- Introduction to vector spaces; - Subspaces; - Span; - Linear Independence; - Basis and Dimension; - Constructing Special Bases; - Coordinatization.

1. Instructor:
M. Mujiya Ulkhaq
Department of Industrial Engineering
Aljabar Linear
Linear Algebra
Finite Dimensional Vector Spaces

2. • Introduction to vector spaces;
• Subspaces;
• Span;
• Linear Independence;
• Basis and Dimension;
• Constructing Special Bases;
• Coordinatization.
3-2

3. Definisi
Suatu vector space (ruang vektor) adalah himpunan V bersama dengan operasi penjumlahan vektor dan
perkalian skalar yang memenuhi sepuluh aksioma sebagai berikut:
Untuk setiap u, v, dan w di dalam V dan untuk setiap a dan b dalam R
(A) u + v  V closure property dari penambahan
(B) au  V closure propery dari perkalian skalar
(1) u + v = v + u Hukum komutatif penjumlahan
(2) u + (v + w) = (u + v) + w Hukum asosiatif penjumlahan
(3) Terdapat suatu elemen 0 dari V Keberadaan elemen identitas untuk penjumlahan
sehingga untuk setiap v di dalam V
didapatkan: 0 + v = v = v + 0
(4) Terdapat suatu elemen –u di dalam V Keberadaan elemen invers untuk penjumlahan
sehingga u + (–u) = 0 = (–u) + u
(5) a(u + v) = (au) + (av) Hukum distributif perkalian skalar
(6) (a + b)u = (au) + (bu) untuk penjumlahan
(7) (ab)u = a(bu) Asosiativitas perkalian skalar
(8) 1u = u 1 merupakan elemen identitas untuk perkalian skalar
4-3

4. Contoh vector spaces:
• V = Rn merupakan vector space karena:
– Apabila kita melakukan operasi penjumlahan vektor dari dua vektor yang ada di dalam Rn, maka
vektor yang terbentuk juga berada di dalam Rn  memenuhi closure property dari penambahan;
– Apabila kita melakukan operasi perkalian skalar untuk vektor yang ada di dalam Rn, maka
vektor yang terbentuk juga berada di dalam Rn  memenuhi closure property dari perkalian
skalar.
– Delapan aksioma yang lain memenuhi karena sesuai dengan Teorema 1.3.
• V = Mmn merupakan vector space karena:
– Apabila kita melakukan operasi penjumlahan matriks dari dua matriks yang merupakan anggota
himpunan di dalam Mmn, maka matriks yang terbentuk juga merupakan anggota himpunan di
dalam Mmn  memenuhi closure property dari penambahan;
– Apabila kita melakukan operasi perkalian skalar untuk matriks yang merupakan anggota
himpunan di dalam Mmn, maka matriks yang terbentuk juga merupakan anggota himpunan di
dalam Mmn  memenuhi closure property dari perkalian skalar.
– Delapan aksioma yang lain memenuhi karena sesuai dengan Teorema 1.11
• V = {0} merupakan vector space karena memenuhi sepuluh aksioma yang ada. Vector
space ini disebut trivial vector space; tidak ada vector space lain yang lebih kecil dari ini.
4-4

5. Langkah-langkah untuk memverifikasi suatu vector space:
1. Identifikasi objek (vektor) yang ada di dalam V, apakah merupakan matriks
berukuran m × n, fungsi, polinomial, atau bilangan real.
2. Identifikasi operasi  (penjumlahan) dan  (perkalian skalar).
3. Verifikasi Aksioma (A) dan (B); yang mengharuskan bahwa V tertutup (closure
property) terhadap  dan .
4. Periksa apakah  bersifat komutatif (Aksioma (1)) dan asosiatif (Aksioma (2).
5. Tentukan vektor 0 di dalam V dan periksa Aksioma (3); tentukan bentuk negatif
pada setiap vektor di dalam V dan periksa Aksioma (4).
6. Periksa apakah Aksioma (7) dan (8) dipenuhi.
7. Terakhir, periksa apakah Aksioma (5) dan (6) dipenuhi.
4-5
† Pemeriksaan bisa dilakukan secara tidak berurut, terutama ketika akan melakukan penyangkalan (counter).
‡ Simbol  dan  terkadang digunakan apabila operasi penjumlahan dan perkalian skalar
yang dilakukan “tidaklah sama” (unusual operations) dengan operasi matematis pada biasanya.

6. • W adalah bidang yang memuat titik asal (0,0,0) dan merupakan himpunan dari
vektor dalam ruang tiga dimensi; di mana titik awal (initial point) dan titik akhir
(terminal point)-nya berada dalam bidang tersebut.
Sebagai contoh, W adalah bidang yang memuat vektor u dan v namun tidak
untuk vektor q karena titik akhirnya tidak berada pada W (lihat Gambar 4.1).
Buktikan bahwa W adalah vector space!
• V adalah himpunan dari real-valued functions yang
didefinisikan dalam R.
Sebagai contoh: f(x) = arctan(x) berada di dalam V.
Buktikan bahwa V adalah vector space!
• Pn adalah himpunan polynomials berderajat ≤ n dengan
koefisien bilangan real. Vektor dalam Pn memiliki bentuk:
p = anxn + … +a1x + a0. Buktikan bahwa Pn adalah vector space!
4-6
Gambar 4.1. Bidang W

7. Terkadang operasi penjumlahan dan/atau perkalian skalar didefinisikan secara berbeda.
• V = R2 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sbb:
Jika u = (u1, u2), v = (v1, v2)  V dan a  R, maka:
u  v = (u1 + v1, u2 + v2) dan a  u = (au1, 0).
Periksa apakah V merupakan vektor space!
• K = {(1, y) | y  R2} dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sbb:
Jika u = (1, u), v = (1, v)  K dan a  R, maka:
u  v = (1, u + v) dan a  u = (1, au).
Periksa apakah K merupakan vektor space!
• Y = R3 dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar sbb:
Jika u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3)  Y dan a  R, maka:
u  v = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3) dan a  u =(0, 0, 0).
Periksa apakah Y merupakan vektor space!
4-7

8. 4-8
Teorema 4.1
Jika V adalah vector space, maka untuk setiap vektor v di dalam V dan setiap
bilangan real a, didapatkan:
1) a0 = 0 Setiap skalar yang dikalikan dengan vektor 0 akan meng-
hasilkan vektor 0.
2) 0v = 0 Skalar 0 yang dikalikan dengan vektor v akan menghasil-
kan vektor 0.
3) (–1)v = –v Skalar –1 yang dikalikan dengan vektor v akan meng-
hasilkan elemen invers dari penjumlahan
4) Jika av = 0, maka Jika suatu perkalian skalar menghasilkan vektor 0, maka
a = 0 atau v = 0 skalarnya adalah 0 atau vektor nya adalah vektor 0,
atau keduanya.

