1. Szegedi Tudományegyetem
Bolyai Intézet
A matroid- és gráfelmélet összefüggései
Diplomamunka
Készítette: Témavezet˝o:
Bartha Éva Lili Dr. Hajnal Péter
Általános alkalmazott egyetemi docens
matematika szakos hallgató
Szeged
2014
3. 3
Bevezetés
A diplomamunkám középpontjában a matroidelmélet és a gráfelmélet összefonódása áll.
Az összefüggéseket könnyítést segít˝o egyszer˝ubb példákon mutatjuk be. Mivel a diplo-
mamunka keretei nem engedik meg az alapok teljes részletességgel történ˝o tárgyalását,
sokszor bizonyítás nélkül közlünk tételeket.
Az els˝o fejezetben megalapozásra kerül a gráfok és a lineáris algebrai független-
ség közös általánosításának struktúrája, a matroid fogalom. Mivel a matematika egy fi-
atal ágáról van szó, számos megközelítés, karakterizáció született az elmúlt évtizedek
folyamán, mindegyik ekvivalens axióma-rendszert képezve: az alapvet˝o matroid-axiómák,
a bázis-axiómák, a rang-axiómák, az ekvivalens karakterizáció körökkel vagy akár a
lezárás operátorral. Mindegyik megközelítés esetén megmondjuk mik legyenek a ma-
troid független halmazai, majd a matroid-axiómák teljesülését ellen˝orizve könnyen meg-
gy˝ozödhetünk, hogy az így definiált struktúra szintén matroid.
Kiemelt szerepet kap a gráfokból nyerhet˝o körmatroidot, ahol a független halmazok
pontosan azok, melyek nem tartalmaznak gráfelméleti értelemben vett kört. Sok ma-
troidelméleti fogalom a gráf terminológia alapján kapta nevét (kör, vágás, duális, minor,
hurok). Mivel célunk a matroidelmélet és gráfelmélet kapcsolatainak, kölcsönhatásainak
vizsgálata, ezért mindig a gráfelméleti példákat helyezzük el˝otérbe.
Már a XX. század elején is felmerült minimális költség˝u feszít˝ofa meghatározása mint
gyakorlati probléma (villamosítás hálózatainak tervezése). Kruskal algoritmusa a ma-
troidelméletre is nagy hatással volt. A matroidok tulajdonságainak köszönhet˝oen a mohó
algoritmust futtatva mindig optimális outputhoz jutunk, így például mind a maximális
súlyú bázis, mind a minimális költség˝u feszít˝ofa probléma könnyen kezelhet˝o.
A matroid-dualitás fogalmának bevezetésével olyan matroidot kapunk, melynek bázi-
sai az eredeti matroid bázisainak komplementereib˝ol kerülnek ki. Gráfelméleti szempont-
ból pedig a síkba rajzolható gráf témakörében hasznosítható a dualitás: a duális gráf kör-
matroidja megegyezik a gráf körmatroidjának duálisával. A matroidokkal való m˝uveletek
közül a metszetképzést tárgyaljuk hosszabban, a matroid-metszet probléma algoritmikus
kezelése a gráfelméleti algoritmus (magyar módszer) egy általánosításának tekinthet˝o.
A diplomamunkám második fejezetében a gráf polinomok és a matroidok kapcso-
latával foglalkozunk. A polinomok szerepe a gráfelméletben központi. Például a kro-
matikus polinom egy fontos eszköz, már a 4-szín-sejtés bizonyításánál is próbálták al-
kalmazni. Más gráf polinomok is bevezetésre kerültek, és ma már gráf polinomok hosszú
listáját tartják számon. A matroidok elméletében Tutte munkássága vezetett el olyan ma-
trodiokhoz rendelt polinomokhoz (az itt tárgyalt a Tutte polinom), amelyek a látszólag
független gráfpolinomok között teremtenek kapcsolatot.
A gráfpolinomok vizsgálatakor els˝oként a kromatikus polinomot elemezzük, mely egy
bizonyos számú színnel való jó színezését adja meg egy tetsz˝oleges gráfnak. Indukciós bi-
4. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 4
zonyítással belátható hogy a Tutte polinommal hogy lehet egyszer˝uen kifejezni. A C5 gráf
példáján keresztül prezentáljuk, hogy valóban a f˝otételben bemutatott módon el˝oállított
kromatikus polinom valóban a jól ismert kromatikus polinomja a gráfnak.
A gráfelméleti folyam és reliability polinomokra megmutatjuk, hogy hasonlóan a kro-
matikus polinomhoz, kifejezhet˝oek a Tutte polinommal. A folyam polinom esetében a
K3 példáján, a reliability polinom esetében pedig a C5 példáján mutatjuk be a polinomok
el˝oállítását.
Összegezve elmondható, hogy a matroidokkal és a velük való m˝uveletekkel számos
gráfelméleti probléma írható le egyszer˝ubben, és bizonyítható könnyebben. A struktúra
általánossága teszi lehet˝ové a matematika egyéb területein történ˝o alkalmazását is, például
optimalizálás, hálózatok, statika, kódoláselmélet.
5. 5
1. fejezet
Matroidelméleti alapismeretek
Legel˝oször a diplomamunka alapjául szolgáló fogalmakat írjuk le.
1.1. Definíció. Az M = (E, I) — E véges halmaz, és I pedig E részhalmazainak egy
rendszere — struktúrát matroidnak nevezzük, ha a következ˝o három tulajdonság fennáll
M1 ∅ ∈ I.
M2 Ha X ⊆ Y ∈ I, akkor X ∈ I.
M3 Minden X ⊆ E részhalmazra teljesül, hogy I-nek az X-ben fekv˝o, X-ben leg-
b˝ovebb tagjai azonos elemszámúak.
A fenti tulajdonságokra mint mátrix-axiómák hivatkozunk.
1.1. Alapvet˝o fogalmak, és hozzájuk kapcsolódó tételek
A következ˝o tételeket bizonyítás nélkül fogjuk közölni.
A különböz˝o kutatások más-más irányból közelítették meg a matroid fogalmat, így
több ekvivalens karakterizáció alakult ki. Az alábbiakban ezeket tanulmányozzuk:
Egy I-beli X részhalmazt az M matroid független halmazának nevezzük.
A következ˝o tétel tulajdonképpen az M3 axióma újrafogalmazása:
1.2. Tétel. Legyen I egy matroid független halmazainak családja. Ekkor tetsz˝oleges I1
és I2 független halmazokra teljesül, hogyha az egyik több elemet tartalmaz mint a másik
(legyen ez I1), akkor a kisebb elemszámú b˝ovíthet˝o I1I2-beli elemmel úgy, hogy továbbra
is független maradjon.
Egy maximális független halmazt a matroid bázisának nevezzük.
1.3. Tétel. (Bázis axiómák matroidokra): Legyen B egy matroid bázisainak halmaza.
Ekkor
B1 B = ∅, és egyik B-beli halmaz sem tartalmaz valódi értelemben másikat.
B2 Ha B1 és B2 ∈ B, akkor ∀e1 ∈ B1 B2-re ∃e2 ∈ B2 B1, hogy B1 − e1 + e2 ∈ B.
6. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 6
Megfordítva: ha (E, B) az el˝oz˝o két pontot kielégít˝o véges struktúra, akkor létezik
egyetlen egy matroid, amely bázisai alkotják B-t.
1.4. Megjegyzés. A matroid axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerek és a bázis axió-
máknak elegettev˝o halmazrendszerek között a fentiekben leírt két megfeleltetés egymás
inverze. Azaz B1 és B2 egy alternatív leírását adja a matroid fogalmának.
Az állítás azon része, hogy egyetlen matroid lesz adott bázis axiómáknak elegettev˝o
halmazrendszerhez a nyilvánvaló. Ez az egyetlen jelölt a M = (E, I) matroid, ahol
I = {X | X ⊆ Y, valamilyen Y ∈ B − re} .
A bizonyítás azt kívánja, hogy belássuk, ha B eleget tesz a bázis axiómáknak, akkor a
fenti M egy matroid (eleget tesz a matroid axiómáknak).
Az A ⊆ E részhalmaz r (A) rangja A maximális független részhalmazainak közös
elemszáma (lásd M3 axióma).
1.5. Tétel. (Rang axiómák): Legyen az r : 2E
→ N egy matroid rangfüggvénye. Ekkor:
R1 r (∅) = 0.
R2 r (X) ≥ r (Y ) amikor Y ⊆ X ⊆ E (monoton növ˝o).
R3 r (X) ≤| X | (szubkardinális).
R4 r (X) + r (Y ) ≥ r (X ∪ Y ) + r (X ∩ Y ) (szubmoduláris).
Megfordítva: ha r olyan leképezés, ami az el˝oz˝o 4 pontot kielégíti, akkor létezik
egyetlen egy olyan M = (E, I) matroid, melynek rangfüggvénye r.
1.6. Megjegyzés. A matroid axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerek rangfüggvényei
és a rang axiómáknak elegettev˝o leképezések között a fentiekben leírt két megfeleltetés
egymás inverze. Azaz R1, R2, R3 és R4 egy alternatív leírását adja a matroid fogalmának.
A minimális függ˝o halmazokat körnek nevezzük (azaz, olyan halmaz ami nem
független, de bármely valódi részhalmaza már az).
1.7. Tétel. (Kör axiómák): Legyen C egy adott matroid köreinek családja. Ekkor
C1 ∅ /∈ C, és C-ben egyik halmaz sem tartalmazza valódi értelemben a másikat.
C2 Ha C1 és C2 két C-beli halmaz, és nem egyeznek meg, és e ∈ C1 ∩ C2,
és e ∈ C1 ∪C2, akkor van olyan C3 halmaz C-ben, amire e ∈ C3 ⊆ (C1 ∪ C2)−e.
