SlideShare a Scribd company logo

Linear Algebra - System of Linear Equation

•
•
Diponegoro University
Diponegoro University

- Solving linear systems using Gaussian elimination; - Gauss-Jordan row reduction and reduced row echelon form; - Equivalent systems, rank, and row space; - Inverses of matrices.

Education
1 of 60
Instructor: M. Mujiya Ulkhaq Department of Industrial Engineering Aljabar Linear Linear Algebra Systems of Linear Equation
• Solving linear systems using Gaussian elimination; • Gauss-Jordan row reduction and reduced row echelon form; • Equivalent systems, rank, and row space; • Inverses of matrices. 2-2
Definisi Suatu m sistem persamaan linear (yang simultan) dari n variabel: adalah kumpulan dari m persamaan, di mana pada setiap persamaan berisi kombinasi linear dari n variabel (penjumlahan dari perkalian skalar). Solusi dari persamaan linear tersebut untuk variabel x1, x2, …, xn adalah n-tuple (s1, s2, …, sn) yang memenuhi setiap persamaan ketika s1 disubstitusikan ke x1, s2 ke x2, dan seterusnya. Himpunan solusi (lengkap) dari sistem persamaan linear untuk n variabel adalah kumpulan dari semua n-tuple yang membentuk solusi untuk sistem tersebut.           mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa     2211 22222121 11212111 2-3
Sistem persamaan linear tersebut dapat dituliskan ke dalam tiga buah matriks/vektor: A = ; X = ; dan vektor B = , sehingga sistem persamaan linear tersebut ekuivalen dengan: AX = B. Alternatif lain untuk menuliskan sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks adalah membentuk augmented matrix, yaitu: [A|B] =             mnmm n n aaa aaa aaa     21 22221 11211             nx x x  2 1             mb b b  2 1               mmnmm n n b b b aaa aaa aaa      2 1 21 22221 11211 • A: matriks koefisien/Jacobian; • X: vektor variabel; • B: vektor konstanta. 2-4
Contoh 2.1 Tuliskan sistem persamaan linear berikut ke dalam persamaan matriks! A = ; X = ; B = ; sehingga persamaan matriksnya: AX = B atau Bisa juga dituliskan sebagai augmented matrix: [A|B] =        5013 3124      1253 5324 zxw zyxw             z y x w       12 5        5013 3124              z y x w               12 5 53 324 zxw zyxw . 12 5 5013 3124          2-5
Terdapat tiga kemungkinan solusi untuk suatu sistem persamaan linear: 1. Solusi unik/tepat satu solusi (unique) Contoh: 2. Solusi tak berhingga (infinite number of solutions) Contoh: 3. Tidak ada solusi (no solution) Contoh:      1832 034 21 21 xx xx      1596 1064 yx yx      12 32 21 21 xx xx Gambar 2.1. Contoh solusi unik Gambar 2.2. Contoh solusi tak berhinggaGambar 2.3. Contoh tidak ada solusi • Sistem persamaan dengan solusi jenis 1 dan 2 disebut konsisten • Sistem persamaan dengan solusi jenis 3 disebut inkonsisten 2-6
Merupakan suatu metode untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan linear dengan cara mengubah augmented matrix menjadi matriks eselon-baris. Suatu matriks disebut matriks eselon-baris bila: 1. Baris yang semua nilainya 0 harus diletakkan pada baris yang paling bawah. 2. Di setiap baris, angka pertama selain 0 disebut pivot. 3. Pada baris tidak nol, pivot dari baris yang lebih bawah, terletak pada kolom yang lebih kanan. 4. Semua entri di bawah pivot adalah 0. Contoh matriks eselon-baris: ; Contoh yang bukan matriks eselon-baris: ;            800 250 241              0000 9300 7220 5241           010 620 241           020 600 131 pivot 2-7
Untuk mengubah augmented matrix menjadi matriks eselon-baris, dibutuhkan operasi baris elementer. Selain itu, juga perlu untuk mengubah pivot yang bukan 1 menjadi 1 (disebut 1 utama). Operasi baris elementer yang diperkenankan adalah: (1) Mengalikan suatu baris dengan bilangan skalar tak nol; (2) Menambahkan suatu baris yang sudah dikalikan dengan skalar tak nol ke dalam baris yang lain; (3) Mengubah urutan baris. Cara menuliskan operasi baris elementer untuk menghemat tempat: ½ (3) → (3) : tiap entri pada baris ke-3 dikalikan ½ (2) ↔ (4) : baris ke-2 ditukar dengan baris ke-4 3(4) + (2) → (2) : baris ke-4 dikalikan 3 kemudian ditambahkan pada baris ke-2 baris yang “tergantikan” 2-8
Contoh 2.2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         411763 19624 401555 zyx zyx zyx              41 19 40 1763 624 1555               41 19 8 1763 624 311    :11 5 1       :2142               41 13 8 1763 620 311 2-9
Contoh 2.2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 3. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0 : 4. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama:         411763 19624 401555 zyx zyx zyx              41 19 40 1763 624 1555       :3133               17 13 8 830 620 311    :22 2 1               17 213 8 830 310 311 2-10
Contoh 2.2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 5. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0 :         411763 19624 401555 zyx zyx zyx              41 19 40 1763 624 1555       :3233               25 213 8 100 310 311  matriks eselon-baris          25 2133 83 z zy zyx 2-11
Contoh 2.2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 6. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): z = –5/2; y + 3z = –13/2  y + 3(–5/2) = –13/2  y –15/2 = –13/2  y = 1; x – y – 3z = 8  x – 1 – 3(–5/2) = 8  x + 13/2 = 8  x = 3/2. Solusi: (3/2, 1, –5/2)  Solusi unik         411763 19624 401555 zyx zyx zyx              41 19 40 1763 624 1555  2-12
Contoh 2.3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         854 1026 53 yx yx yx             8 10 5 54 26 13     :11 3 1              8 10 35 54 26 311      :2162             8 0 35 54 00 311 2-13
Contoh 2.3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 3. Mempertukarkan baris kedua dengan baris ketiga: (2) ↔ (3): 4. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         854 1026 53 yx yx yx             8 10 5 54 26 13       :2142             0 8 35 00 54 311            0 344 35 00 3110 311 2-14
Contoh 2.3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 5. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama: 6. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): y = 4; x + y(1/3) = –5/3  x + 4(1/3) = –5/3  x = –3. Solusi: (–3, 4)  Solusi unik         854 1026 53 yx yx yx             8 10 5 54 26 13     :11 11 3             0 4 35 00 10 311  matriks eselon-baris 2-15
Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx    :11 3 1                    39 59 10 313 3452 87115 11442 3237311                   39 59 356 313 3452 87115 373283140 3237311     :2122  2-16
Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 3. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0 4. Mengubah angka di baris keempat di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx      :3153                    39 3112 356 313 3452 3143563280 373283140 3237311      :4124                    391 3112 356 313 3133263130 3143563280 373283140 3237311 2-17
Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 5. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama: 6. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx    :22 14 3       :323 28 3                   391 3112 4 313 3133263130 3143563280 21210 3237311                 391 0 4 313 3133263130 0000 21210 3237311 2-18
Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 7. Mengubah angka di baris keempat di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0: 8. Mempertukarkan baris ketiga dengan baris keempat:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx    :43       :424 13 3                  3 0 4 313 23000 0000 21210 3237311                 0 3 4 313 0000 23000 21210 3237311 2-19
Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 9. Mengubah pivot pada baris ketiga menjadi 1 utama:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx    :33 3 2  2 4 2 1 2 3 13 3 2 3 7 3 1 4 432 4321    x xxx xxxx                 0 2 4 313 0000 1000 21210 3237311  matriks eselon-baris 2-20
Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 10. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): x4 = –2; x2 – 2x3 + x4(1/2) = 4  x2 – 2x3 – 2(1/2) = 4  x2 – 2x3 = 5; x1 + x2(1/3) + x3(7/3) + x4(2/3) = 13/3  x1 + x2(1/3) + x3(7/3) = 17/3. Apabila x3 dimisalkan sebagai c, maka: x2 = 5 + 2c; x1 = 4 – 3c. Solusi: {(4 – 3c, 5 + 2c, c, –2) | c R} Solusi tak berhingga.                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx  2-21
Contoh 2.5 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         57684 11242 9363 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx                5 11 9 7684 1242 3063     :11 3 1                 5 11 3 7684 1242 1021      :2122                5 5 3 7684 1200 1021 2-22
Contoh 2.5 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 3. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0: 4. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama:         57684 11242 9363 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx                5 11 9 7684 1242 3063       :3143     :22 2 1               17 25 3 3600 21100 1021              17 5 3 3600 1200 1021 2-23
Contoh 2.5 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 5. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0: Matriks eselon-baris di atas disebut tidak konsisten karena pada baris ketiga tidak akan pernah terpenuhi: 0 = –2.         57684 11242 9363 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx                5 11 9 7684 1242 3063       :3163               2 25 3 0000 21100 1021  matriks eselon-baris Suatu sistem persamaan linear disebut tidak mempunyai solusi (tidak konsis- ten) apabila ada baris yang mempunyai bentuk: [0 0 … 0 | c], c ≠ 0. 2-24
