitos
Izquierda Derecha
4. 2.1 Adición y sustracción de números naturales
Observa el conjunto “A” (días de la semana)
Número cardinal y número ordinal de un conjunto
A
. Lunes
. martes . miércoles
. jueves
. viernes
. sábado
. domingo
Se llama Número Cardinal de un conjunto
al número de elementos de dicho
conjunto.
En el ejemplo anterior el cardinal del
conjunto:
Card(A) = 7, o también n(A)= 7
Se lee: “Número de elementos del
conjunto A”
Números ordinales
1° 2° 3° 4° 5° 6° 7°
A = 𝑑𝑜𝑚𝑖𝑛𝑔𝑜; 𝑙𝑢𝑛𝑒𝑠; 𝑚𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠; 𝑚𝑖é𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠; 𝑗𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠; 𝑣𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠; 𝑠á𝑏𝑎𝑑𝑜
7 elementos → número cardinal
Se llama Número ordinal al orden que
está ocupando un elemento de un
conjunto ( de izquierda a derecha).
Del ejemplo anterior tenemos:
El número ordinal del elemento
“miércoles” es 4, pues ocupa el 4° lugar.
5. Sean los conjuntos disjuntos A y B:
Adición de números naturales
A
Se observa que:
Cardinal del
conjunto A
B AUB
N(A)
Cardinal del
conjunto B
N(B)
2 4
Cardinal del
conjunto AUB
N(AUB)
6
+
+
+
=
=
=
=U
6. 1. Propiedad de clausura
Propiedades de la Adición de números naturales
∀a y b ∈ ℕ → (a+b) ∈ ℕ
3∈ ℕ y 10∈ ℕ → 3+10=8 ∈ ℕ
2. Propiedad conmutativa
∀a y b ∈ ℕ → a+b=b+a
2∈ ℕ y 8∈ ℕ → 2+8=8+2=10
3. Propiedad asociativa
∀a,b,c ∈ ℕ → (a+b)+c=a+(b+c)
(4+8)+10 = 4+(8+10) = 22
4. Propiedad del elemento neutro
∀a ∈ ℕ, se cumple que a+0=a
9+0 = 0
5. Propiedad aditiva
Si, a+b=c → a+b+n=c+n
12+9=21
(12+9)+13 = 21+13
21+13 = 21+13
34 34=
6. Propiedad de cancelación
Si, a+n=b+n →a=b
10+9+5 = 19+5
19 = 19
10+9 =19
7. La sustracción entre dos números naturales a y b (a≥b) es la operación que
se expresa como a-b y consiste en hallar el número natural D, tal que:
D+b=a.
Luego:
Sustracción de números naturales
a-b= D ↔ D+b=a
Diferencia
Propiedades de la sustracción
Sustraendo
Minuendo
1ª Propiedad: Si se aumenta o
disminuye el minuendo en un
número “K”, se aumenta o
disminuye respectivamente la
diferencia en ese mismo
número.
M – s = D
(M+K) – s = D+K
(M-K) – s = D-K
8. La sustracción entre dos números naturales a y b (a≥b) es la operación que
se expresa como a-b y consiste en hallar el número natural D, tal que:
D+b=a.
Luego:
Sustracción de números naturales
a-b= D ↔ D+b=a
Diferencia
Propiedades de la sustracción
Sustraendo
Minuendo
1ª Propiedad: Si se aumenta o
disminuye el minuendo en un
número “K”, se aumenta o
disminuye respectivamente la
diferencia en ese mismo
número.
m – s = D
(m+K) – s = D+K
(m-K) – s = D-K
Ejemplo: En una sustracción
la diferencia es 28, si el
minuendo disminuye en 5,
¿Cuál será la diferencia?
m – s = D
m – s = 28
(m-5)– s = 28-5 = 23
La diferencia 23
9. 2ª Propiedad: Si se aumenta o
disminuye el sustraendo en un
número “K”, disminuye o
aumenta respectivamente la
diferencia en ese mismo número.
m – s = D
m – (s+K) = D-K
m – (s-K) = D+K
Ejemplo:
15 – 9 = 6
15 – (9+2) = 6-2
15 – (9+2) = 4
3ª Propiedad: Si al minuendo
y sustraendo se les añade o se
les resta en un mismo número
“K”, la diferencia no varía.
