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昔アラブの偉いお坊さんが 平均と分散を忘れた哀れな男に
しびれるような香りいっぱいの 琥珀色した分布を教えてあげました
やがて心ウキウキ とても不思議このムード
たちまち男は 事前分布におきました
コンガマラカス楽しいルンバのリズム 南の国の情...
オーギュスタン=ルイ・コーシー
• 解析学の分野に対する多大な貢献から
「フランスのガウス」と呼ばれること
もある。これは両者がともに数学の厳
密主義の開始者であった事にも関係す
る。他に天文学、光学、流体力学など
への貢献も多い。ーWikip...
コーシー分布
• コーシー分布は位置母数μと尺度母数σが母数
• μ=0,σ=1が標準コーシー分布と呼ばれ,自由度1
のt分布に一致する
Cauchy(y|µ, ) =
1
⇡ [1 + (y µ
)2]
コーシー分布の特徴
• 平均と分散が定義されない。
• 最頻値と中央値は定義される。
平均がないわけあらへん
• 計算したったらええねん。
※別にrstanでなくても,rcauchy(n,mu,sigma)で出ます。
あるがな
標準偏差がとても大きい。
最大・最小値もびっくりするぐらい大きい。
「定義されない」のは
Cauchy(y|µ, ) =
1
⇡ [1 + (y µ
)2]
http://mathtrain.jp/cauchydist より
コーシー分布の特徴
• 「定義されない」のであって,サンプル平均,サン
プル分散はもちろん算出できます。
• より厳密な数学的説明はWikiや他書に譲るとして…
• 実際問題どういう振る舞いをしているのか,をみて
みたいと思います。
例えば正規分布の場合
• サンプルが得られるたびにその平均を取っていく,
ということを繰り返すと・・・
例えば正規分布の場合
• サンプルが得られるたびにその平均を取っていく,
ということを繰り返すと・・・
大数の法則!
コーシー分布の場合
• サンプルが得られるたびにその平均を取っていく,
ということを繰り返すと・・・
コーシー分布の場合
• 散らばりすぎ。分散に至っては枠外。
コーシー分布の場合
• ylimをなくすとびっくりすることが起きるよ
52943290
裾が重い分布
• さっきのに標準正規分布を重ねる。
裾が重い分布
Re:コーシー分布の特徴
• 時々とんでもない外れ値を出すことがある分布
• 実現値の場合,裾の方に必ず出現度数がある=裾が
重い分布。
• べき分布の一種
• 大数の法則が成立しない(大数の法則は期待値 平
均値の存在を前提としている)
コーシー分布の使い所
• ノーベル経済学賞をとったショールズとマートン(生
きていたらフィッシャー・ブラックも受賞したと言
われる)の「ブラック・ショールズ評価式」は式の
美しさのために正規分布を仮定した。
• 彼らが所属していた投資銀行が予測...
コーシー分布の使い所
• 分散投資の基礎は現代ポートフォ
リオ理論だが,これは株や債券の
価格分布が平均・分散をもつこと
を前提としている。
• 株価のように,時折大きな変動を
する(冪)分布については平均・
分散が存在しないことがあるで。
我々にとっての使い所
• 半Cauchy分布を分散の事前分布にするといいよ,と
いう話。
• Gelman,A.(2006) Prior distributions for variance
parameters in hierarchical...
半コーシー分布
この辺が「半」
Gelman(2006)
• 階層モデル(ex.8学校)で
• 逆ガンマを無情報事前分布においたりしてたやん。
• これ事前分布が逆ガンマなら事後分布も逆ガンマに
なるからつこてたけど,Jが小さい時は数字の決め
方にだいぶ左右されんで。
Gelman(2006)
• せやから非心t分布を半分に折った分布族を使った
ほうがええで。その代表格が半コーシーやわ。
• 尺度パラメタAを に飛ばしたら一様分布になるし
な,十分おっきかったら「ほとんど情報持ってない」
状態になるねん。裾が...
Gelman(2006)
逆ガンマまじでやめといたほうがええで。
裾がほとんどゼロになってまうやろ。
一様分布か半コーシーがええで。
まとめ
• コーシー分布は平均と分散が定義できない
• 裾の重い(heavy tail)分布
• 事前分布の影響がありそうな,小さなサンプルに対し
ては,分散の事前分布として半コーシー分布を選ぶと
良い。
• Polson and Scott(...
補遺)その他の特徴
• 中心極限定理が成立しない
• 確率変数がコーシー分布の時,その標本分布もコー
シー文になるので,標本平均の分散は
• 正規分布する確率変数同士の商の分布
• コーシー確率変数の逆数もコーシー分布
http://www.g...
以上,
コーシー分布について
でした。
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Cauchy分布について(ベイズ塾例会資料)2015.07.26

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Cauchy分布について(ベイズ塾例会資料)2015.07.26

