Ringkasan dokumen pertama: Pantai Senggigi di Lombok Barat memiliki panorama alam yang indah.

1. Pantai Senggigi, Lombok Barat, NTB
Seoul, 2nd of March 2014

2. Tinjauan Umum Modul 3
Secara umum, Modul 3 akan membahas mengenai penentuan alokasi sumber daya yang jumlahnya
terbatas secara optimal dengan menggunakan linear programming: metode grafik.
Modul 3 hanya terdiri dari satu kegiatan belajar: Pemecahan Masalah yang masih dalam Bentuk Standar
dengan Metode Grafik.
Setelah mempelajari Modul 3, diharapkan mampu menerapkan cara alokasi sumber daya yang terbatas
secara optimal untuk melaksanakan beberapa kegiatan, dengan asumsi-asumsi linier.
Secara khusus, setelah mempelajari Modul 3, diharapkan mampu:
• Membuat formulasi masalah ke dalam persamaan-persamaan dan menyusunnya ke dalam linear
programming;
• Memecahkan masalah secara sederhana dengan pendekatan grafik;
• Menjelaskan dasar pemikiran yang digunakan dalam linear programming;
• Menafsirkan arti dari hasil pemecahan optimal berdasarkan metode grafik sebagai dasar dalam
mengambil keputusan.
2

3. Programma Linier
Programma linier merupakan suatu cara mengalokasikan sumber daya yang jumlahnya terbatas secara
optimal untuk melaksanakan beberapa macam aktivitas yang semuanya memerlukan sumber daya tersebut.
Oleh karena jumlah sumber daya yang sifatnya terbatas, maka sumber daya tersebut harus dialokasikan
sedemikian rupa agar diperoleh hasil yang optimal. Yang dimaksud dengan optimal adalah sebaik-baiknya
untuk kita:
• Memaksimalkan laba, penerimaan, output, kepuasan, kenikmatan, dan lain sebagainya.
• Meninimalkan kerugian, biaya, waktu tunggu, ketidakpuasan, dan lain sebagainya.
Asumsi linieritas digunakan dalam menyusun rencana berbasis programma linier. Maksudnya adalah
asumsi bahwa segala sesuatu yang dimaksudkan dalam model yang akan dibuat bersifat linier, atau berhubungan secara linier (proporsional). Misalnya laba yang diperoleh dalam penjualan satu buah produk
adalah Rp 500, maka apabila menjual 100 buah produk akan mendapatkan laba = Rp 50.000.
Selain itu, ada batasan atau konstrain yang melekat pada model. Misalnya konstrain biaya atau modal
(jumlah modal yang dimiliki terbatas), konstrain waktu (waktu yang dipunyai terbatas), bahkan konstrain
tanda (produk yang diproduksi tidak boleh negatif).
3

4. Formulasi Masalah
Sebelum memulai pemograman dengan programma linier, maka kita harus merumuskan kasus atau
masalah yang akan diselesaikan, tentu saja dalam persamaan-persamaan linier. Ada dua macam model
persamaan:
1. Fungsi tujuan (objektif), yang sifatnya menimimalkan atau memaksimalkan.
2. Fungsi pembatas (konstrain), yang merupakan batasan fungsional terhadap jumlah sumber daya yang
terbatas.
Simbol-simbol konvensional yang dipakai:
i
: Nomor (indeks) sumber daya;
j
: Nomor (indeks) aktivitas;
m
: Banyaknya macam sumber daya;
n
: Banyaknya macam aktivitas;
aij : Kebutuhan setiap unit aktivitas j akan sumber daya i;
bi
: Banyaknya sumber daya i yang tersedia;
cj
: Manfaat yang diperoleh untuk setiap unit aktivitas j;
Xj : Ukuran (unit) aktivitas;
Z
: Jumlah nilai yang akan dituju (maksimasi atau minimasi).
4

5. Formulasi Masalah
Ilustrasi 1:
5

6. Formulasi Masalah
1. Fungsi Tujuan
Fungsi ini menunjukkan tujuan yang akan dioptimalkan: maksimasi atau minimasi.
Simbol yang digunakan adalah Z.
Bentuk umum:
n
Z
cjX
j
j 1
Z
c1 X 1
c2 X 2

cn X n
X merupakan variabel keputusan: apa atau siapa yang akan dioptimalkan. Dari ilustrasi 1, yang akan
dioptimalkan adalah jumlah produk 1 dan 2 yang akan diproduksi, maka, n = 2.
Untuk ilustrasi 1, fungsi tujuannya adalah:
Maksimasi
Z = c1X1 + c2X2
Z = 3X1 + 4X2
6

