Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Bartha_Éva_Lili-A_matroid_és_gráfelmélet_összefüggései - MSc_Diplomamunka

273 views

Published on

  • Login to see the comments

  • Be the first to like this

Bartha_Éva_Lili-A_matroid_és_gráfelmélet_összefüggései - MSc_Diplomamunka

  1. 1. Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézet A matroid- és gráfelmélet összefüggései Diplomamunka Készítette: Témavezet˝o: Bartha Éva Lili Dr. Hajnal Péter Általános alkalmazott egyetemi docens matematika szakos hallgató Szeged 2014
  2. 2. 2 Tartalomjegyzék Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. Matroidelméleti alapismeretek 5 1.1. Alapvet˝o fogalmak, és hozzájuk kapcsolódó tételek . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Példák gyakran használt matroid típusokra . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Mohó algoritmus matroidokon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Az algoritmus menete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Az algoritmus egy alkalmazása (KÍSÉRLETTERVEZÉS) . . . . 11 1.4. Matroiddualitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5. Matroidok metszete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2. A Tutte polinom és alkalmazásai 19 2.1. Minorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. A matroid karakterisztikus polinomja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3. Tutte polinom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4. A Tutte polinom alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.1. A gráf kromatikus polinomja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4.2. A gráf folyam polinomja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4.3. A gráf reliability polinomja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Nyilatkozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
  3. 3. 3 Bevezetés A diplomamunkám középpontjában a matroidelmélet és a gráfelmélet összefonódása áll. Az összefüggéseket könnyítést segít˝o egyszer˝ubb példákon mutatjuk be. Mivel a diplo- mamunka keretei nem engedik meg az alapok teljes részletességgel történ˝o tárgyalását, sokszor bizonyítás nélkül közlünk tételeket. Az els˝o fejezetben megalapozásra kerül a gráfok és a lineáris algebrai független- ség közös általánosításának struktúrája, a matroid fogalom. Mivel a matematika egy fi- atal ágáról van szó, számos megközelítés, karakterizáció született az elmúlt évtizedek folyamán, mindegyik ekvivalens axióma-rendszert képezve: az alapvet˝o matroid-axiómák, a bázis-axiómák, a rang-axiómák, az ekvivalens karakterizáció körökkel vagy akár a lezárás operátorral. Mindegyik megközelítés esetén megmondjuk mik legyenek a ma- troid független halmazai, majd a matroid-axiómák teljesülését ellen˝orizve könnyen meg- gy˝ozödhetünk, hogy az így definiált struktúra szintén matroid. Kiemelt szerepet kap a gráfokból nyerhet˝o körmatroidot, ahol a független halmazok pontosan azok, melyek nem tartalmaznak gráfelméleti értelemben vett kört. Sok ma- troidelméleti fogalom a gráf terminológia alapján kapta nevét (kör, vágás, duális, minor, hurok). Mivel célunk a matroidelmélet és gráfelmélet kapcsolatainak, kölcsönhatásainak vizsgálata, ezért mindig a gráfelméleti példákat helyezzük el˝otérbe. Már a XX. század elején is felmerült minimális költség˝u feszít˝ofa meghatározása mint gyakorlati probléma (villamosítás hálózatainak tervezése). Kruskal algoritmusa a ma- troidelméletre is nagy hatással volt. A matroidok tulajdonságainak köszönhet˝oen a mohó algoritmust futtatva mindig optimális outputhoz jutunk, így például mind a maximális súlyú bázis, mind a minimális költség˝u feszít˝ofa probléma könnyen kezelhet˝o. A matroid-dualitás fogalmának bevezetésével olyan matroidot kapunk, melynek bázi- sai az eredeti matroid bázisainak komplementereib˝ol kerülnek ki. Gráfelméleti szempont- ból pedig a síkba rajzolható gráf témakörében hasznosítható a dualitás: a duális gráf kör- matroidja megegyezik a gráf körmatroidjának duálisával. A matroidokkal való m˝uveletek közül a metszetképzést tárgyaljuk hosszabban, a matroid-metszet probléma algoritmikus kezelése a gráfelméleti algoritmus (magyar módszer) egy általánosításának tekinthet˝o. A diplomamunkám második fejezetében a gráf polinomok és a matroidok kapcso- latával foglalkozunk. A polinomok szerepe a gráfelméletben központi. Például a kro- matikus polinom egy fontos eszköz, már a 4-szín-sejtés bizonyításánál is próbálták al- kalmazni. Más gráf polinomok is bevezetésre kerültek, és ma már gráf polinomok hosszú listáját tartják számon. A matroidok elméletében Tutte munkássága vezetett el olyan ma- trodiokhoz rendelt polinomokhoz (az itt tárgyalt a Tutte polinom), amelyek a látszólag független gráfpolinomok között teremtenek kapcsolatot. A gráfpolinomok vizsgálatakor els˝oként a kromatikus polinomot elemezzük, mely egy bizonyos számú színnel való jó színezését adja meg egy tetsz˝oleges gráfnak. Indukciós bi-
  4. 4. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 4 zonyítással belátható hogy a Tutte polinommal hogy lehet egyszer˝uen kifejezni. A C5 gráf példáján keresztül prezentáljuk, hogy valóban a f˝otételben bemutatott módon el˝oállított kromatikus polinom valóban a jól ismert kromatikus polinomja a gráfnak. A gráfelméleti folyam és reliability polinomokra megmutatjuk, hogy hasonlóan a kro- matikus polinomhoz, kifejezhet˝oek a Tutte polinommal. A folyam polinom esetében a K3 példáján, a reliability polinom esetében pedig a C5 példáján mutatjuk be a polinomok el˝oállítását. Összegezve elmondható, hogy a matroidokkal és a velük való m˝uveletekkel számos gráfelméleti probléma írható le egyszer˝ubben, és bizonyítható könnyebben. A struktúra általánossága teszi lehet˝ové a matematika egyéb területein történ˝o alkalmazását is, például optimalizálás, hálózatok, statika, kódoláselmélet.
  5. 5. 5 1. fejezet Matroidelméleti alapismeretek Legel˝oször a diplomamunka alapjául szolgáló fogalmakat írjuk le. 1.1. Definíció. Az M = (E, I) — E véges halmaz, és I pedig E részhalmazainak egy rendszere — struktúrát matroidnak nevezzük, ha a következ˝o három tulajdonság fennáll M1 ∅ ∈ I. M2 Ha X ⊆ Y ∈ I, akkor X ∈ I. M3 Minden X ⊆ E részhalmazra teljesül, hogy I-nek az X-ben fekv˝o, X-ben leg- b˝ovebb tagjai azonos elemszámúak. A fenti tulajdonságokra mint mátrix-axiómák hivatkozunk. 1.1. Alapvet˝o fogalmak, és hozzájuk kapcsolódó tételek A következ˝o tételeket bizonyítás nélkül fogjuk közölni. A különböz˝o kutatások más-más irányból közelítették meg a matroid fogalmat, így több ekvivalens karakterizáció alakult ki. Az alábbiakban ezeket tanulmányozzuk: Egy I-beli X részhalmazt az M matroid független halmazának nevezzük. A következ˝o tétel tulajdonképpen az M3 axióma újrafogalmazása: 1.2. Tétel. Legyen I egy matroid független halmazainak családja. Ekkor tetsz˝oleges I1 és I2 független halmazokra teljesül, hogyha az egyik több elemet tartalmaz mint a másik (legyen ez I1), akkor a kisebb elemszámú b˝ovíthet˝o I1I2-beli elemmel úgy, hogy továbbra is független maradjon. Egy maximális független halmazt a matroid bázisának nevezzük. 1.3. Tétel. (Bázis axiómák matroidokra): Legyen B egy matroid bázisainak halmaza. Ekkor B1 B = ∅, és egyik B-beli halmaz sem tartalmaz valódi értelemben másikat. B2 Ha B1 és B2 ∈ B, akkor ∀e1 ∈ B1 B2-re ∃e2 ∈ B2 B1, hogy B1 − e1 + e2 ∈ B.
  6. 6. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 6 Megfordítva: ha (E, B) az el˝oz˝o két pontot kielégít˝o véges struktúra, akkor létezik egyetlen egy matroid, amely bázisai alkotják B-t. 1.4. Megjegyzés. A matroid axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerek és a bázis axió- máknak elegettev˝o halmazrendszerek között a fentiekben leírt két megfeleltetés egymás inverze. Azaz B1 és B2 egy alternatív leírását adja a matroid fogalmának. Az állítás azon része, hogy egyetlen matroid lesz adott bázis axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerhez a nyilvánvaló. Ez az egyetlen jelölt a M = (E, I) matroid, ahol I = {X | X ⊆ Y, valamilyen Y ∈ B − re} . A bizonyítás azt kívánja, hogy belássuk, ha B eleget tesz a bázis axiómáknak, akkor a fenti M egy matroid (eleget tesz a matroid axiómáknak). Az A ⊆ E részhalmaz r (A) rangja A maximális független részhalmazainak közös elemszáma (lásd M3 axióma). 1.5. Tétel. (Rang axiómák): Legyen az r : 2E → N egy matroid rangfüggvénye. Ekkor: R1 r (∅) = 0. R2 r (X) ≥ r (Y ) amikor Y ⊆ X ⊆ E (monoton növ˝o). R3 r (X) ≤| X | (szubkardinális). R4 r (X) + r (Y ) ≥ r (X ∪ Y ) + r (X ∩ Y ) (szubmoduláris). Megfordítva: ha r olyan leképezés, ami az el˝oz˝o 4 pontot kielégíti, akkor létezik egyetlen egy olyan M = (E, I) matroid, melynek rangfüggvénye r. 1.6. Megjegyzés. A matroid axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerek rangfüggvényei és a rang axiómáknak elegettev˝o leképezések között a fentiekben leírt két megfeleltetés egymás inverze. Azaz R1, R2, R3 és R4 egy alternatív leírását adja a matroid fogalmának. A minimális függ˝o halmazokat körnek nevezzük (azaz, olyan halmaz ami nem független, de bármely valódi részhalmaza már az). 1.7. Tétel. (Kör axiómák): Legyen C egy adott matroid köreinek családja. Ekkor C1 ∅ /∈ C, és C-ben egyik halmaz sem tartalmazza valódi értelemben a másikat. C2 Ha C1 és C2 két C-beli halmaz, és nem egyeznek meg, és e ∈ C1 ∩ C2, és e ∈ C1 ∪C2, akkor van olyan C3 halmaz C-ben, amire e ∈ C3 ⊆ (C1 ∪ C2)−e. Megfordítva: ha C az el˝oz˝o két pontot kielégít˝o véges halmazrendszer, akkor létezik egyetlen egy matroid, amely köreinek családja C-t alkotja. 1.8. Megjegyzés. A matroid axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerek köreinek családjai és a kör axiómáknak elegettev˝o halmazrendszerek között a fentiekben leírt két megfelel- tetés egymás inverze. Azaz C1 és C2 egy alternatív leírását adja a matroid fogalmának.