Setelah melakukan operasi baris elementer dan didapatkan matriks eselon-baris, kolom yang mempunyai pivot akan disebut kolom pivot, sedangkan yang tidak akan disebut kolom non-pivot. Variabel yang berada pada kolom pivot disebut variabel dependen, sedangkan yang berada pada kolom non-pivot disebut variabel independen. Contoh: Matriks eselon-baris hasil operasi baris elementer dengan menggunakan metode eliminasi Gauss adalah sebagai berikut: x1, x3, dan x6 adalah variabel dependen; x2, x4, dan x5 adalah variabel independen, sehingga nilai- nya bisa berapa saja; misalkan x2 = a, x4 = b, dan x5 = c (a, b, c R). Maka, x6 = 16; x3 = –9 – 4b – 23c; dan x1 = 17 + 2a – 3b – 5c. Solusi: {(17 + 2a – 3b – 5c, a, –9 – 4b – 23c, b, c, 16) | a, b, c R}.                 0 16 9 1 000000 100000 0234100 153021   2-25
Teorema 2.1 mengandung makna bahwa apabila kita melakukan operasi baris elementer—beberapa kali—pada hasil perkalian dua matriks, maka hasilnya akan sama dengan apabila kita melakukan operasi baris elementer—beberapa kali— pada matriks pertama sebelum dilakukan proses perkalian matriks. Teorema 2.1 Jika A dan B adalah matriks yang dapat didefinisikan hasil perkaliannya, AB, dan R adalah operasi baris elementer, maka: 1) R(AB) = (R(A))B; 2) Rn(…(R2(R1(AB)))…) = (Rn(…(R2(R1(A)))…)B. 2-26
Contoh 2.6 Suatu persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c melewati tiga titik: (–2, 20), (1, 5), dan (3, 25). Tentukan persamaan kuadrat tersebut dengan mencari nilai a, b, dan c! Melakukan operasi baris elementer untuk mendapatkan matriks eselon baris: 1. ¼ (1) → (1); 2. (2) – (1) → (2); 3. (3) – 9(1) → (3); 4. 2/3 (2) → (2); 5. (3) – 7.5(2) → (3); 6. –1/5 (3) → (3). Persamaan kuadrat: y = 3x2 – 2x + 4.                    2533 511 2022 2 2 2 cba cba cba             25 5 20 139 111 124         2539 5 2024 cba cba cba              4 0 5 100 2110 41211 Back substitution: c = 4; b + ½ c = 0  b + 2 = 0; b = –2; a – ½ b + ¼ c = 5  a + 1 + 1 = 5; a = 3. 2-27
Suatu metode untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan linear dengan cara mengubah augmented matrix menjadi matriks eselon-baris tereduksi. Matriks eselon-baris tereduksi adalah matriks eselon-baris di mana entri di atas pivot adalah 0. Kelebihan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah solusi menjadi lebih jelas karena jumlah angka tak nol menjadi lebih sedikit. Kekurangan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah memerlukan lebih banyak operasi baris elementer, sehingga metode eliminasi Gauss lebih cepat dikerjakan; dan juga kurang akurat apabila terdapat banyak pembulatan. Contoh matriks eselon-baris tereduksi:           800 050 001             0000 0300 0020 0001 pivot 2-28
Contoh 2.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         55122 1623 1632 431 421 321 xxx xxx xxx            5 16 16 51202 1023 0312             5 16 8 51202 1023 023211   :11 2 1                11 8 8 5910 129210 023211           :3123 :2132   2-29
Contoh 2.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan! 3. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama: 4. Mengubah angka di bawah dan di atas 1 utama baris kedua menjadi 0:         55122 1623 1632 431 421 321 xxx xxx xxx            5 16 16 51202 1023 0312     :222             :323 :12 2 1 1                 11 16 8 5910 2910 023211                27 16 16 3000 2910 1601 2-30
Contoh 2.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan! 5. Mengubah pivot pada baris ketiga menjadi 1 utama: 6. Mengubah angka di atas 1 utama baris ketiga menjadi 0:         55122 1623 1632 431 421 321 xxx xxx xxx            5 16 16 51202 1023 0312     :33 3 1              :2322 :131               9 16 16 1000 2910 1601            9 34 25 1000 0910 0601  matriks eselon-baris tereduksi 2-31
Contoh 2.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan! 7. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): x4 = 9; x2 – 9x3 = –34; x1 + 6x3 = 25. Apabila x3 dimisalkan sebagai c, maka: x2 = –34 + 9c; x1 = 25 – 6c. Solusi: {(25 – 6c, –34 + 9c, c, 9) | c R} Solusi tak berhingga.         55122 1623 1632 431 421 321 xxx xxx xxx            5 16 16 51202 1023 0312   2-32
Suatu sistem homogen pasti mempunyai solusi (konsisten). • Apabila solusi dari sistem homogen adalah (0, 0, …, 0) disebut trivial solution. • Nontrivial solution terjadi apabila matriks eselon-baris tereduksi (yang terbentuk akibat operasi baris elementer) dari n variabel mempunyai pivot taknol yang lebih sedikit dari n. Contoh trivial solution: Contoh nontrivial solution: Definisi Sistem homogen adalah suatu sistem persamaan linear yang mem- punyai bentuk persamaan matriks AX = O, di mana O adalah vektor kolom nol [0 0 … 0]T.           0 0 0 100 010 001             0 0 0 000 2110 2301 2-33
Contoh 2.8 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut! 1. Mengubah angka di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0: 2. Mempertukarkan baris kedua dengan baris ketiga:         0401811562 0492412693 0178423 654321 654321 654321 xxxxxx xxxxxx xxxxxx              0 0 0 401811562 492412693 1784231             :3123 :2132                0 0 0 623100 200000 1784231    :32               0 0 0 200000 623100 1784231 2-34
Contoh 2.8 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut! 3. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama: 4. Mengubah angka di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0:         0401811562 0492412693 0178423 654321 654321 654321 xxxxxx xxxxxx xxxxxx              0 0 0 401811562 492412693 1784231     :221       :1221               0 0 0 200000 623100 1784231              0 0 0 200000 623100 542031 2-35
Contoh 2.8 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut! 5. Mengubah pivot pada baris ketiga menjadi 1 utama: 6. Mengubah angka di atas 1 utama baris ketiga menjadi 0:         0401811562 0492412693 0178423 654321 654321 654321 xxxxxx xxxxxx xxxxxx              0 0 0 401811562 492412693 1784231     :33 2 1             :2362 :1351               0 0 0 100000 623100 542031             0 0 0 100000 023100 042031  matriks eselon-baris tereduksi 2-36
Contoh 2.8 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut! 7. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): x6 = 0; x3 – 3x4 + 2x5 = 0; x1 – 3x2 + 2x4 + 4x5 = 0. Apabila x2, x4, dan x5 dimisalkan sebagai a, b, dan c, maka: x3 = 3b – 2c; x1 = 3a – 2b – 4c. Solusi: {(3a – 2b – 4c, a, 3b – 2c, b, c, 0) | a, b, c R} nontrivial solution.         0401811562 0492412693 0178423 654321 654321 654321 xxxxxx xxxxxx xxxxxx              0 0 0 401811562 492412693 1784231              0 0 0 100000 023100 042031  2-37
Contoh 2.9 Suatu reaksi kimia antara asam fosfat H3PO4 dengan kalsium hidroksida Ca(OH)2 akan menghasilkan kalsium fosfat Ca3(PO4)2 dan air H2O sebagai berikut: Cari nilai a, b, c, dan d (bilangan bulat terkecil) sehingga jumlah atom pada reactants (ruas kiri) sama dengan jumlah atom pada products (ruas kanan)! Dari matriks eselon-baris tereduksi, satu-satunya variabel independen adalah d, sehingga untuk mendapatkan bilangan bulat terkecil, nilai d = 6; maka c = 1, b = 3, dan a = 2.     OHPOCaOHCaPOH 2243243 dcba         Ca O P H 3 824 2 223            cb dcba ca dba                    0 0 0 0 0310 1824 0201 2023 Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi                   0 0 0 0 0000 61100 21010 31001     OH6POCaOHCa3POH2 2243243  2-38
Ada kalanya, kita diminta untuk menyelesaikan dua atau lebih sistem persamaan linear yang mempunyai matriks koefisien yang sama, seperti berikut ini: dan Untuk menyelesaikan dua sistem persamaan linear di atas, kita bisa “menggabung- kan” dua augmented matrix sebagai berikut: Maka, solusi dari dua sistem persamaan tersebut adalah: Persamaan 1: (2, –3, 1); Persamaan 2: (–1, 5, –3)  Solusi unik.         18532 74 123 321 31 321 xxx xx xxx         32532 14 823 321 31 321 xxx xx xxx                32 1 8 18 7 1 532 104 213              3 5 1 1 3 2 100 010 001Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi  2-39
Dua sistem persamaan berikut adalah ekuivalen karena mempunyai solusi yang sama: dan Definisi Dua sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan dan n variabel dikatakan ekuivalen jika dan hanya jika mereka mem- punyai solusi yang sama.      93 12 yx yx      425 144 yx yx          9 1 13 12          4 14 25 41 Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi          3 2 10 01         3 2 10 01 Solusi: {(2,3)} 2-40
Definisi tersebut mengandung arti baik metode eliminasi Gauss atau pun Gauss- Jordan, akan menghasilkan matriks yang row equivalent dengan matriks aslinya. R adalah operasi baris elementer dan R-1 adalah invers dari operasi baris elementer. Hal ini berarti bahwa operasi baris elementer yang dilakukan adalah reversible (dapat balik). Definisi Suatu augmented matrix D dikatakan row equivalent (mempunyai baris yang ekuivalen) dengan matriks C jika dan hanya jika matriks D didapat dari matriks C dengan melakukan operasi baris elementer. DAAAC 1321 RRR 2 R 1 R   nn n CAAAD 1 1 1 2 1 1 11 1 R 1 RR 1 RR         nnn nn 2-41
Tabel 2.1 Operasi Baris Elementer dan Invers-nya Teorema 2.2 Jika suatu matriks D adalah row equivalent terhadap matriks C, maka C juga row equivalent terhadap D. Operasi Baris Elementer Invers/Operasi Reverse c(i) → (i) (1/c) × (i) → (i) (j) + c(i) → (j) (j) – c(i) → (j) (i) ↔ (j) (j) ↔ (i) Teorema 2.3 Apabila AX = B adalah suatu sistem persamaan linear, dan [C|D] adalah row equiva- lent terhadap [A|B], maka CX = D adalah ekuivalen terhadap AX = B. 2-42
Contoh: Matriks B berikut mempunyai rank = 2. Definisi Rank suatu matriks A merupakan jumlah baris tak nol (yaitu baris dengan pivot tak nol) dalam bentuk matriks eselon-baris tereduksi yang row equivalent terhadap matriks A. Teorema 2.4 Suatu matriks adalah row equivalent terhadap satu matriks dalam bentuk matriks eselon-baris tereduksi.               17142232 681220 91013 B Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi               00000 34610 41201 B 2-43