Megfordítva: ha C az el˝oz˝o két pontot kielégít˝o véges halmazrendszer, akkor létezik
egyetlen egy matroid, amely köreinek családja C-t alkotja.
1.8. Megjegyzés. A matroid axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerek köreinek családjai
és a kör axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerek között a fentiekben leírt két megfelel-
tetés egymás inverze. Azaz C1 és C2 egy alternatív leírását adja a matroid fogalmának.
7. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 7
Egy A ⊆ E halmaz feszíti F-et, ha E ⊆ F, r (F) = r (E) és F legb˝ovebb erre a két
tulajdonságra nézve.
1.9. Tétel. Halmaz által feszített halmaz egyértelm˝u.
Bizonyítás. Legyen A1és A2 két különböz˝o maximális halmaz, melyek egy adott A-t tar-
talmaznak, és r (A) = r (A1) = r (A2) = p. Legyen e2 ∈ A2 − A1, ekkor r (A1 + e2) >
> r (A) , hiszen különben A1 nem lenne maximális arra a tulajdonságra, hogy a rangja
p. Vegyük az Ip ⊆ A és az Ip+1 ⊆ A1 + e2 p és p + 1 elem˝u független halmazokat. M3
alapján lennie kell egy e ∈ Ip+1 − Ip elemnek, amire Ip + e független. Ez viszont csak e2
lehet. De Ip + e2 ⊆ A2, ami ellenkezik az r (A2) = p feltevéssel. Tehát ellentmondásra
jutottunk.
Az A ⊆ E részhalmaz sp (A)-val jelölt lezártja (sp : 2E
→ 2E
), azaz az A által
feszített halmaz, az a maximális halmaz, amely tartalmazza A-t,és rangjuk megegyezik.
(B bázis esetén sp (B) = E .)
Tulajdonságok:
– sp (sp (A)) = sp (A),
– A ⊆ sp (A)
A ⊆ E halmaz zárt, ha sp (A) = A.
1.2. Példák gyakran használt matroid típusokra
1. Uniform matroid: Legyen a matroidunk az Um,n=(E, I), ahol E egy n elem˝u hal-
maz, I pedig E legfeljebb m elem˝u részhalmazainak egy halmaza.
• A bázisok a pontosan m elem˝u halmazok.
• r (X) : P (E) → Z0 rangfüggvénye egy tetsz˝oleges X ⊆ I halmazra:
r (X) =
|X|, ha |X| < m
m, ha |X| ≥ m
.
• Körei pedig a következ˝oek lehetnek:
C (Um,n) =
∅, ha m = n
{X ⊆ E : |X| = m + 1} , ha m < n
.
2. Mátrixmatroid: E az A mátrix oszlopainak halmaza (A mátrix tetsz˝oleges F test
felett értelmezett), I pedig az oszlopok összes lineáris független részhalmazát tar-
talmazza.
8. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 8
1.10. Példa. Legyen A a következ˝o mátrix, melynek elemei R-ben vannak:
1.1. ábra. A mátrix oszlopvektorait számokkal jelezzük
Ekkor legyen az alaphalmaz E = {1, 2, 3, 4, 5}, azaz az oszlopvektorok. Az A-
b˝ol készített mátrix-matroid pedig a következ˝o: M (A) = {E, I} , ahol
I = {∅, {1} , {2} , {4} , {5} , {1, 2} , {1, 5} , {2, 4} , {2, 5} , {4, 5}} .
Körök például az {1, 4} és {1, 2, 5} halmazok.
• r : P (E) → Z0 rangfüggvénye egy tetsz˝oleges X ⊆ I halmazra:
r (X) megegyezik az AX mátrix lineáris algebrai értelemben vett rangjával,
ahol AX az A mátrix azon m × |X|-es részmátrixa, amely tartalmazza A azon
oszlopait, melyek X-nek is elemei.
• Bázisai a maximális elemszámú lineárisan független oszlopvektorok halmazai.
• Körei azon oszlopvektor halmazok, melyekb˝ol egy elemet elhagyva már
lineárisan független halmazt kapunk.
3. Körmatroid: G = (V, E) irányítatlan gráf, a definiálandó matroid alaphalmaza az
E élhalmaz. Élek egy részhalmazát függetlennek mondjuk, ha nem tartalmazza a
gráfnak egy körét sem, azaz erd˝o.
1.11. Példa. Legyen a vizsgált gráfunk a K3. Ekkor a matroid független halmazai:
az üres halmaz és minden egy (narancssárga) vagy két elem˝u (kék, zöld, piros)
részhalmaza az élhalmaznak.
1.2. ábra. G grafikus matroid, és független halmazai (üres halmaz nincs jelölve)
9. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 9
• Tegyük fel, hogy G összefügg˝o gráf. Nyilván M (G) egy bázisa G egy fe-
szít˝ofájának élhalmaza. Tudjuk, hogy egy gráf feszít˝ofájára fennáll:
|V (T) | = |E (T) | + 1.
Legyen r : P (E) → Z0 a körmatroid rangfüggvénye. A fentiekb˝ol következik:
r (M (G)) = |V (G) | − 1.
Hasonlóan az el˝oz˝oekhez, haG-nek c (G) darab összefügg˝o komponense van:
r (M (G)) = |V (G) | − c (G) .
Ekkor pedig egy tetsz˝oleges X ⊆ E (G)-re
r (X) = |V (G) | − c (G [X]) ,
ahol G [X] az X élhalmazú feszít˝ográfja G-nek.
• Bázisai G feszít˝ofáinak élhalmaza, azaz ha G összefügg˝o, akkor a gráf feszí-
t˝ofája, különben pedig az egyes komponensek feszít˝ofáinak halmaza.
• Körei a gráfelméleti értelemben körök.
4. Párosítási matroid: G = (V, E) egyszer˝u, irányítatlan gráf. G párosítás matroid-
ja a V ponthalmazon van értelmezve úgy, hogy a csúcsoknak egy U részhalmaza
akkor tartozik F-hez, ha van G-ben olyan párosítás, melynek U minden pontját
fedi. Ekkor a (V, I) pár matroid, és a G gráf párosítás matroidjának nevezzük.
5. Partíciós matroid: Vegyük az M = (E, I) partíciós matroid E alaphalmazának
egy E1, E2, . . . , El partícióját (a halmazok diszjunktak és uniójuk E), és legyenek
a független halmazok a következ˝oek:
I = {X ⊆ E : |X ∩ Ei| ≤ ki minden i = 1, . . . , l-re} ,
ahol k1, k2, . . . , kl tetsz˝oleges rögzíttet paraméterek. Ekkor M teljesíti a matroid
axiómákat.
6. Affin matroid: Legyen S az n-dimenziós tér pontjainak véges részhalmaza. S egy
részhalmaza legyen akkor független, ha affin független. (Szám n-esek egy hal-
maza akkor affin független, ha mindegyiket kiegészítve egy 1 érték˝u koordinátával,
lineárisan független, (n + 1) dimenziós vektorokat kapunk.)
1.3. Mohó algoritmus matroidokon
Rendeljünk az M = (E, I) matroid elemeihez súlyokat egy w : E → R+, ei → w(ei)
súlyfüggvénnyel. Célunk: a maximális össz-súlyú független megkeresése (ami nyilván
a maximális össz-súlyú bázis is). A matroidok egyik kedvez˝o tulajdonsága az, hogy a
felvetett probléma megoldásaként a rendkívül egyszer˝u és természetes mohó algoritmust
alkalmazva mindig optimális eredményt kapunk.
10. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 10
1.3.1. Az algoritmus menete
1. lépés: (Inicializálás) Legyen Balg := ∅ (ez egy független halmaz). Legyen E :
: e1, e2, e3, ..., en, úgy hogy w (e1) w (e2) w (e3) . . . w (en) 0.
2. lépés: Vizsgáljuk sorba ei-t (i = 1, 2, 3, ..., n) aszerint, hogy Balg∪{ei} független-
e.
3.a lépés: Ha teljesül a függetlenség, akkor a 2. lépést megismételve folytassuk a követke-
z˝o maximális súlyú elemmel a vizsgálatot, ahol Balg := Balg ∪ {ei}.
3.b lépés: Ha nem teljesül a függetlenség, akkor a 2. lépés következik, a változatlan
Balg-sel.
4. lépés: Ha minden elemet megvizsgáltunk, a rendelkezésünkre álló Balg független
halmaz az algoritmus outputja.
1.12. Tétel. Az algoritmus befejezésekor kapott output maximális össz-súlyú független
halmaz. S˝ot véve egy tetsz˝oleges bázist, fennáll a következ˝o:
Ha a B bázis elemei súly szerint csökken˝oen a1, a2 . . ., és Balg elemei súly szerint csökke-
n˝oen b1, b2 . . . (ami nyilván egyben a kiválasztási sorrend is) akkor igaz az, hogy minden
i-re ha ai létezik, akkor bi is, és w (bj) ≥ w (aj), ahol i, j = 1, . . . , |B|.
Bizonyítás. Legyen Balg az algoritmus outputja. Tegyük fel, hogy B = Balg.
Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy
w (b1) ≥ w (a1)
w (b2) ≥ w (a2)
...
w (bk) ≥ w (ak) ,
és ak+1 létezik. Belátjuk, hogy bk+1 is létezik, és w (bk+1) ≥ w (ak+1). Ebb˝ol a tétel
következik.
Valóban, {b1, . . . , bk} és {a1, . . . , ak, ak+1} , két független halmaz, amelyre M3 al-
kalmazható. Legyen ai az az elem, amellyel {b1, . . . , bk} b˝ovithet˝o. Két lehet˝oség van:
(1) ai-t kiválasztja az algoritmus. Ekkor ez csak bk után lehet.