  7. 7. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 7 Egy A ⊆ E halmaz feszíti F-et, ha E ⊆ F, r (F) = r (E) és F legb˝ovebb erre a két tulajdonságra nézve. 1.9. Tétel. Halmaz által feszített halmaz egyértelm˝u. Bizonyítás. Legyen A1és A2 két különböz˝o maximális halmaz, melyek egy adott A-t tar- talmaznak, és r (A) = r (A1) = r (A2) = p. Legyen e2 ∈ A2 − A1, ekkor r (A1 + e2) > > r (A) , hiszen különben A1 nem lenne maximális arra a tulajdonságra, hogy a rangja p. Vegyük az Ip ⊆ A és az Ip+1 ⊆ A1 + e2 p és p + 1 elem˝u független halmazokat. M3 alapján lennie kell egy e ∈ Ip+1 − Ip elemnek, amire Ip + e független. Ez viszont csak e2 lehet. De Ip + e2 ⊆ A2, ami ellenkezik az r (A2) = p feltevéssel. Tehát ellentmondásra jutottunk. Az A ⊆ E részhalmaz sp (A)-val jelölt lezártja (sp : 2E → 2E ), azaz az A által feszített halmaz, az a maximális halmaz, amely tartalmazza A-t,és rangjuk megegyezik. (B bázis esetén sp (B) = E .) Tulajdonságok: – sp (sp (A)) = sp (A), – A ⊆ sp (A) A ⊆ E halmaz zárt, ha sp (A) = A. 1.2. Példák gyakran használt matroid típusokra 1. Uniform matroid: Legyen a matroidunk az Um,n=(E, I), ahol E egy n elem˝u hal- maz, I pedig E legfeljebb m elem˝u részhalmazainak egy halmaza. • A bázisok a pontosan m elem˝u halmazok. • r (X) : P (E) → Z0 rangfüggvénye egy tetsz˝oleges X ⊆ I halmazra: r (X) = |X|, ha |X| < m m, ha |X| ≥ m . • Körei pedig a következ˝oek lehetnek: C (Um,n) = ∅, ha m = n {X ⊆ E : |X| = m + 1} , ha m < n . 2. Mátrixmatroid: E az A mátrix oszlopainak halmaza (A mátrix tetsz˝oleges F test felett értelmezett), I pedig az oszlopok összes lineáris független részhalmazát tar- talmazza.
  8. 8. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 8 1.10. Példa. Legyen A a következ˝o mátrix, melynek elemei R-ben vannak: 1.1. ábra. A mátrix oszlopvektorait számokkal jelezzük Ekkor legyen az alaphalmaz E = {1, 2, 3, 4, 5}, azaz az oszlopvektorok. Az A- b˝ol készített mátrix-matroid pedig a következ˝o: M (A) = {E, I} , ahol I = {∅, {1} , {2} , {4} , {5} , {1, 2} , {1, 5} , {2, 4} , {2, 5} , {4, 5}} . Körök például az {1, 4} és {1, 2, 5} halmazok. • r : P (E) → Z0 rangfüggvénye egy tetsz˝oleges X ⊆ I halmazra: r (X) megegyezik az AX mátrix lineáris algebrai értelemben vett rangjával, ahol AX az A mátrix azon m × |X|-es részmátrixa, amely tartalmazza A azon oszlopait, melyek X-nek is elemei. • Bázisai a maximális elemszámú lineárisan független oszlopvektorok halmazai. • Körei azon oszlopvektor halmazok, melyekb˝ol egy elemet elhagyva már lineárisan független halmazt kapunk. 3. Körmatroid: G = (V, E) irányítatlan gráf, a definiálandó matroid alaphalmaza az E élhalmaz. Élek egy részhalmazát függetlennek mondjuk, ha nem tartalmazza a gráfnak egy körét sem, azaz erd˝o. 1.11. Példa. Legyen a vizsgált gráfunk a K3. Ekkor a matroid független halmazai: az üres halmaz és minden egy (narancssárga) vagy két elem˝u (kék, zöld, piros) részhalmaza az élhalmaznak. 1.2. ábra. G grafikus matroid, és független halmazai (üres halmaz nincs jelölve)
  9. 9. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 9 • Tegyük fel, hogy G összefügg˝o gráf. Nyilván M (G) egy bázisa G egy fe- szít˝ofájának élhalmaza. Tudjuk, hogy egy gráf feszít˝ofájára fennáll: |V (T) | = |E (T) | + 1. Legyen r : P (E) → Z0 a körmatroid rangfüggvénye. A fentiekb˝ol következik: r (M (G)) = |V (G) | − 1. Hasonlóan az el˝oz˝oekhez, haG-nek c (G) darab összefügg˝o komponense van: r (M (G)) = |V (G) | − c (G) . Ekkor pedig egy tetsz˝oleges X ⊆ E (G)-re r (X) = |V (G) | − c (G [X]) , ahol G [X] az X élhalmazú feszít˝ográfja G-nek. • Bázisai G feszít˝ofáinak élhalmaza, azaz ha G összefügg˝o, akkor a gráf feszí- t˝ofája, különben pedig az egyes komponensek feszít˝ofáinak halmaza. • Körei a gráfelméleti értelemben körök. 4. Párosítási matroid: G = (V, E) egyszer˝u, irányítatlan gráf. G párosítás matroid- ja a V ponthalmazon van értelmezve úgy, hogy a csúcsoknak egy U részhalmaza akkor tartozik F-hez, ha van G-ben olyan párosítás, melynek U minden pontját fedi. Ekkor a (V, I) pár matroid, és a G gráf párosítás matroidjának nevezzük. 5. Partíciós matroid: Vegyük az M = (E, I) partíciós matroid E alaphalmazának egy E1, E2, . . . , El partícióját (a halmazok diszjunktak és uniójuk E), és legyenek a független halmazok a következ˝oek: I = {X ⊆ E : |X ∩ Ei| ≤ ki minden i = 1, . . . , l-re} , ahol k1, k2, . . . , kl tetsz˝oleges rögzíttet paraméterek. Ekkor M teljesíti a matroid axiómákat. 6. Affin matroid: Legyen S az n-dimenziós tér pontjainak véges részhalmaza. S egy részhalmaza legyen akkor független, ha affin független. (Szám n-esek egy hal- maza akkor affin független, ha mindegyiket kiegészítve egy 1 érték˝u koordinátával, lineárisan független, (n + 1) dimenziós vektorokat kapunk.) 1.3. Mohó algoritmus matroidokon Rendeljünk az M = (E, I) matroid elemeihez súlyokat egy w : E → R+, ei → w(ei) súlyfüggvénnyel. Célunk: a maximális össz-súlyú független megkeresése (ami nyilván a maximális össz-súlyú bázis is). A matroidok egyik kedvez˝o tulajdonsága az, hogy a felvetett probléma megoldásaként a rendkívül egyszer˝u és természetes mohó algoritmust alkalmazva mindig optimális eredményt kapunk.
  10. 10. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 10 1.3.1. Az algoritmus menete 1. lépés: (Inicializálás) Legyen Balg := ∅ (ez egy független halmaz). Legyen E : : e1, e2, e3, ..., en, úgy hogy w (e1) w (e2) w (e3) . . . w (en) 0. 2. lépés: Vizsgáljuk sorba ei-t (i = 1, 2, 3, ..., n) aszerint, hogy Balg∪{ei} független- e. 3.a lépés: Ha teljesül a függetlenség, akkor a 2. lépést megismételve folytassuk a követke- z˝o maximális súlyú elemmel a vizsgálatot, ahol Balg := Balg ∪ {ei}. 3.b lépés: Ha nem teljesül a függetlenség, akkor a 2. lépés következik, a változatlan Balg-sel. 4. lépés: Ha minden elemet megvizsgáltunk, a rendelkezésünkre álló Balg független halmaz az algoritmus outputja. 1.12. Tétel. Az algoritmus befejezésekor kapott output maximális össz-súlyú független halmaz. S˝ot véve egy tetsz˝oleges bázist, fennáll a következ˝o: Ha a B bázis elemei súly szerint csökken˝oen a1, a2 . . ., és Balg elemei súly szerint csökke- n˝oen b1, b2 . . . (ami nyilván egyben a kiválasztási sorrend is) akkor igaz az, hogy minden i-re ha ai létezik, akkor bi is, és w (bj) ≥ w (aj), ahol i, j = 1, . . . , |B|. Bizonyítás. Legyen Balg az algoritmus outputja. Tegyük fel, hogy B = Balg. Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy w (b1) ≥ w (a1) w (b2) ≥ w (a2) ... w (bk) ≥ w (ak) , és ak+1 létezik. Belátjuk, hogy bk+1 is létezik, és w (bk+1) ≥ w (ak+1). Ebb˝ol a tétel következik. Valóban, {b1, . . . , bk} és {a1, . . . , ak, ak+1} , két független halmaz, amelyre M3 al- kalmazható. Legyen ai az az elem, amellyel {b1, . . . , bk} b˝ovithet˝o. Két lehet˝oség van: (1) ai-t kiválasztja az algoritmus. Ekkor ez csak bk után lehet. (2) ai-t nem választja ki az algoritmus. Ekkor is ai vizsgálata csak bk után lehet. Mindkét esetben bk+1 létezik és w (bk+1) ≥ w (ak+1). 1.13. Megjegyzés. Ha az M3 mátrix-axióma tulajdonság nem teljesülne, akkor van olyan súlyozás, ahol az output nem optimális.
