【目標】 1. 棒の引張り変形 2. せん断変形 3. はり の曲げ変形 4. 軸のねじり変形 https://www.slideshare.net/KazuhiroSuga/clipboards/i-2020 https://www.slideshare.net/KazuhiroSuga/clipboards/ii-2020

1. 様々な変形の弾性ひずみエネルギー
3. はり の曲げ変形
2. せん断変形
1. 棒の引張り変形
4. 軸のねじり変形
1/10

2. PT
δT
ℓ
E：ヤング率 A：断面積
P
δO
δT
PT
UT ＝
2
1 σ A εℓ・
UT
*＝ V
棒の引張り
2
σε
UT
* ＝
＝
2
Eε2
＝
2E
σ2
PT δTUT
2
1
＝
PT ＝ σ A
δT ＝ εℓ
A
2
σε＝ ℓ
σ＝E ε∵
弾性ひずみエネルギー密度
2/10

3. せん断変形
PS ＝ τ A
δS ＝ γℓ
PS δSUS
2
1
＝
US ＝
2
1 τ A γℓ・
＝
US
*＝ V
弾性ひずみエネルギー密度
＝
2
Gγ2
＝
2G
τ2
＝US
*
2
τγ
変形前 変形後
P
δO
δS
PS
G：横弾性係数 A：断面積
2
τγ Aℓ
τ＝Gγ∵
3/10
ℓ

4. はり の曲げ
σ I
M y＝
y
A
2
dAI ＝
M ＝ （ ）I
M 2
y dA dx
2E
1
の弾性ひずみエネルギー
2E
σ2
dA dx＝ddUB
：はりの長さℓ
E：ヤング率
A：断面積
は位置 x の関数M
4/10
x
y

5. はり の曲げ
σ I
M y＝
＝
A
2E
1
I
M 2
y（ ）dAdx
2EI
M 2
2
y
A
2
dAdx＝
y
A
2
dAI ＝ ＝
2EI
M 2
dx
x
y
M
の弾性ひずみエネルギー
ddUB
A
dUB ＝
：はりの長さℓ
E：ヤング率
A：断面積
5/10

6. はり の曲げ
σ I
M y＝
y
A
2
dAI ＝
＝
ℓ
0 2EI
M 2
dx
x
y
M
はり 全体の弾性ひずみエネルギー
UB ＝
ℓ
0
dUB
：はりの長さℓ
E：ヤング率
A：断面積
6/10

7. 軸のねじり
ddUTS
＝
GIp
T 2
2
πρ3 dxdρ
＝
2G
τ2
{ }（ ）π ρ dρ＋
2
− ρπ
2
dx
＝
2G
τ2
（ ）π 2ρ dρ＋ dρdx
~− G
τ2
π ρdρdx
=
ρ
Ip
Tτ
T
dx
の弾性ひずみエネルギー
Ip＝
2
πr4
∵
7/10
：軸の長さℓ
r：半径
G：横弾性係数

8. 軸のねじり
=
ρ
Ip
Tτ
T
dx
の弾性ひずみエネルギー
0
＝
r
GIp
T 2
2
πρ3
dxdρ
ddUTS
0
r
dUTS＝
2
1
＝
GIp
T 2
2 2
πr4
dx
＝
2GIp
T 2
dx Ip＝
2
πr4
∵
8/10
：軸の長さℓ
r：半径
G：横弾性係数

9. 軸のねじり
=
ρ
Ip
Tτ
T
dx
軸全体の弾性ひずみエネルギー
＝
2GIp
T 2
ℓ
ℓ
0
dx＝
2GIp
T 2
ℓ
UTS ＝
0
dUTS
9/10
：軸の長さℓ
r：半径
G：横弾性係数
＝
2
T
ねじれ角
GIp
Tℓ＝
φ( )ℓ
φ( )ℓ

10. まとめ：
様々な変形の弾性ひずみエネルギー
2
σε
UT
* ＝
＝
2
Eε2
＝
2E
σ2
US
* ＝
＝
2
Gγ2
＝
2G
τ2
2
τγ
弾性ひずみエネルギー密度
１. 棒の引張り変形
2. せん断変形
弾性ひずみエネルギー
ℓ
0
dxUTS ＝
2GIp
T 2
4. 軸のねじり変形
：棒の長さℓ
UB ＝
ℓ
0 2EI
M 2
dx
3. はり の曲げ変形
：はりの長さℓ
10/10