Teorema 2.5 Apabila diberikan persamaan matriks AX = O yang merupakan sistem homogen dengan n variabel. 1) Jika rank(A) < n, maka sistem homogen mempunyai nontrivial solution. 2) Jika rank(A) = n, maka sistem homogen mempunyai trivial solution. Perhatikan bahwa apabila rank(A) < n, maka sistem homogen mempunyai solusi tak berhingga. Corollary 2.6 Apabila diberikan persamaan matriks AX = O yang merupakan sistem homogen dengan n variabel dan m persamaan. Jika m < n, maka sistem homogen mem- punyai nontrivial solution. 2-44
Untuk memverifikasi apakah suatu vektor merupakan kombinasi linear dari dua atau tiga vektor yang lain, kita bisa menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Contoh 2.10 Verifikasi apakah vektor b = [16, –3, 8]T merupakan kombinasi linear dari tiga vektor berikut: a1 = [–4, 1, 2]T, a2 = [2, 1, 0]T, a3 = [6, –3, –4]T dalam R3. [16, –3, 8]T = c1 [–4, 1, 2]T + c2 [2, 1, 0]T + c3 [6, –3, –4]T. Baris ketiga dari matriks eselon-baris tereduksi menunjukkan bahwa sistem tidak memiliki solusi, sehingga vektor b bukan merupakan kombinasi linear dari vektor a1, a2, dan a3.         842 33 16624 31 321 321 cc ccc ccc Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi                 8 3 16 402 311 624              346 32 311 000 110 201 2-45
Untuk memverifikasi apakah suatu vektor merupakan kombinasi linear dari dua atau tiga vektor yang lain, kita bisa menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Contoh 2.11 Verifikasi apakah vektor b = [14, –21, 7]T merupakan kombinasi linear dari dua vektor berikut: a1 = [2, –3, 1]T dan a2 = [–4, 6, –2]T dalam R3. [14, –21, 7]T = c1 [2, –3, 1]T + c2 [–4, 6, –2]T. Dari matriks eselon-baris tereduksi terlihat kalau c1 merupakan variabel dependen dan c2 merupakan variabel independen. Misalkan ditetapkan nilai c2 = 1, maka c1 = 9, sehingga [14, –21, 7]T = 9 [2, –3, 1]T + 1 [–4, 6, –2]T  kombinasi linear.         72 2163 1442 21 21 21 cc cc cc Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi                 7 21 14 21 63 42            0 0 7 00 00 21 2-46
Contoh 2.12 Periksa apakah vektor b = [5, 7, –20]T ada di dalam row space dari matriks A:  [5, 7, –20]T = c1 [3, 1, –2]T + c2 [4, 0, 1]T + c3 [–2, 4, –3]T Karena sistem persamaan mempunyai solusi (unik) atau vektor b merupakan kombi- nasi linear dari baris matriks A, maka vektor b ada di dalam row space matriks A. Definisi Apabila A adalah matriks berukuran m × n; himpunan bagian dari Rn yang berisi semua vektor yang merupakan kombinasi linear dari baris pada matriks A adalah row space dari matriks A.              342 104 213 A         2032 74 5243 321 31 321 ccc cc ccc              20 7 5 312 401 243             3 1 5 100 010 001 2-47
Contoh 2.13 Periksa apakah vektor x = [3, 5]T ada di dalam row space dari matriks B:  [3, 5]T = c1 [2, –4]T + c2 [–1, 2]T Karena sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka vektor x tidak ada di dalam row space matriks B. Perhatikan! • Untuk memverifikasi apakah suatu vektor X ada di dalam row space dari matriks A, maka kita hanya perlu memeriksa apakah augmented matrix [AT|X] mempunyai solusi atau tidak. • Suatu vektor nol 0 = [0 0 … 0]T dalam Rn pasti berada di dalam row space dari matriks A. Hal ini dikarenakan vektor nol selalu dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari baris matriks A (dengan mengalikan baris matriks A dengan 0 dan menambahkannya). • Setiap baris dari matriks A selalu berada dalam row space dari matriks A karena baris tersebut merupakan kombinasi linear dari baris lainnya (dengan mengalikan baris tersebut dengan 1 dan yang lain dengan 0).          21 42 B      524 32 21 21 cc cc            5 3 24 12           11 23 00 211 2-48
Misalkan bentuk matriks eselon-baris tereduksi dari matriks A adalah matriks B. Berdasarkan definisi, maka matriks A adalah row equivalent terhadap matriks B. Apabila vektor x meru- pakan kombinasi linear dari baris- baris matriks A, maka vektor tersebut juga merupakan kombinasi linear dari baris-baris matriks B. Lemma 2.7 Apabila x adalah kombinasi linear dari q1, q2, …, qk dan setiap qi merupakan kombi- nasi linear dari r1, r2, …, rl; maka x adalah kombinasi linear dari r1, r2, …, rl. Teorema 2.8 Apabila matriks A dan B adalah row equivalent; maka row space dari A adalah sama dengan row space dari B.                 410142 511221 1125463 193312105 A               00000 00000 24100 13021 B x = [4, 8, –30, –132, –64]T x = –1[5, 10, 12, 33, 19]T + 3[3, 6, –4, –25, –11]T + 4[1, 2, –2, –11, –5]T –2[2, 4, –1, –10, –4]T x = 4[1, 2, 0, –3, –1]T – 30[0, 0, 1, 4, 2]T 2-49
Contoh 2.14 Buktikan bahwa matriks A dan B adalah (multiplicative) inverse. Definisi Apabila A adalah matriks berukuran n × n; maka B adalah (multi- plicative) inverse dari matriks A jika dan hanya jika AB = BA = In.               111 211 141 A            532 321 753 B BAI 100 010 001 AB             n Teorema 2.9 Diberikan matriks A dan B berukuran n × n. Salah satu dari AB atau BA adalah In; maka hasil kali yang lain juga menghasilkan In. A dan B invers satu sama lain. 2-50
Contoh: matriks C = adalah singular karena tidak mempunyai invers. Tidak ada matriks berukuran 2 × 2 yang membuat Terlihat kalau sistem persamaan tidak mempunyai solusi. Definisi Suatu matriks persegi adalah singular jika dan hanya jika matriks ter- sebut tidak mempunyai invers; suatu matriks persegi adalah non- singular jika dan hanya jika matriks tersebut mempunyai invers.       36 12       dc ba             10 01 dc ba       36 12               10 01 3636 22 dbca dbca            136 036 02 12 db ca db ca                 1 0 0 1 3060 0306 1020 0102               3 1 0 21 0000 0000 21010 02101  2-51
Dari Contoh 2.14 diketahui bahwa: , maka: Teorema 2.10 (Keunikan Invers Matriks) Jika B dan C berukuran n × n dan keduanya adalah invers matriks A, maka B = C. Definisi Apabila A adalah matriks nonsingular berukuran n × n; maka A–1 adalah (unique) invers dari matriks A, dan untuk k ≥ 2, A–k = (A–1)k.               111 211 141 A            532 321 753 Adan; 1   . 466301184 271175107 689445272 532 321 753 AA 3 313                        2-52
Teorema 2.11 Jika A dan B adalah matriks nonsingular berukuran n × n; maka: 1) A–1 adalah nonsingular, dan (A–1) –1 = A 2) Ak adalah nonsingular, dan (Ak)–1 = (A–1)k = A–k untuk setiap bilangan bulat k 3) AB adalah nonsingular, dan (AB)–1 = B–1A–1 4) AT adalah nonsingular, dan (AT)–1 = (A–1)T Teorema 2.12 Jika A adalah matriks nonsingular; s dan t bilangan bulat, maka: 1) As+t = (As) (At) 2) (As)t = Ast = (At)s 2-53
Contoh 2.15 Tentukan invers dari matriks M = ! Matriks M mempunyai invers karena δ = (–5)(–4) – (2)(9) = 2 ≠ 0; inversnya: M–1 = Perhatikan bahwa MM–1 = I2. Teorema 2.13 Matriks A = mempunyai invers jika dan hanya jika δ = ad – bc ≠ 0; sehingga: A–1 = =       dc ba 1       dc ba         ac bd  1         49 25                 2529 12 59 24 2 1 2-54
Metode Mencari Invers suatu Matriks (apabila invers-nya ada) A matriks berukuran n × n, invers dari matriks A dapat dicari dengan: 1. Buat augmented matriks berukuran n × 2n, di mana n kolom yang pertama merupakan matriks A dan n kolom yang kedua adalah matriks In. 2. Ubah matriks [A|In] menjadi matriks eselon-baris tereduksi. 3. Apabila n kolom yang pertama tidak bisa diubah ke dalam matriks eselon-baris tereduksi, maka matriks A adalah singular (tidak mempunyai invers). 4. Selain itu, maka matriks A adalah nonsingular, sehingga n kolom yang kedua adalah invers matriks A atau A–1. 2-55
Contoh 2.16 Cari invers matriks A = ! Buat matriks [A|I3]: Melakukan operasi baris elementer untuk membentuk matriks eselon-baris tereduksi:              892 9124 562              100 010 001 892 9124 562                    32.4 3123.3 21422. 11 2 1 .1                          232.8 13 2 1 1.7 1231.6 22 3 1 .5                  012 31137 12125 100 010 001  A–1 2-56
Telah kita lihat bahwa tidak semua matriks persegi mempunyai invers (matriks singular). Untuk matriks singular A, maka operasi baris elementer pada augmented matrix [A|In] tidak akan menghasilkan In pada n kolom sebelah kanan. Untuk mengidentifikasi hal ini, maka yang perlu diperhatikan adalah apabila dalam suatu langkah pada operasi baris elementer kita menemukan ada diagonal utama yang nilainya 0 dan semua entri di bawahnya bernilai 0. Apabila hal ini terjadi, maka matriks tersebut adalah singular. Contoh: Matriks A = adalah singular karena pada suatu langkah dalam operasi baris elementer, ditemukan keadaan seperti ini: Teorema 2.14 Suatu matriks A berukuran n × n adalah nonsingular jika dan hanya jika rank(A) = n.               2613 0241 1402 1824                   102521 01272 00121 00210 1000 211000 23010 21201 Kolom 3 tidak mempunyai pivot 2-57
Namun, pengerjaan tersebut memakan waktu yang lebih lama daripada mengguna- kan metode eliminasi Gauss atau pun Gauss-Jordan, karena pertama kita harus mencari invers dari matriks koefisien A atau A–1, kemudian melakukan operasi perkalian matriks antara A–1 dengan vektor B untuk mencari solusinya. Teorema 2.15 Sistem persamaan linear ditulis dalam persamaan matriks sebagai berikut: AX = B, di mana matriks A adalah matriks persegi. 1) Jika A adalah nonsingular, maka sistem mempunyai solusi unik: X = A–1B 2) Jika A adalah singular, maka sistem: mempunyai solusi tak berhingga atau tidak mempunyai solusi Maka, sistem akan mempunyai solusi unik jika dan hanya jika matriks A nonsingular. 2-58
Contoh 2.17 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks koefisiennya! Solusi sistem persamaan linear dapat diketahui dengan mencari invers matriks A:         223 3223 6357 321 321 321 xxx xxx xxx                                    2 3 6 123 223 357 3 2 1 x x x A X B              100 010 001 123 223 357                    227.4 3133.3 21322. 11 7 1 .1                             2352.8 1341.7 323.6 12 7 5 1.5                 110 523 412 100 010 001                                    5 22 17 2 3 6 110 523 412 BAX 1 A-1 2-59
Instructor: M. Mujiya Ulkhaq Department of Industrial Engineering Aljabar Linear Linear Algebra Thank You for your Attention