9. Contoh subspace:
• Pada contoh sebelumnya terlihat bahwa W yang merupakan bidang yang memuat
titik asal (0,0,0) dan himpunan dari vektor dalam ruang tiga dimensi adalah
vector space. W juga merupakan himpunan bagian dari vector space R3, sehingga
W adalah subspace dari R3.
• S adalah himpunan dari perkalian skalar terhadap
vektor [1, 3, 2]T yang merupakan vector space dalam R3
(lihat Gambar 4.2). S adalah himpunan bagian dari R3,
sehingga S adalah subspace dari R3.
4-9
Definisi
Jika V adalah suatu vector space, maka W adalah subspace dari V jika
dan hanya jika W adalah himpunan bagian dari V (W  V), dan W
sendiri adalah vector space dengan operasi yang sama dengan V.
Gambar 4.2. Subspace S

10. • Subspace W = {0} disebut trivial subspace dari vector space V.
• Suatu vector space yang memuat paling tidak satu vektor tak nol mempunyai dua
subspace, yaitu: trivial subspace dan vector space itu sendiri.
• Semua subspace dari V selain V itu sendiri disebut proper subspace dari V.
Sebagai contoh, dalam R3 setidaknya terdapat empat subspaces, yaitu:
i. trivial subspace {(0, 0, 0)} = {0};
ii. subspace yang merepresentasikan suatu garis yang melalui titik (0, 0) atau R;
iii. subspace yang merepresentasikan suatu bidang yang di dalamnya ada titik
(0, 0, 0,) atau R2; dan
iv. subspace R3 itu sendiri.
Subspace i, ii, dan iii disebut proper subspace.
4-10

11. Contoh 4.1
Buktikan bahwa kuadran pertama dalam R2—himpunan dari 2-vektor (x, y), di mana
x ≥ 0 dan y ≥ 0—adalah bukan subspace dari R2!
Subspace tersebut tidak tertutup terhadap operasi perkalian skalar.
Sebagai contoh vektor [3, 4]T yang terdapat di dalam subspace tersebut tidaklah
tertutup terhadap perkalian skalar apabila kita kalikan dengan c = –2, karena
hasilnya atau vektor [–6, –8]T tidak terdapat di dalam subspace tersebut.
4-11
Teorema 4.2
Jika V adalah vector space dan W adalah himpunan bagian (subset) tak kosong dari
V ; maka W adalah subspace dari V jika dan hanya jika W tertutup terhadap
operasi pejumlahan dan perkalian skalar.

12. M
Contoh 4.2
Un merupakan himpunan dari matriks segitiga atas yang berukuran n × n. Karena Un
adalah himpunan tak kosong, verifikasi apakah Un merupakan subspace dari Mnn!
Kita ambil contoh matriks A = dan B = yang berada di dalam
subspace Un (A, B  Un). Penjumlahan matriks keduanya berada di dalam Un
(A + B  Un); dan perkalian matriks dengan skalar juga berada di dalam Un (cA,
cB  Un); sehingga terbukti bahwa Un adalah subspace dari Mnn. (buktikan juga
untuk bentuk umum/general dari Un!)
Contoh lain dari subspace Mnn adalah Ln (himpunan matriks segitiga atas berukuran
n × n) dan Dn (himpunan matriks diagonal berukuran n × n).
Periksa apakah: (i) himpunan matriks nonsingular yang berukuran n × n; (ii) himpu-
nan matriks singular yang berukuran n × n; dan (iii) himpunan matriks eselon-
baris tereduksi yang berukuran n × n adalah subspace dari Mnn! 4-12









 
100
210
132












200
110
202

13. R
Contoh 4.2
Y adalah himpunan vektor dalam R4 yang mempunyai bentuk (a, 0, b, 0). Verifikasi
apakah Y merupakan subspace dari R4!
Kita ambil contoh vektor u = dan v = yang berada di dalam
subspace Y (u, v  Y). Penjumlahan kedua vektor berada di dalam Y (u + v  Y);
dan perkalian vektor dengan skalar juga berada di dalam Y (cu, cv  Y); sehingga
terbukti bahwa Y adalah subspace dari R4. (buktikan juga untuk bentuk umum/
general dari Y!)
Periksa apakah: (i) W yang merupakan himpunan vektor dalam R3 yang mempunyai
bentuk (a, b, a/2 –2b); (ii) N yang merupakan himpunan vektor dalam R2 di mana
koordinat pertamanya adalah positif; (iii) T yang merupakan himpunan vektor
dalam R2 di mana jumlah dari koordinatnya adalah 3 (tiga).
4-13
 0301  0401

14. Contoh: Pada Gambar 4.2 terlihat bahwa S yang merupakan himpunan perkalian
skalar terhadap vektor [1, 3, 2]T adalah subspace dalam R3. Vektor [2, 6, 4]T dan
vektor [5, 15, 10]T keduanya terdapat di dalam S.
Misalkan kombinasi linear dari keduanya adalah:
• 2[2, 6, 4]T + 3[5, 15, 10]T = [19, 57, 38]T dan
• 1[2, 6, 4]T – 2[5, 15, 10]T = [–8, –24, –16]T.
Terlihat kalau kedua kombinasi linear tersebut berada di dalam S, karena:
• [19, 57, 38]T = 19[1, 3, 2]T
• [–8, –24, –16]T = –8[1, 3, 2]T
4-14
Teorema 4.3
Jika W adalah subspace dari vector space V dan w1, w2, …, wn adalah vektor yang
berada di dalam W; maka kombinasi linear dari w atau a1w1 + a2w2 + … + anwn
juga berada di dalam W.

15. Contoh 4.3
Buktikan bahwa eigenspace dari matriks A = adalah subspace dari Rn.
Berdasarkan perhitungan yang telah dilakukan, pA(x) = x3 – 30x2 +225x dengan akar-
akar real adalah 0 dan 15, sehingga λ1 = 0 dan λ2 = 15.
• Untuk λ1 = 0, eigenspace-nya adalah E0 = {c[1, 3, 2] | c  R}. Dari contoh
sebelumnya terlihat kalau eigenspace E0 adalah subspace dari R.
• Untuk λ2 = 0, eigenspace-nya adalah E15 = {a[4, 1, 0] + b[2, 0, 1] | a, b  R}.
Berdasarkan Teorema 4.4, maka E15 adalah subspace dari R.
4-15
Teorema 4.4
Jika A adalah matriks berukuran n × n dan λ adalah eigenvalue dari A dengan eigen-
space adalah Eλ, maka Eλ adalah subspace dari Rn.













1182
633
2416

16. Contoh: S ={[1, –1, 0], [1, 0, 2], [0, –2, 5]} adalah himpunan bagian dari vector
space R3. Vektor v = [1, –2, –2] yang berada di dalam R3 adalah finite linear
combinations dari vektor-vektor yang ada di dalam S karena:
v = 2[1, –1, 0] – 1[1, 0, 2] + 0[0, –2, 5] = [1, –2, –2].
4-16
Definisi
Jika S adalah suatu himpunan bagian tak kosong (kemungkinannya tak
berhingga/infinite) dari vector space V ; maka vektor v yang ada di
dalam V adalah (finite) linear combinations dari vektor yang ada di
dalam S jika dan hanya jika terdapat finite subset {(v1, v2, …, v3)} di
dalam S sedemikian hingga v = a1v1 + a2v2 + … + anvn untuk bilang-
an real a1, a2, …, an.