m – s = D
(m+K) – (s+K) = D
(m-K) – (s-K) = D
Ejemplo:
15 – 9 = 6
(15+2) – (9+2) = 6
17 – 11
6
10. 2.3 Multiplicación y división de números naturales
4 x 9 = 36
8 veces el sumando 6
En general se tiene:
Multiplicación de números naturales
Si tenemos 8 cajitas de colores, donde cada cajita contiene 6 colores
¿Cuántos colores tenemos
Tenemos: 6 6 6 6 6 6 6 6+ + + + + + + = 48
a x b = b + b + b + b +…+ b
“a” veces el sumando “b”
multiplicadormultiplicando
Producto
Factores
11. 1. Propiedad de clausura
Propiedades de la multiplicación de números naturales
Si a ∈ ℕ y b ∈ ℕ → (a x b) ∈ ℕ
9∈ ℕ y 8∈ ℕ → 9 x 8=72 ∈ ℕ
2. Propiedad conmutativa
∀a y b ∈ ℕ → a x b = b x a
5∈ ℕ y 8∈ ℕ → 5x8=8x5=40
3. Propiedad asociativa
∀a,b,c ∈ ℕ → (a x b) xc = ax (b x c)
(4x8)x10 = 4x(8x10) = 320
4. Propiedad del elemento neutro
∀a ∈ ℕ, se cumple que a x 1 = a
29x1 = 29
5. Propiedad del elemento absorbente
∀ a ∈ ℕ, a x 0 = 0
147 x 0 = 0
8. Propiedad de cancelación
Si, a x n = b x n →a = b
7 . n = 15 . 7
n = 15
6. Propiedad distributiva
∀ a,b,c ∈ ℕ → a x (b±c) =a x b ±a x c
5x(7-3)=5x7 – 5x3 = 20
7. Propiedad multiplicativa
a=b entonces, a x n = b x n
a = 9 → ax8 = 9x8 = 72
12. En general se tiene:
División de números naturales
Se desea repartir 8 manzanas en partes iguales entre 4 niños ¿Cuánto le
corresponde a cada niño?
2 2 2 2
D = d.q + r
divisor
residuo
Dividendo
→ 8 manzanas
→ 4 niños
→ 2 manzanas
a cada niño
D d
qr cociente
13. 1. efectuar:
Operaciones combinadas
48-2 x {36-3 x [25 : (3x2-1)]} Primero se resuelve dentro del paréntesis
48-2 x {36-3 x [25 : 5]} segundo se resuelve dentro del corchetes
48-2 x {36-3 x 5 } tercero se resuelve dentro de las llaves
48-2 x {36-15 }
48-2 x 21 cuarto se resuelve la multiplicación
48-42 quinto se resuelve la sustracción
6
14. 2.4 Aplicaciones de las operaciones combinadas
Lo que pagó por la venta
Ganancia por una
vaca: S/400
Problema 01:
Un comerciante ha comprado cierto número de vacas por S/43 200 y los
vende por S/52 800, ganando S/400 en cada una. ¿Cuántas vacas compro?
Resolución:
S/52 800
Lo que cobro por la compra S/43 200
Ganancia por todas la vacas S/9 600 S/400
S/400S/400S/400S/400
…
Número de vacas =
S/9 600
S/400
= 24
El comerciante
compró 24
vacas
+ + + + = S/9 600
Número de vacas
15. Se tiene:
Problema 02:
En un conjunto de conejos y gallos hay en total 198 patas.
Sabiendo que por cada 2 conejos hay 7 gallos, ¿Cuántos gallos hay?
Resolución:
Como en total hay 198
patas, se tiene:
198
22
= 9 grupos
n° de patas de los conejos
n° de patas de los gallos
2 x 4 = 8
Un grupo
de 9
animales
4 patas
2 patas
7 x 2 = 14
+
22 patas en
el grupo
Como en cada grupo hay 7
gallos se tiene:
n° de gallos = 7 x 9 = 63 gallos
16. Total de litros entre los dos depósitos:
Problema 03:
Dos depósitos contienen 2587 y 1850 litros de agua. Con una bomba se traslada
del primero al segundo 4 litros de agua por minuto. ¿Después de cuánto tiempo uno
contendrá el doble de litros que el otro
Resolución:
Ahora el 1° depósito que contiene 2587 Lt.
Va disminuir a 1437 Lt. A razón de 4
litros por minuto.
2587 - 1437
4
= 277 minutos
Ambos
depósitos
contienen
4437 Lt.
1° depósito 4437 Lt.
2587 Lt. 2587 Lt.
1850 Lt.
4437 Lt.
1850 Lt.
2° depósito
tendrá el
doble del 1°
3
= 1479 Lt.
1479 x 2 = 2958 Lt.
Ahora se
divide
todo en
3 partes
iguales.