Recommended

Metode Dualitas (Primal-Dual)
Metode Dualitas (Primal-Dual)Metode Dualitas (Primal-Dual)
Metode Dualitas (Primal-Dual)
hazhiyah
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruang
Edhy Suadnyanayasa
 
Parametric Equations
Parametric EquationsParametric Equations
Parametric Equations
Diponegoro University
 
Materi 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabel
Materi 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabelMateri 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabel
Materi 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabel
radar radius
 
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsistenMenentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
BAIDILAH Baidilah
 
Interpolasi Newton
Interpolasi NewtonInterpolasi Newton
Interpolasi Newton
Ratih Vihafsari
 
21377253 bab-iii-sistem-persamaan-linear
21377253 bab-iii-sistem-persamaan-linear21377253 bab-iii-sistem-persamaan-linear
21377253 bab-iii-sistem-persamaan-linear
Ricardio Napoleao De Jesus Bento
 
PENELITIAN OPERASIONAL - PROGRAMA LINIER - METODE PRIMAL DUAL
PENELITIAN OPERASIONAL - PROGRAMA LINIER - METODE PRIMAL DUALPENELITIAN OPERASIONAL - PROGRAMA LINIER - METODE PRIMAL DUAL
PENELITIAN OPERASIONAL - PROGRAMA LINIER - METODE PRIMAL DUAL
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia
 

Recommended

Metode Dualitas (Primal-Dual)
Metode Dualitas (Primal-Dual)Metode Dualitas (Primal-Dual)
Metode Dualitas (Primal-Dual)
hazhiyah
 
Geometri analitik ruang
Geometri analitik ruangGeometri analitik ruang
Geometri analitik ruang
Edhy Suadnyanayasa
 
Parametric Equations
Parametric EquationsParametric Equations
Parametric Equations
Diponegoro University
 
Materi 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabel
Materi 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabelMateri 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabel
Materi 4 penyelesaian spl tiga atau lebih variabel
radar radius
 
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsistenMenentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
Menentukan sistem persamaan linier dalam bentuk sistem konsisten dan inkonsisten
BAIDILAH Baidilah
 
Interpolasi Newton
Interpolasi NewtonInterpolasi Newton
Interpolasi Newton
Ratih Vihafsari
 
21377253 bab-iii-sistem-persamaan-linear
21377253 bab-iii-sistem-persamaan-linear21377253 bab-iii-sistem-persamaan-linear
21377253 bab-iii-sistem-persamaan-linear
Ricardio Napoleao De Jesus Bento
 
PENELITIAN OPERASIONAL - PROGRAMA LINIER - METODE PRIMAL DUAL
PENELITIAN OPERASIONAL - PROGRAMA LINIER - METODE PRIMAL DUALPENELITIAN OPERASIONAL - PROGRAMA LINIER - METODE PRIMAL DUAL
PENELITIAN OPERASIONAL - PROGRAMA LINIER - METODE PRIMAL DUAL
Universitas Qomaruddin, Gresik, Indonesia
 
Turunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksTurunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi Kompleks
RochimatulLaili
 
Modul 1 pd linier orde satu
Modul 1 pd linier orde satuModul 1 pd linier orde satu
Modul 1 pd linier orde satu
Achmad Sukmawijaya
 
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerMenyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Ana Sugiyarti
 
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidelPenyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
BAIDILAH Baidilah
 
Metode simpleks dua fase
Metode simpleks dua faseMetode simpleks dua fase
Metode simpleks dua fase
specy1234
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptAljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
rahmawarni
 
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdfBahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Pawit Ngafani
 
Dualitas- Program Linear
Dualitas- Program LinearDualitas- Program Linear
Dualitas- Program Linear
HelvyEffendi
 
Teori bilangan
Teori bilanganTeori bilangan
Teori bilangan
Dia Cahyawati
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linierModul 4 kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linier
Acika Karunila
 
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga
Kelinci Coklat
 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
Safran Nasoha
 
integral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksintegral fungsi kompleks
integral fungsi kompleks
marihot TP
 
Basis dan Dimensi
Basis dan DimensiBasis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
Rizky Wulansari
 
Relasi Rekurensi
Relasi RekurensiRelasi Rekurensi
Relasi Rekurensi
Heni Widayani
 
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebihTuruna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Mono Manullang
 
Metode Simplek Minimasi
Metode Simplek MinimasiMetode Simplek Minimasi
Metode Simplek Minimasi
Siti Zuariyah
 
3. newton raphson method
3. newton raphson method3. newton raphson method
3. newton raphson method
okti agung
 
Regresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasiRegresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasi
Isti Qomah
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Dyas Arientiyya
 
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptxPPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
IanVemasSilalahi
 
Sistem persamaan linier
Sistem persamaan linierSistem persamaan linier
Sistem persamaan linier
Bisma Kemal
 

More Related Content

What's hot

Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidelPenyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
BAIDILAH Baidilah
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptAljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
rahmawarni
 
Metode Simplek Minimasi
Metode Simplek MinimasiMetode Simplek Minimasi
Metode Simplek Minimasi
Siti Zuariyah
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Dyas Arientiyya
 

What's hot (20)

Turunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi KompleksTurunan Fungsi Kompleks
Turunan Fungsi Kompleks
 
Modul 1 pd linier orde satu
Modul 1 pd linier orde satuModul 1 pd linier orde satu
Modul 1 pd linier orde satu
 
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementerMenyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan operasi baris elementer
 
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidelPenyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iterasi gauss seidel
 
Metode simpleks dua fase
Metode simpleks dua faseMetode simpleks dua fase
Metode simpleks dua fase
 
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.pptAljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
Aljabar linear:Kebebasan Linear, Basis, dan Dimensi.ppt
 
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdfBahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
Bahan ajar alin 2 rev 2014 pdf
 
Dualitas- Program Linear
Dualitas- Program LinearDualitas- Program Linear
Dualitas- Program Linear
 
Teori bilangan
Teori bilanganTeori bilangan
Teori bilangan
 
Modul 4 kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linierModul 4 kongruensi linier
Modul 4 kongruensi linier
 
Integral Lipat Tiga
Integral Lipat TigaIntegral Lipat Tiga
Integral Lipat Tiga
 
Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2Struktur aljabar-2
Struktur aljabar-2
 
integral fungsi kompleks
integral fungsi kompleksintegral fungsi kompleks
integral fungsi kompleks
 
Basis dan Dimensi
Basis dan DimensiBasis dan Dimensi
Basis dan Dimensi
 
Relasi Rekurensi
Relasi RekurensiRelasi Rekurensi
Relasi Rekurensi
 
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebihTuruna parsial fungsi dua peubah atau lebih
Turuna parsial fungsi dua peubah atau lebih
 
Metode Simplek Minimasi
Metode Simplek MinimasiMetode Simplek Minimasi
Metode Simplek Minimasi
 
3. newton raphson method
3. newton raphson method3. newton raphson method
3. newton raphson method
 
Regresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasiRegresi dan interpolasi
Regresi dan interpolasi
 
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
Persamaan garis lurus(Geometri Analitik Ruang)
 

Similar to Linear Algebra - System of Linear Equation

PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptxPPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
IanVemasSilalahi
 
Matrix (Alin 1.1 1.2)
Matrix (Alin 1.1 1.2)Matrix (Alin 1.1 1.2)
Matrix (Alin 1.1 1.2)
satriahelmy
 
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIANALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
Fela Aziiza
 

Similar to Linear Algebra - System of Linear Equation (20)

PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptxPPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
PPT_Kelompok3_Eliminasi Gauss.pptx
 
Sistem persamaan linier
Sistem persamaan linierSistem persamaan linier
Sistem persamaan linier
 
Gaussjordan
GaussjordanGaussjordan
Gaussjordan
 
Gaussjordan
GaussjordanGaussjordan
Gaussjordan
 
Draft 2
Draft 2Draft 2
Draft 2
 
Bab 2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier.ppt
Bab 2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier.pptBab 2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier.ppt
Bab 2 Penyelesaian Sistem Persamaan Linier.ppt
 
Gayus
GayusGayus
Gayus
 
Eliminasi gauss
Eliminasi gaussEliminasi gauss
Eliminasi gauss
 
Metode Numerik Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Metode Numerik Penyelesaian Persamaan Linier SimultanMetode Numerik Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
Metode Numerik Penyelesaian Persamaan Linier Simultan
 
Matrix (Alin 1.1 1.2)
Matrix (Alin 1.1 1.2)Matrix (Alin 1.1 1.2)
Matrix (Alin 1.1 1.2)
 
METODE SIMPLEX.pptx
METODE SIMPLEX.pptxMETODE SIMPLEX.pptx
METODE SIMPLEX.pptx
 
Bab 3(3) spl
Bab 3(3) splBab 3(3) spl
Bab 3(3) spl
 
Pertemuan3&4
Pertemuan3&4Pertemuan3&4
Pertemuan3&4
 
3. sistem persamaan linier
3. sistem persamaan linier3. sistem persamaan linier
3. sistem persamaan linier
 
Aturan Cramer, Eliminasi Gauss & Eliminasi Gauss Jordan.ppt
Aturan Cramer, Eliminasi Gauss & Eliminasi Gauss Jordan.pptAturan Cramer, Eliminasi Gauss & Eliminasi Gauss Jordan.ppt
Aturan Cramer, Eliminasi Gauss & Eliminasi Gauss Jordan.ppt
 
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksiMatriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
Matriks eselon baris dan eselon baris tereduksi
 
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
ALJABAR LINEAR ELEMENTERALJABAR LINEAR ELEMENTER
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
 
Sistem persamaan-linier
Sistem persamaan-linierSistem persamaan-linier
Sistem persamaan-linier
 
Sistem persamaan-linier
Sistem persamaan-linierSistem persamaan-linier
Sistem persamaan-linier
 
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIANALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
ALJABAR LINEAR ELIMINASI GAUSSIAN
 

More from Diponegoro University

More from Diponegoro University (20)

