SlideShare a Scribd company logo
1 of 4
Download to read offline
Φύλλο εργασίας (De L Hospital)
Ο L΄Hospital θεωρούνταν ικανός μαθηματικός, καταγόταν από αριστοκρατική στρατιωτική οικογένεια. Με την
ενηλικίωσή του έγινε λοχαγός του ιππικού, αλλά είχε ήδη αναπτύξει το πάθος του για τα Μαθηματικά. Ύστερα
από την παραίτησή του από τον στρατό, ο L΄Hospital αφοσιώθηκε εξ΄ολοκλήρου στα Μαθηματικά. Μαθήτευσε
υπό τον Johann Bernoulli (1647-1748). Συνέγραψε το πρώτο βιβλίο Διαφορικού Λογισμού, το οποίο γνώρισε
μεγάλη επιτυχία. Ο λεγόμενος DLH ανακαλύφθηκε από τον Johann Bernoulli. Οι DLH και Bernoulli είχαν
υπογράψει ένα συμβόλαιο, σύμφωνα με το οποίο ο L΄Hospital είχε το ελεύθερο δικαίωμα να χρησιμοποιεί τις
ανακαλύψεις του Bernoulli όπως αυτός ήθελε, με αντάλλαγμα έναν σταθερό μισθό.
Στο μάθημα αυτό θα μάθουμε να υπολογίζουμε όρια συναρτήσεων με την βοήθεια του
κανόνα De L’ Hospital, όταν η εφαρμογή των ιδιοτήτων των ορίων μας οδηγεί σε
απροσδιοριστίες της μορφής 0.(+-∞), ∞0
, 00
, ή 1∞
.
Δραστηριότητα Να υπολογιστεί το όριο lim lnx/(1-x2
) για χ->1……………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
Τι παρατηρείτε; …………………………….. παρακάτω παριστάνονται γραφικά στο ίδιο σύστημα
συντεταγμένων οι συναρτήσεις f(x)=lnx και g(x)= 1-x2
Να
αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των f και g στο κοινό τους
σημείο Α(1,0) είναι οι ευθείες ψ-χ-1 και ψ=-2χ+2 αντιστοίχως.
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Παρακάτω φαίνονται οι γραφικές τους παραστάσεις
Να κάνετε χρήση του γεγονότος ότι κοντά στο χο=1 οι τιμές των συναρτήσεων f(x)=lnx και
g(x)=1-x2
προσεγγίζονται από τις τιμές των εφαπτομένων τους ψ=χ-1 και ψ=2χ+2
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Οπότε
x ≠ c,
.
 Όταν οι οριακές τιμές έρχονται στη μορφή 0/0 ή ∞/∞, μπορεί να εφαρμοστεί το
παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως ο κανόνας De L’ Hospital (DLH)
Θεώρημα: Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:Α->R και διάστημα Δ υποσύνολο του Α. Αν
i. Οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο Δ-{χο}, g΄(χ)≠0 για κάθε χεΔ-{χο}
ii. Είναι για χ->χο limf(x)=limg(x)=0 ή limf(x)=+∞ ή -∞ και limg(x)= +∞ ή -∞
iii. Είναι για χ->χο limf΄(χ)/g΄(χ)=L όπου LεR ή L=+-∞
 Το θεώρημα ισχύει και όταν χ->χο+, χ->χο-, χ->+∞, χ->-∞ Αρκεί να ικανοποιούνται
οι προϋποθέσεις του θεωρήματος
 Αν το limf΄(χ)/g΄(χ) για χ->χο είναι και αυτό μία από τις απροσδιόριστες μορφές
0/0 ή ∞/∞, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος DLH για τις f΄, g΄και
επιπλέον για χ->χο limf΄(χ)/g΄(χ)εR ή limf΄΄(χ)/g΄΄(χ) =+-∞ τότε ισχύει ότι:
Για χ->χο lim =lim =lim
 Ασκήσεις-Εφαρμογές
1. Απροσδιόριστη μορφή 0/0. Να υπολογίσετε το lim για χ->0+
..............................................................................................................
..............................................................................................................
2. Απροσδιόριστη μορφή ∞/∞ . Να υπολογίσετε το lim /2x
για χ->+∞………………………………………………………………………………………….
.............................................................................................................
3. Οι οριακές μορφές 0.∞ ή (-∞)+(+∞) μπορούν να
μετασχηματιστούν , έτσι ώστε τα αντίστοιχα όρια να μπορούν να
υπολογιστούν με την βοήθεια του DLH.
Απροσδιόριστη μορφή 0.∞. Να υπολογίσετε το lim[xln(1+1/x)} για
χ->+∞………………………………………………………………………………………………
...........................................................................................................
4. Απροσδιόριστη μορφή (-∞)+(+∞) Να υπολογίσετε το lim (x-lnx) για