  11. 11. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 11 1.14. Megjegyzés. A maximális súlyú bázis keresésére szolgáló algoritmus a minimális súlyú bázis megtalálására is alkalmazható. Ehhez használjuk a w (e) = µ − w (e) súly- függvényt, ahol µ egy az összes súlynál nagyobb szám. (Így w : E → R+.) Az összes bázis azonos elemszámú, így a maximális w súlyú bázis egy minimális w-súlyú bázis. Azaz a mohó algoritmus a minimális súlyú bázis keresésére is jó. 1.3.2. Az algoritmus egy alkalmazása (KÍSÉRLETTERVEZÉS) Növények termésének javításához n ásványi anyagra van szükség. Tegyük fel, hogy a növények terméshozamának javulása és az adagolt ásványi anyagok mennyisége között lineáris az összefüggés, azaz: Y = a1x1 + a2x2 + ... + anxn, ahol Y a terméstöbblet és xi az i-edik ásványi anyag mennyisége az éppen alkalmazott m˝utrágyában. Célunk az ai együtthatók meghatározására kísérletsorozat tervezése. A problémát mátrixmatroidon alkalmazott mohó algoritmussal oldhatjuk meg: Konstruáljuk a mátrixot a következ˝oképpen: több kísérletet végezhetünk, mindegyiket különböz˝o m˝utrágyával. A j-edik m˝utrágyában az i-edik ásványi anyag mennyisége legyen aij , alkalmazási költsége egy vizsgálati egységen legyen ci. Célunk megadni, mely m˝utrágyákat válasszuk ki, hogy a költség minimális legyen, és az összes aj együtthatót meg tudjuk határozni. Az A = (aij) mátrix oszlopai az egyes m˝utrágyáknak felelnek meg. n db, azaz maxi- mális elemszámú lineárisan független oszlopot keresünk, melyekre a cj értékek összege minimális. Erre pedig egyszer˝uen felírható a mohó algoritmus, azzal a változtatással, hogy a maximális súlyú bázis helyett a minimálist keressük. 1.4. Matroiddualitás 1.15. Definíció. Egy M = (E, I) matroid duálisán azon MD = E, ID matroidot értjük, melynek minden bázisa M egy bázisának komplementere, és fordítva. Azaz F ∈ ∈ ID , ha F diszjunkt valamely I-beli B bázistól. Természetesen be kell látnunk, hogy az így konstruált matroid valóban matroid, azaz teljesülnek rá a matroid axiómák. 1.16. Tétel. Ha az M = (E, I) matroid, akkor MD = E, ID is. Bizonyítás. A M1 és M2-t nyilván kielégíti MD . Továbbá ID = ∅, mivel ∅ ∈ ID . Vegyük az Ip, Ip+1 ∈ID p és p + 1 elem˝u halmazokat, illetve legyenek a Bp és Bp+1 az M bázisai úgy, hogy Bp és Ip diszjunkt, és Bp+1 és Ip+1 is diszjunktak. 1. Eset : Tegyük fel, hogy Ip+1 − (Ip ∪ Bp) nem üres. Legyen e ennek egy eleme. Ekkor Ip + e diszjunkt Bp-t˝ol, így Ip + e ∈ ID , tehát M3 is teljesül.
  12. 12. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 12 2. Eset : Tegyük fel, hogy Ip+1−(Ip ∪ Bp) = ∅. Els˝o célunk: Bp+1−(Ip ∪ Bp) = ∅. Ehhez indirekten tegyük fel, hogy üres, azaz Bp+1 ⊂ (Ip ∪ Bp). Ekkor a következ˝oek teljesülnek: (Bp+1 − Ip) ∪ (Ip+1 − Ip) ⊆ Bp, és nyilván (Bp+1 ∩ Ip) ∪ (Ip+1 ∩ Ip) ⊆ Ip, és ezekb˝ol következ˝oen: Bp+1 ∪ Ip+1 ⊆ Bp ∪ Ip, illetve | Bp+1 | + p + 1 | Bp | + p =| Bp+1 | + p amivel ellentmondásra jutottunk. Tehát Bp+1 − (Ip ∪ Bp) nem üres. Vegyük az Bp+1 − (Ip ∪ Bp) egy e tetsz˝oleges elemét. Bp + e egyetlen egy kört tartalmaz M-ben. Vegyük ezen kör egy bármilyen e-t˝ol különböz˝o Bp+1-en kívül lév˝o e elemét. Ekkor a Bp = Bp + e − e M-nek egy bázisa, és diszjunkt Ip-t˝ol. Továbbá a Bp+1-gyel vett metszetének elemszáma n˝ott Bp-hez képest. Ha Ip+1 − Ip ∪ Bp = ∅, akkor az 1. Eset áll fenn. Ellenkez˝o esetben ismételjük meg a fenti gondolatmenetet Bp helyett Bp-vel egészen addig, amíg a kapott Bp bázis már olyan, hogy Ip+1 − Ip ∪ Bp = ∅. Ez véges lépésben bekövetkezik, különben elfogynának Bp+1 − (Ip ∪ Bp) elemei. A következ˝o tétel megadja, hogyan számolható a duális matroidban egy halmaz rang- ja. 1.17. Tétel. Az M matroid és duálisának rangfüggvényei közötti kapcsolat: rD (A) =| A | +r (E − A) − r (E) , minden A ⊆ E-re. Bizonyítás. Az A halmaz rangját a duális matroidban M azon bázisa határozza meg, a- melynek legkevesebb eleme van A-ban. Az M A-tól diszjunkt független halmazának maximális elemszáma r (E − A) . Ilyen halmaz benne van egy olyan r (E) elem˝u bázis- ban, amelynek r (E)−r (E − A) eleme van A-ban. A-nak a bázisban nem lev˝o elemeinek száma | A | +r (E − A) − r (E). 1.18. Példa. Vegyük a korábban már bemutatott uniform matroidot. Nyilván Um,n bázisai E m elem˝u részhalmazai, ekkor a duális bázisai éppen E alaphalmaz (n − m) elem˝u részhalmazai lesznek, így: UD m,n = Un−m,n. Az alábbiakban bevezetjük a matroidok közötti izomorfia fogalmát, és megmutatjuk, hogy a gráf duálisának körmatroidja és a gráf körmatroidjának duálisa megegyezik, ha a gráf síkba rajzolható. 1.19. Definíció. Az M1 és az M2 matroidok izomorfak, ha létezik olyan γ : E (M1) → E (M2) bijekció, melyre teljesül, hogy bármely X ⊆ E (M1)-re γ (X) független M2-ben akkor és csak akkor, ha X független M1-ben.
  13. 13. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 13 Ekkor γ-t egy M1-b˝ol M2-be képez˝o izomorfizmusnak nevezzük, és a két matroid közötti izomorfizmust M1 M2-vel jelöljük. 1.20. Példa. Vegyük az M (K3) = (E1, I1), és a M (U3,2) = (E2, I2) matroidot. Ha azonosítjuk egymással a gráf egyes éleit az uniform matroid alaphalmazának elemeivel, akkor pont egy olyan bijekciót kapunk melyre a fenti állítás teljesül, hiszen K3-ban az élek alkotta alaphalmazból minden részhalmaz független kivéve a 3 elem˝ut azaz magát a gráfot, míg az uniform matroid definíciójából az egyetlen függ˝o halmaz szintén a 3 elemet tartalmazó. Így ez a két matroid izomorf. 1.21. Példa. Vegyük a következ˝o G gráfot: 1.3. ábra. G gráf Legyen M (G) = (E, C), ahol E = E (G) a matroid alaphalmaza, C az alaphalmaz részhalmazainak egy rendszere, ahol C1 ∈ C ⇐⇒ C1 kör G-ben, azaz C = {{1} , {2,3} , {2,4,5} , {3,4,5} , {5,6,7} , {2,4,6,7} , {3,4,6,7}} . Ekkor véve a gráf A pont-él illeszkedési mátrixát, a következ˝ot kapjuk: 1.4. ábra. G pont-él illeszkedési mátrixa Legyen ekkor E = {1, 2, . . . ,8} , és C pedig álljon a mátrix oszlopvektorainak összes lineárisan független részhalmazából. Ekkor M (A) = (E, C) egy mátrix matroid, E alaphalmazzal, és C függetlenséget definiáló halmazrendszerrel. Ekkor izomorfia definí- ciójából adódik, hogy M (G) ∼= M (A) .