Polar Coordinates & Polar Curves
Polar Coordinates & Polar CurvesPolar Coordinates & Polar Curves
Polar Coordinates & Polar Curves
 
Shewhart Charts for Variables
Shewhart Charts for VariablesShewhart Charts for Variables
Shewhart Charts for Variables
 
A Brief Concept of Quality
A Brief Concept of QualityA Brief Concept of Quality
A Brief Concept of Quality
 
Methods and Philosophy of SPC
Methods and Philosophy of SPCMethods and Philosophy of SPC
Methods and Philosophy of SPC
 
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector SpacesLinear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
Linear Algebra - Finite Dimensional Vector Spaces
 
Linear Algebra - Determinants and Eigenvalues
Linear Algebra - Determinants and EigenvaluesLinear Algebra - Determinants and Eigenvalues
Linear Algebra - Determinants and Eigenvalues
 
Linear Algebra - Vectors and Matrices
Linear Algebra - Vectors and MatricesLinear Algebra - Vectors and Matrices
Linear Algebra - Vectors and Matrices
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 6
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 6EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 6
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 6
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 7
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 7EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 7
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 7
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 8
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 8EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 8
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 8
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 8
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 8EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 8
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 8
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 9
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 9EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 9
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 9
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 2
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 2EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 2
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 2
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 1
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 1EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 1
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 1
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 5
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 5EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 5
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 5
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 4
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 4EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 4
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 4
 
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 3
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 3EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 3
EKMA4413 - Riset Operasi - Modul 3
 
Apple
AppleApple
Apple
 
EKMA4570 - Penganggaran - Modul 8
EKMA4570 - Penganggaran - Modul 8EKMA4570 - Penganggaran - Modul 8
EKMA4570 - Penganggaran - Modul 8
 
EKMA4570 - Penganggaran - Modul 9
EKMA4570 - Penganggaran - Modul 9EKMA4570 - Penganggaran - Modul 9
EKMA4570 - Penganggaran - Modul 9
 

Recently uploaded

Contoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptx
Contoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptxContoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptx
Contoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptx
IvvatulAini
 
Aksi Nyata Sosialisasi Profil Pelajar Pancasila.pdf
Aksi Nyata Sosialisasi Profil Pelajar Pancasila.pdfAksi Nyata Sosialisasi Profil Pelajar Pancasila.pdf
Aksi Nyata Sosialisasi Profil Pelajar Pancasila.pdf
JarzaniIsmail
 
BAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptx
BAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptxBAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptx
BAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptx
JuliBriana2
 
Modul 2 - Bagaimana membangun lingkungan belajar yang mendukung transisi PAUD...
Modul 2 - Bagaimana membangun lingkungan belajar yang mendukung transisi PAUD...Modul 2 - Bagaimana membangun lingkungan belajar yang mendukung transisi PAUD...
Modul 2 - Bagaimana membangun lingkungan belajar yang mendukung transisi PAUD...
pipinafindraputri1
 

Recently uploaded (20)

PELAKSANAAN (dgn PT SBI) + Link2 Materi Pelatihan _"Teknik Perhitungan TKDN, ...
PELAKSANAAN (dgn PT SBI) + Link2 Materi Pelatihan _"Teknik Perhitungan TKDN, ...PELAKSANAAN (dgn PT SBI) + Link2 Materi Pelatihan _"Teknik Perhitungan TKDN, ...
PELAKSANAAN (dgn PT SBI) + Link2 Materi Pelatihan _"Teknik Perhitungan TKDN, ...
 
Materi Sosialisasi US 2024 Sekolah Dasar pptx
Materi Sosialisasi US 2024 Sekolah Dasar pptxMateri Sosialisasi US 2024 Sekolah Dasar pptx
Materi Sosialisasi US 2024 Sekolah Dasar pptx
 
Contoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptx
Contoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptxContoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptx
Contoh PPT Seminar Proposal Teknik Informatika.pptx
 
OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR DI SEKOLAH.pptx
OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR DI SEKOLAH.pptxOPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR DI SEKOLAH.pptx
OPTIMALISASI KOMUNITAS BELAJAR DI SEKOLAH.pptx
 
Regresi Linear Kelompok 1 XI-10 revisi (1).pptx
Regresi Linear Kelompok 1 XI-10 revisi (1).pptxRegresi Linear Kelompok 1 XI-10 revisi (1).pptx
Regresi Linear Kelompok 1 XI-10 revisi (1).pptx
 
AKSI NYATA TOPIK 1 MERDEKA BELAJAR. PPTX
AKSI NYATA TOPIK 1 MERDEKA BELAJAR. PPTXAKSI NYATA TOPIK 1 MERDEKA BELAJAR. PPTX
AKSI NYATA TOPIK 1 MERDEKA BELAJAR. PPTX
 
Aksi Nyata Sosialisasi Profil Pelajar Pancasila.pdf
Aksi Nyata Sosialisasi Profil Pelajar Pancasila.pdfAksi Nyata Sosialisasi Profil Pelajar Pancasila.pdf
Aksi Nyata Sosialisasi Profil Pelajar Pancasila.pdf
 
BAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptx
BAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptxBAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptx
BAB 5 KERJASAMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN.pptx
 
Pendidikan-Bahasa-Indonesia-di-SD MODUL 3 .pptx
Pendidikan-Bahasa-Indonesia-di-SD MODUL 3 .pptxPendidikan-Bahasa-Indonesia-di-SD MODUL 3 .pptx
Pendidikan-Bahasa-Indonesia-di-SD MODUL 3 .pptx
 
TUGAS RUANG KOLABORASI 1.3 PRAKARSA PERUBAHAN
TUGAS RUANG KOLABORASI 1.3 PRAKARSA PERUBAHANTUGAS RUANG KOLABORASI 1.3 PRAKARSA PERUBAHAN
TUGAS RUANG KOLABORASI 1.3 PRAKARSA PERUBAHAN
 
MODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdfMODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
MODUL PENDIDIKAN PANCASILA KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA.pdf
 
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 1.3 CGP 10.pptx
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 1.3 CGP 10.pptxDEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 1.3 CGP 10.pptx
DEMONSTRASI KONTEKSTUAL MODUL 1.3 CGP 10.pptx
 
BAHAN PAPARAN UU DESA NOMOR 3 TAHUN 2024
BAHAN PAPARAN UU DESA NOMOR 3 TAHUN 2024BAHAN PAPARAN UU DESA NOMOR 3 TAHUN 2024
BAHAN PAPARAN UU DESA NOMOR 3 TAHUN 2024
 
vIDEO kelayakan berita untuk mahasiswa.ppsx
vIDEO kelayakan berita untuk mahasiswa.ppsxvIDEO kelayakan berita untuk mahasiswa.ppsx
vIDEO kelayakan berita untuk mahasiswa.ppsx
 
TEKNIK MENJAWAB RUMUSAN SPM 2022 - UNTUK MURID.pptx
TEKNIK MENJAWAB RUMUSAN SPM 2022 - UNTUK MURID.pptxTEKNIK MENJAWAB RUMUSAN SPM 2022 - UNTUK MURID.pptx
TEKNIK MENJAWAB RUMUSAN SPM 2022 - UNTUK MURID.pptx
 
Memperkasakan Dialog Prestasi Sekolah.pptx
Memperkasakan Dialog Prestasi Sekolah.pptxMemperkasakan Dialog Prestasi Sekolah.pptx
Memperkasakan Dialog Prestasi Sekolah.pptx
 
MODUL AJAR IPAS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA
MODUL AJAR IPAS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKAMODUL AJAR IPAS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA
MODUL AJAR IPAS KELAS 6 KURIKULUM MERDEKA
 
PPT Mean Median Modus data tunggal .pptx
PPT Mean Median Modus data tunggal .pptxPPT Mean Median Modus data tunggal .pptx
PPT Mean Median Modus data tunggal .pptx
 
Modul 2 - Bagaimana membangun lingkungan belajar yang mendukung transisi PAUD...
Modul 2 - Bagaimana membangun lingkungan belajar yang mendukung transisi PAUD...Modul 2 - Bagaimana membangun lingkungan belajar yang mendukung transisi PAUD...
Modul 2 - Bagaimana membangun lingkungan belajar yang mendukung transisi PAUD...
 
Membaca dengan Metode Fonik - Membuat Rancangan Pembelajaran dengan Metode Fo...
Membaca dengan Metode Fonik - Membuat Rancangan Pembelajaran dengan Metode Fo...Membaca dengan Metode Fonik - Membuat Rancangan Pembelajaran dengan Metode Fo...
Membaca dengan Metode Fonik - Membuat Rancangan Pembelajaran dengan Metode Fo...
 