17. Span dari suatu himpunan S merupakan generalisasi dari row space dari suatu
matriks, atau dengan kata lain span dari himpunan baris suatu matriks adalah row
space dari matriks tersebut.
Contoh: S1 = {i, j, k} dan rentangan dari S1 atau span(S1) = R3 karena setiap 3-vector
bisa diekspresikan sebagai kombinasi linear dari i, j, dan k. Namun rentangan dari
S2 = {i, j} bukanlah R3 karena span(S2) adalah bidang xy di dalam R3.
4-17
Definisi
Jika S adalah suatu himpunan bagian tak kosong dari vector space V ;
maka span (rentangan) dari S (yang ada di dalam V) adalah
himpunan dari semua (finite) linear combinations yang mungkin
dari vektor-vektor yang ada di dalam S.
† Notasi span(S) digunakan untuk menyatakan rentangan S di dalam V

18. Contoh: S = U2  L2 adalah himpunan bagian (yang jumlahnya tak berhingga) dari
M22; maka rentangan atau span(S) = M22 karena setiap matriks yang berukuran
2 × 2 dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari matriks segitiga atas dan
matriks segitiga bawa, yaitu:
Contoh di atas menunjukkan bahwa ketika S = U2  L2 dan V = M22, maka setiap
vektor/matriks di dalam V adalah kombinasi linear dari vektor/matriks di dalam S;
sehingga rentangan dari S atau span(S) = V itu sendiri.
Ketika hal tersebut terjadi, maka dikatakan bahwa V direntangkan oleh (spanned
by) S atau S merentang (spans) V.
4-18
.
10
00
01
00
00
10
00
01






























dcba
dc
ba

19. Corollary 4.6
Jika V adalah suatu vector space dan S1 dan S2 adalah himpunan bagian dari V
dengan S1  S2, maka span(S1)  span(S2).
Contoh: Apabila v1 = [1, 3, –2, 5]T dan v2 = [0, –4, 3, –1]T adalah vektor yang berada
pada R4, maka berdasarkan Teorema 4.5, span({v1, v2}) merupakan subspace
terkecil dari R4 yang memuat v1 dan v2. Maka, span({v1, v2}) adalah subspace di
dalam R4 yang memuat vektor-vektor dalam bentuk:
a [1, 3, –2, 5]T + b [0, –4, 3, –1]T = [a, 3a – 4b, –2a + 3b, 5a – b]T.
4-19
Teorema 4.5
Jika S adalah himpunan bagian tak kosong dari vector space V, maka:
1) S  span(S);
2) Span(S) adalah subspace dari V (dalam operasi yang sama dengan V).
3) Jika W adalah subspace dari V dengan S  W, maka span(S)  W.
4) Span(S) adalah subspace terkecil dari V yang memuat S.

20. 4-20
Metode Simplifikasi Rentangan (Simplified Span Method)
Apabila S adalah finite subset dari Rn yang berisi k vektor (k ≥ 2), maka untuk
mencari bentuk yang sederhana dari span (simplified span) dengan menggunakan
operasi baris elementer adalah:
1. Bentuk matriks A yang berukuran k × n dengan menggunakan vektor-vektor
yang ada pada S sebagai baris pada matriks A (dengan kata lain, span(S) adalah
row space dari A).
2. Buat matriks C yang merupakan bentuk matriks eselon baris tereduksi dari
matriks A.
3. Maka, bentuk yang sederhana (simplified form) dari span(S) adalah himpunan
dari semua kombinasi linear dari baris tak nol dari C.

21. Contoh 4.4
Apabila S ={[1, 4, –1, –5], [2, 8, 5, 4], [–1, –4, 2, 7], [6, 24, –1, –20]} adalah
himpunan bagian dari R4, cari simplified form dari span(S)!
Matriks A yang terdiri dari vektor-vektor dalam S adalah: A =
Matriks C yang merupakan matriks eselon baris tereduksi dari matriks A adalah:
C =
Berdasarkan Teorema 2.8, maka row space dari A adalah row space dari C.
Simplified span(S) = {a[1, 4, 0, –3] + b[0, 0, 1, 2] | a, b  R} adalah subspace dari R4.
4-21
.
201246
7241
4582
5141






























201246
7241
4582
5141
     
     
     4164
313
2122














 
10500
2100
14700
5141    
     
     
     4254
323
121
22
7
1















 
0000
0000
2100
3041

22. Contoh 4.5
Apabila A = , cari span(S), di mana S berisi fundamental eigenvectors
dari matriks A!
Characteristic polynomial dari matriks A adalah:
pA(x) = |xIn – A| = x3 + 2x2 + x = x(x + 1)2.
Eigenvalues dari A adalah akar-akar real dari pA(x) = 0, yaitu λ1 = –1 dan λ2 = 0.
Untuk λ1 = –1, maka eigenspace-nya adalah:
E–1 = {[6b – 3c, b, c] | b, c  R} = {b[6, 1, 0] + c[–3, 0, 1] | b, c  R}.
Span(S) = E–1, di mana S = {[6, 1, 0], [–3, 0, 1]}.
Cari span untuk λ2 = 0!
4-22













11244
6132
360

23. Sampai saat ini, pembahasan yang dilakukan hanya sebatas pada himpunan bagian
tak kosong dari suatu vector space. Namun, pada pembahasan sebelumnya
dikatakan bahwa span(S) adalah subspace terkecil dari V yang memuat S,
sehingga perlu juga diberikan suatu pengertian mengenai span untuk himpunan
kosong.
Definisi tersebut konsisten dengan Teorema 4.5 apabila S adalah himpunan kosong;
sehingga untuk menjaga konsistensi, kita mendefinisikan setiap kombinasi linear
dari himpunan kosong adalah 0 (vektor 0). Hal ini akan menjamin bahwa span dari
himpunan kosong sama dengan himpunan dari semua kombinasi linear dari vektor
yang ada.
4-23
Definisi
Span{[ ]} = {0}

24. 4-24
Definisi
Apabila S = {v1, v2, …, vn} adalah himpunan bagian tak kosong yang
berhingga (finite nonempty subset) dari suatu ruang vektor V; maka S
adalah linearly dependent jika dan hanya jika terdapat bilangan real
a1, a2, …, an (tidak semua nol) sehingga a1v1 + … + anvn = 0.
Atau dengan kata lain, S adalah linearly dependent jika dan hanya jika
vektor nol dapat diekspresikan sebagai nontrivial linear combination
dari vektor-vektor dalam S.
Sebaliknya, S adalah linearly independent jika dan hanya jika S tidak
linearly dependent.
Himpunan kosong {} adalah linearly independent.

25. Apabila S = {v} adalah himpunan dengan satu anggota; maka sesuai dengan
Teorema 4.1 bagian (4), av = 0, yang mengandung implikasi a = 0 atau v = 0.
Agar S adalah linearly dependent, maka harus ada bilangan tak nol a yang
memenuhi av = 0; sehingga berimplikasi bahwa v = 0.
Kesimpulannya, apabila S = {v}, maka S adalah linearly dependent jika dan hanya
jika v = 0; dan S = {v} adalah linearly independent jika dan hanya jika v ≠ 0.
Apabila S = {v1, v2} adalah himpunan dengan dua anggota; maka agar S adalah
linearly dependent, maka harus ada bilangan tak nol a1 dan a2 yang memenuhi
a1v1 + a2v2 = 0. Jika a1 ≠ 0, maka v1 = –(a2/a1) v2; yang berarti v1 adalah perkalian
skalar dari v2. Analog, jika a2 ≠ 0, maka v2 adalah perkalian skalar dari v1.
Kesimpulannya, apabila S = {v1, v2}, maka S adalah linearly dependent jika dan
hanya jika salah satu vektor merupakan perkalian skalar dari vektor yang lain; dan
S = {v1, v2} adalah linearly independent jika dan hanya jika kedua vektor tidak
paralel.
4-25

26. Katakanlah S adalah himpunan bagian dari vector space V yang berisi vektor 0.
Apabila S hanya berisi vektor 0 saja, maka S adalah linearly independent.
Apabila S = {v1, v2, …, vn} berisi paling tidak dua vektor yang berbeda, di mana
salah satunya adalah 0 (misalkan v1 = 0), maka 0 dapat diekspresikan sebagai
kombinasi linear nontrivial dari vektor-vektor yang ada di dalam S karena
1v1 + 0v2 + … + 0vn = 1∙0 + 0 + … + 0 = 0; sehingga S adalah linearly dependent.
Kesimpulannya: setiap finite subset dari suatu vector space yang berisi vektor nol 0
adalah linearly dependent.
4-26
Apabila S = {v1, v2, …, vn} adalah himpunan bagian tak nol yang
berhingga (finite nonempty subset) dari suatu vector space V ; maka
S adalah linearly independent jika dan hanya jika untuk setiap
bilangan real a1, a2, …, an, persamaan a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0,
yang mengandung implikasi a1 = a2 = … = an = 0.