  14. 14. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 14 1.22. Definíció. Egy matroid grafikus, ha izomorf egy körmatroiddal. 1.23. Tétel. Legyen G egy tetsz˝oleges gráf, és vegyük az M (G) körmatroidját. Legyen M∗ (G) a duális matroid. Ekkor M∗ (G) akkor és csak akkor grafikus, ha G síkba rajzol- ható. Továbbá ekkor teljesül az is, hogy M (G∗ ) = M∗ (G). Bizonyítás. (Vázlat) – Tegyük fel, hogy G síkba rajzolható. Ekkor tudjuk, hogy G∗ gráfelméleti duális létezik. E (G) és E (G∗ ) természetesen azonosítható. A két élhalmazra mint egy halmazra gondolhatunk. – Ekkor M (G∗ ) = M∗ (G), hiszen M∗ bázisai M bázisainak komplementerei. – A fordított irányért tegyük fel, hogy G gráf és M∗ (G) grafikus matroid. – Mivel M∗ (G) grafikus matroid, belátható, hogy G nem tartalmazhatja topologikus minorként K5-t és K3,3-t sem. – Kuratowski tételéb˝ol pedig ekkor következik, hogy G síkba rajzolható. 1.24. Példa. G1 és G2 ugyanazon gráf két különböz˝o síkba rajzolása. Látható, hogy az egyes duális gráfok körmatroidjainak körei ugyanazok, mint a duális körmatroidok körei. Észrevehet˝o az is, hogy bár a G1 és G2 nem izomorf gráfok, de M (G1) és M (G2) kör- matroidok izomorfak. 1.5. ábra. G1 és duálisa, G2 és duálisa 1.5. Matroidok metszete Vegyünk két matroidot, melyek ugyanazon az alaphalmazon értelmezettek: M1 = (E, I1), M2 = (E, I2) . Megadunk egy algoritmust, melynek outputja a maximális I ∈ I1 ∩ I2.
  15. 15. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 15 1.25. Definíció. E egy részhalmazainak E1 és E2 párja E fedése, ha E1 ∪ E2 = E. Adott M1, M2 matroid-párra vonatkozóan az E = (E1, E2) fedés rangja r E = r1 (E1) + + r2 (E2). 1.26. Lemma. Bármely E fedésre és bármely I metszetbeli halmazra |I| ≤ r E Bizonyítás. Legyen I1 = I ∩ E1 és I2 = I ∩ (E2 − E1). Nyilván |I1| r1 (E1) és |I2| r2 (E2), azaz |I| = |I1| + |I2| ≤ r E . 1.27. Megjegyzés. Ha a Lemmában egyenl˝oség áll fenn, akkor az mondhatjuk, hogy a fedés bizonyíték I maximális elemszámúságára. A következ˝o tételek I elemszámát adják meg. 1.28. Tétel. (Edmonds) A közös független halmazok maximális elemszáma egyenl˝o a minX⊆E {r1 (X) + r2 (E − X)} értékkel. 1.29. Megjegyzés. Ez a fent definiált fedés szempontjából a következ˝ot jelenti: bármely két M1 és M2 matroidra a metszetbeli halmazok elemszámának maximuma a fedések minimális rangjával egyenl˝o. 1.30. Megjegyzés. A következ˝o állítás a tétel ekvivalens megfogalmazása: Az E alaphalmazon adott két matroid. Akkor és csak akkor létezik k elem˝u közös független halmaz, ha r1 (X1) + r2 (X2) k fennáll az S minden {X1, X2} partíciójára. A tételt algoritmikusan fogjuk bizonyítani. Bizonyítás. A bizonyítás során felhasználjuk az alábbi lemmát: 1.31. Lemma. legyen az I az M matroid egy függetlenje. Vegyük az y1 . . . yl ∈ E − I és a x1 . . . xl ∈ I elemeket, melyre teljesül: xi∈ C (I, yi) (i = 1 . . . l), és xi /∈ C (I, yj) (1 ≤ i ≤ j ≤ l). Ekkor az I − {x1 . . . xl} ∪ {y1 . . . yl} független. A tétel nemtriviális irányának belátásához olyan F közös függetlent és X ⊆ E részhalmazt kell konstruálnunk, amikre r1 (X) = |X ∩ F|, és r2 (E − X) = | (E − X) ∩ F|. Az algoritmus vázlata: 0. Legyen F kezdetben egy tetsz˝oleges közös független, például F = ∅. 1. F-nél nagyobb közös függetlent keresünk. Két eset lehetséges: 1.a) Ha találunk egy F-nél nagyobb elemszámú F közös függetlent, F := F , és vissza az 1. lépésre
  16. 16. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 16 1.b) Algoritmus vége: ha az el˝oz˝o keresés sikertelen, akkor rámutatunk egy fedésre, mely rangja megegyezik F elemszámával. Az 1. pont alatti keresés részletesen: Legyen Ei := {e ∈ E − F : F + s ∈ Ei} (i = 1, 2) , azaz az E1 azon E − F-beli el- emekb˝ol áll, melyeket F-hez hozzá véve az els˝o matroid szerint megtartjuk a független- séget. Ha E1 ∩ E2 = ∅ akkor egy ilyen elemmel F-et megnövelve F-nél nagyobb közös függetlent kapunk. Tegyük fel tehát, hogy E1 ∩ E2 = ∅. Definiáljunk egy irányított segédgráfot az uv és xy élekkel, ahol: 1. u ∈ E − (F ∪ E1) , és v ∈ F, ahol v ∈ C1 (F, u), azaz ha v benne van az u-nak az F-re vonatkozó M1-beli alapkörében. 2. x ∈ F, y ∈ E − (F ∪ E2) , ahol x ∈ C2 (F, y) . Az 1. típusú élek F-en kívülr˝ol indulnak és F-be futnak. A 2. típusú élek éppen fordít- va: F-b˝ol indulnak és F-b˝o kifutnak. Két eset vizsgálunk meg: 1. E2-b˝ol nem vezet irányítot út E1-be (azaz "sikertelen a keresés, 1.b)"). Legyen X az E2-b˝ol irányított úttal elérhet˝o elemek halmaza. Esetünkben X = E − X tartal- mazza E1-t, X, X Belátjuk, hogy X bizonyíték E optimalitására. Mivel X-b˝ol nem lép ki irányított él, minden u ∈ X − F elem M1-beli C1 (F, u) alapköre telje- sen X-ben van, hasonlóan pedig minden y ∈ E − (F ∪ X) elem M2-beli C2 (F, y) alapköre teljes egészében F − X-ben van. Tehát F ∩ X maximális független M1- beli független részhalmaza X-nek: r1 (X) = |F ∩ X|, és F − X hasonlóan nem b˝ovíthet˝o M2-beli független részhalmaza E−X-nek: r2 (E − X) = |F −X|. Tehát X teljesíti a fenti feltételt. 2. Létezik irányított út E2-b˝ol E1-be. Vegyük közülük a legrövidebbet, legyen ez P. Nyilván P kezd˝o és végpontja nincs F-ben, és P-n az F-beli és F-en kívüli ele- mek váltakoznak. Legyen F az F és a P szimmetrikus differenciája. Ekkor F -nek eggyel több eleme van, mint F-nek. Célunk megmutatni, hogy F mind M1-ben mind M2-ben független (azaz "sikeres keresés, 1.a)"). Az M2-függetlenséget a bizonyítás elején közölt lemma segítségével mutatjuk meg: Vegyük P pontjait sorrendben: x0, y1, x1, y2, x2, . . . , yk, xk (tehát x0 ∈ E2). M2-ben a lemma feltétele teljesül, mert P legrövidebb út. Így a lemmából: F = = F ∪{x0}−{y1, . . . , yk}∪{x1, . . . , xk} M2-független. Az M1-beli függetlenség hasonlóképpen igazolható. 1.32. Példa. Vegyünk egy −→ G = (V, E) irányított gráfot. Feny˝onek nevezzük, ha az irányítást elhagyva éleit fát alkotnak, és minden csúcs befoka egy kivéve a g ∈ V gyökér esetén, melynek befoka 0. Azaz g gyökérb˝ol minden más ponthoz vezet irányított egy- értelm˝u út. Belátható, hogy egy irányított gráfban akkor és csak akkor van g gyöker˝u feszít˝ofeny˝o, ha g-b˝ol minden más pontba vezet irányított út.
