Μια άσκηση στα βαρυτικά κύματα. Ξεκινώντας από την εξίσωση του κύματος που μας δίνεται και ακολουθώντας τις οδηγίες της άσκησης παίρνουμε πληροφορίες για η μάζα, την ελικότητα και το spin του (υποθετικού) βαρυτονίου.

1. ΒΑΡΥΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ
Ο φορέας των βαρυτικών αλληλεπιδράσεων είναι ένα υποθετικό σωματίδιο, το
βαρυτόνιο. Το βαρυτόνιο περιγράφεται από ένα συμμετρικό τανυστή δεύτερης τάξης
h h  που ικανοποιεί την εξίσωση:
16h h h h GS   
                      (1)
όπου:
1
2
S 
      
(2)
με:
(1, 1, 1, 1)     (3)
να είναι η μετρική και με  να είναι ο τανυστής ορμής-ενέργειας, ο οποίος
ικανοποιεί τον νόμο διατήρησης:
0
   (4)
i) Αποδείξτε ότι η εξίσωση του βαρυτονίου είναι αναλλοίωτη κάτω από τον
μετασχηματισμό:
h h h           (5)
Πόσες είναι οι ανεξάρτητες συνιστώσες του βαρυτονίου;
ii) Λόγω της παραπάνω συμμετρίας, μπορούμε να διαλέξουμε τη συνθήκη (βαθμίδα):
1
0
2
h h 
      
(6)
Ποια εξίσωση ικανοποιεί το βαρυτόνιο σε αυτή τη βαθμίδα;
iii) Ποια είναι η ελικότητα του βαρυτονίου;
Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι στη βαθμίδα (6) το βαρυτόνιο περιγράφεται από επίπεδα
κύματα της μορφής:
(x) e hc,ikx
h e   kx k x
 (7)
που παραμένουν αναλλοίωτα κάτω από τον μετασχηματισμό:
(x) e hcikx
i e    (8)

2. όπου e , e είναι σταθερές.
Βρείτε πως μετασχηματίζονται τα e κάτω από τους μετασχηματισμούς (5) και
δείξτε ότι για ένα επίπεδο βαρυτικό κύμα που ταξιδεύει στη διεύθυνση +z,
( 1 2
k k 0  , 3 0
k k k 0   ) μπορούμε να μηδενίσουμε όλα τα e εκτός των
11 12 22 11e ,e ,e e  . Στη συνέχεια κάντε μια στροφή γύρω από τον άξονα των z κατά
γωνία θ, έτσι ώστε τα e να μετασχηματισθούν ως:
e eR R 
   
  (9)
όπου R
 είναι ο πίνακας στροφής στο επίπεδο x-y. Δείξτε ότι για τα :
11 12e e ei  ισχύει:
2
e ei
e 
 
  (10)
Σημειώστε ότι το επίπεδο κύμα ψ το οποίο κάτω από στροφές κατά γωνία θ γύρω
από τον άξονα διάδοσης μετασχηματίζεται σαν:
ih
e 
   (11)
λέμε ότι έχει ελικότητα h.
i) Σύμφωνα με την εκφώνηση, το βαρυτόνιο υπακούει στην εξίσωση:
16h h h h GS   
                      (12)
Το πρώτο λοιπόν μέλος της (12) γράφεται:
h h h h   
                  
h h h h   
                    
h h h h   
                 (13)
Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό:
h h h           (14)
οι επιπλέον όροι (       ) όταν εισαχθούν στη (13), δίνουν:

3. ( ) ( ) ( ) ( )   
                                             
   
                          
   
                         
Αναδιατάσσοντας λοιπόν τους όρους και χρησιμοποιώντας την μεταθετικότητα των
μερικών παραγώγων, η μεταβολή στο αριστερό μέλος της (12), λόγω του
μετασχηματισμού (14) γίνεται ίση με :

   

                


 
                    





                  





      

            
Στη συνέχεια, αλλάζοντας κατάλληλα τους «βωβούς δείκτες», η μεταβολή στο
αριστερό μέλος της (12), λόγω του μετασχηματισμού (14) γίνεται ίση με :





                   
0




   

              
Επομένως η εισαγωγή του μετασχηματισμού h h h           στην
εξίσωση του βαρυτονίου δεν επηρεάζει καθόλου το αριστερό μέλος της εξίσωσης (1)
και εφ’ όσον ο εν λόγω μετασχηματισμός αφήνει ανεπηρέαστο το δεξιό μέλος της (1),
συμπεραίνουμε ότι το βαρυτόνιο εξακολουθεί να υπακούει στην προ του
μετασχηματισμού εξίσωση.
Τώρα εφ’ όσον ο τανυστής δεύτερης τάξης h (16 στοιχεία) είναι συμμετρικός
( h h  ), αυτό σημαίνει ότι από τα 16 στοιχεία του πίνακα, τα 10 είναι ανεξάρτητα
μεταξύ τους. Η επιπλέον «ελευθερία» που μας δίνεται από τον μετασχηματισμό
βαθμίδας (5) μας επιτρέπει να απαλλαγούμε από 4 επιπλέον στοιχεία του πίνακα.
(Διαλέγοντας πχ. 11 0h  ή 11 1 1 1 1 1 12h        ή
11
1 1
2
h
  . Ομοίως για τα
00 22 33, ,h h h ). Έτσι απομένουν τελικά 6 στοιχεία για τον τανυστή h που αποτελούν
και τις ανεξάρτητες συνιστώσες του βαρυτονίου).
ii) Επιλέγουμε τη βαθμίδα:

4. 1
0
2
h h 
      
(15)
που μπορεί να γραφεί:
1
2
h h 
     
(16)
Με αλλαγή του βωβού δείκτη:   έχουμε:
1
2
h h 
     
(17)
Και με αλλαγή του   έχουμε:
1
2
h h 
     
(18)
Τώρα λοιπόν έχουμε:
16h h h h GS   
                     
που (μέσω της μεταθετικότητας των μερικών παραγώγων) γράφεται:
16h h h h GS   
                     
ή (μέσω των σχέσεων (15),(16) και (17)):
1 1
16
2 2
h h h h GS   
                       
ή
16h GS
      (19)
Έτσι λοιπόν με την επιλογή της βαθμίδας:
1
0
2
h h 
      
η εξίσωση που πλέον ικανοποιεί το βαρυτόνιο, απλουστεύεται στη μορφή:
16h GS
     
ή
16h GS  
Οπότε πλέον η λύση της (1), ισοδυναμεί με την λύση του συστήματος:

5. 16h GS  
1
2
h h 
     
(20)
με:

  (Νταλαμπερσιανή).
iii) Θεωρώντας την ομογενή εξίσωση:
0h  (21)
και την βαθμίδα:
1
2
h h 
     
(22)
Έχουμε σαν λύσεις επίπεδα κύματα της μορφής:
(x) e eikx ikx
h e e  
 
  (23)
ή:
(x) e hcikx
h e   , με kx k x
 (24)
Η λύση: (x) e eikx ikx
h e e  
 
  , ικανοποιεί την 0h  , αν: k x 0
  ή
2
k 0 (δηλαδή αν το βαρυτόνιο είναι άμαζο), ενώ επίσης ικανοποιεί την βαθμίδα
(22) :
1
2
h h 
      , αν είναι:
1
k e k e
2
 
   
(25)
Ο συμμετρικός πίνακας: e ονομάζεται τανυστής πόλωσης (polarization tensor).
Στη συνέχεια εξακολουθούμε να «ανεβοκατεβάζουμε» δείκτες μέσω του μετρικού
τανυστή:  , δηλαδή : k k 
 
Τώρα, ένας 4x4 συμμετρικός τανυστής έχει (γενικά) 10 ανεξάρτητες συνιστώσες,
οπότε οι 4 εξισώσεις (για ν = 0, 1, 2, 3) κατεβάζουν τον αριθμό των ανεξάρτητων
συνιστωσών στις 6, όμως και από αυτές τις έξι, μόνο οι 2 αναπαριστούν σημαντικούς
από φυσική άποψη βαθμούς ελευθερίας. Με αλλαγή των συντεταγμένων:

6. ( )x x x  
  , αλλάζουμε τη μετρική: h   σε μια νέα: h   , με την
«διαταραχή»: h
 να δίνεται (όπως αποδεικνύεται) από τη σχέση (5).
Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι επιλέγουμε να είναι:
(x) e eikx ikx
i e i e    
  , ή
(x) e hcikx
i e    .
Τότε, η σχέση: h h          , δίνει:
e ikx
h e 
  , με: e e k e k e     
    (26)
Πράγματι, έχουμε:
e ikx
h e 
  ,
h h          , με (x) e ikx
h e  και:
( e ) k eikx ikx
i e e          ,
( e ) k eikx ikx
i e e          ,
οπότε:
h h          ή
e e k e k eikx ikx ikx ikx
e e e e     
    ή τελικά:
e e k e k e     
    (27)
Η παραπάνω σχέση (27) μας λέει πως μετασχηματίζονται τα e μέσω της βαθμίδας
(5).
Στη συνέχεια εργαζόμαστε με τη σχέση (25):
1
k e k e
2
 
    (Είναι:
e e
   ).
Για 0  , έχουμε:

7. 0 1 2 3 0 1 2 3
0 0 1 0 2 0 3 0 0 0 1 2 3
1
k e k e k e k e k (e e e e )
2
      
Όμως (λόγω της μετρικής (3)), έχουμε:
0
0 00e e και 0 0e ei
i  για 1,2,3i  .
Μέσω λοιπόν των 1 2
k k 0  ή 1 2k k 0  και 3 0
k k k 0   ή
3 0k k k 0    παίρνουμε:
00 30 00 11 22 33
1
e e (e e e e )
2
     ή (μιας και 30 03e e )
00 03 00 11 22 33
1
e e (e e e e )
2
    
(28)
Για 1  , έχουμε:
1 1
1
k e k e 0
2
 
   , (διότι 1k 0 ), οπότε:
0 1 2 3
0 1 1 1 2 1 3 1k e k e k e k e 0    ή
01 13e e 0  (29)
Για 2  , έχουμε:
02 23e e 0  (30)
Και τέλος για 3  , έχουμε:
03 33 00 11 22 33
1
e e (e e e e )
2
     