7. Formulasi Masalah
2. Fungsi Pembatas
a. Pembatas Fungsional (Sumber Daya)
Fungsi ini menunjukkan alokasi sumber daya yang tersedia. Apabila setiap unit aktivitas j memerlukan
a unit sumber daya i, maka bentuk umum pertidaksamaan fungsi pembatas fungsional adalah:
n
a1 j X
j
b1
a11 X 1
a12 X 2

a1n X n
b1
a2 j X
j
b2
a 21 X 1
a 22 X 2

a2n X n
b2

a mn X n
bm
j 1
n
j 1


n
a mj X
j
bm
a m1 X 1
am 2 X 2
j 1
Untuk ilustrasi 1, fungsi pembatas fungsionalnya
adalah:
Subject to 2X1 + 1X2 ≤ 6.000
2X1 + 3X2 ≤ 9.000
7

8. Formulasi Masalah
2. Fungsi Pembatas
b. Pembatas Tanda
Fungsi ini menunjukkan bahwa variabel keputusan (Xj) tidak boleh bernilai tertentu. Biasanya, dalam
kasus programma linier sederhana, variabel keputusan tidak boleh bernilai negatif (lebih besar atau
sama dengan nol).
Bentuk umum:
X1
0; X 2
0;  ; X n
0
Untuk ilustrasi 1, fungsi pembatas tandanya adalah:
X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
8

9. Formulasi Masalah
Formulasi masalah secara lengkap dari Ilustrasi 1 adalah:
Maksimasi
Z = 3X1 + 4X2
Subject to
(1) 2X1 + 1X2 ≤ 6.000
(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000
(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
Bentuk formulasi masalah di atas merupakan bentuk standar, yang merupakan bentuk paling sederhana
dan bisa langsung dipecahkan dengan mudah.
Ciri-ciri dari bentuk standar untuk fungsi tujuan maksimasi:
1. Fungsi pembatas fungsional bertanda ≤ (kurang dari sama dengan);
2. Fungsi pembatas tanda nonnegatif atau bertanda ≥ (lebih dari sama dengan).
9

10. Pemecahan Masalah
Pemecahan masalah dari programma linier dapat diselesaikan dengan dua metode: metode visual (grafik)
dan metode simpleks. Metode grafik akan dibahas dalam Modul 3 sedang metode simpleks pada Modul 4.
Kelebihan metode visual (grafik) adalah dapat dengan mudah diimplementasikan dan tidak memerlukan
perhitungan yang rumit karena mudah untuk dibayangkan secara visual.
Kekurangannya adalah terbatas untuk dua dan tiga variabel keputusan. Hal ini dikarenakan secara visual,
hanya mungkin menggambar grafik dalam dua dan tiga dimensi. Bahkan, ada yang hanya membatasi
metode grafik hanya mungkin dilakukan dalam dua dimensi dikarenakan dibutuhkan bantuan software
untuk mempermudah menggambar grafik dalam tiga dimensi. Dalam Modul 3 hanya dibahas metode
grafik secara dua dimensi.
Meskipun begitu, metode grafik sangat baik sebagai dasar dalam mempelajari metode pemecahan masalah
dari programma linier sebelum menginjak ke algoritma yang lebih rumit: metode simpleks.
10

11. Metode Grafik
1. Gambar dua sumbu x dan y. Ibaratkan X1 sebagai sumbu x dan X2 sebagai sumbu y
y
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
-1000
x
1000
2000
3000
4000
5000
6000
11

12. Metode Grafik
2. Gambar semua pembatas fungsional
y
6000
5000
Pembatas fungsional:
(1) 2X1 + 1X2 ≤ 6.000
(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000
4000
3000
2000
1000
0
-1000
x
1000
2000
3000
4000
5000
2X1 + 1X2 ≤ 6.000
6000
2X1 + 3X2 ≤ 9.000
12

13. Metode Grafik
3. Gambar semua pembatas tanda
y
6000
5000
Pembatas tanda:
(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
4000
3000
2000
1000
0
-1000
X1 ≥ 0
x
1000
2000
3000
4000
5000
2X1 + 1X2 ≤ 6.000
X2 ≥ 0
6000
2X1 + 3X2 ≤ 9.000
13