  17. 17. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 17 Az g gyöker˝u feny˝ok tekinthet˝oek olyan irányított élhalmazoknak, melyek egyidej˝u- leg függetlenek két matroidban. Definiáljuk most ezeket a matroidokat: Legyen G az irányítatlan gráf. Vegyük az M1 = M (G) körmatroidot, és legyen M2 = = (A, I) olyan matroid, ahol a független halmazok azok, melyekben legfeljebb egy él fut minden csúcsba a gyökért kivéve. Azaz I = F : |F ∩ δ− (v) | ≤ 1 minden v ∈ V g , ahol δ− (v) a v-be futó élek halmaza. Ekkor minden g gyöker˝u feny˝o független halmaz M1-ben és M2-ben is. Megfordítva pedig, minden olyan F halmaz, ami mindkét matroidban független és |V | − 1 g gyöker˝u feny˝o, hiszen ha a körmatroidban független, akkor az elemszám mi- att feszít˝ofa, azaz g-b˝ol minden csúcsba vezet út, és ezen utak mind g-b˝ol irányítottak, máskülönben lenne a g-be befutó él, vagy lenne olyan csúcs, melynek befoka 2. 1.33. Megjegyzés. A fenti matroid metszet algoritmust alkalmazhatjuk a probléma meg- oldására. Egy alternatív módszer is ismertetünk. Fulkerson algoritmusa a következ˝okép- pen keres egy minimális költség˝u feszít˝o feny˝ot: 1. A gyökéren kívül minden pontra csökkentsük a befutó élek költségeit a pontba be- futó élek költségeinek minimumával. Ekkor, ha keletkezik 0 költség˝u élekb˝ol álló g gyöker˝u feny˝o, akkor lépjünk a 2. pontra, ha nem, akkor húzzunk össze egy 0 költség˝u élekb˝ol álló kört, és kezdjük újra a 1. pontot a kapott gráffal. 2. A 0 költség˝u élekb˝ol álló g gyöker˝u feny˝ob˝ol kiindulva „fújjuk” vissza az 1. pont- ban összehúzott köröket, az összehúzás sorrendjében visszafelé haladva. Továbbá minden lépésben egészítsük ki a g gyöker˝u feny˝ot a visszafújással megkapott kör éleib˝ol az új gráf egy g gyöker˝u feny˝ojévé. Ha minden összehúzott kört ilyen módon feldolgoztunk, a G gráf egy minimális költ- ség˝u g gyöker˝u feny˝ojét kapjuk. A minimális költség tényét az alábbiak támasztják alá: – Az 1. lépésben a csökkentés miatt minden g gyöker˝u feny˝o összköltsége csökken az adott értékkel,
  18. 18. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 18 – Ha nincs 0 költség˝u élekb˝ol álló g gyöker˝u feny˝o, biztosan van 0 költség˝u élekb˝ol álló kör, melyben a gyökér nem szerepel, – Ilyen kört összehúzva a g gyöker˝u feny˝ok költségeinek minimuma nem változik. 1.34. Példa. Legyen G egy páros gráf A és B színosztályokkal. Legyen MA matroid az E alaphalmazzal, és legyen E egy partíciója a következ˝oképpen megadva: E = ∪ {δ (v) : v ∈ A} , ahol δ (v) a v csúcsra illeszked˝o élek halmaza. Ez valóban partíció, hiszen minden élnek pontosan egy végpontja van A-ban. Legyen MA partíciós matroid kv = 1-el, minden v ∈ A-ra, azaz a független halmazai a következ˝oek: IA = {F : |F ∩ δ (v) | ≤ 1 minden v ∈ A-ra} . Azaz MA egy halmaza független, A minden csúcsára legfeljebb egy éle illeszkedik. Hasonló módon definiáljuk MB = (E, IB)-t, azaz a független halmazai legyenek: IB = {F : |F ∩ δ (v) | ≤ 1 minden v ∈ B-ra} . Ekkor vegyük észre, hogy minden F ∈ IA ∩ IB-hez tartozik egy párosítás G-ben, és ez fordítva is igaz, azaz G minden párosításához tartozik egy ilyen halmaz a met- szetben. Ekkor IA és IB közös legnagyobb független halmaza egyben a G-beli legnagyobb párosítás is lesz.
  19. 19. 19 2. fejezet A Tutte polinom és alkalmazásai 2.1. Minorok A kés˝obb bevezetend˝o matroid-polinomok szoros kapcsolatban állnak az alábbi két ope- rációval. El˝oször ezeket vezetjük be, és vizsgáljuk. 2.1. Definíció. Vegyük az M = (E, I) matroid E alaphalmazának egy A ⊂ E részhal- mazát. Ekkor az E A alaphalmazon vett matroid független halmazai a következ˝oek: {X ⊂ E A | X független halmaz M-ben} . Az A elemeinek törlésével kapott matroidot jelöljük M A-val. 2.2. Definíció. Ha A elemeit nem töröljük, hanem összevonjuk, az E A alaphalmazon vett matroid független halmazai a következ˝oek lesznek: {X ⊂ E A | van olyan B bázisa M|A-nak úgy, hogyX ∪ B független M-ben} , (ahol M|A az a matroid, amely független halmazai az A halmaz I-beli részhalmazai) akkor az így kapott matroidot M/A-val jelöljük. 2.3. Megjegyzés. A két m˝uvelet definíciójából adódóan fennáll a következ˝o összefüggés: M/T = (M∗ T)∗ 2.4. Megjegyzés. Abban az esetben, amikor A = {e}, akkor a fenti m˝uveletek ered- ményeként kapott matroidokra az egyszer˝usített M e és M/e jelölést használjuk. Ezt a kétféle matroid típust az M matroid f˝o minorjának is szoktak nevezni. 2.5. Megjegyzés. Ha T ⊆ E, akkor a M T matroid rangfüggvénye az eredeti matroid rangfüggvényének megszorítása az E −T részhalmazainak halmazára, azaz minden X ⊆ ⊆ E − T-re a törlés operációval módosított matroid rangfüggvénye ugyanaz, mint az eredeti matroidé: rMT (X) = rM (X) . 2.6. Tétel. Ha T ⊆ E, minden X ⊆ E − T-re könnyen megadható a rangfüggvény: rM/T (X) = rM (X ∪ T) − rM (T) .
  20. 20. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 20 Bizonyítás. Mivel rM/T (X) = r(M∗T)∗ (X) , és a duális matroid rangfüggvénye el˝oáll a következ˝o alakban: r∗ (X) = |X| + r (E − X) − r (E) , fennáll: rM/T (X) = |X| + rM∗T (E − T − X) − rM∗T (E − T) , = |X| + r∗ (E − (T ∪ X)) − r∗ (E − T) , = |X| + |E − (T ∪ X) | − rM (T ∪ X) − rM (E) − |E − T| + rM (T) − rM (E) . 2.7. Megjegyzés. A tételb˝ol következik, hogy az M A körei M azon körei melyek E A-ban vannak, és X ⊂ E A-ra rMA (X) = rM (X) . Továbbá M/A körei M azon nem üres minimális halmazok, amit M egy C köréb˝ol a C A összevonással képzünk. Ekkor X ⊂ E A-ra rM/A (X) = rM (X ∪ A) − rM (A) . 2.8. Példa. Vegyük az uniform Um,n = (E, I) matroid E alaphalmazának egy t elem˝u részhalmazát, legyen ez T. Ekkor végrehajtva a matroidon a fenti m˝uveleteket (T törlése, összevonás T szerint) a következ˝o minorokat kapjuk: Um,n/T = U0,n−t ha n t m Um−t,n−t ha t < m Illetve Um,n T = Um−t,n−t ha n t n − m Um,n−t ha t < n − m 2.9. Megjegyzés. Az él törlése illetve összevonása a gráfelméletben szintén fontos m˝uvelet, melyek a gráf csúcs és élhalmazában a következ˝o változást eredményezik: V (G e) = V (G) , és E (G e) = E (G) e, illetve E (G/e) = E (G e) , és V (G/e) = (V (G) − {x, y} ∪ {[e]}) , ahol az összevont két csúcs az x, és az y, az ˝oket összeköt˝o él pedig e. Továbbá amelyik él eddig x-re vagy y-ra illeszkedett, most az ˝oket reprezentáló új ([e]) csúcsra illeszkedik, a többi pedig marad.
  21. 21. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 21 2.10. Példa. A m˝uveletek egy tetsz˝oleges G gráfon: 2.1. ábra. e él összehúzása 2.2. ábra. e él törlése 2.2. A matroid karakterisztikus polinomja A matroidokkal kapcsolatos legegyszer˝ubb polinom a karakterisztikus polinom. Ennek általánosítása vezet el a Tutte polinomhoz. Az alábbiakban pár fontos tulajdonságát vizs- gáljuk. 2.11. Definíció. Az M = (E, I) matroid karakterisztikus polinomja pM (z) = X⊆E (−1)|X| zr(E)−r(X) . Ha összevonunk, és a z hatványai szerint rendezzük az összeget a következ˝o alakot kapjuk: pM (z) = r(M) k=0 wkzr(E)−k , ahol wk = | {X ⊆ E : r (X) = k, |X| páros} | − | {X ⊆ E : r (X) = k, |X| páratlan} |. 2.12. Megjegyzés. Az w0, w1, . . . wr(M) együtthatókat els˝orend˝u Whitney számoknak nevezzük. 2.13. Definíció. Egy tetsz˝oleges M matroid e eleme hurok, ha {e} az M matroid egy köre. 2.14. Megjegyzés. Megmutatható, ha M-ben van hurok, akkor p (M; z) ≡ 0, ha pedig M hurokmentes, akkor w0 = 1, és w0, w1, . . . , wr(M) alternáló el˝ojel˝uek.
  22. 22. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 22 2.3. Tutte polinom 2.15. Definíció. Egy M matroid Tutte polinomja a következ˝o kétváltozós polinom: TM (x, y) = X⊆E (x − 1)r(E)−r(X) (y − 1)|X|−r(X) . 2.16. Példa. A megfelel˝o helyen véve a Tutte polinomot és egy szorzóval korrigálva az el˝ojelet megkapjuk a karakterisztikus polinomot: pM (z) = (−1)r(M) TM (1 − z,0) Tulajdonságok: (1) Tutte-Grothendieck invariancia-tulajdonság A Tutte polinomra teljesül egy nagyon fontos invariancia tulajdonság, melynek feltételeit az alábbiakban részletezzük: 2.17. Definíció. Egy matroidokon értelmezett f függvény (izomorfizmus) invariáns ha teljesül: f (M) = f (N) , ha M N. 2.18. Definíció. Vegyünk Ψ matroid-osztályt, mely zárt a matroid-izomorfizmusokra, és a minorképzésre. Legyen f ezen a halmazon értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Tutte-Grothendieck invariáns (jelölés: T-G invariáns), ha invariáns, és tel- jesülnek rá az alábbiak: • f (M) = f (M e) + f (M/e), ha e nem hurok és nem elvágó él • f (M) = f (M (e)) f (M e) különben, ahol M (e) az egyetlen e élt tartal- mazó gráf körmatroidja. 2.19. Definíció. Tegyük fel f mint fent, kivéve az els˝o tulajdonság helyett teljesüljön, hogy: f (M) = σf (M e) + τf (M/e) , ahol σ és τ rögzített, nem nulla számok, és e nem hurok, és nem elvágó él. Ekkor f-et általánosított T-G invariánsnak nevezzük. Az alábbiakban bizonyítás nélkül közöljük a Tutte polinom T-G invarians tulaj- donságát kimondó tételt, illetve ennél többet is kimondunk a f˝otételben, ami a gráfelméleti polinomokkal való összefüggést alapozza meg. 2.20. Tétel. TM (x, y) Tutte-Grothendieck invariáns, azaz T : M −→ Z [x, y] függvényre (ahol M a matroid-izomorfizmus, mint ekvivalencia reláció által megha- tározott osztályok halmaza), teljesülnek az alábbiak: • TL (x, y) = x, és TI (x, y) = y, ahol L az hurokélen, mint alaphalmazon vett matroid, I pedig az elvágó élen, mint alaphalmazon vett matroid.