(31)
Έχουμε λοιπόν το σύστημα των εξισώσεων (28), (29), (30) και (31):
00 03 00 11 22 33
1
e e (e e e e )
2
    
01 13e e 0 
02 23e e 0 
03 33 00 11 22 33
1
e e (e e e e )
2
     

8. Οπότε:
01 13e e  (32)
και:
02 23e e  (33)
Από την πρώτη και την τέταρτη εξίσωση παίρνουμε:
00 03 03 33e e e e    ή
03 00 332e e e   ή
03 00 33
1
e (e e )
2
  
(34)
Η πρώτη λοιπόν εξίσωση του συστήματος, γράφεται:
00 00 33 00 11 22 33
1 1
e (e e ) (e e e e )
2 2
      ή
00 33 00 11 22 33
1 1 1
e e (e e e e )
2 2 2
     ή
22 11e e 0  ή
22 11e e  (35)
Έχουμε λοιπόν ήδη:
01 13e e 
02 23e e 
03 00 33
1
e (e e )
2
  
22 11e e 

9. Έτσι λοιπόν τα 01e , 02e , 03e , και 22e μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των
υπολοίπων, μειώνοντας έτσι τον αριθμό των ανεξάρτητων e σε 6 (από τα 10
αρχικά). Ανεξάρτητα πλέον είναι τα: 00e , 11e , 12e , 13e , 23e και 33e .
Μέσω της σχέσης μετασχηματισμού (27), τα ανεξάρτητα e γίνονται:
11 11 11e e e 
12 12 12e e e 
13 13 13 1e e e ke  
23 23 23 2e e e ke  
33 33 33 3e e e 2ke  
00 00 00 0e e e 2ke  
Επομένως μπορούμε να μηδενίσουμε τα 13e , 23e , 33e , και 00e επιλέγοντας να
είναι:
13
1
e
e
k
 ,
23
2
e
e
k
 ,
33
3
e
e
2k
 ,
00
0
e
e
2k
  (36)
Με αυτό τον τρόπο πετυχαίνουμε να μηδενίσουμε όλα τα e
 εκτός των:
11e , 12e και 22 11e e  .
Στη συνέχεια, αν θεωρήσουμε μια στροφή γύρω από τον άξονα των z κατά γωνία
θ, τα e μετασχηματίζονται στα e
 , που δίνονται από τη σχέση:
e eR R 
   
  (37)
όπου R
 είναι ο πίνακας στροφής γύρω από τον z – άξονα, τα στοιχεία του
οποίου δίνονται από τα cos ij , όπου ij η γωνία που σχηματίζει ο νέος άξονας i με
τον παλιό j. Είναι:

10. (38)
Ακολούθως ορίζουμε:
11 12e e ei  , οπότε:
11 12e e ei
   (39)
Με τα e
 να δίνονται από τη σχέση μετασχηματισμού:
e eR R 
   
  ,
με το R
 να δίνεται από τον πίνακα (38) (όμοια για το R
 ).
Θα έχουμε λοιπόν (με άθροιση ως προς τους δείκτες ρ και σ):
2 2
11 11 21 12 22e cos e cos sin e cos sin e sin e          ή
2 2
11 11 12e (cos sin )e 2cos sin e       (αφού: 22 11e e  και 12 21e e ) ή
11 11 12e cos2 e sin2 e    (40)
Κατόπιν:
2 2
12 11 12 21 22e cos sin e cos e sin e cos sin e           ή
2 2
12 11 12e 2cos sin e (cos sin )e        ή
12 11 12e sin2 e cos2 e     (41)
Από τις σχέσεις (40) και (41) έχουμε:
11 12 11 12 11 12e e cos2 e sin2 e sin2 e cos2 ei i i         ή
11 12 11 12e e (cos2 sin2 )e (cos2 sin2 )ei i i i         ή

11. 2 2
11 12 11 12e e e ei i
i e ie 
    ή
2
11 12 11 12e e (e e )i
i e i
    ή
2
e ei
e 
 
  (42)
Με όμοιο τρόπο αποδεικνύουμε ότι:
2
e ei
e 
 
  (43)
Επομένως και σύμφωνα με την υπόδειξη της άσκησης το βαρυτόνιο πρέπει να έχει
ελικότητα 2 . Τώρα μιας και η ελικότητα μπορεί να ιδωθεί σαν την προβολή του spin
στην κατεύθυνση της κίνησης, το βαρυτόνιο πρέπει να έχει spin 2.
Κατά τη λύση λοιπόν της άσκησης δείξαμε ότι το βαρυτόνιο:
i) Είναι άμαζο (
2
k k k 0
  ).
ii) Έχει ελικότητα 2 .
iii) Έχει spin 2.
Το γεγονός ότι το βαρυτόνιο δεν έχει μάζα ηρεμίας μας λέει ότι η βαρύτητα
πρέπει να έχει άπειρη εμβέλεια.
ΜΑΡΤΗΣ 2016
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