(2) ai-t nem választja ki az algoritmus. Ekkor is ai vizsgálata csak bk után lehet.
Mindkét esetben bk+1 létezik és w (bk+1) ≥ w (ak+1).
1.13. Megjegyzés. Ha az M3 mátrix-axióma tulajdonság nem teljesülne, akkor van olyan
súlyozás, ahol az output nem optimális.
11. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 11
1.14. Megjegyzés. A maximális súlyú bázis keresésére szolgáló algoritmus a minimális
súlyú bázis megtalálására is alkalmazható. Ehhez használjuk a w (e) = µ − w (e) súly-
függvényt, ahol µ egy az összes súlynál nagyobb szám. (Így w : E → R+.) Az összes
bázis azonos elemszámú, így a maximális w súlyú bázis egy minimális w-súlyú bázis.
Azaz a mohó algoritmus a minimális súlyú bázis keresésére is jó.
1.3.2. Az algoritmus egy alkalmazása (KÍSÉRLETTERVEZÉS)
Növények termésének javításához n ásványi anyagra van szükség. Tegyük fel, hogy
a növények terméshozamának javulása és az adagolt ásványi anyagok mennyisége között
lineáris az összefüggés, azaz:
Y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn,
ahol Y a terméstöbblet és xi az i-edik ásványi anyag mennyisége az éppen alkalmazott
m˝utrágyában. Célunk az ai együtthatók meghatározására kísérletsorozat tervezése.
A problémát mátrixmatroidon alkalmazott mohó algoritmussal oldhatjuk meg:
Konstruáljuk a mátrixot a következ˝oképpen: több kísérletet végezhetünk, mindegyiket
különböz˝o m˝utrágyával. A j-edik m˝utrágyában az i-edik ásványi anyag mennyisége legyen
aij , alkalmazási költsége egy vizsgálati egységen legyen ci.
Célunk megadni, mely m˝utrágyákat válasszuk ki, hogy a költség minimális legyen, és
az összes aj együtthatót meg tudjuk határozni.
Az A = (aij) mátrix oszlopai az egyes m˝utrágyáknak felelnek meg. n db, azaz maxi-
mális elemszámú lineárisan független oszlopot keresünk, melyekre a cj értékek összege
minimális. Erre pedig egyszer˝uen felírható a mohó algoritmus, azzal a változtatással, hogy
a maximális súlyú bázis helyett a minimálist keressük.
1.4. Matroiddualitás
1.15. Definíció. Egy M = (E, I) matroid duálisán azon MD
= E, ID
matroidot
értjük, melynek minden bázisa M egy bázisának komplementere, és fordítva. Azaz F ∈
∈ ID
, ha F diszjunkt valamely I-beli B bázistól.
Természetesen be kell látnunk, hogy az így konstruált matroid valóban matroid, azaz
teljesülnek rá a matroid axiómák.
1.16. Tétel. Ha az M = (E, I) matroid, akkor MD
= E, ID
is.
Bizonyítás. A M1 és M2-t nyilván kielégíti MD
. Továbbá ID
= ∅, mivel ∅ ∈ ID
.
Vegyük az Ip, Ip+1 ∈ID
p és p + 1 elem˝u halmazokat, illetve legyenek a Bp és Bp+1 az
M bázisai úgy, hogy Bp és Ip diszjunkt, és Bp+1 és Ip+1 is diszjunktak.
1. Eset : Tegyük fel, hogy Ip+1 − (Ip ∪ Bp) nem üres. Legyen e ennek egy eleme. Ekkor
Ip + e diszjunkt Bp-t˝ol, így Ip + e ∈ ID
, tehát M3 is teljesül.
12. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 12
2. Eset : Tegyük fel, hogy Ip+1−(Ip ∪ Bp) = ∅. Els˝o célunk: Bp+1−(Ip ∪ Bp) = ∅. Ehhez
indirekten tegyük fel, hogy üres, azaz Bp+1 ⊂ (Ip ∪ Bp). Ekkor a következ˝oek
teljesülnek:
(Bp+1 − Ip) ∪ (Ip+1 − Ip) ⊆ Bp,
és nyilván
(Bp+1 ∩ Ip) ∪ (Ip+1 ∩ Ip) ⊆ Ip,
és ezekb˝ol következ˝oen: Bp+1 ∪ Ip+1 ⊆ Bp ∪ Ip, illetve
| Bp+1 | + p + 1 | Bp | + p =| Bp+1 | + p
amivel ellentmondásra jutottunk. Tehát Bp+1 − (Ip ∪ Bp) nem üres.
Vegyük az Bp+1 − (Ip ∪ Bp) egy e tetsz˝oleges elemét. Bp + e egyetlen egy kört tartalmaz
M-ben. Vegyük ezen kör egy bármilyen e-t˝ol különböz˝o Bp+1-en kívül lév˝o e elemét.
Ekkor a Bp = Bp + e − e M-nek egy bázisa, és diszjunkt Ip-t˝ol. Továbbá a Bp+1-gyel
vett metszetének elemszáma n˝ott Bp-hez képest. Ha Ip+1 − Ip ∪ Bp = ∅, akkor az 1.
Eset áll fenn. Ellenkez˝o esetben ismételjük meg a fenti gondolatmenetet Bp helyett Bp-vel
egészen addig, amíg a kapott Bp bázis már olyan, hogy Ip+1 − Ip ∪ Bp = ∅. Ez véges
lépésben bekövetkezik, különben elfogynának Bp+1 − (Ip ∪ Bp) elemei.
A következ˝o tétel megadja, hogyan számolható a duális matroidban egy halmaz rang-
ja.
1.17. Tétel. Az M matroid és duálisának rangfüggvényei közötti kapcsolat:
rD
(A) =| A | +r (E − A) − r (E) ,
minden A ⊆ E-re.
Bizonyítás. Az A halmaz rangját a duális matroidban M azon bázisa határozza meg, a-
melynek legkevesebb eleme van A-ban. Az M A-tól diszjunkt független halmazának
maximális elemszáma r (E − A) . Ilyen halmaz benne van egy olyan r (E) elem˝u bázis-
ban, amelynek r (E)−r (E − A) eleme van A-ban. A-nak a bázisban nem lev˝o elemeinek
száma | A | +r (E − A) − r (E).
1.18. Példa. Vegyük a korábban már bemutatott uniform matroidot. Nyilván Um,n bázisai
E m elem˝u részhalmazai, ekkor a duális bázisai éppen E alaphalmaz (n − m) elem˝u
részhalmazai lesznek, így:
UD
m,n = Un−m,n.
Az alábbiakban bevezetjük a matroidok közötti izomorfia fogalmát, és megmutatjuk,
hogy a gráf duálisának körmatroidja és a gráf körmatroidjának duálisa megegyezik, ha a
gráf síkba rajzolható.
1.19. Definíció. Az M1 és az M2 matroidok izomorfak, ha létezik olyan γ : E (M1) →
E (M2) bijekció, melyre teljesül, hogy bármely X ⊆ E (M1)-re γ (X) független M2-ben
akkor és csak akkor, ha X független M1-ben.
13. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 13
Ekkor γ-t egy M1-b˝ol M2-be képez˝o izomorfizmusnak nevezzük, és a két matroid
közötti izomorfizmust M1 M2-vel jelöljük.
1.20. Példa. Vegyük az M (K3) = (E1, I1), és a M (U3,2) = (E2, I2) matroidot. Ha
azonosítjuk egymással a gráf egyes éleit az uniform matroid alaphalmazának elemeivel,
akkor pont egy olyan bijekciót kapunk melyre a fenti állítás teljesül, hiszen K3-ban az
élek alkotta alaphalmazból minden részhalmaz független kivéve a 3 elem˝ut azaz magát a
gráfot, míg az uniform matroid definíciójából az egyetlen függ˝o halmaz szintén a 3 elemet
tartalmazó. Így ez a két matroid izomorf.
1.21. Példa. Vegyük a következ˝o G gráfot:
1.3. ábra. G gráf
Legyen M (G) = (E, C), ahol E = E (G) a matroid alaphalmaza, C az alaphalmaz
részhalmazainak egy rendszere, ahol
C1 ∈ C ⇐⇒ C1 kör G-ben,
azaz
C = {{1} , {2,3} , {2,4,5} , {3,4,5} , {5,6,7} , {2,4,6,7} , {3,4,6,7}} .
Ekkor véve a gráf A pont-él illeszkedési mátrixát, a következ˝ot kapjuk:
1.4. ábra. G pont-él illeszkedési mátrixa
Legyen ekkor E = {1, 2, . . . ,8} , és C pedig álljon a mátrix oszlopvektorainak összes
lineárisan független részhalmazából. Ekkor M (A) = (E, C) egy mátrix matroid, E
alaphalmazzal, és C függetlenséget definiáló halmazrendszerrel. Ekkor izomorfia definí-
ciójából adódik, hogy
M (G) ∼= M (A) .
14. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 14
1.22. Definíció. Egy matroid grafikus, ha izomorf egy körmatroiddal.
1.23. Tétel. Legyen G egy tetsz˝oleges gráf, és vegyük az M (G) körmatroidját. Legyen
M∗
(G) a duális matroid. Ekkor M∗
(G) akkor és csak akkor grafikus, ha G síkba rajzol-
ható. Továbbá ekkor teljesül az is, hogy M (G∗
) = M∗
(G).
Bizonyítás. (Vázlat)
– Tegyük fel, hogy G síkba rajzolható. Ekkor tudjuk, hogy G∗
gráfelméleti duális
létezik. E (G) és E (G∗
) természetesen azonosítható. A két élhalmazra mint egy
halmazra gondolhatunk.
– Ekkor M (G∗
) = M∗
(G), hiszen M∗
bázisai M bázisainak komplementerei.