  23. 23. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 23 • (Törlés-összevonás) Ha e az M matroid eleme, és nem hurokél, vagy elvágó él, akkor TM (x, y) = TMe (x, y) + TM/e (x, y) • Ha e az M matroidban, hurokél, vagy elvágó él, akkor TM (x, y) = TM(e) (x, y) TMe (x, y) 2.21. Tétel. Legyen R kommutatív gy˝ur˝u, és vegyünk egy f : M −→ R függvényt. Ha f-re teljesül, hogy: f (M) = f (M e) + f (M/e), ha e nem hurok és nem elvágó él, illetve f (M) = f (M (e)) f (M − e) különben, minden olyan esetben, amikor |E| 2, akkor minden M matroidra f (M) = TM (f (I) , f (L)) . Az általánosított T-G invariánsra is igaz a megfelel˝o tétel: 2.22. Tétel. Legyen σ és τ nemnulla elemei F testnek. Ekkor létezik egy egyértelm˝u t : M → F [x, y] függvény, melyre teljesülnek a következ˝oek: tI (x, y) = x, és tL (x, y) = y, Ha e az M matroid egy eleme, és se nem hurok se nem elvágó él tM (x, y) = σtMe (x, y) + τtM/e (x, y) , Különben pedig tM (x, y) = tM(e) (x, y) tMe (x, y) , Továbbá ez az egyértelm˝u tM kifejezhet˝o az alábbi módon a Tutte polinommal: tM (x, y) = σ|E|−r(E) τr(E) TM (x/τ, y/σ) . (2) Rekurzivitás • TM (x, y) = 1, ha E (G) = ∅, • TM (x, y) = TMe (x, y) + TM/e (x, y), ha e nem elvágó él és nem hurokél, • TM (x, y) = x TMe (x, y), ha e elvágó él, • TM (x, y) = y TM/e (x, y), ha e hurok él. 2.23. Példa. Egy G = (E, V ) gráf körmatroidjának példáján mutatjuk be, hogy a gráf élek elhagyásával és összehúzásával 1 él˝u gráfokra építhet˝o le, majd ezt követve rekurzív módon megkapható a Tutte polinom.
  24. 24. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 24 2.3. ábra. A gráfon végrehajtott él összehúzás-törlés m˝uveletsorozat 2.4. ábra. Tutte polinom rekurzión alapuló el˝oállítása (3) Dualitás: Legyen az M matroid az alaphalmazzal és a rangfüggvénnyel megadva, azaz: M = (E, r). Ekkor a duális matroid MD = E, rD , ahol rD (A) = |A| − − r (E) + r (E A). Mivel rD (E) − rD (A) = |E A| − r (E A) , így a következ˝ot kapjuk: TM (x, y) = TMD (y, x) .
  25. 25. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 25 Speciálisan, ha G síkgráf, és G∗ a duálisa: TG (x, y) = TG∗ (y, x) (4) Direkt összeg: 2.24. Megjegyzés. Könnyen ellen˝orizhet˝o, ha a G gráf az A és B komponensekb˝ol áll, akkor TM(G) (x, y) = TM(A) (x, y) TM(B) (x, y) . Ez a tulajdonság kiterjeszthet˝o általános matroidokra is. Ehhez definiálni kell az M1 és M2 matroidok M1 ⊕ M2 direkt összegét. Ennek alaphalmaza E (M1) ˙∪E (M2) . X akkor és csak akkor független a direkt összegben, ha X ∩ E (M1) ∈ M1, és X ∩ E (M2) ∈ M2. Ekkor TM1⊕M2 (, x, y) = TM1 (x, y)TM2 (x, y). (5) Speciális értékek • TM (2, 2) megadja E részhalmazainak számát. • TM (1, 1) megadja M bázisainak számát, hiszen csak akkor lesz az összegben nem 0 tag, ha a tényez˝ok kitev˝oje 1, tehát r (E) = r (X) = |X|, ami pontosan akkor teljesül, ha X bázis. • TM (2, 1) megadja M függetlenjeinek számát, hiszen az y-os tényez˝o pon- tosan akkor lesz 1, ha r (X) = |X|, ami a független halmaz ekvivalens definí- ciója. 2.25. Példa. Az uniform Ur, n (r ∈ [0, n]) matroid esetében egyszer˝u a polinom meghatá- rozása, hiszen minden részhalmaz, melynek elemszáma legfeljebb r, független, így az (y − 1) kitev˝oje minden legalább r elem˝u halmazra 0, továbbá az (x − 1) kitev˝oje minden r ≤ k-ra 0. Így a következ˝ot kapjuk a Tutte polinomra: TUr, n (x, y) = r−1 i=0 (n i ) (x − 1)r−i + (n r ) + n i=r+1 (n i ) (y − 1)i−r . Például az U2, 5-re és duálisára az U3, 5-re a Tutte polinom a fentiek alapján: TU2, 5 (x, y) = x2 + 3x + 3y + 2y2 + y3 , TU3, 5 (x, y) = x3 + 2x2 + 3x + 3y + y2 . 2.26. Példa. Legyen G egy n + 1 csúcsú út. Ekkor n éle van, és mivel az M (G) körma- troidban a függ˝o halmazok a körök lennének, így bármely részhalmaza az alaphalmaznak független, hiszen nincs a gráfban kör. Ekkor r (M (G)) = n. A gráf Tutte polinomja pedig: TM(G) (x, y) = n i=0 (n i ) (x − 1)n−i = xn . Ugyanez a helyzet egy fa gráffal is, hiszen ha n+1 csúcsa van, akkor n éle, és szintén nem tartalmaz kört, tehát az alaphalmaz minden részhalmaza független.
  26. 26. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 26 2.27. Példa. Legyen a Cn gráf, az n pontból álló kör. Vizsgáljuk az M (Cn) körmatroidot. Ahhoz, hogy meghatározzuk a Tutte polinomját, néhány egyszer˝u megfontolást kell csak tenni: Ha Cn-b˝ol törlünk egy e élt, egy n pontból álló utat kapunk, melynek Tutte polinomja xn−1 . Ha összehúzunk egy élt, ugyanúgy kört kapunk, n − 1 csúcsból, azaz a Cn−1-et. Mivel C2 Tutte polinomja x + y, így a következ˝ot kapjuk: TCn (x, y) = n−1 i=1 xi + y. A Tutte polinom dualitás-tulajdonsága révén, a C∗ n duálisra, azaz a két csúcsból és n darab párhuzamos élb˝ol álló gráfra: TC∗ n (x, y) = n−1 i=1 yi + x. 2.4. A Tutte polinom alkalmazásai 2.4.1. A gráf kromatikus polinomja Jelentse egy egyszer˝u gráf jó színezését egy olyan színezés, melyben a gráf bármely két csúcsa, melyek éllel összekötöttek különböz˝o szín˝u. Felmerülhet a kérdés, hogy legalább hány színre lenne szükség ahhoz, hogy a csúc- sokat jól színezzük. Ez a G gráf χ (G) kromatikus száma Bevezetünk egy olyan poli- nomot, amib˝ol kiolvasható ez a minimum. Ez lesz a kromatikus polinom. A kés˝obbiekben pedig kifejezzük a kromatikus polinomot a Tutte polinommal, ami kapcsolatot teremt a jól színezhet˝oség problémakör és a matroidok között. 2.28. Definíció. Legyen a PG (z) a G gráf z színnel való jó színezéseinek száma. Ezzel definiáltunk egy N → N függvényt. Belátható, hogy PG (z) függvény a z változójában polinom, és nyilvánvalóan a természetes számokra el˝oírt értékek ezt a polinomot egyértel- m˝uvé teszik. Ezt a gráf kromatikus polinomjának nevezzük. 2.29. Példa. Vegyünk egy n csúcsból álló fát, legyen ez a Tn fagráf. Könnyen belátható, hogy a kromatikus polinomja a következ˝o módon adható meg: PTn (z) = z (z − 1)n−1 . 2.30. Példa. Vizsgáljuk az n csúcsból álló teljes Kn gráfot. Válasszunk ki egy tetsz˝oleges csúcsot. Színezésére ekkor z lehet˝oség van. Mivel a kiválasztott csúcsnak (n − 1) szom- szédja van, így a következ˝o kiválasztott csúcsnak már csak (z − 1) féle szín osztható, és így tovább. Belátható, hogy ekkor Kn kromatikus polinomja: PKn (z) = z (z − 1) . . . (z − (n − 1)) . 2.31. Megjegyzés. PG (z) ismeretében χ (G) könnyen meghatározható. χ (G) az a min- imális természetes szám, aminél kiértékelve PG (z)-t nem 0-t kapunk.