27. 4-27
Metode Menguji Independensi Linear (Independence Test Method)
Apabila S adalah finite nonempty set dari vektor-vektor yang ada dalam Rn, maka
untuk mencari tahu apakah S linearly independent adalah:
1. Bentuk matriks A di mana kolom-kolomnya adalah vektor-vektor dalam S.
2. Buat matriks B yang merupakan bentuk matriks eselon baris tereduksi dari
matriks A.
3. Apabila terdapat pivot pada setiap kolom B, maka S adalah linearly independent,
selain itu S adalah linearly dependent.
Teorema 4.7
Jika S adalah himpunan bagian dalam Rn yang berisi k vektor yang berbeda, di mana
k > n, maka S adalah linearly dependent.

28. Contoh 4.6
S = {[1, –1, 0, 2], [0, –2, 1, 0], [2, 0, –1, 1]} merupakan himpunan bagian dalam R4.
Periksa apakah S linearly independent!
Matriks A = ; Matriks B =
Karena terdapat pivot pada setiap kolomnya, maka S adalah linearly independent.
Contoh 4.7
Periksa apakah S = {[2, 5], [3, 7], [4, –9], [–8, 3]} yang merupakan himpunan bagian
dalam R2 adalah linearly independent!
Matriks A = ; Matriks B =
4-28














102
110
021
201












000
100
010
001








3975
8432








463810
655501
S is linearly dependent

29. Contoh 4.8
S = {[1, 2, –1], [0, 1, 2], [2, 7, 4]} merupakan himpunan bagian dalam R3. Periksa
apakah S linearly dependent!
S adalah linearly dependent karena vektor [2, 7, 4]
merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor
yang lain: [2, 7, 4] = 2[1, 2, –1] + 3[0, 1, 2].
4-29
Teorema 4.8
Jika S adalah himpunan berhingga (finite set) dari vektor-vektor yang paling sedikit
mempunyai dua anggota; maka S adalah linearly dependent jika dan hanya jika
beberapa vektor di dalam S dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari
vektor yang lain di dalam S.

30. Contoh 4.9
S = {[1, 2, –1, 1], [2, 1, 0, 1], [2, –2, 1, 0], [11, 1, 1, 4]} merupakan himpunan bagian
dalam R4. Periksa apakah S linearly dependent!
Matriks A = ; Matriks B =
Karena tidak ada pivot pada kolom empat, maka S adalah linearly dependent. Hal ini
berarti bahwa terdapat paling tidak satu vektor di dalam S yang merupakan
kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain.
Karena kolom keempat tidak mempunyai pivot, maka vektor keempat [11, 1, 1, 4]
merupakan kombinasi linear dari ketiga vektor yang lain, yaitu:
[11, 1, 1, 4] = 1[1, 2, –1, 1] + 3[2, 1, 0, 1] + 2[2, –2, 1, 0].
4-30














4011
1101
1212
11221












0000
2100
3010
1001

31. 4-31
Suatu himpunan S yang berada di dalam vector space V adalah
linearly independent jika dan hanya jika tidak ada vektor v  S
sedemikian hingga v  span(S – {v}).
Sebaliknya, S adalah linearly dependent jika dan hanya jika terdapat
beberapa vektor v  S sedemikian hingga v  span(S – {v}).
Suatu himpunan vektor tak nol S = {v1, v2, …, vn} adalah linearly
independent jika dan hanya jika:
1) v1 ≠ 0;
2) untuk setiap k, 2 ≤ k ≤ n, vk  span({v1, v2, …, vk–1}).

32. Contoh: pada Contoh 4.7 sudah ditunjukkan bahwa S = {[2, 5], [3, 7], [4, –9],
[–8, 3]} adalah linearly dependent. Hal ini bisa dibuktikan bahwa vektor [4, –9]
adalah kombinasi linear dari vektor-vektor yang lain (mengikuti Teorema 4.8),
yaitu: [4, –9] = –55[2, 5] + 38[3, 7] + 0[4, –9] + 0[–8, 3].
Namun, kombinasi linear tersebut tidaklah unik (mengikuti Teorema 4.9), karena
terdapat kombinasi linear lagi yang mungkin, misalnya:
[4, –9] = 0[2, 5] + 0[3, 7] + 1[4, –9] + 0[–8, 3].
4-32
Teorema 4.9
Jika S adalah himpunan bagian berhingga tak kosong (nonempty finite subset) dari
suatu vector space V ; maka S adalah linearly independent jika dan hanya jika
setiap vektor v  span(S) dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear yang unik
dari anggota-anggota dari S.

33. Contoh 4.10
Buktikan bahwa fundamental eigenvectors dari matriks A = adalah
linearly independent!
Eigenvalues dari A adalah:
λ1 = 1 dengan fundamental eigenvector adalah [4, 2, 3]; dan
λ2 = 2 dengan fundamental eigenvectors adalah [3, 1, 0] dan [–1, 0, 1].
Matriks P = ; Matriks B =
4-33
Setiap himpunan fundamental eigenvectors untuk matriks n × n yang
diperoleh dari Metode Diagonalisasi adalah linearly independent.













193
282
4122









 
103
012
134










100
010
001
Karena terdapat pivot pada setiap
kolomnya, maka P adalah linearly
independent

34. 4-34
Definisi
Suatu himpunan bagian tak berhingga (infinite subset) S dari suatu
vector space V adalah linearly dependent jika dan hanya jika ter-
dapat beberapa himpunan bagian berhingga (finite subset) T dari S
sedemikian hingga T adalah linearly dependent.
Sebaliknya, S adalah linearly independent jika dan hanya jika setiap
himpunan bagian berhingga (finite subset) T dari S adalah linearly
independent.

35. Contoh: S adalah infinite subset dari M22 yang merupakan himpunan dari matriks
non-singular. Apabila T = {I2, 2I2} adalah finite subset dari S, maka T linearly
dependent karena anggota kedua dari T adalah perkalian skalar dari anggota
pertama. Karena T adalah linearly dependent, maka S adalah linearly dependent.
Karena S adalah linearly dependent, maka beberapa vektor dalam span(S) dapat
diekspresikan dalam lebih dari satu macam cara sebagai kombinasi linear dari
vektor-vektor di dalam S, sebagai contoh:
4-35
Teorema 4.10
Jika S adalah himpunan bagian tak kosong (nonempty subset) dari suatu vector
space V ; maka S adalah linearly independent jika dan hanya jika setiap vektor v 
span(S) dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear unik yang berhingga
(uniquely finite linear combination) dari anggota-anggota dari S, jika istilah (terms)
yang berkaitan dengan koefisien nol tidak dianggap (ignored).
  