14. Metode Grafik
4. Cari daerah Feasible: “daerah” yang mungkin dijadikan calon solusi.
y
6000
5000
4000
3000
2000
Daerah Feasible
1000
0
-1000
X1 ≥ 0
x
1000
2000
3000
4000
5000
2X1 + 1X2 ≤ 6.000
X2 ≥ 0
6000
2X1 + 3X2 ≤ 9.000
14

15. Metode Grafik
5. Cari calon solusi dengan melihat titik-titik ujung pada daerah feasible.
Calon solusi:
y
O. Titik (0,0);
6000
A. Titik (3000,0);
B. Titik (2250,1500);
5000
C. Titik (0,3000).
4000
Cara mencari titik B:
3000
C
2X1 + 1X2 = 6.000
2X1 + 3X2 = 9.000
-2X2 = -3.000
X2 = 1.500
2000
Daerah Feasible
1000
0O
-1000
X1 ≥ 0
B
x
A
1000
2000
3000
4000
5000
2X1 + 1X2 ≤ 6.000
2X1 + 1X2 = 6.000
2X1 + 1.500 = 6.000
2X1 = 4.500
X1 = 2.250
X2 ≥ 0
6000
2X1 + 3X2 ≤ 9.000
15

16. Metode Grafik
6. Uji semua calon solusi dengan memasukkan fungsi tujuan dan cari yang paling optimal.
Fungsi tujuan: Maksimasi Z = 3X1 + 4X2
y
O. Titik (0,0);
6000
Z = 3(0) + 4(0) = 0
A. Titik (3000,0);
5000
Z = 3(3000) + 4(0) = 9000
B. Titik (2250,1500);
4000
Paling Optimal
Z = 3(2250) + 4(1500) = 12.750
(Paling Maksimal)
3000 C
C. Titik (0,3000);
Z = 3(0) + 4(3000) = 12.000
2000
Daerah Feasible
1000
0O
-1000
X1 ≥ 0
B
x
A
1000
2000
3000
4000
5000
2X1 + 1X2 ≤ 6.000
X2 ≥ 0
6000
2X1 + 3X2 ≤ 9.000
16

17. Metode Grafik
7. Penyelesaian.
Variabel keputusan yang paling optimal:
X1 = 2.250;
X2 = 1.500.
Hal ini berarti produk 1 seharusnya diproduksi sebanyak 2.250 dan produk 2 sebanyak 1.500.
Laba yang diperoleh:
Z = 3X1 + 4X2
Z = 3(2250) + 4(1500)
Z = 12.750.
Try to verify this optimal solution!
17

18. “Penyimpangan”
1. Pembatas fungsional bertanda “≥”
Ketika suatu permasalahan ada pembatas fungsional yang bertanda ≥ (lebih besar atau sama dengan),
maka dalam penggambaran di grafik adalah sebagai berikut.
Misal pembatas fungsional adalah 2X1 + X2 ≥ 6.000.
*Perhatikan daerah yang diarsir!
18

19. “Penyimpangan”
2. Pembatas fungsional bertanda “=”
Ketika suatu permasalahan ada pembatas fungsional yang bertanda = (sama dengan), maka dalam
penggambaran di grafik adalah sebagai berikut.
Misal pembatas fungsional adalah 2X1 + X2 = 6.000.
*Perhatikan bahwa bila pembatas bertanda =, maka tidak ada yang darsir!
19

20. “Penyimpangan”
3. Fungsi Tujuan Minimasi
Ketika fungsi tujuan dari programma linier adalah minimasi, maka cara penyelesaiannya sama dengan
apabila fungsi tujuan maksimasi, hanya saja dalam mencari calon solusi, cari nilai Z yang minimal.
Contoh:
Minimasi
Z = 3X1 + 4X2
Subject to
(1) 2X1 + X2 ≥ 6.000
Fungsi tujuan: Minimasi Z = 3X1 + 4X2
(2) 2X1 + 3X2 = 9.000
A. Titik (4500,0);
(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
Z = 3(4500) + 4(0) = 13500
B. Titik (2250,1500);
Paling Optimal
Z = 3(2250) + 4(1500) = 12.750
(Paling Minimal)
C. Titik (0,6000);
Z = 3(0) + 4(6000) = 24.000
X2 ≥ 0
X1 ≥ 0
20