  27. 27. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 27 A következ˝o lemmával a kromatikus polinom kiszámítása visszavezethet˝o egy él tör- lésével illetve egy él összehúzásával keletkez˝o gráfra, tehát egy csökkentett élszámú, és egy csökkentett csúcsszámúra. 2.32. Lemma. Legyen G egyszer˝u gráf. G bármely e élére teljesül, hogy PG (z) = PGe (z) − PG/e (z) . A fenti lemma és példa segítségével most már kimondható a kromatikus polinomok alaptulajdonságait összefoglaló f˝otétel, melyet bizonyítás nélkül közlünk: 2.33. Tétel. Legyen G egy n csúcsú egyszer˝u gráf. Ekkor a PG (z) = anxn + an−1xn−1 + + . . . + a1x + a0 kromatikus polinomjára a következ˝ok teljesülnek: – deg (PG (z)) = n, – együtthatói egészek, és váltakozó el˝ojel˝uek, azaz (−1)n−i ai ≥ 0, – an = 1, a0 = 0. A Tutte polinom segítségével könnyen kiszámolható egyes gráfok kromatikus poli- nomja. A két polinom közötti kapcsolatot az alábbi tétel adja meg: 2.34. Tétel. Vegyük a c komponens˝ol álló G gráf M (G) körmatroidját. Ekkor a gráf PG (z) kromatikus polinomja egyszer˝uen megadható a körmatroid Tutte polinomjával: PG (z) = zc(G) (−1)|V (G)|−c(G) TM(G) (1 − z, 0) Bizonyítás. Legyen f (G, λ) = λ−c(G) PG (z) . Látszólag f G-t˝ol függ, de megmutatható, hogy valójában csak M (G)-t˝ol függ, így ha f (M (G) , λ) = f (G, λ) , akkor ez a ma- troidokon értelmezett függvény egy jól definiált T-G invariáns, melyre σ = 1, és τ = −1. Ha M (G) = I vagy L, akkor G egy hurokból vagy egy elvágó élb˝ol áll szomszédos csúcsokkal. Nyilvánvalóan teljesül az, hogy f (L, λ) = 0, és f (I, λ) = λ−1. Így ha, |E (G) | = 1, f jól definiált. Tegyük fel, hogy |E (G) | < n-re is jól definiált matroidokon értelmezett függvény, és legyen |E (G) | = n. Vegyünk egy e élt G-ben, legyen végpontjai az u és v csúcsok, és tegyük fel, hogy e se nem hurokél, se nem elvágó él. Ekkor két részre oszthatóak a G e gráf λ színnel való jó színezései aszerint, hogy u és v különböz˝o színnel színezettek-e vagy sem. Abban az eset- ben, amikor u és v megegyez˝o szín˝uek, bijekció áll fenn Ge és G/e λ-színezései között. Abban az esetben, amikor u és v különböz˝o szín˝uek G e a bijekció G λ-színezéseivel áll fenn. Nyilván G-nek és G/e-nek ugyanannyi komponense van, ha pedig e nem elvágó él, akkor G-nek és G e-nek is ugyanannyi komponense van. Így a következ˝o áll fenn: f (G e, λ) = f (G, λ) + f (G/e, λ) , ekkor az indukciós feltevésb˝ol kapjuk, hogy: f (G, λ) = f (M (G e) , λ) − f (M (G/e) , λ) .
  28. 28. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 28 Ha az e élG-ben hurokél, akkor f (G, λ) = f (L, λ) = 0, így f (G, λ) = f (L, λ) f (M (G e) , λ) . Ha e elvágó él, akkor G jó λ színezéseinek száma megegyezik Ge jó λ színezéseinek számával, ha u és v különböz˝o szín˝uek. G e jó λ színezésében ha u-t kiszíneztük egy színnel, akkor a v-nek λ féle színt adhatunk. Ezek közül λ − 1 szín különbözik az u-nak adott színt˝ol. Így a Ge azon jó λ-színezéseinek száma, melyekre u és v különböz˝o szín˝u λ−1 λ PGe (z) . Tehát PG (z) = λ − 1 λ PGe (z) . Mivel f (I, λ) = λ − 1, és c (G e) = c (G) − 1, fennáll f (G, λ) = f (I, λ) f (G e, λ) , és az indukciós feltevést felhasználva kapjuk, hogy f (G, λ) = f (I, λ) f (M (G e) , λ) . Az f (G, λ)-re három esetben (e hurok él, e elvágó él, e egyik sem) kapott egyen- leteket összehasonlítva kapjuk, hogy f jól definiált matroid-függvényt. Továbbá ugyanezen egyenletekb˝ol az is következik, hogy f általánosított T-G invariáns, ahol σ = 1, és τ = = −1. Mivel f (I, λ) = λ − 1, és f (L, λ) = 0, a 2.22 Következményb˝ol következik, hogy f (M (G) , λ) = (−1)|V (G)|−c(G) TM(G) (1 − λ,0) , így χG (λ) = λ (−1)c(G)|V (G)|−c(G) TM(G) (1 − λ,0) . 2.35. Példa. Legyen a vizsgált gráf C5, azaz az 5 csúcsból álló kör. 2.5. ábra.
  29. 29. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 29 Ekkor legyen M (C5) az élhalmazából képzett körmatroid. Egyszer˝uen megállapítható, hogy r (M (C5)) = 4. A gráf kromatikus polinomja a következ˝o: PC5 (z) = (z − 1)5 + (−1)5 (z − 1) . C5 egy komponensb˝ol áll, így c (G) = 1. Ekkor a fentiek alapján: PC5 (z) = (z − 1)5 + (−1)5 (z − 1) = z X⊆E (−1)|X| z4−r(X) = z pM(C5) (z) 2.4.2. A gráf folyam polinomja Irányított gráf esetén a folyam polinom is fontos szerepet játszik egy gráf vizsgálatában. A T-G invariancia miatt a Tutte polinom segítségével könnyedén meg tudjuk határozni egy gráf folyam polinomját. Legyen G egy tetsz˝oleges gráf, és vegyük egy irányítását. Jelölje −→ G az így kapott irányított gráfot. Legyen H egy additív Abel csoport. 2.36. Definíció. Egy H-folyam a −→ G-n olyan φ : E (G) −→ H függvény, melyre teljesül, hogy tetsz˝oleges v ∈ V (G)-re a v-be befutó és onnan kifutó élek súlyainak összege H-ban megegyezik. Egy H-folyam sehol sem 0, ha bármely e ∈ E (G)-re φ (e) = 0. Legyen F−→ G (λ) a −→ G gráf sehol sem 0 H-folyamainak száma. Belátható, hogy a −→ G sehol sem 0 H-folyamainak száma csak |H|-tól függ. Legyen F−→ G (λ) a −→ G gráf sehol sem 0 H-folyamainak száma, ahol |H| = λ. 2.37. Tétel. A Tutte polinommal egy −→ G összefügg˝o gráf F−→ G (λ) folyam polinomját a következ˝o képlet szerint lehet megadni: F−→ G (λ) = (−1)|E( −→ G)|−r(E) TM( −→ G) (0,1 − λ) , ahol H rendje λ. Bizonyítás. Legyen g (M (G) , λ) = F−→ G (λ). Célunk megmutatni, hogy g jól definiált, és egy általánosított T-G invariáns, melyre σ = −1 és τ = 1. Nyilvánvalóan teljesül az, hogy g (I, λ) = 0, és g (L, λ) = λ − 1. Így ha, |E (G) | = 1, g jól definiált. Tegyük fel, hogy |E (G) | < n-re is jól definiált matroidokon értelmezett függvény, és legyen |E (G) | = n. Vegyünk egy e élt G-ben, legyen végpontjai az u és v csúcsok, és tegyük fel, hogy e se nem hurokél, se nem elvágó él. Legyen W a sehol sem 0 H-folyamok halmaza a −→ G/e gráfon. Osszuk W-t a W és W halmazokra úgy, hogy W azon W-beli H-folyamokat tartalmazza, melyek −→ G e-ben is H-folyamok. Ekkor |W | = F−→ Ge (λ). Továbbá W bijekcióba állítható a sehol sem 0 H-folyamokkal G-n. Ennek bizonyítása a következ˝o: Vegyük észre, hogy W egy eleme −→ G e-n azért nem sehol sem 0 H-folyam, mert a −→ G e beli u és v csúcsok mindegyikére teljesül, hogy a csúcsokba befutó éleken lev˝o súlyok összege nem egyezik meg a kifutó élek súlyainak összegével. Tegyük fel, hogy az
  30. 30. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 30 u-ba befutó folyam értéke n. Ekkor a v-b˝ol kifutó folyam értéke is n, és véve az e élt u- ból v-be irányítva és n-nel megsúlyozva egy sehol sem 0 H-folyamot kapunk −→ G-n. Mivel minden sehol sem 0 H-folyam −→ G-n egyértelm˝uen megkapható ezen a módon, következik, hogy |W | = F−→ G (λ) , és F−→ G (λ) = F−→ G/e (λ) − F−→ Ge (λ) . Felhasználva az indukciós feltevést, következik, hogy F−→ G (λ) = g −→ G/e, λ − g −→ G e, λ . Ha e hurokél G-ben, akkor minden −→ G e-n vett sehol sem 0 H-folyamra vehetjük az e él súlyát H bármely nem 0 elemének. Ez egy sehol sem 0 H-folyamot ad −→ G-n, és minden H-folyamot képezhetünk ezen a módon −→ G-n. Így ha e hurok MG-ben: F−→ G (λ) = g (L, H) F−→ Ge (λ) , és felhasználva az indukciós feltevést kapjuk, hogy F−→ G (λ) = g (L, H) g M −→ G e , H . Ha e elvágó él G-ben, F−→ G (λ) = g (I, λ) = 0, így F−→ G (λ) = g (I, λ) F−→ Ge (λ) . Tekintve a fent tárgyalt három esetet (ha e hurokél, ha elvágó él és ha egyik sem), megállapítható, hogy g jól definiált. A folyam polinomot megadó egyenletekb˝ol pedig következik, hogy g általánosított T-G invariáns, ahol σ = −1, és τ = 1. A tétel állítása már következik a 2.22 Következményb˝ol, és a [2] forrás 6.2.20-as Tételéb˝ol. A tétel bizonyítása azt is igazolta, hogy a folyam polinom valóban polinomiális λ-ban. 2.38. Definíció. Legyen ν a G gráf ciklomatikus száma, melyet a következ˝oképpen defini- álunk: ν (G) = |E (G) | − |V (G) | + c (G) . Most bizonyítás nélkül közöljük a folyam polinomok alaptulajdonságait összefoglaló tételt. 2.39. Tétel. Tulajdonságok: – deg F−→ G (λ) = ν (G), ahol λν(G) együtthatója (−1)ν(G) , és az összegben minden tag megegyez˝o el˝ojel˝u. – Ha G-ben nincsenek élek, F−→ G (λ) = 1. – Ha G-ben van elvágó él, F−→ G (λ) = 0.