– A fordított irányért tegyük fel, hogy G gráf és M∗
(G) grafikus matroid.
– Mivel M∗
(G) grafikus matroid, belátható, hogy G nem tartalmazhatja topologikus
minorként K5-t és K3,3-t sem.
– Kuratowski tételéb˝ol pedig ekkor következik, hogy G síkba rajzolható.
1.24. Példa. G1 és G2 ugyanazon gráf két különböz˝o síkba rajzolása. Látható, hogy az
egyes duális gráfok körmatroidjainak körei ugyanazok, mint a duális körmatroidok körei.
Észrevehet˝o az is, hogy bár a G1 és G2 nem izomorf gráfok, de M (G1) és M (G2) kör-
matroidok izomorfak.
1.5. ábra. G1 és duálisa, G2 és duálisa
1.5. Matroidok metszete
Vegyünk két matroidot, melyek ugyanazon az alaphalmazon értelmezettek: M1 = (E, I1),
M2 = (E, I2) . Megadunk egy algoritmust, melynek outputja a maximális I ∈ I1 ∩ I2.
15. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 15
1.25. Definíció. E egy részhalmazainak E1 és E2 párja E fedése, ha E1 ∪ E2 = E. Adott
M1, M2 matroid-párra vonatkozóan az E = (E1, E2) fedés rangja r E = r1 (E1) +
+ r2 (E2).
1.26. Lemma. Bármely E fedésre és bármely I metszetbeli halmazra |I| ≤ r E
Bizonyítás. Legyen I1 = I ∩ E1 és I2 = I ∩ (E2 − E1). Nyilván |I1| r1 (E1) és
|I2| r2 (E2), azaz |I| = |I1| + |I2| ≤ r E .
1.27. Megjegyzés. Ha a Lemmában egyenl˝oség áll fenn, akkor az mondhatjuk, hogy a
fedés bizonyíték I maximális elemszámúságára.
A következ˝o tételek I elemszámát adják meg.
1.28. Tétel. (Edmonds) A közös független halmazok maximális elemszáma egyenl˝o a
minX⊆E {r1 (X) + r2 (E − X)}
értékkel.
1.29. Megjegyzés. Ez a fent definiált fedés szempontjából a következ˝ot jelenti: bármely
két M1 és M2 matroidra a metszetbeli halmazok elemszámának maximuma a fedések
minimális rangjával egyenl˝o.
1.30. Megjegyzés. A következ˝o állítás a tétel ekvivalens megfogalmazása:
Az E alaphalmazon adott két matroid. Akkor és csak akkor létezik k elem˝u közös független
halmaz, ha
r1 (X1) + r2 (X2) k
fennáll az S minden {X1, X2} partíciójára.
A tételt algoritmikusan fogjuk bizonyítani.
Bizonyítás. A bizonyítás során felhasználjuk az alábbi lemmát:
1.31. Lemma. legyen az I az M matroid egy függetlenje. Vegyük az y1 . . . yl ∈ E − I
és a x1 . . . xl ∈ I elemeket, melyre teljesül: xi∈ C (I, yi) (i = 1 . . . l), és xi /∈ C (I, yj)
(1 ≤ i ≤ j ≤ l). Ekkor az I − {x1 . . . xl} ∪ {y1 . . . yl} független.
A tétel nemtriviális irányának belátásához olyan F közös függetlent és X ⊆ E
részhalmazt kell konstruálnunk, amikre
r1 (X) = |X ∩ F|, és r2 (E − X) = | (E − X) ∩ F|.
Az algoritmus vázlata:
0. Legyen F kezdetben egy tetsz˝oleges közös független, például F = ∅.
1. F-nél nagyobb közös függetlent keresünk. Két eset lehetséges:
1.a) Ha találunk egy F-nél nagyobb elemszámú F közös függetlent, F := F , és vissza
az 1. lépésre
16. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 16
1.b) Algoritmus vége: ha az el˝oz˝o keresés sikertelen, akkor rámutatunk egy fedésre,
mely rangja megegyezik F elemszámával.
Az 1. pont alatti keresés részletesen:
Legyen Ei := {e ∈ E − F : F + s ∈ Ei} (i = 1, 2) , azaz az E1 azon E − F-beli el-
emekb˝ol áll, melyeket F-hez hozzá véve az els˝o matroid szerint megtartjuk a független-
séget. Ha E1 ∩ E2 = ∅ akkor egy ilyen elemmel F-et megnövelve F-nél nagyobb közös
függetlent kapunk. Tegyük fel tehát, hogy E1 ∩ E2 = ∅. Definiáljunk egy irányított
segédgráfot az uv és xy élekkel, ahol:
1. u ∈ E − (F ∪ E1) , és v ∈ F, ahol v ∈ C1 (F, u), azaz ha v benne van az u-nak az
F-re vonatkozó M1-beli alapkörében.
2. x ∈ F, y ∈ E − (F ∪ E2) , ahol x ∈ C2 (F, y) .
Az 1. típusú élek F-en kívülr˝ol indulnak és F-be futnak. A 2. típusú élek éppen fordít-
va: F-b˝ol indulnak és F-b˝o kifutnak. Két eset vizsgálunk meg:
1. E2-b˝ol nem vezet irányítot út E1-be (azaz "sikertelen a keresés, 1.b)"). Legyen X
az E2-b˝ol irányított úttal elérhet˝o elemek halmaza. Esetünkben X = E − X tartal-
mazza E1-t, X, X Belátjuk, hogy X bizonyíték E optimalitására. Mivel X-b˝ol
nem lép ki irányított él, minden u ∈ X − F elem M1-beli C1 (F, u) alapköre telje-
sen X-ben van, hasonlóan pedig minden y ∈ E − (F ∪ X) elem M2-beli C2 (F, y)
alapköre teljes egészében F − X-ben van. Tehát F ∩ X maximális független M1-
beli független részhalmaza X-nek: r1 (X) = |F ∩ X|, és F − X hasonlóan nem
b˝ovíthet˝o M2-beli független részhalmaza E−X-nek: r2 (E − X) = |F −X|. Tehát
X teljesíti a fenti feltételt.
2. Létezik irányított út E2-b˝ol E1-be. Vegyük közülük a legrövidebbet, legyen ez P.
Nyilván P kezd˝o és végpontja nincs F-ben, és P-n az F-beli és F-en kívüli ele-
mek váltakoznak. Legyen F az F és a P szimmetrikus differenciája. Ekkor F -nek
eggyel több eleme van, mint F-nek. Célunk megmutatni, hogy F mind M1-ben
mind M2-ben független (azaz "sikeres keresés, 1.a)").
Az M2-függetlenséget a bizonyítás elején közölt lemma segítségével mutatjuk meg:
Vegyük P pontjait sorrendben: x0, y1, x1, y2, x2, . . . , yk, xk (tehát x0 ∈ E2).
M2-ben a lemma feltétele teljesül, mert P legrövidebb út. Így a lemmából: F =
= F ∪{x0}−{y1, . . . , yk}∪{x1, . . . , xk} M2-független. Az M1-beli függetlenség
hasonlóképpen igazolható.
1.32. Példa. Vegyünk egy
−→
G = (V, E) irányított gráfot. Feny˝onek nevezzük, ha az
irányítást elhagyva éleit fát alkotnak, és minden csúcs befoka egy kivéve a g ∈ V gyökér
esetén, melynek befoka 0. Azaz g gyökérb˝ol minden más ponthoz vezet irányított egy-
értelm˝u út. Belátható, hogy egy irányított gráfban akkor és csak akkor van g gyöker˝u
feszít˝ofeny˝o, ha g-b˝ol minden más pontba vezet irányított út.
17. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 17
Az g gyöker˝u feny˝ok tekinthet˝oek olyan irányított élhalmazoknak, melyek egyidej˝u-
leg függetlenek két matroidban. Definiáljuk most ezeket a matroidokat:
Legyen G az irányítatlan gráf. Vegyük az M1 = M (G) körmatroidot, és legyen M2 =
= (A, I) olyan matroid, ahol a független halmazok azok, melyekben legfeljebb egy él fut
minden csúcsba a gyökért kivéve. Azaz
I = F : |F ∩ δ−
(v) | ≤ 1 minden v ∈ V g ,
ahol δ−
(v) a v-be futó élek halmaza. Ekkor minden g gyöker˝u feny˝o független halmaz
M1-ben és M2-ben is.
Megfordítva pedig, minden olyan F halmaz, ami mindkét matroidban független és
|V | − 1 g gyöker˝u feny˝o, hiszen ha a körmatroidban független, akkor az elemszám mi-
att feszít˝ofa, azaz g-b˝ol minden csúcsba vezet út, és ezen utak mind g-b˝ol irányítottak,
máskülönben lenne a g-be befutó él, vagy lenne olyan csúcs, melynek befoka 2.
1.33. Megjegyzés. A fenti matroid metszet algoritmust alkalmazhatjuk a probléma meg-
oldására. Egy alternatív módszer is ismertetünk. Fulkerson algoritmusa a következ˝okép-
pen keres egy minimális költség˝u feszít˝o feny˝ot:
1. A gyökéren kívül minden pontra csökkentsük a befutó élek költségeit a pontba be-
futó élek költségeinek minimumával. Ekkor, ha keletkezik 0 költség˝u élekb˝ol álló
g gyöker˝u feny˝o, akkor lépjünk a 2. pontra, ha nem, akkor húzzunk össze egy 0
költség˝u élekb˝ol álló kört, és kezdjük újra a 1. pontot a kapott gráffal.