Linear Algebra - System of Linear Equation

  • 1. Instructor: M. Mujiya Ulkhaq Department of Industrial Engineering Aljabar Linear Linear Algebra Systems of Linear Equation
  • 2. • Solving linear systems using Gaussian elimination; • Gauss-Jordan row reduction and reduced row echelon form; • Equivalent systems, rank, and row space; • Inverses of matrices. 2-2
  • 3. Definisi Suatu m sistem persamaan linear (yang simultan) dari n variabel: adalah kumpulan dari m persamaan, di mana pada setiap persamaan berisi kombinasi linear dari n variabel (penjumlahan dari perkalian skalar). Solusi dari persamaan linear tersebut untuk variabel x1, x2, …, xn adalah n-tuple (s1, s2, …, sn) yang memenuhi setiap persamaan ketika s1 disubstitusikan ke x1, s2 ke x2, dan seterusnya. Himpunan solusi (lengkap) dari sistem persamaan linear untuk n variabel adalah kumpulan dari semua n-tuple yang membentuk solusi untuk sistem tersebut.           mnmnmm nn nn bxaxaxa bxaxaxa bxaxaxa     2211 22222121 11212111 2-3
  • 4. Sistem persamaan linear tersebut dapat dituliskan ke dalam tiga buah matriks/vektor: A = ; X = ; dan vektor B = , sehingga sistem persamaan linear tersebut ekuivalen dengan: AX = B. Alternatif lain untuk menuliskan sistem persamaan linear ke dalam bentuk matriks adalah membentuk augmented matrix, yaitu: [A|B] =             mnmm n n aaa aaa aaa     21 22221 11211             nx x x  2 1             mb b b  2 1               mmnmm n n b b b aaa aaa aaa      2 1 21 22221 11211 • A: matriks koefisien/Jacobian; • X: vektor variabel; • B: vektor konstanta. 2-4
  • 5. Contoh 2.1 Tuliskan sistem persamaan linear berikut ke dalam persamaan matriks! A = ; X = ; B = ; sehingga persamaan matriksnya: AX = B atau Bisa juga dituliskan sebagai augmented matrix: [A|B] =        5013 3124      1253 5324 zxw zyxw             z y x w       12 5        5013 3124              z y x w               12 5 53 324 zxw zyxw . 12 5 5013 3124          2-5
  • 6. Terdapat tiga kemungkinan solusi untuk suatu sistem persamaan linear: 1. Solusi unik/tepat satu solusi (unique) Contoh: 2. Solusi tak berhingga (infinite number of solutions) Contoh: 3. Tidak ada solusi (no solution) Contoh:      1832 034 21 21 xx xx      1596 1064 yx yx      12 32 21 21 xx xx Gambar 2.1. Contoh solusi unik Gambar 2.2. Contoh solusi tak berhinggaGambar 2.3. Contoh tidak ada solusi • Sistem persamaan dengan solusi jenis 1 dan 2 disebut konsisten • Sistem persamaan dengan solusi jenis 3 disebut inkonsisten 2-6
  • 7. Merupakan suatu metode untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan linear dengan cara mengubah augmented matrix menjadi matriks eselon-baris. Suatu matriks disebut matriks eselon-baris bila: 1. Baris yang semua nilainya 0 harus diletakkan pada baris yang paling bawah. 2. Di setiap baris, angka pertama selain 0 disebut pivot. 3. Pada baris tidak nol, pivot dari baris yang lebih bawah, terletak pada kolom yang lebih kanan. 4. Semua entri di bawah pivot adalah 0. Contoh matriks eselon-baris: ; Contoh yang bukan matriks eselon-baris: ;            800 250 241              0000 9300 7220 5241           010 620 241           020 600 131 pivot 2-7
  • 8. Untuk mengubah augmented matrix menjadi matriks eselon-baris, dibutuhkan operasi baris elementer. Selain itu, juga perlu untuk mengubah pivot yang bukan 1 menjadi 1 (disebut 1 utama). Operasi baris elementer yang diperkenankan adalah: (1) Mengalikan suatu baris dengan bilangan skalar tak nol; (2) Menambahkan suatu baris yang sudah dikalikan dengan skalar tak nol ke dalam baris yang lain; (3) Mengubah urutan baris. Cara menuliskan operasi baris elementer untuk menghemat tempat: ½ (3) → (3) : tiap entri pada baris ke-3 dikalikan ½ (2) ↔ (4) : baris ke-2 ditukar dengan baris ke-4 3(4) + (2) → (2) : baris ke-4 dikalikan 3 kemudian ditambahkan pada baris ke-2 baris yang “tergantikan” 2-8
  • 9. Contoh 2.2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         411763 19624 401555 zyx zyx zyx              41 19 40 1763 624 1555               41 19 8 1763 624 311    :11 5 1       :2142               41 13 8 1763 620 311 2-9
  • 10. Contoh 2.2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 3. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0 : 4. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama:         411763 19624 401555 zyx zyx zyx              41 19 40 1763 624 1555       :3133               17 13 8 830 620 311    :22 2 1               17 213 8 830 310 311 2-10
  • 11. Contoh 2.2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 5. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0 :         411763 19624 401555 zyx zyx zyx              41 19 40 1763 624 1555       :3233               25 213 8 100 310 311  matriks eselon-baris          25 2133 83 z zy zyx 2-11
  • 12. Contoh 2.2 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 6. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): z = –5/2; y + 3z = –13/2  y + 3(–5/2) = –13/2  y –15/2 = –13/2  y = 1; x – y – 3z = 8  x – 1 – 3(–5/2) = 8  x + 13/2 = 8  x = 3/2. Solusi: (3/2, 1, –5/2)  Solusi unik         411763 19624 401555 zyx zyx zyx              41 19 40 1763 624 1555  2-12
  • 13. Contoh 2.3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         854 1026 53 yx yx yx             8 10 5 54 26 13     :11 3 1              8 10 35 54 26 311      :2162             8 0 35 54 00 311 2-13
  • 14. Contoh 2.3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 3. Mempertukarkan baris kedua dengan baris ketiga: (2) ↔ (3): 4. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         854 1026 53 yx yx yx             8 10 5 54 26 13       :2142             0 8 35 00 54 311            0 344 35 00 3110 311 2-14
  • 15. Contoh 2.3 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 5. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama: 6. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): y = 4; x + y(1/3) = –5/3  x + 4(1/3) = –5/3  x = –3. Solusi: (–3, 4)  Solusi unik         854 1026 53 yx yx yx             8 10 5 54 26 13     :11 11 3             0 4 35 00 10 311  matriks eselon-baris 2-15
  • 16. Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx    :11 3 1                    39 59 10 313 3452 87115 11442 3237311                   39 59 356 313 3452 87115 373283140 3237311     :2122  2-16
  • 17. Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 3. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0 4. Mengubah angka di baris keempat di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx      :3153                    39 3112 356 313 3452 3143563280 373283140 3237311      :4124                    391 3112 356 313 3133263130 3143563280 373283140 3237311 2-17
  • 18. Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 5. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama: 6. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx    :22 14 3       :323 28 3                   391 3112 4 313 3133263130 3143563280 21210 3237311                 391 0 4 313 3133263130 0000 21210 3237311 2-18
  • 19. Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 7. Mengubah angka di baris keempat di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0: 8. Mempertukarkan baris ketiga dengan baris keempat:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx    :43       :424 13 3                  3 0 4 313 23000 0000 21210 3237311                 0 3 4 313 0000 23000 21210 3237311 2-19
  • 20. Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 9. Mengubah pivot pada baris ketiga menjadi 1 utama:                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx    :33 3 2  2 4 2 1 2 3 13 3 2 3 7 3 1 4 432 4321    x xxx xxxx                 0 2 4 313 0000 1000 21210 3237311  matriks eselon-baris 2-20
  • 21. Contoh 2.4 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 10. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): x4 = –2; x2 – 2x3 + x4(1/2) = 4  x2 – 2x3 – 2(1/2) = 4  x2 – 2x3 = 5; x1 + x2(1/3) + x3(7/3) + x4(2/3) = 13/3  x1 + x2(1/3) + x3(7/3) = 17/3. Apabila x3 dimisalkan sebagai c, maka: x2 = 5 + 2c; x1 = 4 – 3c. Solusi: {(4 – 3c, 5 + 2c, c, –2) | c R} Solusi tak berhingga.                   39 59 10 13 3452 87115 11442 2713             393452 5987115 101442 13273 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx  2-21
  • 22. Contoh 2.5 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di baris kedua di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         57684 11242 9363 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx                5 11 9 7684 1242 3063     :11 3 1                 5 11 3 7684 1242 1021      :2122                5 5 3 7684 1200 1021 2-22
  • 23. Contoh 2.5 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 3. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0: 4. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama:         57684 11242 9363 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx                5 11 9 7684 1242 3063       :3143     :22 2 1               17 25 3 3600 21100 1021              17 5 3 3600 1200 1021 2-23
  • 24. Contoh 2.5 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss! 5. Mengubah angka di baris ketiga di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0: Matriks eselon-baris di atas disebut tidak konsisten karena pada baris ketiga tidak akan pernah terpenuhi: 0 = –2.         57684 11242 9363 4321 4321 421 xxxx xxxx xxx                5 11 9 7684 1242 3063       :3163               2 25 3 0000 21100 1021  matriks eselon-baris Suatu sistem persamaan linear disebut tidak mempunyai solusi (tidak konsis- ten) apabila ada baris yang mempunyai bentuk: [0 0 … 0 | c], c ≠ 0. 2-24
