A summary on “On choosing and bounding probability metrics”
1. 確率分布間の距離をどう測るか?
A summary on “On choosing and bounding
probability metrics”
June 20, 2018
松井孝太
理研 AIP データ駆動型生物医科学チーム
2. Table of contents
1. Introduction
2. 10 metrics on probability measures
3. Some relationships among probability metrics
4. Why Wasserstein distance?
1
31. S
❅
❅
❅
❅
❅
❅■ x
TV ✲x
✛√
2x
H
W
on
metric
spaces
❅
❅
❅
❅
❅
❅❘
x/dmin ❅
❅
❅
❅
❅
❅■ diamΩ · x
✲
√
x
✛
(diamΩ + 1) x
✒√
x/2
ν dom µ
❅
❅
❅
❅
❅
❅■
√
x✻x/2
I ✲log(1 + x)
χ2 non-metric
distances
✻√
x
ν dom µ
✻x
P
✒x
D
❄
2x
✻x
K L on IR
✻x
✛x
✲(1 + sup |G′|)x
✲x + φ(x)
論文 Figure 1 の確率分布間の距離の関係の詳細を見る.
27
32. Kolmogorov-L´evy on R
Fact 1
確率測度 µ, ν ∈ P(R) の分布関数をそれぞれ F, G とする
とき,
dL(F, G) ≤ dK(F, G) (2)
が成立 (Huber, 1981). さらに, もし G がルベーグ測度に
対して絶対連続であれば,
dK(F, G) ≤
(
1 + sup
x
|G′
(x)|
)
dL(F, G)
が成立 (Petrov, 1995). ここで, G′
は G の微分 (密度関数)
を表す.
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