12
11
1
20
13
1
01
10
2
10
01
2
22
22

36. S adalah linearly independent S adalah linearly dependent
Jika S = {v1, v2, …, vn} dan a1v1 + a2v2 + … +
anvn = 0, maka a1 = a2 = … = an = 0.
(Vektor nol akan memerlukan koefisien yang
bernilai 0).
Jika S = {v1, v2, …, vn} maka a1v1 + a2v2 + … +
anvn = 0, untuk beberapa skalar a1,a2, …, an
dengan beberapa ai ≠ 0.
(Vektor nol tidak memerlukan semua
koefisien untuk bernilai 0).
Tidak ada vektor di dalam S yang merupakan
finite linear combination dari vektor
lainnya di dalam S.
Beberapa vektor di dalam S adalah finite
linear combination dari vektor lainnya di
dalam S.
Untuk setiap v  S, terdapat v  span(S – {v}) Terdapat v  S, sedemikian hingga
v  span(S – {v}).
Untuk setiap v  S, span(S – {v}) tidak ter-
dapat semua vektor dari span(S).
Terdapat beberapa v  S sedemikian hingga
span(S – {v}) = span(S).
4-36

37. S adalah linearly independent S adalah linearly dependent
Jika S = {v1, v2, …, vn}, maka untuk setiap k, vk
 span({v1, v2, …, vk–1}).
(Setiap vk tidak merupakan kombinasi linear
dari vektor-vektor yang sebelumnya).
Jika S = {v1, v2, …, vn}, beberapa vk dapat
dekspresikan sebagai vk = a1v1 + a2v2 + … +
ak–1vk–1.
(Beberapa vk merupakan kombinasi linear
dari vektor-vektor yang sebelumnya).
Setiap vektor di dalam span(S) dapat secara
unik diekspresikan sebagai kombinasi
linear dari vektor-vektor di dalam S.
Beberapa vektor di dalam span(S) dapat
diekspresikan dalam lebih dari satu mcam
cara sebagai kombinasi linear dari vektor-
vektor di dalam S.
Setiap himpunan bagian berhingga (finite
subset) dari S adalah linearly independent.
Beberapa himpunan bagian berhingga (finite
subset) dari S adalah linearly dependent.
4-37

38. Contoh: Vector space Rn mempunyai {e1, e2, …, en} sebagai basis; sehingga {i, j}
dan {i, j, k} adalah standard basis untuk vector space R2 dan R3.
Contoh: Matriks berukuran m × n mempunyai standard basis:
{Ψij | 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}, di mana Ψij adalah himpunan matriks berukuran m × n
dengan 1 sebagai entri pada posisi (i, j) sedangkan entri yang lain adalah 0.
4-38
Definisi
Apabila V adalah suatu vector space dan B adalah himpunan bagian di
dalam V, maka B adalah basis untuk V jika dan hanya jika:
1. B merentang V dan
2. B adalah linearly independent.

39. Contoh 4.11
Apakah B = {[1, 2, 1], [2, 3, 1], [–1, 2, –3]} merupakan basis untuk R3?
Untuk menunjukkan B merentang R3, maka digunakan metode simplikasi rentangan:
Matriks A = ; Matriks C = ,
maka span(B) = {a[1, 0, 0] + b[0, 1, 0] + c[0, 0, 1] | a, b, c  R} = R3.
Selanjutnya untuk membuktikan bahwa B adalah linearly independent, maka
digunakan independence test method:
Matriks A = ; Matriks B = .
Karena terdapat pivot untuk semua kolom, maka B adalah linearly independent.
4-39










 321
132
121










100
010
001












311
232
121










100
010
001
B adalah basis untuk R3

40. 4-40
Lemma 4.11
Jika S dan T adalah himpunan bagian di dalam vector space V sedemikan hingga S
merentang V, S adalah tak berhingga (infinite) dan T adalah linearly independent;
maka T adalah berhingga (finite) dan |T| ≤|S|.
Teorema 4.12
Apabila V adalah vector space, B1 dan B2 adalah basis untuk V sedemikian hingga
B1 mempunyai elemen yang berhingga; maka B2 juga mempunyai elemen yang
berhingga dan |B1| = |B2|.
† Notasi |S| melambangkan jumlah elemen di dalam suatu himpunan S.
Contoh: S = {[1, 4, 3], [2, 7, 7], [5, 5, 5], [0, 3,19]} adalah subset di dalam R3, di mana |S| = 4.

41. Contoh: Vector space R3 mempunyai {i, j, k} sebagai standard basis; sehingga
dim(R3) = 3. Secara umum, dim(Rn) = n, karena Rn mempunyai standard basis:
{e1, e2, …, en}.
Contoh: Standard basis untuk M22 berjumlah empat elemen; sehingga dim(M22) = 4.
Secara umum, dim(Mmn) = m ∙ n.
4-41
Definisi
Apabila V adalah vector space dan mempunyai basis B yang berisi
elemen yang berhingga, maka V dikatakan finite dimensional.
Dimensi dari V atau dim(V) adalah jumlah elemen pada setiap basis
untuk V ; atau dim(V) = |B|.
Apabila V tidak mempunyai finite basis, maka V dikatakan infinite
dimensional.

42. Contoh: B = {[1, 2, 1], [2, 3, 1], [–1, 2, –3]} adalah himpunan bagian dari R3. Dalam
Contoh 4.11 telah ditunjukkan bahwa B merentang R3. Karena dim(B) = 3, yang
sama dengan dim(R3) = 3, maka berdasarkan Teorema 4.13 kita dapat me-
nyimpulkan bahwa B adalah basis untuk R3 tanpa perlu membuktikan bahwa B
adalah linearly independent!
4-42
Teorema 4.13
Jika V adalah finite dimensional vector space:
(1) Apabila S adalah himpunan bagian yang berhingga (finite subset) dari V yang
merentang V ; maka dim(V) ≤ |S|. Lebih lanjut, |S| = dim(V) jika dan hanya jika S
adalah basis untuk V.
(2) Apabila T adalah himpunan bagian dari V yang linearly independent; maka T
adalah berhingga dan |T| ≤ dim(V). Lebih lanjut, |T| = dim(V) jika dan hanya jika T
adalah basis untuk V.

43. Frase “B adalah maximal linearly independent subset dari S berarti bahwa kedua hal
berikut adalah benar:
• B adalah linearly independent subset dari S.
• Jika B  C  S dan B ≠ C, maka C adalah linearly dependent.
Teorema 4.14 juga menyatakan bahwa jika tidak ada cara untuk memasukkan vektor
yang lain di dalam S ke dalam B tanpa membuat B menjadi linearly dependent,
maka B adalah basis untuk span(S) = V.
Hal yang sama juga berlaku untuk kebalikannya.
4-43
Teorema 4.14
Jika V adalah vector space dengan S adalah spanning set-nya atau span(S) = V
dan B adalah maximal linearly independent subset dari S, maka B adalah basis
untuk V.