χ->+∞ (Να βγάλετε κοινό παράγοντα το χ)………………………………………
..............................................................................................................
5. Οι οριακές μορφές ∞0
,00
, 1∞
μπορούν να μετασχηματιστούν , έτσι
ώστε τα αντίστοιχα όρια να μπορούν να υπολογιστούν με τη
βοήθεια του κανόνα DLH. Απροσδιόριστη μορφή 00
Να υπολογίσετε
το lim x x
για χ->0+ ……………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
Απροσδιόριστη μορφή∞0
Να υπολογίσετε το lim(1+3x)1/x
για
χ->+∞………………………………………………………………………………………………
...........................................................................................................
Επισημάνσεις (Κανόνας De L΄Hospital)
 Ο κανόνας DLH δεν μας δίνει απάντηση σε όλα τα όρια που καταλήγουν σε
απροσδιόριστες μορφές. Άλλοτε δεν ισχύει το θεώρημα και άλλοτε η εφαρμογή του
ή δεν είναι συμφέρουσα ή οδηγεί σε ατέρμονα διαδικασία. Για παράδειγμα για την
εύρεση του ορίου
1. Lim για χ->0, (Εφαρμόστε τον κανόνα του DLH) Tί
παρατηρείτε;…….
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
Σημείωση( Το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι 0)Γιατί;(Εφαρμ.Κριτ.Παρεμβ.)
…………………………………………………………………………………………………………………..........
……………………………………………………………………………………………………………………………
2. Να βρεθεί το lim (ex
-e-x
)/ (ex
+e-x
) ……………………………………………………………………..
….....................................................................................................................................
Τί παρατηρείτε;.........................................(Εφαρμόστε ιδιότητες των ορίων)...........
......................................................................................................................................
 Πολλές φορές ο υπολογισμός του ορίου με τον κανόνα DLH δεν είναι η
ενδεδειγμένη μέθοδος αφού ο υπολογισμός του ορίου μας οδηγεί σε πολύολοκες
πράξεις. Σκόπιμο είναι στις περιπτώσεις αυτές να χρησιμοποιούμε τους γνωστούς
τρόπους εύρεσης των ορίων. Δημιουργείστε μια δικιά σας συνάρτηση
απροσδιόριστης μορφής η οποία να έχει διαφορά ριζών στον αριθμητή και
διαφορά ή άθροισμα ριζών στον παρανομαστή. Διαπιστώστε πόσο δύσκολο είναι
να υπολογίσουμε το όριο με τον κανόνα DLH ενώ με την διαδικασία συζυγών
παραστάσεων λύνεται πολύ πιο εύκολα............................................................
........................................................................................................................................
........................................................................................................................................
 Ακόμα πριν από την εφαρμογή του κανόνα DLH είναι σκόπιμο να απλουστεύουμε
όσο μπορούμε τη μορφή του ορίου. Έτσι για παράδειγμα για την εύρεση του
lim (√x-1)/(1-e 2√x-1
) για χ->1+
(Θέστε t=√x-1)………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………………
 Σκόπιμο είναι να απομονώνουμαι τους παράγοντες που ευθύνονται για την
απροσδιοριστία και να εφαρμόζουμε μόνο γι΄αυτούς τον κανόνα DLH π.χ
Να βρεθεί το limσυνχln(x-2)/ln(ex
–e2
). (Απομονώστε το συνχ)........................
........................................................................................................................................
.................................................................................................................................
 Στην προσπάθεια εύρεσης του ορίου του πηλίκου των παραγώγων ενδέχεται να
εμφανιστεί και πάλι απροσδιόριστη μορφή. Στην περίπτωση αυτή εφαρμόζουμε τον
κανόνα DLH για τις συναρτήσεις f΄(χ) και g΄(χ) Εφόσων φυσικά ικανοποιούνται οι
προϋποθέσεις του θεωρήματος.