2. A 0 költség˝u élekb˝ol álló g gyöker˝u feny˝ob˝ol kiindulva „fújjuk” vissza az 1. pont-
ban összehúzott köröket, az összehúzás sorrendjében visszafelé haladva. Továbbá
minden lépésben egészítsük ki a g gyöker˝u feny˝ot a visszafújással megkapott kör
éleib˝ol az új gráf egy g gyöker˝u feny˝ojévé.
Ha minden összehúzott kört ilyen módon feldolgoztunk, a G gráf egy minimális költ-
ség˝u g gyöker˝u feny˝ojét kapjuk. A minimális költség tényét az alábbiak támasztják alá:
– Az 1. lépésben a csökkentés miatt minden g gyöker˝u feny˝o összköltsége csökken
az adott értékkel,
18. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 18
– Ha nincs 0 költség˝u élekb˝ol álló g gyöker˝u feny˝o, biztosan van 0 költség˝u élekb˝ol
álló kör, melyben a gyökér nem szerepel,
– Ilyen kört összehúzva a g gyöker˝u feny˝ok költségeinek minimuma nem változik.
1.34. Példa. Legyen G egy páros gráf A és B színosztályokkal. Legyen MA matroid az E
alaphalmazzal, és legyen E egy partíciója a következ˝oképpen megadva:
E = ∪ {δ (v) : v ∈ A} ,
ahol δ (v) a v csúcsra illeszked˝o élek halmaza. Ez valóban partíció, hiszen minden élnek
pontosan egy végpontja van A-ban. Legyen MA partíciós matroid kv = 1-el, minden
v ∈ A-ra, azaz a független halmazai a következ˝oek:
IA = {F : |F ∩ δ (v) | ≤ 1 minden v ∈ A-ra} .
Azaz MA egy halmaza független, A minden csúcsára legfeljebb egy éle illeszkedik.
Hasonló módon definiáljuk MB = (E, IB)-t, azaz a független halmazai legyenek:
IB = {F : |F ∩ δ (v) | ≤ 1 minden v ∈ B-ra} .
Ekkor vegyük észre, hogy minden F ∈ IA ∩ IB-hez tartozik egy párosítás G-ben,
és ez fordítva is igaz, azaz G minden párosításához tartozik egy ilyen halmaz a met-
szetben. Ekkor IA és IB közös legnagyobb független halmaza egyben a G-beli legnagyobb
párosítás is lesz.
19. 19
2. fejezet
A Tutte polinom és alkalmazásai
2.1. Minorok
A kés˝obb bevezetend˝o matroid-polinomok szoros kapcsolatban állnak az alábbi két ope-
rációval. El˝oször ezeket vezetjük be, és vizsgáljuk.
2.1. Definíció. Vegyük az M = (E, I) matroid E alaphalmazának egy A ⊂ E részhal-
mazát. Ekkor az E A alaphalmazon vett matroid független halmazai a következ˝oek:
{X ⊂ E A | X független halmaz M-ben} .
Az A elemeinek törlésével kapott matroidot jelöljük M A-val.
2.2. Definíció. Ha A elemeit nem töröljük, hanem összevonjuk, az E A alaphalmazon
vett matroid független halmazai a következ˝oek lesznek:
{X ⊂ E A | van olyan B bázisa M|A-nak úgy, hogyX ∪ B független M-ben} ,
(ahol M|A az a matroid, amely független halmazai az A halmaz I-beli részhalmazai)
akkor az így kapott matroidot M/A-val jelöljük.
2.3. Megjegyzés. A két m˝uvelet definíciójából adódóan fennáll a következ˝o összefüggés:
M/T = (M∗
T)∗
2.4. Megjegyzés. Abban az esetben, amikor A = {e}, akkor a fenti m˝uveletek ered-
ményeként kapott matroidokra az egyszer˝usített M e és M/e jelölést használjuk. Ezt a
kétféle matroid típust az M matroid f˝o minorjának is szoktak nevezni.
2.5. Megjegyzés. Ha T ⊆ E, akkor a M T matroid rangfüggvénye az eredeti matroid
rangfüggvényének megszorítása az E −T részhalmazainak halmazára, azaz minden X ⊆
⊆ E − T-re a törlés operációval módosított matroid rangfüggvénye ugyanaz, mint az
eredeti matroidé:
rMT (X) = rM (X) .
2.6. Tétel. Ha T ⊆ E, minden X ⊆ E − T-re könnyen megadható a rangfüggvény:
rM/T (X) = rM (X ∪ T) − rM (T) .
20. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 20
Bizonyítás. Mivel
rM/T (X) = r(M∗T)∗ (X) ,
és a duális matroid rangfüggvénye el˝oáll a következ˝o alakban:
r∗
(X) = |X| + r (E − X) − r (E) ,
fennáll:
rM/T (X) = |X| + rM∗T (E − T − X) − rM∗T (E − T) ,
= |X| + r∗
(E − (T ∪ X)) − r∗
(E − T) ,
= |X| + |E − (T ∪ X) | − rM (T ∪ X) − rM (E) − |E − T|
+ rM (T) − rM (E) .
2.7. Megjegyzés. A tételb˝ol következik, hogy az M A körei M azon körei melyek E
A-ban vannak, és X ⊂ E A-ra rMA (X) = rM (X) . Továbbá M/A körei M azon
nem üres minimális halmazok, amit M egy C köréb˝ol a C A összevonással képzünk.
Ekkor X ⊂ E A-ra rM/A (X) = rM (X ∪ A) − rM (A) .
2.8. Példa. Vegyük az uniform Um,n = (E, I) matroid E alaphalmazának egy t elem˝u
részhalmazát, legyen ez T. Ekkor végrehajtva a matroidon a fenti m˝uveleteket (T törlése,
összevonás T szerint) a következ˝o minorokat kapjuk:
Um,n/T =
U0,n−t ha n t m
Um−t,n−t ha t < m
Illetve
Um,n T =
Um−t,n−t ha n t n − m
Um,n−t ha t < n − m
2.9. Megjegyzés. Az él törlése illetve összevonása a gráfelméletben szintén fontos m˝uvelet,
melyek a gráf csúcs és élhalmazában a következ˝o változást eredményezik:
V (G e) = V (G) , és E (G e) = E (G) e,
illetve
E (G/e) = E (G e) , és V (G/e) = (V (G) − {x, y} ∪ {[e]}) ,
ahol az összevont két csúcs az x, és az y, az ˝oket összeköt˝o él pedig e. Továbbá
amelyik él eddig x-re vagy y-ra illeszkedett, most az ˝oket reprezentáló új ([e]) csúcsra
illeszkedik, a többi pedig marad.
21. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 21
2.10. Példa. A m˝uveletek egy tetsz˝oleges G gráfon:
2.1. ábra. e él összehúzása
2.2. ábra. e él törlése
2.2. A matroid karakterisztikus polinomja
A matroidokkal kapcsolatos legegyszer˝ubb polinom a karakterisztikus polinom. Ennek
általánosítása vezet el a Tutte polinomhoz. Az alábbiakban pár fontos tulajdonságát vizs-
gáljuk.
2.11. Definíció. Az M = (E, I) matroid karakterisztikus polinomja
pM (z) =
X⊆E
(−1)|X|
zr(E)−r(X)
.
Ha összevonunk, és a z hatványai szerint rendezzük az összeget a következ˝o alakot
kapjuk:
pM (z) =
r(M)
k=0
wkzr(E)−k
,
ahol
wk = | {X ⊆ E : r (X) = k, |X| páros} | − | {X ⊆ E : r (X) = k, |X| páratlan} |.
2.12. Megjegyzés. Az w0, w1, . . . wr(M) együtthatókat els˝orend˝u Whitney számoknak
nevezzük.
2.13. Definíció. Egy tetsz˝oleges M matroid e eleme hurok, ha {e} az M matroid egy köre.
2.14. Megjegyzés. Megmutatható, ha M-ben van hurok, akkor p (M; z) ≡ 0, ha pedig
M hurokmentes, akkor w0 = 1, és w0, w1, . . . , wr(M) alternáló el˝ojel˝uek.
22. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 22
2.3. Tutte polinom
2.15. Definíció. Egy M matroid Tutte polinomja a következ˝o kétváltozós polinom:
TM (x, y) =
X⊆E
(x − 1)r(E)−r(X)
(y − 1)|X|−r(X)
.
2.16. Példa. A megfelel˝o helyen véve a Tutte polinomot és egy szorzóval korrigálva az
el˝ojelet megkapjuk a karakterisztikus polinomot:
pM (z) = (−1)r(M)
TM (1 − z,0)
Tulajdonságok:
(1) Tutte-Grothendieck invariancia-tulajdonság
A Tutte polinomra teljesül egy nagyon fontos invariancia tulajdonság, melynek
feltételeit az alábbiakban részletezzük:
2.17. Definíció. Egy matroidokon értelmezett f függvény (izomorfizmus) invariáns
ha teljesül:
f (M) = f (N) , ha M N.
2.18. Definíció. Vegyünk Ψ matroid-osztályt, mely zárt a matroid-izomorfizmusokra,
és a minorképzésre. Legyen f ezen a halmazon értelmezett függvény. Azt mondjuk,
hogy f Tutte-Grothendieck invariáns (jelölés: T-G invariáns), ha invariáns, és tel-
jesülnek rá az alábbiak:
• f (M) = f (M e) + f (M/e), ha e nem hurok és nem elvágó él
• f (M) = f (M (e)) f (M e) különben, ahol M (e) az egyetlen e élt tartal-
mazó gráf körmatroidja.
2.19. Definíció. Tegyük fel f mint fent, kivéve az els˝o tulajdonság helyett teljesüljön,
hogy:
f (M) = σf (M e) + τf (M/e) ,
ahol σ és τ rögzített, nem nulla számok, és e nem hurok, és nem elvágó él. Ekkor
f-et általánosított T-G invariánsnak nevezzük.