  31. 31. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 31 – Ha G élhalmaza két éldiszjunkt H és K részgráfja élhalmazának uniója, amelyek legfeljebb egy közös csúccsal rendelkeznek, akkor F−→ G (λ) = F−→ H (λ) F−→ K (λ) . – Ha G kör F−→ G (λ) = λ − 1. – Kiválasztva G egy tetsz˝oleges e élét, teljesül: F−→ G (λ) = F−→ Ge (λ) − F−→ G/e (λ) , 2.40. Megjegyzés. Ha G∗ összefügg˝o síkgráf az eddig tárgyalt −→ G irányítatlan duálisa, akkor a gráf k színnel való jó színezéseinek száma megegyezik a sehol sem 0 k-folyamok számával: χ (G, λ) = λF−→ G (λ) . 2.41. Megjegyzés. Jelölje (G : S) a G gráf S élhalmaz által alkotott feszít˝orészgráfjának feszít˝oerd˝ojét. Ekkor a folyam polinom a következ˝oképpen írható fel: F−→ G (λ) = (−1)|E(G)| S⊆E(G) (−1)|S| λν(G:S) . 2.42. Példa. A fentiek fényében vegyük a K3 gráfot. A folyam polinomja a következ˝o: Fλ −→ K3 = (λ − 1) . A Tutte polinomot definíció szerint végigszámolva kapjuk, hogy TK3( −→ G) (x, y) = y − 1, alkalmazva pedig a Tutte és a folyam polinom kapcsolatát kimondó tételt pont ezt kapjuk: (λ − 1) = Fλ −→ K3 = (−1)|E( −→ G)|−r(E) TK3( −→ G) (0,1 − λ) = (λ − 1) , hiszen |E −→ G | − r (E) = 1. 2.4.3. A gráf reliability polinomja 2.43. Definíció. Vegyünk egy G gráfot, és tegyük fel, hogy G minden élét egymástól függetlenül egy rögzített 0 ≤ p ≤ 1 valószín˝uséggel töröljük. Ekkor annak a valószí- n˝uségét, hogy G bármely összefügg˝o komponense összefügg˝o marad a törlések után a CG (p) polinom adja meg, melyet G reliability polinomjának nevezünk. A gráf reliability polinomja a következ˝o alakban adható meg: CG (p) = m A⊆E(G) (1 − p)|A| p|EA| , ahol A azon részhalmazai a gráf élhalmazának, melyek tartalmazzák G egy feszít˝ofáját.
  32. 32. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 32 2.44. Példa. Cn reliability polinomja a következ˝o: CCn (p) = (1 − p)n−1 [1 + (n − 1) p] . Rekurzívan is el˝oállítható CCn−1 (p) és CCn−2 (p) segítségével: CCn (p) = −2 (p − 1) CCn−1 (p) − (p − 1)2 CCn−2 (p) . A matroidokra is alkalmazhatjuk az elemek egy tetsz˝oleges, rögzített valószín˝uséggel való törlését. 2.45. Definíció. Tegyük fel, hogy az M = (E, I) matroid elemeit egymástól függetlenül egy rögzített 0 ≤ p ≤ 1 valószín˝uséggel töröljük. Ekkor a keletkezett ω (M) részmatroid- ját M-nek M véletlenszer˝u részmatroidjának hívjuk. Legyen CM (p) annak a valószí- n˝usége, hogy ω (M) rangja megegyezik M rangjával. 2.46. Megjegyzés. CM (p)-re a következ˝o egyszer˝uen belátható tulajdonságok teljesül- nek: CM (I) = 1 − p, CM (L) = 1. CM (p) = pCMe (p) + (1 − p) CM/e (p) ha e nem hurok és nem elvágó él, CM(e) (p) CMe (p) különben. 2.47. Tétel. Ezekb˝ol következ˝oen Tutte polinomról szóló f˝o tétel fényében kifejezhet˝o a reliability polinom a Tutte polinommal: CM (p) = p|E|−r(E) (1 − p)r(E) TM 1, 1 p . A gráf és a matroid reliability polinomja megegyezik, ha a M a Km gráf körmatroidja. CM(Km) (p) = CKm (p) . 2.48. Példa. Természetesen a 2.44. Példában kiszámolt reliability polinommal azonos eredményt kapunk akkor is, ha a 2.47. Tételt alkalmazzuk Cm-re: (1 − p)n−1 [1 + (n − 1) p] = CCn (p) = pn−(n−1) (1 − p)n−1 TCn 1, 1 p = pn−(n−1) (1 − p)n−1 n−1 i=1 1i + 1 p = (1 − p)n−1 [1 + (n − 1) p]
  33. 33. 33 Nyilatkozat Alulírott Általános Alkalmazott Matematika MSc szakos hallgató, kijelentem, hogy a dol- gozatomat a Szegedi Tudományegyetem Bolyai Intézetében készítettem, az MSc diploma megszerzése érdekében. Kijelentem, hogy a dolgozatot más szakon korábban nem védtem meg, saját munkám eredménye, és csak a hivatkozott forrásokat (szakirodalom, eszközök, stb.) használtam fel. Tudomásul veszem, hogy diplomamunkámat a Szegedi Tudományegyetem Bolyai In- tézetének könyvtárában, a helyben olvasható könyvek között helyezik el. Szeged, 2014. május 17. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . aláírás
  34. 34. 34 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani Dr. Hajnal Péternek, a témavezet˝omnek, aki odaa- dóan felügyelte diplomamunkám megírását, bármikor id˝ot tudott szakítani a közös munkára, és tanácsaival illetve javaslataival nagyban hozzájárult ahhoz, hogy az eredmény pontos, lényegre tör˝o, érdekes és szemléletes legyen.
  35. 35. 35 Irodalomjegyzék [1] Jorge Ramírez Alfonsín, Theory of matroids and applications, Konferenciai el˝oadás, ECOS, (2013), 2-12. [2] Thomas Brylawski, James Oxley, The Tutte polynomial and Its Applications, Ma- troid Applications (Szerkeszt˝o: N. White), Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 40, (2010), 123-225. [3] Frank András, Kombinatorikus optimalizálás, II: Matroidelmélet, Egyetemi egyzet, ELTE TTK Operációkutatási Tanszék, (2011), 4-62. [4] Michel X. Goemans, Lecture notes on matroid intersection, Egyetemi jegyzet (Com- binatorical Optimization), Massachusetts Institute of Technology, (2009), 1-2. [5] Gary Haggard, David J. Pearce, Gordon Royle, Computing the Tutte polynomials, Isaac Newton Institute for Mathematical Sciences, Cambridge, (2009), 1-22. [6] Jordán Tibor, Recski András, Szeszlér Dávid, Rendszeroptimalizálás, Typotext, Bu- dapest, (2004), 127. [7] Petteri Kaski, The deletion-contraction algorithm and graph polyinomials, Egyete- mi egyzet, University of Aalto, Esbo, (2008), 3-4. [8] Eugene L. Lawler, Kombinatorikus optimalizálás: hálózatok és matroidok, M˝uszaki Könyvkiadó, Budapest, (1982). [9] Criel Merino, Marcelino Ramírez-Ibanez, Guadalupe Rodrígez-Sánchez, The Tutte polynomial of some matroids, International Journal of Combinatorics, (2012), 1-50. [10] James Oxley, Matroid theory,Oxford University Press, Oxford, (2011). [11] James Oxley, On the Interplay between graphs and matroids, Survey in Combina- torics, (2001), 199-239. [12] Hossein Shahmohamad, A survey on Flow Polynomial, UTILITAS MATHEMATI- CA, 62, (2002), 13-32. [13] Turjányi Sándor, Bevezetés a kombinatorikába és a gráfelméletbe, Egyetemi jegyzet, Debreceni Egyetem, (2005), 83-85. [14] Dominic Welsh, The Tutte polynomial, Random structures and Algorithms, 15, (1999), 210-228.
  36. 36. A matroid- és gráfelmélet összefüggései 36 [15] http://mathworld.wolfram.com/ReliabilityPolynomial.html (utolsó elérés ideje: 2014.05.16.)

×