More Related Content

What's hot

Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηΣυναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηLamprini Zourka
 
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' ΛυκείουΕξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' ΛυκείουChristos Bekas
 
Ευκλείδεια διαίρεση
Ευκλείδεια διαίρεσηΕυκλείδεια διαίρεση
Ευκλείδεια διαίρεσηchrisplev
 
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματαΔιαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματαpeinirtzis
 
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)Μάκης Χατζόπουλος
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Μάκης Χατζόπουλος
 
Συνάρτηση "1-1"
Συνάρτηση "1-1"Συνάρτηση "1-1"
Συνάρτηση "1-1"peri2005
 
ασκησεις εφαπτομένη οξείας γωνίας
ασκησεις εφαπτομένη οξείας γωνίαςασκησεις εφαπτομένη οξείας γωνίας
ασκησεις εφαπτομένη οξείας γωνίαςKozalakis
 
Μέχρις_ότου - Σύγκριση με Όσο...επανάλαβε - Γενικές Παρατηρήσεις
Μέχρις_ότου - Σύγκριση με Όσο...επανάλαβε - Γενικές ΠαρατηρήσειςΜέχρις_ότου - Σύγκριση με Όσο...επανάλαβε - Γενικές Παρατηρήσεις
Μέχρις_ότου - Σύγκριση με Όσο...επανάλαβε - Γενικές Παρατηρήσειςfrijalas
 
Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις
Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις
Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις Μάκης Χατζόπουλος
 
ΑΕΠΠ: 3ο Επαναληπτικό Τεστ
ΑΕΠΠ: 3ο Επαναληπτικό ΤεστΑΕΠΠ: 3ο Επαναληπτικό Τεστ
ΑΕΠΠ: 3ο Επαναληπτικό ΤεστNikos Michailidis
 
Πέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα Horner
Πέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα HornerΠέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα Horner
Πέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα HornerΜάκης Χατζόπουλος
 
Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου
Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη ΜοσχόπουλουTριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου
Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη ΜοσχόπουλουΜάκης Χατζόπουλος
 
Aσκήσεις στα παραθετικά επιθέτων και επιρρημάτων
Aσκήσεις στα παραθετικά επιθέτων και επιρρημάτωνAσκήσεις στα παραθετικά επιθέτων και επιρρημάτων
Aσκήσεις στα παραθετικά επιθέτων και επιρρημάτωνGeorgia Dimitropoulou
 
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]Μάκης Χατζόπουλος
 

What's hot (20)

Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου ΚατευθυνσηΣυναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
Συναρτησεις Γ Λυκειου Κατευθυνση
 
ΑΟΘ ΕΡΩΤΉΣΕΙΣ ΑΣΚΉΣΕΙΣ
ΑΟΘ ΕΡΩΤΉΣΕΙΣ ΑΣΚΉΣΕΙΣ ΑΟΘ ΕΡΩΤΉΣΕΙΣ ΑΣΚΉΣΕΙΣ
ΑΟΘ ΕΡΩΤΉΣΕΙΣ ΑΣΚΉΣΕΙΣ
 
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' ΛυκείουΕξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
Εξισώσεις - Ανισώσεις Α' Λυκείου
 
Ευκλείδεια διαίρεση
Ευκλείδεια διαίρεσηΕυκλείδεια διαίρεση
Ευκλείδεια διαίρεση
 
μ.χ πολυωνυμα θεωρια-νεο
μ.χ πολυωνυμα   θεωρια-νεομ.χ πολυωνυμα   θεωρια-νεο
μ.χ πολυωνυμα θεωρια-νεο
 
Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ
Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥΑ 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ
Α 2.2 ΕΞΙΣΩΣΗ Β ΒΑΘΜΟΥ
 
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματαΔιαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
Διαγώνισμα Β Γυμνασίου στις Εξισώσεις-προβλήματα
 
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)75 ερωτήσεις Σ-Λ  στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
75 ερωτήσεις Σ-Λ στο Κεφάλαιο 1ο Ανάλυσης (word+mathtype)
 
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
Θεωρία και ασκήσεις για τα ΕΠΑΛ στη Γ τάξη 2020 - 21
 
Συνάρτηση "1-1"
Συνάρτηση "1-1"Συνάρτηση "1-1"
Συνάρτηση "1-1"
 
ασκησεις εφαπτομένη οξείας γωνίας
ασκησεις εφαπτομένη οξείας γωνίαςασκησεις εφαπτομένη οξείας γωνίας
ασκησεις εφαπτομένη οξείας γωνίας
 
Μέχρις_ότου - Σύγκριση με Όσο...επανάλαβε - Γενικές Παρατηρήσεις
Μέχρις_ότου - Σύγκριση με Όσο...επανάλαβε - Γενικές ΠαρατηρήσειςΜέχρις_ότου - Σύγκριση με Όσο...επανάλαβε - Γενικές Παρατηρήσεις
Μέχρις_ότου - Σύγκριση με Όσο...επανάλαβε - Γενικές Παρατηρήσεις
 
Geometria a lukeiou theoria askiseis
Geometria a lukeiou theoria askiseisGeometria a lukeiou theoria askiseis
Geometria a lukeiou theoria askiseis
 
Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις
Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις
Προβλήματα στις κλασματικές εξισώσεις
 
ΑΕΠΠ: 3ο Επαναληπτικό Τεστ
ΑΕΠΠ: 3ο Επαναληπτικό ΤεστΑΕΠΠ: 3ο Επαναληπτικό Τεστ
ΑΕΠΠ: 3ο Επαναληπτικό Τεστ
 
Πέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα Horner
Πέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα HornerΠέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα Horner
Πέντε ασκήσεις χαρακτηριστικές στο σχήμα Horner
 
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ....
 
Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου
Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη ΜοσχόπουλουTριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου
Tριγωνομετρία (θεωρία μεθοδολογία) του Δημήτρη Μοσχόπουλου
 
Aσκήσεις στα παραθετικά επιθέτων και επιρρημάτων
Aσκήσεις στα παραθετικά επιθέτων και επιρρημάτωνAσκήσεις στα παραθετικά επιθέτων και επιρρημάτων
Aσκήσεις στα παραθετικά επιθέτων και επιρρημάτων
 
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
Αντιπαραδείγματα σχολικού βιβλίου [2019]
 

Viewers also liked

φυλλο εργασίας πιθανότητες1
φυλλο εργασίας πιθανότητες1φυλλο εργασίας πιθανότητες1
φυλλο εργασίας πιθανότητες1Kozalakis
 
φύλλο εργασίας αριθμητική πρόοδος
φύλλο εργασίας αριθμητική πρόοδοςφύλλο εργασίας αριθμητική πρόοδος
φύλλο εργασίας αριθμητική πρόοδοςKozalakis
 
φύλλο εργασίας ακολουθίας
φύλλο εργασίας ακολουθίαςφύλλο εργασίας ακολουθίας
φύλλο εργασίας ακολουθίαςKozalakis
 
φυλλο εργασιας εξισωσεις δευτερου βαθμου
φυλλο εργασιας    εξισωσεις δευτερου βαθμουφυλλο εργασιας    εξισωσεις δευτερου βαθμου
φυλλο εργασιας εξισωσεις δευτερου βαθμουKozalakis
 
φύλλο εργασίας γεωμετρική πρόοδος
φύλλο εργασίας γεωμετρική πρόοδοςφύλλο εργασίας γεωμετρική πρόοδος
φύλλο εργασίας γεωμετρική πρόοδοςKozalakis
 
Ύλη εξετάσεων - Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Ύλη εξετάσεων - Άλγεβρα Β΄ ΛυκείουΎλη εξετάσεων - Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Ύλη εξετάσεων - Άλγεβρα Β΄ ΛυκείουPantelis Bouboulis
 
Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2014
Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2014Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2014
Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2014Pantelis Bouboulis
 
Καθολική Κατασκευή Fractal Συνόλων
Καθολική Κατασκευή Fractal ΣυνόλωνΚαθολική Κατασκευή Fractal Συνόλων
Καθολική Κατασκευή Fractal ΣυνόλωνPantelis Bouboulis
 
Fractals και Τεχνολογία
Fractals και ΤεχνολογίαFractals και Τεχνολογία
Fractals και ΤεχνολογίαPantelis Bouboulis
 
μαθητές στα πλαίσια του Project
μαθητές στα πλαίσια του Projectμαθητές στα πλαίσια του Project
μαθητές στα πλαίσια του ProjectKozalakis
 
μαθηματικα και λογοτεχνια
μαθηματικα και λογοτεχνιαμαθηματικα και λογοτεχνια
μαθηματικα και λογοτεχνιαKozalakis
 
συνάρτηση 1 1,αντίστροφη
συνάρτηση 1 1,αντίστροφησυνάρτηση 1 1,αντίστροφη
συνάρτηση 1 1,αντίστροφηKozalakis
 
κανόνες παραγώγισης (επισημάνσεις)
κανόνες παραγώγισης (επισημάνσεις)κανόνες παραγώγισης (επισημάνσεις)
κανόνες παραγώγισης (επισημάνσεις)Kozalakis
 
φυλλο εργασιας ακρότατα 1
φυλλο εργασιας ακρότατα 1φυλλο εργασιας ακρότατα 1
φυλλο εργασιας ακρότατα 1Kozalakis
 
χορεύεις μαθηματικά;
χορεύεις μαθηματικά;χορεύεις μαθηματικά;
χορεύεις μαθηματικά;Kozalakis
 
φυλλο εργασιας μονοτονία συνάρτησης 1
φυλλο εργασιας μονοτονία συνάρτησης 1φυλλο εργασιας μονοτονία συνάρτησης 1
φυλλο εργασιας μονοτονία συνάρτησης 1Kozalakis
 
το πληθος των ριζων Rolle
το πληθος των ριζων Rolleτο πληθος των ριζων Rolle
το πληθος των ριζων RolleKozalakis
 
διανύσματα 1(1)
διανύσματα 1(1)διανύσματα 1(1)
διανύσματα 1(1)Kozalakis
 

Viewers also liked (20)

φυλλο εργασίας πιθανότητες1
φυλλο εργασίας πιθανότητες1φυλλο εργασίας πιθανότητες1
φυλλο εργασίας πιθανότητες1
 
φύλλο εργασίας αριθμητική πρόοδος
φύλλο εργασίας αριθμητική πρόοδοςφύλλο εργασίας αριθμητική πρόοδος
φύλλο εργασίας αριθμητική πρόοδος
 