44. Contoh 4.12
Apabila S = {[1, –2, 1], [3, 1, –2], [5, –3, 0], [5, 4, –5], [0, 0, 0]} merupakan
himpunan bagian dari R3 dan B = {[1, –2, 1], [5, –3, 0]} adalah himpunan bagian
dari S, tunjukkan bahwa B adalah basis untuk span(S)!
Untuk menunjukkan bahwa B adalah basis untuk span(S), maka vektor-vektor lain di
dalam S akan dimasukkan ke dalam B tanpa membuat B menjadi linear dependent
(membuktikan bahwa B adalah maximal linearly independent subset dari S):
[3, 1, –2] = –2[1, –2, 1] + [5, –3, 0]
[5, 4, –5] = –5[1, –2, 1] + 2[5, –3, 0]
[0, 0, 0] = 0[1, –2, 1] + 0[5, –3, 0]
Ternyata TIDAK ADA vektor lain di dalam S yang ketika dimasukkan ke dalam B
membuat B menjadi linear independent; sehingga B adalah basis untuk span(S).
4-44

45. Frase “B adalah minimal spanning set untuk V berarti bahwa kedua hal ini benar:
• B adalah subset dari V yang merentang V.
• Jika C  B dan C ≠ B, maka C tidak merentang V.
Contoh: Lihat kembali S dan B pada Contoh 4.12 bahwa setiap vektor di dalam S
adalah kombinasi linear dari vektor-vektor yang ada di dalam B, sehingga
S  span(B), padahal B  S. Berdasarkan Corollary 4.6, maka span(B) = span(S)
= V. Tidak ada vektor di dalam B yang merupakan perkalian skalar dari vektor
lainnya, sehingga tidak ada vektor B sendiri yang dapat merentang V. Oleh
karena itu, B adalah minimal spanning set untuk V ; dan berdasarkan Teorema
4.15, B adalah basis untuk span(S).
4-45
Teorema 4.15
Jika V adalah vector space dan B adalah minimal spanning set untuk V, maka B
adalah basis untuk V.

46. Contoh: B = {x3 + 2x2 – 4x + 18, 3x2 + 4x – 4, x3 + 5x2 – 3, 3x + 2} adalah linearly
independent subset dari P3 (buktikan!); maka berdasarkan Teorema 4.13 (2), B
adalah basis untuk P3. Namun, kita dapat memperoleh kesimpulan yang sama
dengan menggunakan Teorema 4.16.
Untuk W = span(B), mempunyai B sebagai basisnya. dim(W) = 4; tetapi karena W
adalah subspace dari P3 dan dim(P3) = 4, maka berdasarkan Teorema 4.16, W =
P3; sehingga B adalah basis untuk P3.
4-46
Teorema 4.16
Jika V adalah finite dimensional vector space dan W adalah subspace dari V ; maka
W juga adalah finite dimensional dengan dim(W) ≤ dim(V). Lebih jauh, dim(W) =
dim(V) jika dan hanya jika W = V.

47. Untuk membentuk basis dari suatu spanning set dari suatu vector space, kita dapat
menggunakan metode simplifikasi rentangan atau metode independence test.
4-47
Metode Simplifikasi Rentangan Metode Independence Test
Vektor-vektor di dalam S menjadi baris dari
Matriks A.
Vektor-vektor di dalam S menjadi kolom dari
Matriks A.
Basis yang dibentuk bukan merupakan
himpunan bagian dari spanning set S,
tetapi memuat vektor-vektor dengan
bentuk yang lebih sederhana.
Basis yang dibentuk merupakan himpunan
bagian dari spanning set S.
Baris tak nol dari Matriks C (matriks eselon
baris tereduksi) digunakan sebagai basis.
Kolom yang mempunyai pivot dari Matriks B
(matriks eselon baris tereduksi) digunakan
untuk menentukan vektor mana di dalam S
yang digunakan sebagai basis.

48. Contoh 4.13
Apabila S = {[2, –2, 3, 5, 5], [–1, 1, 4, 14, –8], [4, –4, –2, –14, 18], [3, –3, –1, –9,
13]} adalah himpunan bagian dari R5. Cari basis untuk span(S) = V !
Menggunakan metode simplifikasi rentangan untuk membentuk basis:
Matriks A = ; Matriks C =
Maka, basis yang diinginkan untuk V adalah himpunan B = {[1, –1, 0, –2, 4], [0, 0,
1, 3, –1]} yang merupakan baris tak nol dari Matriks C; sehingga dim(V) = 2.
4-48
















139133
1814244
814411
55322














00000
00000
13100
42011

49. Contoh 4.14
Apabila S = {x2 – 3x + 5, 3x3 + 4x – 8, 6x3 – x2 + 11x – 21, 2x5 – 7x3 + 5x} adalah
himpunan bagian dari P5. Cari basis untuk span(S) = W !
Menggunakan metode simplifikasi rentangan untuk membentuk basis:
x5 x4 x3 x2 x1 x0 x5 x4 x3 x2 x1 x0
Matriks A = ; Matriks C =
Maka, basis yang diinginkan untuk W adalah himpunan D = {x5 + 43x/6 – 28/3, x3 +
4x/3 – 8/3, x2 – 3x + 5} yang merupakan baris tak nol dari Matriks C; sehingga
dim(W) = 3.
4-49
















050702
21111600
840300
531000















000000
531000
38340100
3286430001

50. Contoh 4.15
Apabila S = {[1, 2, –1], [3, 6, –3], [4, 1, 2], [0, 0, 0], [–1, 5, –5]} adalah himpunan
bagian dari R3. Cari basis untuk span(S) = V !
Menggunakan metode independence test untuk membentuk basis:
Matriks A = ; Matriks B =
Karena kolom 1 dan 3 mempunyai pivot, maka vektor pertama dan ketiga dari S,
yaitu: B = {[1, 2, –1], [4, 1, 2]} adalah basis untuk span(S); sehingga dim(V) = 2
(karena |B| = 2). Vektor-vektor lainnya merupakan kombinasi linear dari kedua
vektor tersebut: [3, 6, –3] = 3[1, 2, –1] + 0[4, 1, 2]; [0, 0, 0] = 0[1, 2, –1] +
0[4, 1, 2]; [–1, 5, –5] = 3[1, 2, –1] – 1[4, 1, 2].
4-50












50231
50162
10431











00000
10100
30031

51. Contoh 4.16
Apabila S = {x3 – 3x2 + 1, 2x2 + x, 2x3 + 3x + 2, 4x – 5} adalah himpunan bagian dari
P3. Cari basis untuk span(S) = V !
Menggunakan metode independence test untuk membentuk basis:
Matriks A = ; Matriks B =
Karena kolom 1, 2, dan 4 mempunyai pivot, maka B = {x3 – 3x2 + 1, 2x2 + x, 4x – 5}
adalah basis untuk span(S). Polinomial lainnya merupakan kombinasi linear dari
ketiga polinomial tersebut:
2x3 + 3x + 2 = 2(x3 – 3x2 + 1) + 3(2x2 + x).
4-51














5201
4310
0023
0201












0000
1000
0310
0201

52. Contoh: Apabila S = {[1, 3, –2], [2, 1, 4], [0, 5, –8], [1, –7, 14]} dan V = span(S);
maka berdasarkan Teorema 4.17 mengindikasikan bahwa ada beberapa himpunan
bagian dari S yang merupakan basis untuk V.
[0, 5, –8] = 2[1, 3, –2] – [2, 1, 4];
[1, –7, 14] = –3[1, 3, –2] + 2[2, 1, 4].
Kedua vektor tersebut B = {[1, 3, –2], [2, 1, 4]} merupakan merupakan maximal
linearly independent dari himpunan bagian dari S. Kemudian, berdasarkan
Teorema 4.14, B adalah basis untuk V yang berada di dalam S.
4-52
Teorema 4.17
Jika S adalah spanning set untuk finite dimensional vector space V, maka akan
terdapat himpunan B  S yang merupakan basis untuk V.