Az alábbiakban bizonyítás nélkül közöljük a Tutte polinom T-G invarians tulaj-
donságát kimondó tételt, illetve ennél többet is kimondunk a f˝otételben, ami a
gráfelméleti polinomokkal való összefüggést alapozza meg.
2.20. Tétel. TM (x, y) Tutte-Grothendieck invariáns, azaz T : M −→ Z [x, y]
függvényre (ahol M a matroid-izomorfizmus, mint ekvivalencia reláció által megha-
tározott osztályok halmaza), teljesülnek az alábbiak:
• TL (x, y) = x, és TI (x, y) = y, ahol L az hurokélen, mint alaphalmazon vett
matroid, I pedig az elvágó élen, mint alaphalmazon vett matroid.
23. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 23
• (Törlés-összevonás) Ha e az M matroid eleme, és nem hurokél, vagy elvágó
él, akkor
TM (x, y) = TMe (x, y) + TM/e (x, y)
• Ha e az M matroidban, hurokél, vagy elvágó él, akkor
TM (x, y) = TM(e) (x, y) TMe (x, y)
2.21. Tétel. Legyen R kommutatív gy˝ur˝u, és vegyünk egy f : M −→ R függvényt.
Ha f-re teljesül, hogy: f (M) = f (M e) + f (M/e), ha e nem hurok és nem
elvágó él, illetve f (M) = f (M (e)) f (M − e) különben, minden olyan esetben,
amikor |E| 2, akkor minden M matroidra
f (M) = TM (f (I) , f (L)) .
Az általánosított T-G invariánsra is igaz a megfelel˝o tétel:
2.22. Tétel. Legyen σ és τ nemnulla elemei F testnek. Ekkor létezik egy egyértelm˝u
t : M → F [x, y] függvény, melyre teljesülnek a következ˝oek:
tI (x, y) = x, és tL (x, y) = y,
Ha e az M matroid egy eleme, és se nem hurok se nem elvágó él
tM (x, y) = σtMe (x, y) + τtM/e (x, y) ,
Különben pedig
tM (x, y) = tM(e) (x, y) tMe (x, y) ,
Továbbá ez az egyértelm˝u tM kifejezhet˝o az alábbi módon a Tutte polinommal:
tM (x, y) = σ|E|−r(E)
τr(E)
TM (x/τ, y/σ) .
(2) Rekurzivitás
• TM (x, y) = 1, ha E (G) = ∅,
• TM (x, y) = TMe (x, y) + TM/e (x, y), ha e nem elvágó él és nem hurokél,
• TM (x, y) = x TMe (x, y), ha e elvágó él,
• TM (x, y) = y TM/e (x, y), ha e hurok él.
2.23. Példa. Egy G = (E, V ) gráf körmatroidjának példáján mutatjuk be, hogy
a gráf élek elhagyásával és összehúzásával 1 él˝u gráfokra építhet˝o le, majd ezt
követve rekurzív módon megkapható a Tutte polinom.
24. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 24
2.3. ábra. A gráfon végrehajtott él összehúzás-törlés m˝uveletsorozat
2.4. ábra. Tutte polinom rekurzión alapuló el˝oállítása
(3) Dualitás: Legyen az M matroid az alaphalmazzal és a rangfüggvénnyel megadva,
azaz: M = (E, r). Ekkor a duális matroid MD
= E, rD
, ahol rD
(A) = |A| −
− r (E) + r (E A).
Mivel rD
(E) − rD
(A) = |E A| − r (E A) , így a következ˝ot kapjuk:
TM (x, y) = TMD (y, x) .
25. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 25
Speciálisan, ha G síkgráf, és G∗
a duálisa:
TG (x, y) = TG∗ (y, x)
(4) Direkt összeg:
2.24. Megjegyzés. Könnyen ellen˝orizhet˝o, ha a G gráf az A és B komponensekb˝ol
áll, akkor
TM(G) (x, y) = TM(A) (x, y) TM(B) (x, y) .
Ez a tulajdonság kiterjeszthet˝o általános matroidokra is. Ehhez definiálni kell az M1
és M2 matroidok M1 ⊕ M2 direkt összegét. Ennek alaphalmaza E (M1) ˙∪E (M2) .
X akkor és csak akkor független a direkt összegben, ha X ∩ E (M1) ∈ M1, és
X ∩ E (M2) ∈ M2. Ekkor TM1⊕M2 (, x, y) = TM1 (x, y)TM2 (x, y).
(5) Speciális értékek
• TM (2, 2) megadja E részhalmazainak számát.
• TM (1, 1) megadja M bázisainak számát, hiszen csak akkor lesz az összegben
nem 0 tag, ha a tényez˝ok kitev˝oje 1, tehát r (E) = r (X) = |X|, ami pontosan
akkor teljesül, ha X bázis.
• TM (2, 1) megadja M függetlenjeinek számát, hiszen az y-os tényez˝o pon-
tosan akkor lesz 1, ha r (X) = |X|, ami a független halmaz ekvivalens definí-
ciója.
2.25. Példa. Az uniform Ur, n (r ∈ [0, n]) matroid esetében egyszer˝u a polinom meghatá-
rozása, hiszen minden részhalmaz, melynek elemszáma legfeljebb r, független, így az
(y − 1) kitev˝oje minden legalább r elem˝u halmazra 0, továbbá az (x − 1) kitev˝oje minden
r ≤ k-ra 0. Így a következ˝ot kapjuk a Tutte polinomra:
TUr, n (x, y) =
r−1
i=0
(n
i ) (x − 1)r−i
+ (n
r ) +
n
i=r+1
(n
i ) (y − 1)i−r
.
Például az U2, 5-re és duálisára az U3, 5-re a Tutte polinom a fentiek alapján:
TU2, 5 (x, y) = x2
+ 3x + 3y + 2y2
+ y3
,
TU3, 5 (x, y) = x3
+ 2x2
+ 3x + 3y + y2
.
2.26. Példa. Legyen G egy n + 1 csúcsú út. Ekkor n éle van, és mivel az M (G) körma-
troidban a függ˝o halmazok a körök lennének, így bármely részhalmaza az alaphalmaznak
független, hiszen nincs a gráfban kör. Ekkor r (M (G)) = n. A gráf Tutte polinomja
pedig:
TM(G) (x, y) =
n
i=0
(n
i ) (x − 1)n−i
= xn
.
Ugyanez a helyzet egy fa gráffal is, hiszen ha n+1 csúcsa van, akkor n éle, és szintén
nem tartalmaz kört, tehát az alaphalmaz minden részhalmaza független.
26. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 26
2.27. Példa. Legyen a Cn gráf, az n pontból álló kör. Vizsgáljuk az M (Cn) körmatroidot.
Ahhoz, hogy meghatározzuk a Tutte polinomját, néhány egyszer˝u megfontolást kell csak
tenni:
Ha Cn-b˝ol törlünk egy e élt, egy n pontból álló utat kapunk, melynek Tutte polinomja
xn−1
. Ha összehúzunk egy élt, ugyanúgy kört kapunk, n − 1 csúcsból, azaz a Cn−1-et.
Mivel C2 Tutte polinomja x + y, így a következ˝ot kapjuk:
TCn (x, y) =
n−1
i=1
xi
+ y.
A Tutte polinom dualitás-tulajdonsága révén, a C∗
n duálisra, azaz a két csúcsból és n
darab párhuzamos élb˝ol álló gráfra:
TC∗
n
(x, y) =
n−1
i=1
yi
+ x.
2.4. A Tutte polinom alkalmazásai
2.4.1. A gráf kromatikus polinomja
Jelentse egy egyszer˝u gráf jó színezését egy olyan színezés, melyben a gráf bármely két
csúcsa, melyek éllel összekötöttek különböz˝o szín˝u.
Felmerülhet a kérdés, hogy legalább hány színre lenne szükség ahhoz, hogy a csúc-
sokat jól színezzük. Ez a G gráf χ (G) kromatikus száma Bevezetünk egy olyan poli-
nomot, amib˝ol kiolvasható ez a minimum. Ez lesz a kromatikus polinom.
A kés˝obbiekben pedig kifejezzük a kromatikus polinomot a Tutte polinommal, ami
kapcsolatot teremt a jól színezhet˝oség problémakör és a matroidok között.
2.28. Definíció. Legyen a PG (z) a G gráf z színnel való jó színezéseinek száma. Ezzel
definiáltunk egy N → N függvényt. Belátható, hogy PG (z) függvény a z változójában
polinom, és nyilvánvalóan a természetes számokra el˝oírt értékek ezt a polinomot egyértel-
m˝uvé teszik. Ezt a gráf kromatikus polinomjának nevezzük.
2.29. Példa. Vegyünk egy n csúcsból álló fát, legyen ez a Tn fagráf. Könnyen belátható,
hogy a kromatikus polinomja a következ˝o módon adható meg:
PTn (z) = z (z − 1)n−1
.
2.30. Példa. Vizsgáljuk az n csúcsból álló teljes Kn gráfot. Válasszunk ki egy tetsz˝oleges
csúcsot. Színezésére ekkor z lehet˝oség van. Mivel a kiválasztott csúcsnak (n − 1) szom-
szédja van, így a következ˝o kiválasztott csúcsnak már csak (z − 1) féle szín osztható, és
így tovább. Belátható, hogy ekkor Kn kromatikus polinomja:
PKn (z) = z (z − 1) . . . (z − (n − 1)) .
2.31. Megjegyzés. PG (z) ismeretében χ (G) könnyen meghatározható. χ (G) az a min-
imális természetes szám, aminél kiértékelve PG (z)-t nem 0-t kapunk.
27. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 27
A következ˝o lemmával a kromatikus polinom kiszámítása visszavezethet˝o egy él tör-
lésével illetve egy él összehúzásával keletkez˝o gráfra, tehát egy csökkentett élszámú, és
egy csökkentett csúcsszámúra.