φύλλο εργασίας ακολουθίας
φύλλο εργασίας ακολουθίαςφύλλο εργασίας ακολουθίας
φύλλο εργασίας ακολουθίας
 
φυλλο εργασιας εξισωσεις δευτερου βαθμου
φυλλο εργασιας    εξισωσεις δευτερου βαθμουφυλλο εργασιας    εξισωσεις δευτερου βαθμου
φυλλο εργασιας εξισωσεις δευτερου βαθμου
 
φύλλο εργασίας γεωμετρική πρόοδος
φύλλο εργασίας γεωμετρική πρόοδοςφύλλο εργασίας γεωμετρική πρόοδος
φύλλο εργασίας γεωμετρική πρόοδος
 
Ύλη εξετάσεων - Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Ύλη εξετάσεων - Άλγεβρα Β΄ ΛυκείουΎλη εξετάσεων - Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Ύλη εξετάσεων - Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
 
Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2014
Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2014Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2014
Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2014
 
Καθολική Κατασκευή Fractal Συνόλων
Καθολική Κατασκευή Fractal ΣυνόλωνΚαθολική Κατασκευή Fractal Συνόλων
Καθολική Κατασκευή Fractal Συνόλων
 
Τέχνη και Fractals
Τέχνη και FractalsΤέχνη και Fractals
Τέχνη και Fractals
 
Fractals και Τεχνολογία
Fractals και ΤεχνολογίαFractals και Τεχνολογία
Fractals και Τεχνολογία
 
Fractal στην φυση
Fractal στην φυσηFractal στην φυση
Fractal στην φυση
 
μαθητές στα πλαίσια του Project
μαθητές στα πλαίσια του Projectμαθητές στα πλαίσια του Project
μαθητές στα πλαίσια του Project
 
μαθηματικα και λογοτεχνια
μαθηματικα και λογοτεχνιαμαθηματικα και λογοτεχνια
μαθηματικα και λογοτεχνια
 
συνάρτηση 1 1,αντίστροφη
συνάρτηση 1 1,αντίστροφησυνάρτηση 1 1,αντίστροφη
συνάρτηση 1 1,αντίστροφη
 
κανόνες παραγώγισης (επισημάνσεις)
κανόνες παραγώγισης (επισημάνσεις)κανόνες παραγώγισης (επισημάνσεις)
κανόνες παραγώγισης (επισημάνσεις)
 
φυλλο εργασιας ακρότατα 1
φυλλο εργασιας ακρότατα 1φυλλο εργασιας ακρότατα 1
φυλλο εργασιας ακρότατα 1
 
χορεύεις μαθηματικά;
χορεύεις μαθηματικά;χορεύεις μαθηματικά;
χορεύεις μαθηματικά;
 
φυλλο εργασιας μονοτονία συνάρτησης 1
φυλλο εργασιας μονοτονία συνάρτησης 1φυλλο εργασιας μονοτονία συνάρτησης 1
φυλλο εργασιας μονοτονία συνάρτησης 1
 
το πληθος των ριζων Rolle
το πληθος των ριζων Rolleτο πληθος των ριζων Rolle
το πληθος των ριζων Rolle
 
διανύσματα 1(1)
διανύσματα 1(1)διανύσματα 1(1)
διανύσματα 1(1)
 

More from Kozalakis

δημιουργικές εργασίες
δημιουργικές εργασίεςδημιουργικές εργασίες
δημιουργικές εργασίεςKozalakis
 
All you need is
All you need isAll you need is
All you need isKozalakis
 
παρουσίαση1 αχ αυτή η παιδεία
παρουσίαση1 αχ αυτή η παιδείαπαρουσίαση1 αχ αυτή η παιδεία
παρουσίαση1 αχ αυτή η παιδείαKozalakis
 
ο Αρχιμήδης
ο Αρχιμήδηςο Αρχιμήδης
ο ΑρχιμήδηςKozalakis
 
προβληματα αναλογα ποσα
προβληματα αναλογα ποσαπροβληματα αναλογα ποσα
προβληματα αναλογα ποσαKozalakis
 
ανάλογα ποσά γραφική παράσταση
ανάλογα ποσά γραφική παράστασηανάλογα ποσά γραφική παράσταση
ανάλογα ποσά γραφική παράστασηKozalakis
 
επικεντρες εγγεγραμμενες γωνιες
επικεντρες εγγεγραμμενες γωνιεςεπικεντρες εγγεγραμμενες γωνιες
επικεντρες εγγεγραμμενες γωνιεςKozalakis
 
λόγος δύο αριθμών
λόγος δύο αριθμώνλόγος δύο αριθμών
λόγος δύο αριθμώνKozalakis
 
παράσταση σημείων στο επίπεδο
παράσταση σημείων στο επίπεδοπαράσταση σημείων στο επίπεδο
παράσταση σημείων στο επίπεδοKozalakis
 