53. 4-53
Metode Inspeksi untuk Menemukan Basis dari suatu Spanning Set
Apabila S adalah finite set dari vektor-vektor yang merentang suatu vector space V:
1. Base step: Pilih v1 ≠ 0 yang berada di dalam S.
Ulangi langkah 2 berikut ini sebanyak mungkin (apabila mungkin):
2. Inductive step: Dengan mengasumsikan bahwa v1, v2, …, vk–1 sudah terpilih
pada langkah 1, pilih vk  S sedemikian hingga vk  span({v1, v2, …, vk–1 }).
Himpunan akhir yang terbentuk adalah basis untuk V.
Contoh: S = {[0, 0, 0], [2, –8, 12], [–1, 4, –6], [7, 2, 2]} adalah himpunan bagian dari R3.
1. Base step: v1 = [2, –8, 12]; karena vektor pertama S adalah vektor nol: [0, 0, 0]
2. Inductive step: memilih suatu vektor yang bukan merupakan kombinasi linear dari v1.
Kita tidak bisa memilih [–1, 4, –6] karena [–1, 4, –6] = –1/2 [2, –8, 12];
sehingga v2 = [7, 2, 2].
Himpunan B = {v1, v2} = {[2, –8, 12], [7, 2, 2]} adalah basis untuk span(S) = V.

54. 4-54
Teorema 4.18
Apabila T adalah himpunan bagian yang linearly independent dari finite dimensional
vector space V ; maka V mempunyai basis B dengan T ⊆ B.
Metode Pembesaran (Enlarging) untuk Menemukan Basis dari
Linearly Independent Subset
Apabila T = {t1, t2, …, tk} adalah linearly independent subset dari finite dimensional
vector space V:
1. Cari finite spanning set A = {a1, a2, …, an} untuk V.
2. Bentuk ordered spanning set S = {t1, t2, …, tk, a1, a2, …, an} for untuk V.
3. Gunakan metode independence test atau metode simplifikasi rentangan atau
metode inspeksi untuk S guna membentuk himpunan bagian B dari S.
Maka, B adalah basis untuk V yang memuat T.

55. Contoh 4.17
Apabila T = {[2, 0, 4, –12], [0, –1, –3, 9]} adalah linearly independent subset dari
V = R4. Gunakan metode enlarging untuk mencari basis untuk R4 yang memuat T!
1. A = {e1, e2, e3, e4} adalah standard basis untuk R4.
2. S = {[2, 0, 4, –12], [0, –1, –3, 9], [1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]}.
3. Menggunakan metode independence test untuk membentuk basis:
Matriks A = ; Matriks B =
Karena kolom 1, 2, 3, dan 5 mempunyai pivot, maka vektor pertama, kedua,
ketiga, dan kelima dari S, yaitu: B = {[2, 0, 4, –12], [0, –1, –3, 9], [1, 0, 0, 0],
[0, 0, 1, 0]} adalah basis untuk R4 yang memuat T.
4-55















1000912
010034
001010
000102














3110000
61023100
001010
121043001

56. 4-56
Definisi
Suatu ordered basis untuk suatu vector space V adalah suatu ordered
n-tuple dari vektor-vektor (v1, v2, …, vn) sedemikian hingga
himpunan (v1, v2, …, vn) adalah basis untuk V.
Definisi
Apabila B = (v1, v2, …, vn) adalah ordered basis untuk vector space V;
maka w = a1v1 + a2v2 + … + anvn  V ; sehingga [w]B atau coordi-
natization of w with respect to B, adalah n-vector [a1, a2, …, an].

57. Contoh: Apabila B = ([4, 2], [1, 3]) adalah ordered basis untuk R2; perhatikan bahwa
[4, 2]B = 1[4,2] + 0[1,3] sehingga [4, 2]B = [1, 0] dan [1, 3]B = 0[4, 2] + 1[1, 3]
atau [1, 3]B = [0, 1].
Dari sudut pandang geometrik, mengubah ke dalam koordinat B dalam R2 akan
menghasilkan “sistem koordinat baru” dalam R2 dengan [4, 2] dan [1, 3] sebagai
unit vector-nya (lihat Gambar 4.1).
4-57Gambar 4.1. Koordinat “baru” B dalam R2
Contoh: [11, 13] dalam sistem koordinat
konvensional akan setara dengan [2, 3]
dalam sistem koordinat baru B, karena
[11, 3] = 2[4, 2] + 3[1, 3].
Atau [11, 3]B = [2, 3].

58. 4-58
Metode Coordinatization
Apabila V adalah nontrivial subspace dari Rn, B = (v1, v2, …, vk) adalah ordered
basis untuk V, dan v  Rn; maka untuk menentukan [v]B, jika mungkin:
1. Bentuk augmented matrix [A|v] dengan menggunakan vektor-vektor yang ada di
dalam B sebagai kolom dari A (secara urut); dan gunakan v sebagai satu kolom
yang berada di sebelah kanan.
2. Bentuk matriks eselon baris tereduksi [C|w].
3. Apabila terdapat baris di dalam [C|w] yang semuanya 0 berada di sebelah kiri
dan bukan 0 di sebelah kanan, maka v  span(B) = V, dan coordinatization
adalah tidak mungkin.
4. Selain itu, maka v  span(B) = V.
Eliminasi semua baris yang semua entrinya 0 untuk mendapatkan [Ik|y]; maka
[v]B = y, atau kolom terakhir dari [Ik|y].

59. Contoh 4.18
Apabila V vector space di dalam R5 yang direntangkan oleh ordered basis C =
([–4, 5, –1, 0, –1], [1, –3, 2, 2, 5], [1, –2, 1, 1, 3]), tentukan [–23, 30, –7, –1, –7]C!
Untuk menentukan [–23, 30, –7, –1, –7]C kita harus menyelesaikan persamaan:
[–23, 30, –7, –1, –7] = a[–4, 5, –1, 0, –1] + b[1, –3, 2, 2, 5] + c[1, –2, 1, 1, 3]).
Persamaan tersebut ekuivalen dengan:
Solusi dari sistem persamaan tersebut adalah: a = 6, b = –2, dan c = 3, atau [–23, 30,
–7, –1, –7]C = 6[–4, 5, –1, 0, –1] – 2[1, –3, 2, 2, 5] + 3[1, –2, 1, 1, 3].
4-59

















7
1
7
30
23
35
2
2
235
4
cba
cb
cba
cba
cba





















7351
1120
7121
30235
23114

















0000
0000
3100
2010
6001

60. Contoh 4.19
Tentukan [1, 2, 3, 4, 5]C, di mana C adalah ordered basis yang telah didefinisikan
pada Contoh 4.18!
[1, 2, 3, 4, 5]C = a[–4, 5, –1, 0, –1] + b[1, –3, 2, 2, 5] + c[1, –2, 1, 1, 3]).
Persamaan tersebut ekuivalen dengan:
Sistem persamaan di atas tidak mempunyai solusi.
Hal ini berarti bahwa [1, 2, 3, 4, 5]C tidak berada di dalam V = span(C).
4-60