2.32. Lemma. Legyen G egyszer˝u gráf. G bármely e élére teljesül, hogy
PG (z) = PGe (z) − PG/e (z) .
A fenti lemma és példa segítségével most már kimondható a kromatikus polinomok
alaptulajdonságait összefoglaló f˝otétel, melyet bizonyítás nélkül közlünk:
2.33. Tétel. Legyen G egy n csúcsú egyszer˝u gráf. Ekkor a PG (z) = anxn
+ an−1xn−1
+
+ . . . + a1x + a0 kromatikus polinomjára a következ˝ok teljesülnek:
– deg (PG (z)) = n,
– együtthatói egészek, és váltakozó el˝ojel˝uek, azaz (−1)n−i
ai ≥ 0,
– an = 1, a0 = 0.
A Tutte polinom segítségével könnyen kiszámolható egyes gráfok kromatikus poli-
nomja. A két polinom közötti kapcsolatot az alábbi tétel adja meg:
2.34. Tétel. Vegyük a c komponens˝ol álló G gráf M (G) körmatroidját. Ekkor a gráf
PG (z) kromatikus polinomja egyszer˝uen megadható a körmatroid Tutte polinomjával:
PG (z) = zc(G)
(−1)|V (G)|−c(G)
TM(G) (1 − z, 0)
Bizonyítás. Legyen f (G, λ) = λ−c(G)
PG (z) . Látszólag f G-t˝ol függ, de megmutatható,
hogy valójában csak M (G)-t˝ol függ, így ha f (M (G) , λ) = f (G, λ) , akkor ez a ma-
troidokon értelmezett függvény egy jól definiált T-G invariáns, melyre σ = 1, és τ = −1.
Ha M (G) = I vagy L, akkor G egy hurokból vagy egy elvágó élb˝ol áll szomszédos
csúcsokkal.
Nyilvánvalóan teljesül az, hogy f (L, λ) = 0, és f (I, λ) = λ−1. Így ha, |E (G) | = 1,
f jól definiált. Tegyük fel, hogy |E (G) | < n-re is jól definiált matroidokon értelmezett
függvény, és legyen |E (G) | = n.
Vegyünk egy e élt G-ben, legyen végpontjai az u és v csúcsok, és tegyük fel, hogy e se
nem hurokél, se nem elvágó él. Ekkor két részre oszthatóak a G e gráf λ színnel való jó
színezései aszerint, hogy u és v különböz˝o színnel színezettek-e vagy sem. Abban az eset-
ben, amikor u és v megegyez˝o szín˝uek, bijekció áll fenn Ge és G/e λ-színezései között.
Abban az esetben, amikor u és v különböz˝o szín˝uek G e a bijekció G λ-színezéseivel
áll fenn. Nyilván G-nek és G/e-nek ugyanannyi komponense van, ha pedig e nem elvágó
él, akkor G-nek és G e-nek is ugyanannyi komponense van. Így a következ˝o áll fenn:
f (G e, λ) = f (G, λ) + f (G/e, λ) ,
ekkor az indukciós feltevésb˝ol kapjuk, hogy:
f (G, λ) = f (M (G e) , λ) − f (M (G/e) , λ) .
28. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 28
Ha az e élG-ben hurokél, akkor
f (G, λ) = f (L, λ) = 0,
így
f (G, λ) = f (L, λ) f (M (G e) , λ) .
Ha e elvágó él, akkor G jó λ színezéseinek száma megegyezik Ge jó λ színezéseinek
számával, ha u és v különböz˝o szín˝uek. G e jó λ színezésében ha u-t kiszíneztük egy
színnel, akkor a v-nek λ féle színt adhatunk. Ezek közül λ − 1 szín különbözik az u-nak
adott színt˝ol. Így a Ge azon jó λ-színezéseinek száma, melyekre u és v különböz˝o szín˝u
λ−1
λ
PGe (z) . Tehát
PG (z) =
λ − 1
λ
PGe (z) .
Mivel
f (I, λ) = λ − 1, és c (G e) = c (G) − 1,
fennáll
f (G, λ) = f (I, λ) f (G e, λ) ,
és az indukciós feltevést felhasználva kapjuk, hogy
f (G, λ) = f (I, λ) f (M (G e) , λ) .
Az f (G, λ)-re három esetben (e hurok él, e elvágó él, e egyik sem) kapott egyen-
leteket összehasonlítva kapjuk, hogy f jól definiált matroid-függvényt. Továbbá ugyanezen
egyenletekb˝ol az is következik, hogy f általánosított T-G invariáns, ahol σ = 1, és τ =
= −1. Mivel f (I, λ) = λ − 1, és f (L, λ) = 0, a 2.22 Következményb˝ol következik,
hogy
f (M (G) , λ) = (−1)|V (G)|−c(G)
TM(G) (1 − λ,0) ,
így
χG (λ) = λ (−1)c(G)|V (G)|−c(G)
TM(G) (1 − λ,0) .
2.35. Példa. Legyen a vizsgált gráf C5, azaz az 5 csúcsból álló kör.
2.5. ábra.
29. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 29
Ekkor legyen M (C5) az élhalmazából képzett körmatroid. Egyszer˝uen megállapítható,
hogy r (M (C5)) = 4.
A gráf kromatikus polinomja a következ˝o:
PC5 (z) = (z − 1)5
+ (−1)5
(z − 1) .
C5 egy komponensb˝ol áll, így c (G) = 1. Ekkor a fentiek alapján:
PC5 (z) = (z − 1)5
+ (−1)5
(z − 1) = z
X⊆E
(−1)|X|
z4−r(X)
= z pM(C5) (z)
2.4.2. A gráf folyam polinomja
Irányított gráf esetén a folyam polinom is fontos szerepet játszik egy gráf vizsgálatában.
A T-G invariancia miatt a Tutte polinom segítségével könnyedén meg tudjuk határozni
egy gráf folyam polinomját.
Legyen G egy tetsz˝oleges gráf, és vegyük egy irányítását. Jelölje
−→
G az így kapott
irányított gráfot. Legyen H egy additív Abel csoport.
2.36. Definíció. Egy H-folyam a
−→
G-n olyan φ : E (G) −→ H függvény, melyre teljesül,
hogy tetsz˝oleges v ∈ V (G)-re a v-be befutó és onnan kifutó élek súlyainak összege H-ban
megegyezik. Egy H-folyam sehol sem 0, ha bármely e ∈ E (G)-re φ (e) = 0.
Legyen F−→
G
(λ) a
−→
G gráf sehol sem 0 H-folyamainak száma. Belátható, hogy a
−→
G
sehol sem 0 H-folyamainak száma csak |H|-tól függ. Legyen F−→
G
(λ) a
−→
G gráf sehol sem
0 H-folyamainak száma, ahol |H| = λ.
2.37. Tétel. A Tutte polinommal egy
−→
G összefügg˝o gráf F−→
G
(λ) folyam polinomját a
következ˝o képlet szerint lehet megadni:
F−→
G
(λ) = (−1)|E(
−→
G)|−r(E)
TM(
−→
G) (0,1 − λ) ,
ahol H rendje λ.
Bizonyítás. Legyen g (M (G) , λ) = F−→
G
(λ). Célunk megmutatni, hogy g jól definiált, és
egy általánosított T-G invariáns, melyre σ = −1 és τ = 1. Nyilvánvalóan teljesül az, hogy
g (I, λ) = 0, és g (L, λ) = λ − 1. Így ha, |E (G) | = 1, g jól definiált. Tegyük fel, hogy
|E (G) | < n-re is jól definiált matroidokon értelmezett függvény, és legyen |E (G) | = n.
Vegyünk egy e élt G-ben, legyen végpontjai az u és v csúcsok, és tegyük fel, hogy e
se nem hurokél, se nem elvágó él.
Legyen W a sehol sem 0 H-folyamok halmaza a
−→
G/e gráfon. Osszuk W-t a W és
W halmazokra úgy, hogy W azon W-beli H-folyamokat tartalmazza, melyek
−→
G e-ben
is H-folyamok. Ekkor |W | = F−→
Ge
(λ).
Továbbá W bijekcióba állítható a sehol sem 0 H-folyamokkal G-n. Ennek bizonyítása
a következ˝o:
Vegyük észre, hogy W egy eleme
−→
G e-n azért nem sehol sem 0 H-folyam, mert
a
−→
G e beli u és v csúcsok mindegyikére teljesül, hogy a csúcsokba befutó éleken lev˝o
súlyok összege nem egyezik meg a kifutó élek súlyainak összegével. Tegyük fel, hogy az
30. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 30
u-ba befutó folyam értéke n. Ekkor a v-b˝ol kifutó folyam értéke is n, és véve az e élt u-
ból v-be irányítva és n-nel megsúlyozva egy sehol sem 0 H-folyamot kapunk
−→
G-n. Mivel
minden sehol sem 0 H-folyam
−→
G-n egyértelm˝uen megkapható ezen a módon, következik,
hogy |W | = F−→
G
(λ) , és
F−→
G
(λ) = F−→
G/e
(λ) − F−→
Ge
(λ) .
Felhasználva az indukciós feltevést, következik, hogy
F−→
G
(λ) = g
−→
G/e, λ − g
−→
G e, λ .
Ha e hurokél G-ben, akkor minden
−→
G e-n vett sehol sem 0 H-folyamra vehetjük az e
él súlyát H bármely nem 0 elemének. Ez egy sehol sem 0 H-folyamot ad
−→
G-n, és minden
H-folyamot képezhetünk ezen a módon
−→
G-n. Így ha e hurok MG-ben:
F−→
G
(λ) = g (L, H) F−→
Ge
(λ) ,
és felhasználva az indukciós feltevést kapjuk, hogy
F−→
G
(λ) = g (L, H) g M
−→
G e , H .