21. “Penyimpangan”
4. Perubahan dalam pembatas tanda
Ketika suatu permasalahan pembatas tanda tidak nonnegatif, maka dalam penggambaran di grafik
adalah sebagai berikut.
Misal pembatas tanda adalah X1 ≤ – 5.000.
*Perhatikan daerah yang diarsir!
X1 ≤ – 5.000
21

22. “Penyimpangan”
5. Masalah tanpa Daerah Feasible
Adakah permasalahan yang tidak mempunyai daerah feasible? Jawabannya adalah ada.
Hal ini terjadi karena batasan yang ada tidak bisa mengakomodir adanya solusi yang optimal
Contoh:
Maksimasi
Z = 3X1 + 4X2
Subject to
(1) 2X1 + X2 ≥ 6.000
(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000
(3) 4X1 + 5X2 ≥ 20.000
(4) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
X2 ≥ 0
X1 ≥ 0
22

23. “Penyimpangan”
6. Masalah dengan lebih dari satu solusi optimal
Adakah permasalahan yang mempunyai lebih dari satu solusi optimal? Jawabannya adalah ada.
Hal ini biasanya terjadi kalau fungsi maksimasi mempunyai slope yang sama (sejajar) dengan salah
satu pembatas fungsional.
Contoh:
Fungsi tujuan: Minimasi Z = 2X1 + 3X2
Maksimasi Z = 2X1 + 3X2
O. Titik (0,0);
Subject to (1) 2X1 + X2 ≤ 6.000
Z = 2(0) + 3(0) = 0
A. Titik (3000,0);
(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000
Z = 2(3000) + 3(0) = 6000
(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
B. Titik (2250,1500);
Z = 2(2250) + 3(1500) = 9000
C. Titik (0,3000);
Z = 0(0) + 3(3000) = 9000
X2 ≥ 0
X1 ≥ 0
Paling Optimal
(Paling Maksimal)
23

24. “Penyimpangan”
7. Masalah tanpa solusi optimal
Ada dua kemungkinan suatu permasalahan tidak mempunyai solusi optimal:
• Tidak memiliki daerah feasible (sudah dijelaskan pada poin 5);
• Ada aktivitas yang tidak memiliki pembatas fungsional. Hal ini berarti aktivitas tersebut tidak
mempunyai batasan, misalnya jumlah uang dianggap tidak menjadi masalah (tidak terbatas).
8. Hubungan antara titik sudut feasible (calon solusi)
Maksimasi Z = 3X1 + 4X2
Subject to (1) 2X1 + X2 ≤ 6.000
(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000
(3) X1 ≤ 2.000
(4) X2 ≤ 2.800
(5) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
Fungsi tujuan: Minimasi Z = 3X1 + 4X2
O. Titik (0,0);
Z = 3(0) + 4(0) = 0
A. Titik (2800,0);
Z = 3(2800) + 4(0) = 8400
B. Titik (2800,400);
Z = 3(2800) + 4(400) = 10000
C. Titik (2250,1500);
Z = 3(2250) + 4(1500) = 12750
D. Titik (1500,2000);
Z = 3(1500) + 4(2000) = 12500
E. Titik (0,2000);
Z = 3(0) + 4(2000) = 8000
24

25. Analisis Sensitivitas
Analisis sensitivitas bertujuan untuk menghitung akibat dari perubahan fungsi pembatas dan fungsi tujuan.
Contoh:
Maksimasi Z = 3X1 + 4X2
Misalkan fungsi pembatas pertama menjadi 2X1 + X2 ≤ 6.500
Subject to (1) 2X1 + X2 ≤ 6.000
(2) 2X1 + 3X2 ≤ 9.000
O. Titik (0,0);
(3) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0
Z = 3(0) + 4(0) = 0
O. Titik (0,0);
Z = 3(0) + 4(0) = 0
A. Titik (3000,0);
Z = 3(3000) + 4(0) = 9000
B. Titik (2250,1500);
Z = 3(2250) + 4(1500) = 12.750
C. Titik (0,3000);
Z = 3(0) + 4(3000) = 12.000
A. Titik (3250,0);
Z = 3(3250) + 4(0) = 9750
B. Titik (2625,1250);
Z = 3(2625) + 4(1250) = 12.875
C. Titik (0,3000);
Z = 3(0) + 4(3000) = 12.000
25

26. Terima Kasih
감사합니다
Sampai Bertemu Lagi di Pertemuan Selanjutnya
Pantai Senggigi, Lombok Barat, NTB
Seoul, 2nd of March 2014