Thalis 2015 16 solutions_final
Thalis 2015 16 solutions_finalThalis 2015 16 solutions_final
Thalis 2015 16 solutions_finalKozalakis
 
ιδιότητες έλλειψης 1
ιδιότητες έλλειψης 1ιδιότητες έλλειψης 1
ιδιότητες έλλειψης 1Kozalakis
 
ελλειψη 3
ελλειψη 3ελλειψη 3
ελλειψη 3Kozalakis
 
παράγωγος 3
παράγωγος 3παράγωγος 3
παράγωγος 3Kozalakis
 
εκθετικη συναρτηση
εκθετικη συναρτησηεκθετικη συναρτηση
εκθετικη συναρτησηKozalakis
 
εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα
εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευραεγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα
εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευραKozalakis
 
ισα συνολα – υποσυνολα – πραξεις μεταξυ συνολων
ισα συνολα – υποσυνολα – πραξεις μεταξυ συνολωνισα συνολα – υποσυνολα – πραξεις μεταξυ συνολων
ισα συνολα – υποσυνολα – πραξεις μεταξυ συνολωνKozalakis
 

More from Kozalakis (16)

δημιουργικές εργασίες
δημιουργικές εργασίεςδημιουργικές εργασίες
δημιουργικές εργασίες
 
All you need is
All you need isAll you need is
All you need is
 
παρουσίαση1 αχ αυτή η παιδεία
παρουσίαση1 αχ αυτή η παιδείαπαρουσίαση1 αχ αυτή η παιδεία
παρουσίαση1 αχ αυτή η παιδεία
 
ο Αρχιμήδης
ο Αρχιμήδηςο Αρχιμήδης
ο Αρχιμήδης
 
προβληματα αναλογα ποσα
προβληματα αναλογα ποσαπροβληματα αναλογα ποσα
προβληματα αναλογα ποσα
 
ανάλογα ποσά γραφική παράσταση
ανάλογα ποσά γραφική παράστασηανάλογα ποσά γραφική παράσταση
ανάλογα ποσά γραφική παράσταση
 
επικεντρες εγγεγραμμενες γωνιες
επικεντρες εγγεγραμμενες γωνιεςεπικεντρες εγγεγραμμενες γωνιες
επικεντρες εγγεγραμμενες γωνιες
 
λόγος δύο αριθμών
λόγος δύο αριθμώνλόγος δύο αριθμών
λόγος δύο αριθμών
 
παράσταση σημείων στο επίπεδο
παράσταση σημείων στο επίπεδοπαράσταση σημείων στο επίπεδο
παράσταση σημείων στο επίπεδο
 
Thalis 2015 16 solutions_final
Thalis 2015 16 solutions_finalThalis 2015 16 solutions_final
Thalis 2015 16 solutions_final
 
ιδιότητες έλλειψης 1
ιδιότητες έλλειψης 1ιδιότητες έλλειψης 1
ιδιότητες έλλειψης 1
 
ελλειψη 3
ελλειψη 3ελλειψη 3
ελλειψη 3
 
παράγωγος 3
παράγωγος 3παράγωγος 3
παράγωγος 3
 
εκθετικη συναρτηση
εκθετικη συναρτησηεκθετικη συναρτηση
εκθετικη συναρτηση
 
εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα
εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευραεγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα
εγγεγραμμένα και εγγράψιμα τετράπλευρα
 
ισα συνολα – υποσυνολα – πραξεις μεταξυ συνολων
ισα συνολα – υποσυνολα – πραξεις μεταξυ συνολωνισα συνολα – υποσυνολα – πραξεις μεταξυ συνολων
ισα συνολα – υποσυνολα – πραξεις μεταξυ συνολων
 

Recently uploaded

1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣChrisa Kokorikou
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxssuser6a63b0
 
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxPantelis Bouboulis
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΣάσα Καραγιαννίδου - Πέννα
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxActforclimate
 
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxssuser78b997
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36dimperist
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxSimos Skouloudis
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx7gymnasiokavalas
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΔήμητρα Τζίνου
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptxMARIAPSARROU4
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx7gymnasiokavalas
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxlabriniderbederi
 

Recently uploaded (16)

Συνέντευξη
Συνέντευξη                                            Συνέντευξη
Συνέντευξη
 
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
1821 ΧΡΥΣΑ ΚΟΚΟΡΙΚΟΥ-ΠΡΟΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΑΝΑΣΤΑΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
 
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptxΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ.pptx
 
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptxΝόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
Νόμος Εκθετικής Μεταβολής και Ραδιενεργή Διάσοαση.pptx
 
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - ΠένναΗ ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
Η ΣΗΜΑΙΑ. Ένα ποίημα της Σάσας Καραγιαννίδου - Πέννα
 
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptxDokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
Dokimi wordpress ebmed parousiasis1.pptx
 