1°
2°
Agua que debería quedar para los
depósitos:
17. Ejemplo:
Método del Rombo
Se aplica a aquellos problemas que tengan las siguientes características:
1: Que tengan dos incógnitas:
x –
-
Ejemplo:
n° de patas de 1 conejo =
n° de patas de 1 gallina =
2: Que se conozca el valor
UNITARIO de cada una de las
características:
Ejemplo:
n° de conejos + n° de gallinas =
n° total de patas =
3: Qué se conozcan 2
cantidades totales:
Estos datos e incógnitas se colocan en los
vértices de un rombo, tal como se muestra
x -
: -
Valor unitario mayor
(2ª incógnita)
Valor unitario menor
(1ª incógnita)
1° total 2° total
2ª incógnita = – 1ª incógnita
1ª incógnita =
18. Problema 01
En un corral donde hay conejos y gallinas se encuentra en total 18
cabezas y 52 patas. Cuantas gallinas y cuántos conejos hay?
1: Que tengan dos incógnitas:
x –
-
n° de patas de 1 conejo =
n° de patas de 1 gallina =
2: Que se conozca el valor
UNITARIO de cada una de las
características:
n° de conejos + n° de gallinas =
n° total de patas =
3: Qué se conozcan 2
cantidades totales:
Estos datos e incógnitas se colocan en los
vértices de un rombo, tal como se muestra
x -
: -
Valor unitario mayor
(2ª incógnita)
Valor unitario menor
(1ª incógnita)
1° total 2° total
n° de conejos = – 10 = 8
n° de gallinas= = 10
19. Problema 02
Se quieren embotellar 111 litros de aceite en 27 botellas: unas de 5 litros y
otras de 3 litros. ¿Cuántas botellas más de 5 litros hay que 3 litros?
1: Que tengan dos incógnitas:
x –
-
Contenido de 1 botellas de 5 litros =
Contenido de 1 botellas de 3 litros =
2: Que se conozca el valor
UNITARIO de cada una de
las características:
n° bot. 5 litros + n° bot. 3 litros =
Total de litros a embotellar=
3: Qué se conozcan 2
cantidades totales:
Entonces tenemos
x -
: -
Valor unitario mayor
(2ª incógnita)
Valor unitario menor
(1ª incógnita)
1° total 2° total
n° de bot. de 5 litros= – 12 = 15
n° de bot. de 3 litros= = 12
Hay 3 botellas más de 5 litros que de 3 litros
20. 2.5 Potenciación de números naturales
En general se tiene:
Se llama potenciación a una multiplicación de factores iguales.
𝒃 𝒏
= b x b x b x b x … x b = P
n vecesbase
exponente potencia
𝒃 𝒏= Se lee: “ b elevado a la enésima potencia” o “b elevado al exponente n”
Ejemplo:
𝟐 𝟔
= 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
6 veces
21. 1. Exponente 1:
Propiedades de la potenciación de números naturales
∀ a ∈ ℕ, 𝒂 𝟏 = a
15 ∈ ℕ , 151 =15
2. Producto de potencia de la
misma base
𝒂 𝒏 x 𝒂 𝒎 = 𝒂 𝒏+𝒎
𝟑 𝟐 x 𝟑 𝟒 = 𝟑 𝟐+𝟒 = 𝟑 𝟔
3. Cociente de potencia de la
misma base
𝒂 𝒏
𝒂 𝒎 = 𝒂 𝒏−𝒎
𝟓 𝟔
𝟓 𝟒 = 𝟓 𝟔−𝟒 = 𝟓 𝟐
4. Exponente cero:
Si a ≠ 0, entonces; 𝒂 𝟎 = 1
𝟏𝟐𝟓 𝟎 = 1
5. Potencia de potencia
𝒂 𝒏 𝒎
= 𝒂 𝒏 . 𝒎
𝟐 𝟖 𝟒
= 𝟐 𝟖 . 𝟒 = 𝟐 𝟑𝟐
22. 2.6 Radicación de números naturales
n a = r
n a= Se lee: “ raíz enésima de a”
Raíz de un números naturales
Calcular la raíz enésima de un conjunto natural es encontrar otro número
que elevado a la enésima potencia dé por resultado el número propuesto.
En general se tiene:
3
64 = 4 ,porque 4 3 = 64
radicando
índice raíz
↔ r n = a
100 = 10 ,porque 10 2 = 100
5
32 = 2 ,porque 2 5 = 32
23. 1. Producto de raíces con el
mismo índice:
Propiedades de la radicación de números naturales
n a .
n
b =
n
a.b
8 . 18 = 8.18 = 144 = 12
2. Cociente de raíces con el
mismo índice: n a
n
b
=
n a
b
3. Raíz de raíz:
n m a = n.m a
3
64 =
2.3
64 =
6
64 = 2
4. Simplificación del índice con el
exponente del radicando:
n
an = a
4
47 4 = 473 512
3
64
=
3 512
64
=
3
𝟖 = 2
10
1615 =
5.2
165.3 = 163
= 16
3
= 43 =64
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