Ha e elvágó él G-ben, F−→
G
(λ) = g (I, λ) = 0, így
F−→
G
(λ) = g (I, λ) F−→
Ge
(λ) .
Tekintve a fent tárgyalt három esetet (ha e hurokél, ha elvágó él és ha egyik sem),
megállapítható, hogy g jól definiált. A folyam polinomot megadó egyenletekb˝ol pedig
következik, hogy g általánosított T-G invariáns, ahol σ = −1, és τ = 1. A tétel állítása
már következik a 2.22 Következményb˝ol, és a [2] forrás 6.2.20-as Tételéb˝ol.
A tétel bizonyítása azt is igazolta, hogy a folyam polinom valóban polinomiális λ-ban.
2.38. Definíció. Legyen ν a G gráf ciklomatikus száma, melyet a következ˝oképpen defini-
álunk:
ν (G) = |E (G) | − |V (G) | + c (G) .
Most bizonyítás nélkül közöljük a folyam polinomok alaptulajdonságait összefoglaló
tételt.
2.39. Tétel. Tulajdonságok:
– deg F−→
G
(λ) = ν (G), ahol λν(G)
együtthatója (−1)ν(G)
, és az összegben minden
tag megegyez˝o el˝ojel˝u.
– Ha G-ben nincsenek élek, F−→
G
(λ) = 1.
– Ha G-ben van elvágó él, F−→
G
(λ) = 0.
31. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 31
– Ha G élhalmaza két éldiszjunkt H és K részgráfja élhalmazának uniója, amelyek
legfeljebb egy közös csúccsal rendelkeznek, akkor
F−→
G
(λ) = F−→
H
(λ) F−→
K
(λ) .
– Ha G kör F−→
G
(λ) = λ − 1.
– Kiválasztva G egy tetsz˝oleges e élét, teljesül:
F−→
G
(λ) = F−→
Ge
(λ) − F−→
G/e
(λ) ,
2.40. Megjegyzés. Ha G∗
összefügg˝o síkgráf az eddig tárgyalt
−→
G irányítatlan duálisa,
akkor a gráf k színnel való jó színezéseinek száma megegyezik a sehol sem 0 k-folyamok
számával:
χ (G, λ) = λF−→
G
(λ) .
2.41. Megjegyzés. Jelölje (G : S) a G gráf S élhalmaz által alkotott feszít˝orészgráfjának
feszít˝oerd˝ojét. Ekkor a folyam polinom a következ˝oképpen írható fel:
F−→
G
(λ) = (−1)|E(G)|
S⊆E(G)
(−1)|S|
λν(G:S)
.
2.42. Példa. A fentiek fényében vegyük a K3 gráfot. A folyam polinomja a következ˝o:
Fλ
−→
K3 = (λ − 1) .
A Tutte polinomot definíció szerint végigszámolva kapjuk, hogy
TK3(
−→
G) (x, y) = y − 1,
alkalmazva pedig a Tutte és a folyam polinom kapcsolatát kimondó tételt pont ezt kapjuk:
(λ − 1) = Fλ
−→
K3 = (−1)|E(
−→
G)|−r(E)
TK3(
−→
G) (0,1 − λ) = (λ − 1) ,
hiszen |E
−→
G | − r (E) = 1.
2.4.3. A gráf reliability polinomja
2.43. Definíció. Vegyünk egy G gráfot, és tegyük fel, hogy G minden élét egymástól
függetlenül egy rögzített 0 ≤ p ≤ 1 valószín˝uséggel töröljük. Ekkor annak a valószí-
n˝uségét, hogy G bármely összefügg˝o komponense összefügg˝o marad a törlések után a
CG (p) polinom adja meg, melyet G reliability polinomjának nevezünk.
A gráf reliability polinomja a következ˝o alakban adható meg:
CG (p) =
m
A⊆E(G)
(1 − p)|A|
p|EA|
,
ahol A azon részhalmazai a gráf élhalmazának, melyek tartalmazzák G egy feszít˝ofáját.
32. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 32
2.44. Példa. Cn reliability polinomja a következ˝o:
CCn (p) = (1 − p)n−1
[1 + (n − 1) p] .
Rekurzívan is el˝oállítható CCn−1 (p) és CCn−2 (p) segítségével:
CCn (p) = −2 (p − 1) CCn−1 (p) − (p − 1)2
CCn−2 (p) .
A matroidokra is alkalmazhatjuk az elemek egy tetsz˝oleges, rögzített valószín˝uséggel
való törlését.
2.45. Definíció. Tegyük fel, hogy az M = (E, I) matroid elemeit egymástól függetlenül
egy rögzített 0 ≤ p ≤ 1 valószín˝uséggel töröljük. Ekkor a keletkezett ω (M) részmatroid-
ját M-nek M véletlenszer˝u részmatroidjának hívjuk. Legyen CM (p) annak a valószí-
n˝usége, hogy ω (M) rangja megegyezik M rangjával.
2.46. Megjegyzés. CM (p)-re a következ˝o egyszer˝uen belátható tulajdonságok teljesül-
nek:
CM (I) = 1 − p, CM (L) = 1.
CM (p) =
pCMe (p) + (1 − p) CM/e (p) ha e nem hurok és nem elvágó él,
CM(e) (p) CMe (p) különben.
2.47. Tétel. Ezekb˝ol következ˝oen Tutte polinomról szóló f˝o tétel fényében kifejezhet˝o a
reliability polinom a Tutte polinommal:
CM (p) = p|E|−r(E)
(1 − p)r(E)
TM 1,
1
p
.
A gráf és a matroid reliability polinomja megegyezik, ha a M a Km gráf körmatroidja.
CM(Km) (p) = CKm (p) .
2.48. Példa. Természetesen a 2.44. Példában kiszámolt reliability polinommal azonos
eredményt kapunk akkor is, ha a 2.47. Tételt alkalmazzuk Cm-re:
(1 − p)n−1
[1 + (n − 1) p] = CCn (p) = pn−(n−1)
(1 − p)n−1
TCn 1,
1
p
= pn−(n−1)
(1 − p)n−1
n−1
i=1
1i
+
1
p
= (1 − p)n−1
[1 + (n − 1) p]
33. 33
Nyilatkozat
Alulírott Általános Alkalmazott Matematika MSc szakos hallgató, kijelentem, hogy a dol-
gozatomat a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetében készítettem, az MSc diploma
megszerzése érdekében.
Kijelentem, hogy a dolgozatot más szakon korábban nem védtem meg, saját munkám
eredménye, és csak a hivatkozott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam
fel.
Tudomásul veszem, hogy diplomamunkámat a Szegedi Tudományegyetem Bolyai In-
tézetének könyvtárában, a helyben olvasható könyvek között helyezik el.
Szeged, 2014. május 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
aláírás
34. 34
Köszönetnyilvánítás
Ezúton szeretnék köszönetet mondani Dr. Hajnal Péternek, a témavezet˝omnek, aki odaa-
dóan felügyelte diplomamunkám megírását, bármikor id˝ot tudott szakítani a közös munkára,
és tanácsaival illetve javaslataival nagyban hozzájárult ahhoz, hogy az eredmény pontos,
lényegre tör˝o, érdekes és szemléletes legyen.
35. 35
Irodalomjegyzék
[1] Jorge Ramírez Alfonsín, Theory of matroids and applications, Konferenciai el˝oadás,
ECOS, (2013), 2-12.
[2] Thomas Brylawski, James Oxley, The Tutte polynomial and Its Applications, Ma-
troid Applications (Szerkeszt˝o: N. White), Encyclopedia of Mathematics and its
Applications, 40, (2010), 123-225.
[3] Frank András, Kombinatorikus optimalizálás, II: Matroidelmélet, Egyetemi egyzet,
ELTE TTK Operációkutatási Tanszék, (2011), 4-62.
[4] Michel X. Goemans, Lecture notes on matroid intersection, Egyetemi jegyzet (Com-
binatorical Optimization), Massachusetts Institute of Technology, (2009), 1-2.
[5] Gary Haggard, David J. Pearce, Gordon Royle, Computing the Tutte polynomials,
Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, (2009), 1-22.
[6] Jordán Tibor, Recski András, Szeszlér Dávid, Rendszeroptimalizálás, Typotext, Bu-
dapest, (2004), 127.
[7] Petteri Kaski, The deletion-contraction algorithm and graph polyinomials, Egyete-
mi egyzet, University of Aalto, Esbo, (2008), 3-4.
[8] Eugene L. Lawler, Kombinatorikus optimalizálás: hálózatok és matroidok, M˝uszaki
Könyvkiadó, Budapest, (1982).
[9] Criel Merino, Marcelino Ramírez-Ibanez, Guadalupe Rodrígez-Sánchez, The Tutte
polynomial of some matroids, International Journal of Combinatorics, (2012), 1-50.
[10] James Oxley, Matroid theory,Oxford University Press, Oxford, (2011).
[11] James Oxley, On the Interplay between graphs and matroids, Survey in Combina-
torics, (2001), 199-239.
[12] Hossein Shahmohamad, A survey on Flow Polynomial, UTILITAS MATHEMATI-
CA, 62, (2002), 13-32.
[13] Turjányi Sándor, Bevezetés a kombinatorikába és a gráfelméletbe, Egyetemi jegyzet,
Debreceni Egyetem, (2005), 83-85.
[14] Dominic Welsh, The Tutte polynomial, Random structures and Algorithms, 15,
(1999), 210-228.
36. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 36
[15] http://mathworld.wolfram.com/ReliabilityPolynomial.html
(utolsó elérés ideje: 2014.05.16.)