  • 25. Setelah melakukan operasi baris elementer dan didapatkan matriks eselon-baris, kolom yang mempunyai pivot akan disebut kolom pivot, sedangkan yang tidak akan disebut kolom non-pivot. Variabel yang berada pada kolom pivot disebut variabel dependen, sedangkan yang berada pada kolom non-pivot disebut variabel independen. Contoh: Matriks eselon-baris hasil operasi baris elementer dengan menggunakan metode eliminasi Gauss adalah sebagai berikut: x1, x3, dan x6 adalah variabel dependen; x2, x4, dan x5 adalah variabel independen, sehingga nilai- nya bisa berapa saja; misalkan x2 = a, x4 = b, dan x5 = c (a, b, c R). Maka, x6 = 16; x3 = –9 – 4b – 23c; dan x1 = 17 + 2a – 3b – 5c. Solusi: {(17 + 2a – 3b – 5c, a, –9 – 4b – 23c, b, c, 16) | a, b, c R}.                 0 16 9 1 000000 100000 0234100 153021   2-25
  • 26. Teorema 2.1 mengandung makna bahwa apabila kita melakukan operasi baris elementer—beberapa kali—pada hasil perkalian dua matriks, maka hasilnya akan sama dengan apabila kita melakukan operasi baris elementer—beberapa kali— pada matriks pertama sebelum dilakukan proses perkalian matriks. Teorema 2.1 Jika A dan B adalah matriks yang dapat didefinisikan hasil perkaliannya, AB, dan R adalah operasi baris elementer, maka: 1) R(AB) = (R(A))B; 2) Rn(…(R2(R1(AB)))…) = (Rn(…(R2(R1(A)))…)B. 2-26
  • 27. Contoh 2.6 Suatu persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c melewati tiga titik: (–2, 20), (1, 5), dan (3, 25). Tentukan persamaan kuadrat tersebut dengan mencari nilai a, b, dan c! Melakukan operasi baris elementer untuk mendapatkan matriks eselon baris: 1. ¼ (1) → (1); 2. (2) – (1) → (2); 3. (3) – 9(1) → (3); 4. 2/3 (2) → (2); 5. (3) – 7.5(2) → (3); 6. –1/5 (3) → (3). Persamaan kuadrat: y = 3x2 – 2x + 4.                    2533 511 2022 2 2 2 cba cba cba             25 5 20 139 111 124         2539 5 2024 cba cba cba              4 0 5 100 2110 41211 Back substitution: c = 4; b + ½ c = 0  b + 2 = 0; b = –2; a – ½ b + ¼ c = 5  a + 1 + 1 = 5; a = 3. 2-27
  • 28. Suatu metode untuk mendapatkan solusi dari sistem persamaan linear dengan cara mengubah augmented matrix menjadi matriks eselon-baris tereduksi. Matriks eselon-baris tereduksi adalah matriks eselon-baris di mana entri di atas pivot adalah 0. Kelebihan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah solusi menjadi lebih jelas karena jumlah angka tak nol menjadi lebih sedikit. Kekurangan metode eliminasi Gauss-Jordan adalah memerlukan lebih banyak operasi baris elementer, sehingga metode eliminasi Gauss lebih cepat dikerjakan; dan juga kurang akurat apabila terdapat banyak pembulatan. Contoh matriks eselon-baris tereduksi:           800 050 001             0000 0300 0020 0001 pivot 2-28
  • 29. Contoh 2.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan! 1. Mengubah pivot pada baris pertama menjadi 1 utama: 2. Mengubah angka di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0:         55122 1623 1632 431 421 321 xxx xxx xxx            5 16 16 51202 1023 0312             5 16 8 51202 1023 023211   :11 2 1                11 8 8 5910 129210 023211           :3123 :2132   2-29
  • 30. Contoh 2.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan! 3. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama: 4. Mengubah angka di bawah dan di atas 1 utama baris kedua menjadi 0:         55122 1623 1632 431 421 321 xxx xxx xxx            5 16 16 51202 1023 0312     :222             :323 :12 2 1 1                 11 16 8 5910 2910 023211                27 16 16 3000 2910 1601 2-30
  • 31. Contoh 2.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan! 5. Mengubah pivot pada baris ketiga menjadi 1 utama: 6. Mengubah angka di atas 1 utama baris ketiga menjadi 0:         55122 1623 1632 431 421 321 xxx xxx xxx            5 16 16 51202 1023 0312     :33 3 1              :2322 :131               9 16 16 1000 2910 1601            9 34 25 1000 0910 0601  matriks eselon-baris tereduksi 2-31
  • 32. Contoh 2.7 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan! 7. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): x4 = 9; x2 – 9x3 = –34; x1 + 6x3 = 25. Apabila x3 dimisalkan sebagai c, maka: x2 = –34 + 9c; x1 = 25 – 6c. Solusi: {(25 – 6c, –34 + 9c, c, 9) | c R} Solusi tak berhingga.         55122 1623 1632 431 421 321 xxx xxx xxx            5 16 16 51202 1023 0312   2-32
  • 33. Suatu sistem homogen pasti mempunyai solusi (konsisten). • Apabila solusi dari sistem homogen adalah (0, 0, …, 0) disebut trivial solution. • Nontrivial solution terjadi apabila matriks eselon-baris tereduksi (yang terbentuk akibat operasi baris elementer) dari n variabel mempunyai pivot taknol yang lebih sedikit dari n. Contoh trivial solution: Contoh nontrivial solution: Definisi Sistem homogen adalah suatu sistem persamaan linear yang mem- punyai bentuk persamaan matriks AX = O, di mana O adalah vektor kolom nol [0 0 … 0]T.           0 0 0 100 010 001             0 0 0 000 2110 2301 2-33
  • 34. Contoh 2.8 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut! 1. Mengubah angka di bawah 1 utama baris pertama menjadi 0: 2. Mempertukarkan baris kedua dengan baris ketiga:         0401811562 0492412693 0178423 654321 654321 654321 xxxxxx xxxxxx xxxxxx              0 0 0 401811562 492412693 1784231             :3123 :2132                0 0 0 623100 200000 1784231    :32               0 0 0 200000 623100 1784231 2-34
  • 35. Contoh 2.8 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut! 3. Mengubah pivot pada baris kedua menjadi 1 utama: 4. Mengubah angka di bawah 1 utama baris kedua menjadi 0:         0401811562 0492412693 0178423 654321 654321 654321 xxxxxx xxxxxx xxxxxx              0 0 0 401811562 492412693 1784231     :221       :1221               0 0 0 200000 623100 1784231              0 0 0 200000 623100 542031 2-35
  • 36. Contoh 2.8 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut! 5. Mengubah pivot pada baris ketiga menjadi 1 utama: 6. Mengubah angka di atas 1 utama baris ketiga menjadi 0:         0401811562 0492412693 0178423 654321 654321 654321 xxxxxx xxxxxx xxxxxx              0 0 0 401811562 492412693 1784231     :33 2 1             :2362 :1351               0 0 0 100000 623100 542031             0 0 0 100000 023100 042031  matriks eselon-baris tereduksi 2-36
  • 37. Contoh 2.8 Selesaikan sistem persamaan linear homogen berikut! 7. Melakukan back substitution (substitusi terbalik): x6 = 0; x3 – 3x4 + 2x5 = 0; x1 – 3x2 + 2x4 + 4x5 = 0. Apabila x2, x4, dan x5 dimisalkan sebagai a, b, dan c, maka: x3 = 3b – 2c; x1 = 3a – 2b – 4c. Solusi: {(3a – 2b – 4c, a, 3b – 2c, b, c, 0) | a, b, c R} nontrivial solution.         0401811562 0492412693 0178423 654321 654321 654321 xxxxxx xxxxxx xxxxxx              0 0 0 401811562 492412693 1784231              0 0 0 100000 023100 042031  2-37
  • 38. Contoh 2.9 Suatu reaksi kimia antara asam fosfat H3PO4 dengan kalsium hidroksida Ca(OH)2 akan menghasilkan kalsium fosfat Ca3(PO4)2 dan air H2O sebagai berikut: Cari nilai a, b, c, dan d (bilangan bulat terkecil) sehingga jumlah atom pada reactants (ruas kiri) sama dengan jumlah atom pada products (ruas kanan)! Dari matriks eselon-baris tereduksi, satu-satunya variabel independen adalah d, sehingga untuk mendapatkan bilangan bulat terkecil, nilai d = 6; maka c = 1, b = 3, dan a = 2.     OHPOCaOHCaPOH 2243243 dcba         Ca O P H 3 824 2 223            cb dcba ca dba                    0 0 0 0 0310 1824 0201 2023 Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi                   0 0 0 0 0000 61100 21010 31001     OH6POCaOHCa3POH2 2243243  2-38
  • 39. Ada kalanya, kita diminta untuk menyelesaikan dua atau lebih sistem persamaan linear yang mempunyai matriks koefisien yang sama, seperti berikut ini: dan Untuk menyelesaikan dua sistem persamaan linear di atas, kita bisa “menggabung- kan” dua augmented matrix sebagai berikut: Maka, solusi dari dua sistem persamaan tersebut adalah: Persamaan 1: (2, –3, 1); Persamaan 2: (–1, 5, –3)  Solusi unik.         18532 74 123 321 31 321 xxx xx xxx         32532 14 823 321 31 321 xxx xx xxx                32 1 8 18 7 1 532 104 213              3 5 1 1 3 2 100 010 001Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi  2-39
  • 40. Dua sistem persamaan berikut adalah ekuivalen karena mempunyai solusi yang sama: dan Definisi Dua sistem persamaan linear yang terdiri dari m persamaan dan n variabel dikatakan ekuivalen jika dan hanya jika mereka mem- punyai solusi yang sama.      93 12 yx yx      425 144 yx yx          9 1 13 12          4 14 25 41 Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi          3 2 10 01         3 2 10 01 Solusi: {(2,3)} 2-40
  • 41. Definisi tersebut mengandung arti baik metode eliminasi Gauss atau pun Gauss- Jordan, akan menghasilkan matriks yang row equivalent dengan matriks aslinya. R adalah operasi baris elementer dan R-1 adalah invers dari operasi baris elementer. Hal ini berarti bahwa operasi baris elementer yang dilakukan adalah reversible (dapat balik). Definisi Suatu augmented matrix D dikatakan row equivalent (mempunyai baris yang ekuivalen) dengan matriks C jika dan hanya jika matriks D didapat dari matriks C dengan melakukan operasi baris elementer. DAAAC 1321 RRR 2 R 1 R   nn n CAAAD 1 1 1 2 1 1 11 1 R 1 RR 1 RR         nnn nn 2-41
  • 42. Tabel 2.1 Operasi Baris Elementer dan Invers-nya Teorema 2.2 Jika suatu matriks D adalah row equivalent terhadap matriks C, maka C juga row equivalent terhadap D. Operasi Baris Elementer Invers/Operasi Reverse c(i) → (i) (1/c) × (i) → (i) (j) + c(i) → (j) (j) – c(i) → (j) (i) ↔ (j) (j) ↔ (i) Teorema 2.3 Apabila AX = B adalah suatu sistem persamaan linear, dan [C|D] adalah row equiva- lent terhadap [A|B], maka CX = D adalah ekuivalen terhadap AX = B. 2-42
  • 43. Contoh: Matriks B berikut mempunyai rank = 2. Definisi Rank suatu matriks A merupakan jumlah baris tak nol (yaitu baris dengan pivot tak nol) dalam bentuk matriks eselon-baris tereduksi yang row equivalent terhadap matriks A. Teorema 2.4 Suatu matriks adalah row equivalent terhadap satu matriks dalam bentuk matriks eselon-baris tereduksi.               17142232 681220 91013 B Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi               00000 34610 41201 B 2-43