5
4
3
2
1
35
2
2
235
4
cba
cb
cba
cba
cba




















5351
4120
3121
2235
1114
















0000
1000
0100
0010
0001

61. Contoh 4.20
Tentukan [2x – 7y + 3z]C apabila x = [1, 0, –1, 0, 4], y = [0, 1, –1, 0, 3], z = [0, 0, 0,
1, 5], dan C adalah ordered basis yang telah didefinisikan pada Contoh 4.18!
Dengan menggunakan metode coordinatization, ditemukan [x]C = [1, –5, 10]; [y]C =
[1, –4, 8], dan [z]C = [1, –3, 7]. Berdasarkan Teorema 4.19, maka [2x – 7y + 3z]C
= 2[x]C – 7[y]C + 3[z]C = 2[1, –5, 10] – 7[1, –4, 8] + 3[1, –3, 7] = [–2, 9, –15].
4-61
Teorema 4.19
Apabila B = (v1, v2, …, vn) adalah suatu ordered basis untuk vector space V , w1, w2,
…, wk  V , dan a1, a2, …, ak adalah skalar; maka:
1. [w1 + w2]B = [w1]B + [w2]B
2. [a1w1]B = a1[w1]B
3. [a1w1 + a2w2 + … + akwk]B = a1[w1]B + a2[w2]B + … + ak[wk]B

62. 4-62
Definisi
Apabila V adalah nontrivial n-dimensional vector space dengan
ordered bases B dan C, P adalah matriks n × n yang kolom ke-i
sama dengan [bi]C untuk 1 ≤i≤ n, di mana bi adalah basis ke-i untuk
vektor di B; maka P disebut matriks transisi dari B-coordinates ke C-
coordinates (atau matriks transisi dari B ke C).
Vektorke-1diC
Vektorke-2diC
Vektorke-kdiC
…
Vektorke-1diB
Vektorke-2diB
Vektorke-kdiB
…
Ik P
Baris nol

63. Contoh 4.21
Merujuk pada Contoh 4.18 di mana V direntangkan oleh ordered basis C = ([–4, 5,
–1, 0, –1], [1, –3, 2, 2, 5], [1, –2, 1, 1, 3]) dan dengan menggunakan metode
simplifikasi rentangan untuk vektor-vektor di C, ditemukan B = ([1, 0, –1, 0, 4],
[0, 1, –1, 0, 3], [0, 0, 0, 1, 5]) adalah basis yang lain dari V. Cari matriks transisi
dari B ke C!
[x]C = [1, –5, 10]; [y]C = [1, –4, 8], dan [z]C = [1, –3, 7].
Matriks P =
4-63




















534351
100120
011121
010235
001114

















000000
000000
7810100
345010
111001











7810
345
111

64. Contoh 4.22
B dan C merupakan ordered basis untuk U2 sebagai berikut:
Cari matriks transisi dari B ke C!
Matriks P =
4-64













 













10
11
,
10
21
,
00
37
B













111
114
121



























20
1233
,
10
412
,
20
722
C














110212
000000
1231247
117331222















000000
111100
114010
121001

65. Contoh: Apabila B dan C adalah ordered bases yang telah didefinisikan pada
Contoh 4.22, maka untuk mengubah koordinat dari setiap matriks di dalam U2
dari koordinat B ke dalam koordinat C dapat dilakukan dengan mudah.
Misalkan kita ingin mengubah matriks V = yang merupakan kombinasi line-
ar dari vektor-vektor yang ada di B: atau [v]B =
maka [v]C = P[v]B = =
4-65
Teorema 4.20
Apabila B dan C adalah ordered bases untuk nontrivial n-dimensional vector space V
dan P adalah matriks berukuran n × n; maka P adalah matriks transisi dari B ke C
jika dan hanya jika untuk setiap v V, P[v]B = [v]C.






90
2425





 



















 10
11
6
10
21
3
00
37
4
90
2425










 6
3
4













111
114
121










 6
3
4












13
19
8

66. Contoh: Apabila B = (−x2 + 4x + 2, 2x2 – x – 1, –x2 + 2x + 1) dan C = (x2 – 2x – 3, 2x2
– 1, x2 + x + 1) adalah ordered basis untuk P2, bersama-sama dengan standard
basis S = (x2, x, 1); maka matriks transisi dari B ke C adalah didapatkan dengan:
P =
Matriks transisi dari C ke S didapatkan dengan:
Q = Maka QP =
4-66
Teorema 4.21
Apabila B, C, dan D ordered bases untuk nontrivial finite dimensional vector space V,
P adalah matriks transisi dari B ke C, Q adalah matriks transisi dari C ke D; maka
QP adalah matriks transisi dari B ke D.













112113
214102
121121













8514100
6311010
539001













8514
6311
539












113100
102010
121001












113
102
121













112
214
121

67. Contoh: Apabila B, C, dan S adalah ordered bases yang telah didefinisikan pada
contoh sebelumnya, maka: P−1 dan Q−1 adalah matriks transisi dari C ke B dan dari
S ke C sebagai berikut:
P−1 = ; Q−1 =
[v]B = P−1 [v]C = P−1 (Q−1 [v]S) = (P−1 Q−1) [v]S
Jika v = x2 + 7x + 3, maka:
[v]B = (P−1 Q−1) [v]S =
4-67
Teorema 4.22
Apabila B dan C ordered bases untuk nontrivial finite dimensional vector space V,
P adalah matriks transisi dari B ke C; maka P adalah matriks nonsingular dan P−1
adalah matriks transisi dari C ke B.













6313
124
316













452
341
231













6313
124
316













452
341
231






















2
1
3
3
7
1

68. Apabila v adalah suatu vektor di dalam R3 dalam suatu koordinat standar, maka:
D[v]B = (P–1AP)[v]B = (P–1A)P[v]B = P–1A[v]S = P–1(Av) = [Av]B ,
di mana D adalah B-coordinates dari matriks A.
4-68
Definisi
Apabila metode diagonalisasi (pada Bab 3) dilakukan pada suatu
matriks A; maka matriks P yang didapatkan adalah matriks transisi
dari B-coordinates ke koordinat standar, di mana B adalah ordered
basis untuk Rn yang berisi eigenvectors dari A.

69. Contoh: Matriks A = mempunyai characteristic polynomial sbb:
pA(x) = x3 – 3x – 2 = (x – 2)(x + 1)2; dengan eigenvalues 2 dan –1.
Untuk λ = 2, fundamental eigenvectors: v1 = [5, 2, 1], sehingga {v1} adalah basis
untuk eigenspace E2.
Untuk λ = –1, fundamental eigenvectors: v2 = [1, 1, 0] dan v3 = [2, 0, 1] sehingga
{v1, v2} adalah basis untuk eigenspace E–1.
Apabila B = (v1, v2, v3) maka B adalah himpunan bagian yang linearly independent
sehingga B adalah basis untuk R3.
Apabila S adalah standard basis, maka matriks transisi P dari B ke S adalah:
P = . Perhatikan bahwa matriks P tersebut sama dengan matriks P yang
didapat dari metode diagonalisasi. Maka, P–1 = dan D = .
4-69













733
1276
301514










101
012
215













311
432
211












100
010
002

70. Instructor:
M. Mujiya Ulkhaq
Department of Industrial Engineering
Aljabar Linear
Linear Algebra
Thank You for your Attention