1. FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y
ELECTRÓNICA
Tema: Resolución de problemas de valor inicial
Integrantes:
➢ Mario Zhinin
➢ Diego Carrera
➢ Mauricio Anchitipan
Grupo: 4
Grupo de trabajo: 4

2. SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES
POR EL MÉTODO DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Consideramos el siguiente Sistema de ecuaciones diferenciales:
dx/dt=a11x+a12+f(t)
dy/dt=a21x+a22+g(t)
Con condiciones iniciales x(0)=x , y(0)=y donde x y son incógnitas, a11
a12 a21 a22 son constantes y f(t) y g(t)son funciones conocidas
tomando la transformada de Laplace a ambas ecuaciones diferenciales
del sistema

3. L{dx/dt}=L{a11x+a12+f(t) , Mediante las propiedades de las transformada se tiene que:
L{dy/dt}=L{a21x+a22+f(t)
L{x}-x(0)=a11L(x)+a12L(y)+L{F(t)} , agrupando términos se tiene
L{y}-y(0)=a21L(y)+a22L(y)+L{F(y)}
(s-a11)L{x}-a12L{y}+L{f(t)}-a21L{x}+(s-a22)L{y}=L{g(t)}
Si: x0+L{f(t)} y y0+L{g(t)}
no son ambos cero, entonces se puede resolver el sistema, mediante la regla de CRAMER, es
decir:

4. EJEMPLO:
Resolver el problema con valor inicial,
x′(t)=x(t)-y(t)+e^t
y′(t)=2x(t)+3y(t)+e^t
Como x(0)=1 , y(0)=0.

7. UNA ECUACIÓN INTEGRAL
El teorema de la convolución es útil para resolver otros tipos de ecuaciones
en las que aparece una función incógnita bajo un signo de integral.

9. RESORTES ACOPLADOS
(Aplicaciones de la Transformada de Laplace)
Suponemos que dos masas m1 y m2 están sujetas a dos resortes A y
B, de masas insignificantes k1 y k2, respectivamente. Los dos
resortes están conectados de la siguiente forma:

10. Sea x1(t) y x2(t) los desplazamientos verticales de las masas con
respecto a sus posiciones de equilibrio, cuando el sistema se
encuentra en movimiento, el resorte B está sujeto tanto a un
alargamiento como a un acortamiento; de este modo los resortes
aplican una fuerza sobre m1.

11. Si no se aplica ninguna fuerza externa al sistema y no hay fuerza de
amortiguación, entonces la fuerza neta sobre m1 es:
Por la segunda ley de Newton escribimos así:

12. De igual modo la fuerza ejercida sobre la masa m2 se debe
solamente al alargamiento de B, es decir:
De esta manera resulta que:

13. En otras palabras, el movimiento del sistema acoplado queda
descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de
segundo orden simultáneas:
EJERCICIO:
Resolver el sistema anterior suponiendo que k1=6, k2=4, m1=1,
m2=1, y que las masas parten de sus posiciones de equilibrio con
velocidades unitarias de direcciones opuestas.

14. La masas en la posicion de equlibrio parten del reposo X1(0)=0,
X2(0)=0 y sus velocidades son unitarias y opuestas: X1’(0)=1, X2’(0)=-
1
Reemplazamos los valores iniciales que nos da el problema

15. Para X1
• Fracciones parciales

16. Para X2

17. • Fracciones parciales

18. Respuesta:

19. ECUACIÓN INTEGRO-DIFERENCIAL
La segunda ley de Kirchhoff establece que en un circuito simple conectado en serie, la suma de las caídas
de potencial a través de un inductor, de un resistor y de un capacitor es igual a la tensión E(t)
suministrada. Como:
Para un inductor
V(t)=L (di(t))/dt ; en donde L es la inductancia
Para un resistor
V(t)=Ri(t) ; en donde R es la resistencia
Para un capacitor
V(t)=1/C ∫i(t)dt ; en donde C es la capacitancia. Entonces:

20. REDES ELÉCTRICAS
Un sistema eléctrico (red) con más de un circuito simple también dá origen a ecuaciones diferenciales
simultáneas tal como se muestra en la figura:
En el nodo B1, de acuerdo a la 1ra ley de Kirchhoff: i(t)=i2(t)+i3(t) (1)
En la malla A1B1B2A2A1, de acuerdo a la 2da ley de Kirchhoff:
E(t)=i1(t)R1+L1(di2(t))/dt+i2(t)R2 (2)

21. En la malla A1B1C1C2B2A2A1, de acuerdo a la 2da ley de Kirchhoff:
E(t)=i1(t)R1+L2(di3(t))/dt (3)
Reemplazando (1) en (2) y (3) obtenemos:
L1 di2(t)/dt+(R1+R2)i2(t)+R1i3(t)=E(t)
L2 di3(t)/dt+R1i2(t)+R1i3(t)=E(t)
Con las condiciones:
i2(0)=0, i3(0)=0
Ejemplo 1:
Encontrar las corrientes i1 e i2 con las condiciones: E=60V, L=1H, R=50, C=10^-4F y donde i1 e i2 son
inicialmente iguales a cero.
L di1(t)/dt+Ri2(t)=E(t)
RC di2(t)/dt+i2(t)-i1(t)=0

22. Al reemplazar los datos en el sistema se tiene:
Luego aplicamos la transformada de Laplace a cada ecuación del sistema:
;mediante fracciones parciales se tiene

23. ;mediante fracciones parciales se tiene:

24. Ejemplo 2:
Resolver la ecuación diferencial: y′′-3y′+2y=4t+12e^(-t) , con y(0)=6, y′(0)=-1
Aplicando la transformada de Laplace:

25. BIBLIOGRAFÍA
● Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, Dennis
G.Zill, Editor Thomson 2007, Sexta edición, Capítulo 7 páginas
295-354
● Análisis Matemático IV, Eduardo Espinoza Ramos,Segunda
edición, Capítulo 13 página 652-691