  • 44. Teorema 2.5 Apabila diberikan persamaan matriks AX = O yang merupakan sistem homogen dengan n variabel. 1) Jika rank(A) < n, maka sistem homogen mempunyai nontrivial solution. 2) Jika rank(A) = n, maka sistem homogen mempunyai trivial solution. Perhatikan bahwa apabila rank(A) < n, maka sistem homogen mempunyai solusi tak berhingga. Corollary 2.6 Apabila diberikan persamaan matriks AX = O yang merupakan sistem homogen dengan n variabel dan m persamaan. Jika m < n, maka sistem homogen mem- punyai nontrivial solution. 2-44
  • 45. Untuk memverifikasi apakah suatu vektor merupakan kombinasi linear dari dua atau tiga vektor yang lain, kita bisa menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Contoh 2.10 Verifikasi apakah vektor b = [16, –3, 8]T merupakan kombinasi linear dari tiga vektor berikut: a1 = [–4, 1, 2]T, a2 = [2, 1, 0]T, a3 = [6, –3, –4]T dalam R3. [16, –3, 8]T = c1 [–4, 1, 2]T + c2 [2, 1, 0]T + c3 [6, –3, –4]T. Baris ketiga dari matriks eselon-baris tereduksi menunjukkan bahwa sistem tidak memiliki solusi, sehingga vektor b bukan merupakan kombinasi linear dari vektor a1, a2, dan a3.         842 33 16624 31 321 321 cc ccc ccc Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi                 8 3 16 402 311 624              346 32 311 000 110 201 2-45
  • 46. Untuk memverifikasi apakah suatu vektor merupakan kombinasi linear dari dua atau tiga vektor yang lain, kita bisa menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Contoh 2.11 Verifikasi apakah vektor b = [14, –21, 7]T merupakan kombinasi linear dari dua vektor berikut: a1 = [2, –3, 1]T dan a2 = [–4, 6, –2]T dalam R3. [14, –21, 7]T = c1 [2, –3, 1]T + c2 [–4, 6, –2]T. Dari matriks eselon-baris tereduksi terlihat kalau c1 merupakan variabel dependen dan c2 merupakan variabel independen. Misalkan ditetapkan nilai c2 = 1, maka c1 = 9, sehingga [14, –21, 7]T = 9 [2, –3, 1]T + 1 [–4, 6, –2]T  kombinasi linear.         72 2163 1442 21 21 21 cc cc cc Operasi Baris Elementer untuk menghasilkan matriks eselon-baris tereduksi                 7 21 14 21 63 42            0 0 7 00 00 21 2-46
  • 47. Contoh 2.12 Periksa apakah vektor b = [5, 7, –20]T ada di dalam row space dari matriks A:  [5, 7, –20]T = c1 [3, 1, –2]T + c2 [4, 0, 1]T + c3 [–2, 4, –3]T Karena sistem persamaan mempunyai solusi (unik) atau vektor b merupakan kombi- nasi linear dari baris matriks A, maka vektor b ada di dalam row space matriks A. Definisi Apabila A adalah matriks berukuran m × n; himpunan bagian dari Rn yang berisi semua vektor yang merupakan kombinasi linear dari baris pada matriks A adalah row space dari matriks A.              342 104 213 A         2032 74 5243 321 31 321 ccc cc ccc              20 7 5 312 401 243             3 1 5 100 010 001 2-47
  • 48. Contoh 2.13 Periksa apakah vektor x = [3, 5]T ada di dalam row space dari matriks B:  [3, 5]T = c1 [2, –4]T + c2 [–1, 2]T Karena sistem persamaan tidak mempunyai solusi, maka vektor x tidak ada di dalam row space matriks B. Perhatikan! • Untuk memverifikasi apakah suatu vektor X ada di dalam row space dari matriks A, maka kita hanya perlu memeriksa apakah augmented matrix [AT|X] mempunyai solusi atau tidak. • Suatu vektor nol 0 = [0 0 … 0]T dalam Rn pasti berada di dalam row space dari matriks A. Hal ini dikarenakan vektor nol selalu dapat diekspresikan sebagai kombinasi linear dari baris matriks A (dengan mengalikan baris matriks A dengan 0 dan menambahkannya). • Setiap baris dari matriks A selalu berada dalam row space dari matriks A karena baris tersebut merupakan kombinasi linear dari baris lainnya (dengan mengalikan baris tersebut dengan 1 dan yang lain dengan 0).          21 42 B      524 32 21 21 cc cc            5 3 24 12           11 23 00 211 2-48
  • 49. Misalkan bentuk matriks eselon-baris tereduksi dari matriks A adalah matriks B. Berdasarkan definisi, maka matriks A adalah row equivalent terhadap matriks B. Apabila vektor x meru- pakan kombinasi linear dari baris- baris matriks A, maka vektor tersebut juga merupakan kombinasi linear dari baris-baris matriks B. Lemma 2.7 Apabila x adalah kombinasi linear dari q1, q2, …, qk dan setiap qi merupakan kombi- nasi linear dari r1, r2, …, rl; maka x adalah kombinasi linear dari r1, r2, …, rl. Teorema 2.8 Apabila matriks A dan B adalah row equivalent; maka row space dari A adalah sama dengan row space dari B.                 410142 511221 1125463 193312105 A               00000 00000 24100 13021 B x = [4, 8, –30, –132, –64]T x = –1[5, 10, 12, 33, 19]T + 3[3, 6, –4, –25, –11]T + 4[1, 2, –2, –11, –5]T –2[2, 4, –1, –10, –4]T x = 4[1, 2, 0, –3, –1]T – 30[0, 0, 1, 4, 2]T 2-49
  • 50. Contoh 2.14 Buktikan bahwa matriks A dan B adalah (multiplicative) inverse. Definisi Apabila A adalah matriks berukuran n × n; maka B adalah (multi- plicative) inverse dari matriks A jika dan hanya jika AB = BA = In.               111 211 141 A            532 321 753 B BAI 100 010 001 AB             n Teorema 2.9 Diberikan matriks A dan B berukuran n × n. Salah satu dari AB atau BA adalah In; maka hasil kali yang lain juga menghasilkan In. A dan B invers satu sama lain. 2-50
  • 51. Contoh: matriks C = adalah singular karena tidak mempunyai invers. Tidak ada matriks berukuran 2 × 2 yang membuat Terlihat kalau sistem persamaan tidak mempunyai solusi. Definisi Suatu matriks persegi adalah singular jika dan hanya jika matriks ter- sebut tidak mempunyai invers; suatu matriks persegi adalah non- singular jika dan hanya jika matriks tersebut mempunyai invers.       36 12       dc ba             10 01 dc ba       36 12               10 01 3636 22 dbca dbca            136 036 02 12 db ca db ca                 1 0 0 1 3060 0306 1020 0102               3 1 0 21 0000 0000 21010 02101  2-51
  • 52. Dari Contoh 2.14 diketahui bahwa: , maka: Teorema 2.10 (Keunikan Invers Matriks) Jika B dan C berukuran n × n dan keduanya adalah invers matriks A, maka B = C. Definisi Apabila A adalah matriks nonsingular berukuran n × n; maka A–1 adalah (unique) invers dari matriks A, dan untuk k ≥ 2, A–k = (A–1)k.               111 211 141 A            532 321 753 Adan; 1   . 466301184 271175107 689445272 532 321 753 AA 3 313                        2-52
  • 53. Teorema 2.11 Jika A dan B adalah matriks nonsingular berukuran n × n; maka: 1) A–1 adalah nonsingular, dan (A–1) –1 = A 2) Ak adalah nonsingular, dan (Ak)–1 = (A–1)k = A–k untuk setiap bilangan bulat k 3) AB adalah nonsingular, dan (AB)–1 = B–1A–1 4) AT adalah nonsingular, dan (AT)–1 = (A–1)T Teorema 2.12 Jika A adalah matriks nonsingular; s dan t bilangan bulat, maka: 1) As+t = (As) (At) 2) (As)t = Ast = (At)s 2-53
  • 54. Contoh 2.15 Tentukan invers dari matriks M = ! Matriks M mempunyai invers karena δ = (–5)(–4) – (2)(9) = 2 ≠ 0; inversnya: M–1 = Perhatikan bahwa MM–1 = I2. Teorema 2.13 Matriks A = mempunyai invers jika dan hanya jika δ = ad – bc ≠ 0; sehingga: A–1 = =       dc ba 1       dc ba         ac bd  1         49 25                 2529 12 59 24 2 1 2-54
  • 55. Metode Mencari Invers suatu Matriks (apabila invers-nya ada) A matriks berukuran n × n, invers dari matriks A dapat dicari dengan: 1. Buat augmented matriks berukuran n × 2n, di mana n kolom yang pertama merupakan matriks A dan n kolom yang kedua adalah matriks In. 2. Ubah matriks [A|In] menjadi matriks eselon-baris tereduksi. 3. Apabila n kolom yang pertama tidak bisa diubah ke dalam matriks eselon-baris tereduksi, maka matriks A adalah singular (tidak mempunyai invers). 4. Selain itu, maka matriks A adalah nonsingular, sehingga n kolom yang kedua adalah invers matriks A atau A–1. 2-55
  • 56. Contoh 2.16 Cari invers matriks A = ! Buat matriks [A|I3]: Melakukan operasi baris elementer untuk membentuk matriks eselon-baris tereduksi:              892 9124 562              100 010 001 892 9124 562                    32.4 3123.3 21422. 11 2 1 .1                          232.8 13 2 1 1.7 1231.6 22 3 1 .5                  012 31137 12125 100 010 001  A–1 2-56
  • 57. Telah kita lihat bahwa tidak semua matriks persegi mempunyai invers (matriks singular). Untuk matriks singular A, maka operasi baris elementer pada augmented matrix [A|In] tidak akan menghasilkan In pada n kolom sebelah kanan. Untuk mengidentifikasi hal ini, maka yang perlu diperhatikan adalah apabila dalam suatu langkah pada operasi baris elementer kita menemukan ada diagonal utama yang nilainya 0 dan semua entri di bawahnya bernilai 0. Apabila hal ini terjadi, maka matriks tersebut adalah singular. Contoh: Matriks A = adalah singular karena pada suatu langkah dalam operasi baris elementer, ditemukan keadaan seperti ini: Teorema 2.14 Suatu matriks A berukuran n × n adalah nonsingular jika dan hanya jika rank(A) = n.               2613 0241 1402 1824                   102521 01272 00121 00210 1000 211000 23010 21201 Kolom 3 tidak mempunyai pivot 2-57
  • 58. Namun, pengerjaan tersebut memakan waktu yang lebih lama daripada mengguna- kan metode eliminasi Gauss atau pun Gauss-Jordan, karena pertama kita harus mencari invers dari matriks koefisien A atau A–1, kemudian melakukan operasi perkalian matriks antara A–1 dengan vektor B untuk mencari solusinya. Teorema 2.15 Sistem persamaan linear ditulis dalam persamaan matriks sebagai berikut: AX = B, di mana matriks A adalah matriks persegi. 1) Jika A adalah nonsingular, maka sistem mempunyai solusi unik: X = A–1B 2) Jika A adalah singular, maka sistem: mempunyai solusi tak berhingga atau tidak mempunyai solusi Maka, sistem akan mempunyai solusi unik jika dan hanya jika matriks A nonsingular. 2-58
  • 59. Contoh 2.17 Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan invers matriks koefisiennya! Solusi sistem persamaan linear dapat diketahui dengan mencari invers matriks A:         223 3223 6357 321 321 321 xxx xxx xxx                                    2 3 6 123 223 357 3 2 1 x x x A X B              100 010 001 123 223 357                    227.4 3133.3 21322. 11 7 1 .1                             2352.8 1341.7 323.6 12 7 5 1.5                 110 523 412 100 010 001                                    5 22 17 2 3 6 110 523 412 BAX 1 A-1 2-59
  • 60. Instructor: M. Mujiya Ulkhaq Department of Industrial Engineering Aljabar Linear Linear Algebra Thank You for your Attention