  1. 1. 昔アラブの偉いお坊さんが 平均と分散を忘れた哀れな男に しびれるような香りいっぱいの 琥珀色した分布を教えてあげました やがて心ウキウキ とても不思議このムード たちまち男は 事前分布におきました コンガマラカス楽しいルンバのリズム 南の国の情熱のアロマ それは不思議な分布 コーシー分布について @kosugitti
  2. 2. オーギュスタン=ルイ・コーシー • 解析学の分野に対する多大な貢献から 「フランスのガウス」と呼ばれること もある。これは両者がともに数学の厳 密主義の開始者であった事にも関係す る。他に天文学、光学、流体力学など への貢献も多い。ーWikipediaより Augustin Louis Cauchy
  3. 3. コーシー分布 • コーシー分布は位置母数μと尺度母数σが母数 • μ=0,σ=1が標準コーシー分布と呼ばれ,自由度1 のt分布に一致する Cauchy(y|µ, ) = 1 ⇡ [1 + (y µ )2]
  4. 4. コーシー分布の特徴 • 平均と分散が定義されない。 • 最頻値と中央値は定義される。
  5. 5. 平均がないわけあらへん • 計算したったらええねん。 ※別にrstanでなくても,rcauchy(n,mu,sigma)で出ます。
  6. 6. あるがな 標準偏差がとても大きい。 最大・最小値もびっくりするぐらい大きい。
  7. 7. 「定義されない」のは Cauchy(y|µ, ) = 1 ⇡ [1 + (y µ )2] http://mathtrain.jp/cauchydist より
  8. 8. コーシー分布の特徴 • 「定義されない」のであって,サンプル平均,サン プル分散はもちろん算出できます。 • より厳密な数学的説明はWikiや他書に譲るとして… • 実際問題どういう振る舞いをしているのか,をみて みたいと思います。
  9. 9. 例えば正規分布の場合 • サンプルが得られるたびにその平均を取っていく, ということを繰り返すと・・・
  10. 10. 例えば正規分布の場合 • サンプルが得られるたびにその平均を取っていく, ということを繰り返すと・・・ 大数の法則!
  11. 11. コーシー分布の場合 • サンプルが得られるたびにその平均を取っていく, ということを繰り返すと・・・
  12. 12. コーシー分布の場合 • 散らばりすぎ。分散に至っては枠外。
  13. 13. コーシー分布の場合 • ylimをなくすとびっくりすることが起きるよ 52943290
  14. 14. 裾が重い分布 • さっきのに標準正規分布を重ねる。
  15. 15. 裾が重い分布
  16. 16. Re:コーシー分布の特徴 • 時々とんでもない外れ値を出すことがある分布 • 実現値の場合,裾の方に必ず出現度数がある=裾が 重い分布。 • べき分布の一種 • 大数の法則が成立しない(大数の法則は期待値 平 均値の存在を前提としている)
  17. 17. コーシー分布の使い所 • ノーベル経済学賞をとったショールズとマートン(生 きていたらフィッシャー・ブラックも受賞したと言 われる)の「ブラック・ショールズ評価式」は式の 美しさのために正規分布を仮定した。 • 彼らが所属していた投資銀行が予測を外し破綻!
  18. 18. コーシー分布の使い所 • 分散投資の基礎は現代ポートフォ リオ理論だが,これは株や債券の 価格分布が平均・分散をもつこと を前提としている。 • 株価のように,時折大きな変動を する(冪)分布については平均・ 分散が存在しないことがあるで。
  19. 19. 我々にとっての使い所 • 半Cauchy分布を分散の事前分布にするといいよ,と いう話。 • Gelman,A.(2006) Prior distributions for variance parameters in hierarchical models. Bayesian Analysis, 1,515-533. • Polson N.G. and Scott J.G. (2012) On the Half-Cauchy Prior for a Global Scale Parameter, Bayesian Analysis, 7,887-902.
  20. 20. 半コーシー分布 この辺が「半」
  21. 21. Gelman(2006) • 階層モデル(ex.8学校)で • 逆ガンマを無情報事前分布においたりしてたやん。 • これ事前分布が逆ガンマなら事後分布も逆ガンマに なるからつこてたけど,Jが小さい時は数字の決め 方にだいぶ左右されんで。
  22. 22. Gelman(2006) • せやから非心t分布を半分に折った分布族を使った ほうがええで。その代表格が半コーシーやわ。 • 尺度パラメタAを に飛ばしたら一様分布になるし な,十分おっきかったら「ほとんど情報持ってない」 状態になるねん。裾がめっちゃ重いからな。
  23. 23. Gelman(2006) 逆ガンマまじでやめといたほうがええで。 裾がほとんどゼロになってまうやろ。 一様分布か半コーシーがええで。
  24. 24. まとめ • コーシー分布は平均と分散が定義できない • 裾の重い(heavy tail)分布 • 事前分布の影響がありそうな,小さなサンプルに対し ては,分散の事前分布として半コーシー分布を選ぶと 良い。 • Polson and Scott(2012)は逆ガンマを駆逐する勢い。 Gelman(2006)は半t族で尺度パラメタはデータから考えるべき, という立場(J=3の八学校はσ=25)
  25. 25. 補遺)その他の特徴 • 中心極限定理が成立しない • 確率変数がコーシー分布の時,その標本分布もコー シー文になるので,標本平均の分散は • 正規分布する確率変数同士の商の分布 • コーシー確率変数の逆数もコーシー分布 http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/1966_w7.htm
  26. 26. 以上, コーシー分布について でした。
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コーシー分布についてのまとめ

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