Aquí les dejo esta presentancion de powerpont de como se resuelven las ecuaciones diferenciales por Operador Anulador espero les sirva.

1. Ecuaciones Diferenciales
Método: Operador Anulador
Por: Jorge A. Frías Hernández.
Prof. Martínez Padilla Cesar Octavio.

2. Operador Anulador
DEBES DE SABER
Que para resolver un sistema de ecuaciones por el método de operador anulador.
Necesitamos encontrar L =Anulador en ambas partes de la ecuación.
Lf ( x) = Lg ( x)

3. Operador Anulador
• Lo primero que debemos saber es lo siguiente.
n
dy
Regla 1 D =
n
Anula 1, x, x 2 ...x n −1 eαx senβ x
dx
Regla 2 ( D − α ) n Anula eαx , xeαx , x 2 eαx ....x n −1eαx
Regla 3
[ D 2 − 2αD + (α 2 + β 2 )]n Anula eαx cos βx, eαx senβx, eαx x n −1 cos βx, eαx x n −1 senβx

4. Operador Anulador
n
dy
Ejemplo Regla 1: Dn = Anula 1, x, x 2 ...x n −1
dx
sea x 2 + 8 x + 1 → D 3 ( x 2 + 8 x + 1) D = ( x 2 + 8 x + 1)
D' = 2 x + 8
n +1
D' ' = 2
D donde n = x
n
D' ' ' = 0

5. Operador Anulador
Ejemplo Regla 2: ( D − α ) n Anula eαx , xeαx , x 2 eαx ....x n −1eαx
sea e − x → ( D + 1)e − x → De − x + 1e − x → D' = − e − x + e − x = 0

6. Operador Anulador
Ejemplo Regla 3:
[ D 2 − 2αD + (α 2 + β 2 )]n Anula eαx cos βx, eαx senβx, eαx x n −1 cos βx, eαx x n −1 senβx
sea 5e − x ⋅ cos 2 x → [ D 2 − 2(−1) D + ((−1) 2 + 2 2 )]1 → D 2 + 2 D + 5
Donde α = −1 β = 2 n = 1
D 2 + 2D + 5 = 0

7. Operador Anulador
Resolución de un problema por el método del anulador en una
ecuación de segundo orden
Sea y '' + 3 y ' + 2 y = x 2 No Homogénea
Recordemos que estamos buscando
Segundo Orden
yG = y c + y p
Paso 1: Sacar yc igualando a 0 el primer miembro de la ecuación.
Y se resuelve por el método de coeficientes
yc = y '' + 3 y ' + 2 y = 0 Constantes,

8. Operador Anulador
λ2 + 3λ + 2 = 0 (λ + 2)(λ + 1)
∴ λ1 = −2 λ2 = −1 yc = C1e −2 x + C2 e − x
Ya que tenemos yc . sacamos yp De la siguiente forma
Paso 2: Ahora anularemos a g(x).
y '' + 3 y ' + 2 y = x 2
y p = ( D 2 + 3D + 2) y = x 2
y p = D 3 ( D 2 + 3 D + 2) y = D 3 x 2 = 0
y p = D 3 ( D 2 + 3D + 2) y = 0 Ahora tenemos que resolver Esa ecuación de la misma
forma que resolvemos la homogénea

9. Operador Anulador
Paso 3:Resolvemos la ecuación por el método de Coeficientes Constantes.
y p = D 3 ( D 2 + 3D + 2) y = 0
λ3 (λ2 + 3λ + 2) = 0 → λ3 (λ + 2)(λ + 1)
∴ λ1 = λ2 = λ3 = 0 λ4 = −2 λ5 = −1
y = C1 + C2 x + C3 x 2 + C4 e −2 x + C5e − x
Vemos que esta es igual a la homogénea
Por lo tanto vamos a resolver el recuadro
Azul únicamente de la forma de Coeficientes
∴ y p = A + Bx + Cx 2 Indeterminados

10. Operador Anulador
Paso 4:Sacamos la derivada según el orden y sustituimos en la ecuación original
y p = A + Bx + Cx 2
y p ' = B + 2Cx
y p ' = 2C
y '' + 3 y ' + 2 y = x 2 → 2C + 3( B + 2Cx ) + 2( A + Bx + Cx 2 ) = x 2

11. Operador Anulador
Paso 4: Una vez que hallamos derivado vamos a sustituir en nuestra ecuación
Original y resolvemos
y '' + 3 y ' + 2 y = x 2 → 2C + 3( B + 2Cx ) + 2( A + Bx + Cx 2 ) = x 2
2Cx 2 + (6C + 2 B ) x + (2C + 3B + 2 A) = x 2
2C = 1 → C = 1
2
6C + 2 B = 0 → 6( 1 ) + 2 B = 0 → B =
2
−3
2
2C + 3B + 2 A = 0 → 2 1 + 3 −23 + 2 A = 0 → A =
2
7
4
y p = 1 + −23 + 7
2 4

12. Operador Anulador
Paso 5: Respuesta. Recordemos que yG = yc + y p
−2 x −x
∴ yG = C1e + C2 xe + − x + x
1
2
3
2
7
4
2
Esta es la respuesta de nuestra ecuación diferencial de segundo
Orden por el método de Operador Anulador.

13. Operador Anulador
Gracias por su atención.