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【材料力学】3次元空間の応力 (II-07-1 2020)
- 3. 応力の定義 一意に定義 T ＝ lim ΔS →0 ΔS ΔN 3/13 ΔS ΔN (x, y, z) ΔS ΔN (x, y, z) ΔS ΔN 応力 ＝ ΔS の大きさに依存ΔNが T ΔS → 0
- 4. Nn PP Nn σ ＝ Nn A ＝ P A 復習：応力成分は面に依存する A’ ＝ cos θ A σ’ N’n A’ ＝ ＝ P A cos2 θ P P Aθ A’ Nn P NnN’n＝ cos θ θ 4/13 N’n
- 6. x, y, z軸に垂直な面の応力 x面 y面 z面 6/13 x z σx τxy τxz y x z y σy τyx τyz x z y τzy τzx σz 3面 3方向× ＝ 9成分 応力状態
- 8. せん断応力の共役性 z軸周りのモーメント ( )τxy ＋ dzdy dx ( )τyx ＋ dx dz dy− ＝ 0 τxy ＋ ＝ τyx ＋ 9成分 3成分− ＝ 6成分 独立な応力成分 τxz ＋ τzx ＋ ＝ τyz ＋ ＝ τzy ＋ 8/13 同様にして
- 9. 応力テンソル i 軸に垂直な面のj 方向応力σij ２階のテンソル 行列表示 垂直応力 σxx σx＝ σyy σy＝ σzz σz＝ τyxσyx ＝ τzyσzy ＝ せん断応力 τzxσzx ＝ せん断応力の共役性 σx σy σz τyx τzx τzy Sym. [σ] ＝ 9/13 σxy σyz σxz ＝ ＝ ＝ σyx σzy σzx せん断成分が対称
- 10. σy τyz τyx − − − τxz σxτxy − − − 任意面の投影面積 x z σx ＋ τxy ＋ τxz ＋ y σy ＋ τyx ＋ τyz ＋ △OBC ＝ Sx ＝ S・nx △OCA ＝ Sy ＝ S・ny △OAB ＝ Sz ＝ S・nz △ABC ＝ S A B C △ABCの単位法線ベクトル n nx ny nz ＝ O 10/13
- 11. x軸方向の力の釣合い x z y A B C O Tnx S σx − Sx τyx − Sy τzx − Sz− − − bx＋ V ＝ 0 τyx − τzx − Tnx σx − nx＝ ＋ ny＋ nz − bxV S τyx − τzx − Tnx σx − nx＝ ＋ ny＋ nz ( )S → 0∵ bx：単位体積力 応力成分 T Tnx Tny Tnz ＝ (n) 11/13 △OBC ＝ Sx ＝ S・nx △OCA ＝ Sy ＝ S・ny △OAB ＝ Sz ＝ S・nz △ABC ＝ S σx − Sx τyx − Sy τzx − Sz TnxS
- 12. 応力ベクトルと応力テンソル τyx τzxTnx σx nx＝ ＋ ny＋ nz σy τzyTny τxy nx＝ ＋ ny＋ nz τyz σzTnz τxz nx＝ ＋ ny＋ nz 応力テンソルから 任意面の応力ベクトルが決定できる τyx − τzx − Tnx σx − nx＝ ＋ ny＋ nz if S → 0 dx → 0 σx − ＝ σx ＋＝ σx dx [σ]T T ＝ (n) ・n 12/13
- 13. まとめ：3次元空間での応力 3. 応力テンソルと応力ベクトル 13/13 ・独立6成分 ・せん断応力成分は共役 [σ]＝ 1. 3次元空間における応力の定義 2. 3次元空間における応力状態 T ＝ lim ΔS →0 ΔS ΔN ΔS ΔN (x, y, z) 応力テンソルから 任意面の応力ベクトルが決定できる [σ]T T ＝ (n) ・n
Editor's Notes
- 内力は場所の関数
- 垂直応力とは．． まず、引張荷重をうける丸棒に働く垂直応力を求めてみます．
- 引っ張り荷重が作用する場合の向きが正
- JSME p141の表記におきかえても良いかもしれない
- 面積は長さの２乗，体積は３乗で小さくなるので V/S→０
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