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptxtheoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
theoria_ekthesi_ekfrasi_lykeiou_epixeirima.pptx
 
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΤο πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Το πείραμα του Ερατοσθένη- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
36_Dim_Perist_Eortasmos_25_Martiou_2024.pptx
 
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocxειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις. ειρηνη πολεμος κειμενο με ασκησεις.docxdocx
 
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptxΔιαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
Διαγωνισμός Ζωγραφικής 25η Μαρτίου 2024.pptx
 
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνηςΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
ΣΤ' Θεματική ενότητα: Η διδασκαλία της Ορθόδοξης πίστης γίνεται έργο τέχνης
 
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
25Η ΜΑΡΤΙΟΥ ΔΙΠΛΗ ΓΙΟΡΤΗ. ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ.pptx
 
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μουΘεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
Θεοδώρα Θεοδωρίδη- Ανάρτηση παρουσίασης στο blog μου
 
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptxΓιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
Γιορτή 25ης Μαρτίου 2024- 7ο Γυμνάσιο Καβάλας.pptx
 
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptxΣυμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
Συμπερίληψη προσφύγων μαθητών στο σχολείο.pptx
 

φύλλο εργασίας De l hospital

  • 1. Φύλλο εργασίας (De L Hospital) Ο L΄Hospital θεωρούνταν ικανός μαθηματικός, καταγόταν από αριστοκρατική στρατιωτική οικογένεια. Με την ενηλικίωσή του έγινε λοχαγός του ιππικού, αλλά είχε ήδη αναπτύξει το πάθος του για τα Μαθηματικά. Ύστερα από την παραίτησή του από τον στρατό, ο L΄Hospital αφοσιώθηκε εξ΄ολοκλήρου στα Μαθηματικά. Μαθήτευσε υπό τον Johann Bernoulli (1647-1748). Συνέγραψε το πρώτο βιβλίο Διαφορικού Λογισμού, το οποίο γνώρισε μεγάλη επιτυχία. Ο λεγόμενος DLH ανακαλύφθηκε από τον Johann Bernoulli. Οι DLH και Bernoulli είχαν υπογράψει ένα συμβόλαιο, σύμφωνα με το οποίο ο L΄Hospital είχε το ελεύθερο δικαίωμα να χρησιμοποιεί τις ανακαλύψεις του Bernoulli όπως αυτός ήθελε, με αντάλλαγμα έναν σταθερό μισθό. Στο μάθημα αυτό θα μάθουμε να υπολογίζουμε όρια συναρτήσεων με την βοήθεια του κανόνα De L’ Hospital, όταν η εφαρμογή των ιδιοτήτων των ορίων μας οδηγεί σε απροσδιοριστίες της μορφής 0.(+-∞), ∞0 , 00 , ή 1∞ . Δραστηριότητα Να υπολογιστεί το όριο lim lnx/(1-x2 ) για χ->1…………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………….. Τι παρατηρείτε; …………………………….. παρακάτω παριστάνονται γραφικά στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων οι συναρτήσεις f(x)=lnx και g(x)= 1-x2 Να αποδείξετε ότι οι εφαπτομένες των γραφικών παραστάσεων των f και g στο κοινό τους σημείο Α(1,0) είναι οι ευθείες ψ-χ-1 και ψ=-2χ+2 αντιστοίχως.
  • 2. ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Παρακάτω φαίνονται οι γραφικές τους παραστάσεις Να κάνετε χρήση του γεγονότος ότι κοντά στο χο=1 οι τιμές των συναρτήσεων f(x)=lnx και g(x)=1-x2 προσεγγίζονται από τις τιμές των εφαπτομένων τους ψ=χ-1 και ψ=2χ+2 ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………. Οπότε x ≠ c, .  Όταν οι οριακές τιμές έρχονται στη μορφή 0/0 ή ∞/∞, μπορεί να εφαρμοστεί το παρακάτω θεώρημα που είναι γνωστό ως ο κανόνας De L’ Hospital (DLH) Θεώρημα: Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:Α->R και διάστημα Δ υποσύνολο του Α. Αν i. Οι f,g είναι παραγωγίσιμες στο Δ-{χο}, g΄(χ)≠0 για κάθε χεΔ-{χο} ii. Είναι για χ->χο limf(x)=limg(x)=0 ή limf(x)=+∞ ή -∞ και limg(x)= +∞ ή -∞ iii. Είναι για χ->χο limf΄(χ)/g΄(χ)=L όπου LεR ή L=+-∞
