【目標】 1. 平面応力状態を説明できる 2. 平面ひずみ状態を説明できる 3. 平面応力/平面ひずみ状態における応力とひずみを計算できる https://www.slideshare.net/KazuhiroSuga/clipboards/i-2020 https://www.slideshare.net/KazuhiroSuga/clipboards/ii-2020

1. 平面応力と平面ひずみ
1. 平面応力状態を説明できる
目標
1/９
2. 平面ひずみ状態を説明できる
3. 平面応力/平面ひずみ状態における
応力とひずみを計算できる

2. 平面応力状態
x
y
z
自由表面
σz τxz τyz＝ ＝ ＝ 0仮定
・ひずみ＝0
・応力＝ 0
板厚方向(z方向)の応力分布
2/９
自由に変形できる面
( )εz＝
E
ν
σx− σy＋
ひずみは生じる
τxz τyz
内部の応力も
高くならない
z
σz
自由表面 自由表面

3. 平面応力状態の応力ーひずみ関係
( )εx＝
E
1 σx ν σy−
( )εy＝
E
1 σy ν σx−
( )εz ＝
E
ν
σx σy＋−
τxy＝
G
1
γxy
γzx＝ γyz＝ 0
σx＝ ( )( )1 ν 1 ν−＋
E εx＋ν εy( )
( )σy＝ ( )( )1 ν 1 ν−＋
E εy＋ν εx
σz＝ 0
τxy γxy＝G
τzx＝ τyz＝ 0
3/９

4. 平面ひずみ状態
x
y
z 4/9
板厚方向(z方向)の変位
z
u v w
自由表面 自由表面
変化なし
∂
∂
z
w
＝ 0∂
∂
z
u
＝
∂
∂
z
v
＝
仮定 εz γxz γyz＝ ＝ ＝ 0
σz＝ ( )ν ＋εx εy
応力は生じる
一様変形

5. 平面ひずみ状態の応力ーひずみ関係
( )εz ＝
E
1 σz ν σx− σy＋
( )＝σz ν σx σy＋
＝ 0
( )εx＝
E
1 σx ν σy− σz＋
( )＝
E
σx −
1 ν− 2 ν
σy1 ν−
5/9

6. 平面ひずみ状態の応力ーひずみ関係
εz
( )＝
E
σy −
1 ν− 2 ν
σx1 ν−
εy
( )＝
E
σx −
1 ν− 2 ν
σy1 ν−
εx
( )＝σz ν σx σy＋
σx＝ ( )( )1 ν 1 2ν−＋
E ( )1 ν− εx ν εy＋
σy＝ ( )( )1 ν 1 2ν−＋
E ( )1 ν− εy ν εx＋
τxy＝
G
1
γxy
γzx＝ γyz＝ 0 τzx＝ τyz＝ 0
τxy γxy＝G
6/9
＝ 0

7. 例題：ひずみを求めよ
100 N
x
y
100 N
10 mm
20 mm
板厚:1 mm
E = 206 GPa
ν = 0.3
σx＝ 0
σy ＝
100
10×1×10-6
＝ 10 MPa
( )εz ＝
E
ν
σx σy＋−
＝ 0.146×10-4
−
( )εx＝
E
1 σx ν σy−
＝ 0.146×10-4
−
( )εy＝
E
1 σy ν σx−
＝ 0.485×10-4
任意のx, y面が一様変形
γxy＝ 0 τxy＝ 0 7/9
平面応力状態
σz τxz τyz＝ ＝ ＝ 0

8. 例題：ひずみを求めよ
100 N
x
y
100 N
10 mm
20 mm
E = 206 GPa
ν = 0.3
σx＝ 0
σy ＝
100
10×10-3×1
＝ 10 KPa
8/9
( )＝σz ν σx σy＋
＝ 3.0 × 103
＝ ( )E
σx −
1 ν− 2 ν
σy1 ν−
εx
＝ 0.189 × 10-7
−
( )＝
E
σy −
1 ν− 2 ν
σx1 ν−
εy
＝ 0.442 × 10-7
板厚:1 m
平面ひずみ状態
εz γxz γyz＝ ＝ ＝ 0
任意のx, y面が一様変形
γxy＝ 0 τxy＝ 0

9. まとめ：平面応力と平面ひずみ
軸方向のひずみが無視できるz
εz γxz γyz＝ ＝ ＝ 0
σz＝ ( )ν ＋εx εy
z 軸方向の応力を無視できる
σz τxz τyz＝ ＝ ＝ 0
( )εz＝
E
ν
σx− σy＋
x
y
z
薄板
仮定
仮定
ひずみは生じる
応力は生じる
1. 平面応力状態
2. 平面ひずみ状態
3. 平面応力/平面ひずみ状態における応力とひずみの計算
9/9
厚板