2. ECUACIÓN DE CAUCHY-EULER La facilidad relativa con que pudimos determinar soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes. Se trata de una ecuación con coeficientes variables cuya solución general siempre se puede expresar en términos de potencias de x, senos, cosenos y funciones logarítmicas y exponenciales.
3. Ecuación de Cauchy-Euler o ecuación equidimensional Toda ecuación diferencial lineal de la forma donde los coeficientes an,, an-1, . , , , aoson constantes, tiene los nombres de ecuación de Cauchy-Euler, o ecuación equidimensional. La característica observable de este tipo de ecuación es que el grado k = n, n 1, . . . , 0 de los coeficientes monomiales xk coincide con el orden k de la diferenciación, dk y/dxk:
4. La solución de ecuaciones de orden superior será análoga. Una vez determinada la función Complementaria yn(x) también podemos resolver la ecuación no homogénea g(x) con el método de variación de parámetros. Nota: El coeficiente de d2y/dx2 es cero cuando x = O; por consiguiente, para garantizar que los resultados fundamentales del teorema 4.1 se apliquen a la ecuación de Cauchy-Euler, concentraremos nuestra atención en determinar la solución general en el intervalo (0, ). Se pueden obtener las soluciones en el intervalo (-, 0) sustituyendo t = -x en la ecuación diferencial.
5. Ejemplo :Ecuación de Cauchy-Euler: raíces distintas la solución es y = xm. Diferenciamos dos veces y sustituimos en la ecuación diferencial Resuelva SOLUCIÓN
6. si m2 - 3m - 4 = 0. Pero (m + 1)(m - 4) = 0 significa que m1 = -1 y m2 = 4, así que raíces reales repetidas : Si las raíces de (1) son repetidas (esto es, si m1 = m2), solo llegaremos a una solución, que es y = Xm1. Cuando las raíces de la ecuación cuadrática am2+ (b - a)m + c = 0 son iguales, el discriminante de los coeficientes tiene que ser cero. Deacuerdo con la formula cuadrática, la raíz debe ser m1 = -(b - a)/2a. Podemos formar ahora una segunda solución
7. Ejemplo 2: Ecuación de Cauchy-Euler: raíces repetidas Resuelva La sustitución y = xm da cuando 4m2 + 4m + 1 = 0, o (2m + 1)2 = 0. Como la solución general es
8. Para las ecuaciones de orden superior se puede demostrar que si m1 es raíz de multiplicidad k, entonces son k soluciones linealmente independientes. En consecuencia, la solución general de la ecuación diferencial debe contener una combinación lineal de esas k soluciones.
9. raíces complejas conjugadas Si las raíces de (1) son el par conjugado m1 = , donde son reales, una solución es