  • 3.  Το θεώρημα ισχύει και όταν χ->χο+, χ->χο-, χ->+∞, χ->-∞ Αρκεί να ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος  Αν το limf΄(χ)/g΄(χ) για χ->χο είναι και αυτό μία από τις απροσδιόριστες μορφές 0/0 ή ∞/∞, ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θεωρήματος DLH για τις f΄, g΄και επιπλέον για χ->χο limf΄(χ)/g΄(χ)εR ή limf΄΄(χ)/g΄΄(χ) =+-∞ τότε ισχύει ότι: Για χ->χο lim =lim =lim  Ασκήσεις-Εφαρμογές 1. Απροσδιόριστη μορφή 0/0. Να υπολογίσετε το lim για χ->0+ .............................................................................................................. .............................................................................................................. 2. Απροσδιόριστη μορφή ∞/∞ . Να υπολογίσετε το lim /2x για χ->+∞…………………………………………………………………………………………. ............................................................................................................. 3. Οι οριακές μορφές 0.∞ ή (-∞)+(+∞) μπορούν να μετασχηματιστούν , έτσι ώστε τα αντίστοιχα όρια να μπορούν να υπολογιστούν με την βοήθεια του DLH. Απροσδιόριστη μορφή 0.∞. Να υπολογίσετε το lim[xln(1+1/x)} για χ->+∞……………………………………………………………………………………………… ........................................................................................................... 4. Απροσδιόριστη μορφή (-∞)+(+∞) Να υπολογίσετε το lim (x-lnx) για χ->+∞ (Να βγάλετε κοινό παράγοντα το χ)……………………………………… .............................................................................................................. 5. Οι οριακές μορφές ∞0 ,00 , 1∞ μπορούν να μετασχηματιστούν , έτσι ώστε τα αντίστοιχα όρια να μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια του κανόνα DLH. Απροσδιόριστη μορφή 00 Να υπολογίσετε το lim x x για χ->0+ …………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………… Απροσδιόριστη μορφή∞0 Να υπολογίσετε το lim(1+3x)1/x για χ->+∞……………………………………………………………………………………………… ........................................................................................................... Επισημάνσεις (Κανόνας De L΄Hospital)  Ο κανόνας DLH δεν μας δίνει απάντηση σε όλα τα όρια που καταλήγουν σε απροσδιόριστες μορφές. Άλλοτε δεν ισχύει το θεώρημα και άλλοτε η εφαρμογή του ή δεν είναι συμφέρουσα ή οδηγεί σε ατέρμονα διαδικασία. Για παράδειγμα για την εύρεση του ορίου 1. Lim για χ->0, (Εφαρμόστε τον κανόνα του DLH) Tί παρατηρείτε;…….
  • 4. …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… Σημείωση( Το παραπάνω όριο υπάρχει και είναι 0)Γιατί;(Εφαρμ.Κριτ.Παρεμβ.) ………………………………………………………………………………………………………………….......... …………………………………………………………………………………………………………………………… 2. Να βρεθεί το lim (ex -e-x )/ (ex +e-x ) …………………………………………………………………….. …..................................................................................................................................... Τί παρατηρείτε;.........................................(Εφαρμόστε ιδιότητες των ορίων)........... ......................................................................................................................................  Πολλές φορές ο υπολογισμός του ορίου με τον κανόνα DLH δεν είναι η ενδεδειγμένη μέθοδος αφού ο υπολογισμός του ορίου μας οδηγεί σε πολύολοκες πράξεις. Σκόπιμο είναι στις περιπτώσεις αυτές να χρησιμοποιούμε τους γνωστούς τρόπους εύρεσης των ορίων. Δημιουργείστε μια δικιά σας συνάρτηση απροσδιόριστης μορφής η οποία να έχει διαφορά ριζών στον αριθμητή και διαφορά ή άθροισμα ριζών στον παρανομαστή. Διαπιστώστε πόσο δύσκολο είναι να υπολογίσουμε το όριο με τον κανόνα DLH ενώ με την διαδικασία συζυγών παραστάσεων λύνεται πολύ πιο εύκολα............................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................  Ακόμα πριν από την εφαρμογή του κανόνα DLH είναι σκόπιμο να απλουστεύουμε όσο μπορούμε τη μορφή του ορίου. Έτσι για παράδειγμα για την εύρεση του lim (√x-1)/(1-e 2√x-1 ) για χ->1+ (Θέστε t=√x-1)…………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………  Σκόπιμο είναι να απομονώνουμαι τους παράγοντες που ευθύνονται για την απροσδιοριστία και να εφαρμόζουμε μόνο γι΄αυτούς τον κανόνα DLH π.χ Να βρεθεί το limσυνχln(x-2)/ln(ex –e2 ). (Απομονώστε το συνχ)........................ ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................  Στην προσπάθεια εύρεσης του ορίου του πηλίκου των παραγώγων ενδέχεται να εμφανιστεί και πάλι απροσδιόριστη μορφή. Στην περίπτωση αυτή εφαρμόζουμε τον κανόνα DLH για τις συναρτήσεις f΄(χ) και g΄(χ) Εφόσων φυσικά ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος.